О распределении дробных долей II Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Хромова Г.В.. О приближенных решениях уравнения Абеля // Вестн. Моск. ун-та. 2001. Сер. 15. № 3. С. 5-9.

4. Самко С.Г, Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

УДК 519.21

А.В. ШУТОВ О распределении дробных долей II1

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена изучению распределения дробных долей nа + а по модулю 1. Основной характеристикой распределения является величина

г(а, а, n, I) = N (а, а, n, I) — n|I1,

где I С (0; 1) — некоторый интервал, и

N (а, а, п, I) = tf{k : 0 ^ k <п,< ка + а >Е I}.

Наибольший интерес представляют интервалы ограниченного остатка, то есть такие интервалы I, для которых

|г(а, а, n, I)| < C,

где C не зависит от п.

В работах Гекке [1] и Кестена [2] было выяснено, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |I| Е аЪ + Z, причем

|г(а, 0, n, I)| < |h|,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-00368.

где h — единственное целое число, для которого |I1 — ha £ Z.

В работах В.Г. Журавлева [3], Н.Н. Мануйлова [4], А.В. Шутова [5] было выяснено, что наибольший интерес при изучении интервалов ограниченного остатка представляют так называемые собственные интервалы [6], [7], на которых отображение первого возвращения для поворота окружности вновь является поворотом окружности. В частности, было доказано, что для иррациональностей с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь оценка, даваемая теоремой Гек-ке, может быть улучшена для всех собственных интервалов с правым концом в точке 1.

В работе получены следующие результаты:

1) Получена новая оценка остаточного члена r(a,a,n,I) для произвольного собственного интервала. Доказано, что полученная оценка лучше оценки, даваемой теоремой Гекке при условии

где {дк} — последовательность неполных частных разложения а в цепную дробь.

2) Доказано, что интервал является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда его можно представить в виде конечного объединения собственных интервалов.

3) Для иррациональностей с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь получена новая оценка остаточного члена г(а,а,п, I) для произвольного интервала ограниченного остатка.

В общем случае задача оценки г(а,а,п,1) на интервалах ограниченного остатка разбивается на две подзадачи:

1) разложение интервала I в объединение собственных интервалов;

2) вычисление г(а,а,п,1) для собственных интервалов I.

Автор благодарит В.Г. Журавлева за постановку задачи и многочисленные полезные обсуждения.

1. РАЗБИЕНИЕ ФИБОНАЧЧИ И ПРОИЗВОДНЫЕ ОРБИТ

Для формулировки результатов нам потребуется понятие обобщенного разбиения Фибоначчи, а также некоторые результаты о производных орбит иррационального поворота окружности на интервалах обобщенных разбиений Фибоначчи. Доказательства приводимых результатов можно найти в работах [3], [8], [6], [7].

Рассмотрим множество Т всех разбиений единичной окружности 81 = = [0; 1) на конечное число полуинтервалов. Рассмотрим оператор В : Т ^ Т, действующий следующим образом. Пусть ТИ Е Т — разбиение 81 на конечное число полуинтервалов, |Х| — наименьшая из длин полуинтервалов разбиения. Тогда в разбиении В(Т^/) интервалы из ТИ длины |Х| сохраняются, а интервалы длины |У | > |Х| распадаются на 2 интервала длины |Х| и |У | — |Х| соответственно. Другими словами, действие В-оператора заключается в откладывании интервала наименьшей длины от левых концов всех интервалов разбиения Тг/.

Пусть Тг/о(а) состоит из 2 полуинтервалов [0; а) 0 [а; 1), где 0 означает некоммутативную операцию прикладывания полуинтервалов.

Обобщенное разбиение Фибоначчи порядка т определяется соотношением

Тг/т(а) = В т(т(а)).

Очевидно, что если а иррационально, то Тг/т(а) = Тг/П(а) при т = п.

Легко показать, что разбиение Тг/т(а) состоит из интервалов 2 разных длин и не может заканчиваться двумя интервалами одной длины. Введем отображение Со/т,а, ставящее в соответствие каждому интервалу из Тг/т(а) одну из двух цветовых меток Е и С, с соблюдением двух

условий:

1) интервалы Tilm(a), имеющие одинаковую длину, получают одну и ту же метку, интервалы разной длины — разные метки;

2) крайнему правому интервалу из Tilm(a) ставится в соответствие метка E.

В результате получаются цветные разбиения Фибоначчи CTilm(a) = = Colma (Tilm(a)).

Мы будем использовать следующие обозначения: Lm,Sm — длинные и короткие интервалы разбиения Tilm(a), lm(a) и sm(a) — их длины, Lm(a) и Sm(а) — их количества; Em и Gm, E и G — интервалы разбиения CTilm(а), em(a) и gm(а) — их длины, Em(a) и Gm(a) — их количества, im(a) = em(a) + gm(a), Im = (1 - im(a);1). Всюду, где это не будет вызывать двусмысленностей, индекс а будет опускаться.

В работе [8] была доказана следующая теорема о глобальных координатах разбиений Фибоначчи.

Теорема 1. Интервалы цветных разбиений Фибоначчи имеют координаты

Em = (< (Gm - i)а >; < -iа >),

Gm = (< (Gm - Em - i)а >; < (Gm - i)а >), где < x > — дробная часть x.

Рассмотрим поворот окружности

Ra : x ^ x + а (mod 1).

Для произвольного интервала I определим отображение первого возвращения

djRa = RnJ(x)(x), где nj(x) = min{n £ N : Rna(x) £ I}. В [6], [7] была доказана

Теорема 2. Отображение d/RRa вновь является поворотом окружности тогда и только тогда, когда |I| = гт(а) при некотором т.

Введем обозначение ОгЬ(а,а,!) для орбиты точки а под действием отображения х ^ х + а (mod I).

Из теоремы 2 легко получается следующий результат.

Теорема 3. Пусть |I| = гт(а). Тогда существуют числа йта, а/ и преобразование h/ Е GL(1, R), такие что

I П ОгЬ(а, а, I0) = h/ОгЬ(а/, ¿та, I0). (1)

Здесь ¿та — зависит от т и а, но не от I, и I0 = (0; 1).

Отображение а ^ ¿та обладает следующими свойствами [6], [7], [5]:

¿т+па = ¿т(^а) = ^та), (2)

¿т+1(а) = ¿т(а)тах^та, 1 — ¿та). (3)

2. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

Введем следующие обозначения:

N (а, а, n, I) = tf{k : 0 < k < n, < ка + а >Е I},

г(а, а, n, I) = N (а, а, n, I) — n|I |, = тах(^ а, 1 — dk а).

Теорема 4. Пусть а Е R \ Q, n Е N, |I| = гт(а). Тогда

т—1т—1

|г(а, а,n, I)| < 1 + ^П а. (4)

Доказательство Доказательство будем проводить индукцией по т. Вначале рассмотрим случай т = 1.

Гекке в работе [1] доказал следующий результат. Пусть \I| Е aZ + Z. Тогда

\r(a, 0,n,I)\ < \h\,

воспользовавшись теоремой Гекке, получаем, что при \I\ = i\(a)

Заметим, что < na + а >Е I тогда и только тогда, когда < na >Е I', где I' = I — а (mod 1). Поэтому

для некоторого интервала I' той же длины, что и I. Следовательно,

при |11 = г\(а) и неравенство (4) для т = 1 доказано.

Предположим, что неравенство (3) доказано для к = т и докажем его для к = т + 1.

Из теоремы 2 и формулы (2) вытекает следующий результат, связывающий числа N(а,а,п,1) для различных интервалов I. Пусть 12 С 1х,11х| = im(а), 1121 = гк(а). Тогда

Далее достаточно применить к соотношению (7) с к = т + 1 оценку для N(а,а,п,1\), справедливую по предположению индукции и использовать (6) и (3). Теорема доказана.

\r(a, 0,n,I)\ < 1.

r(a, а, n, I) = r(a, 0, n, I')

\r(a, a, n,I)\ < 1,

(6)

N (a,a,n,I2) = N (<Ta,ah ,N (a,a,nJi),h—1(I2)). (7)

Следствие 1. Пусть |11 = гт(а). Тогда

|г(а, а, п, I)| < т. (8)

Доказательство Для доказательства достаточно воспользоваться оценкой (4) и тривиальной оценкой Ока < 1 для всех к.

Следствие 2. Пусть |11 = гт(а) и все неполные частные разложения а в цепную дробь меньше N. Тогда

|г(а, а, п, I)| < N + 1. (9)

Доказательство Для доказательства достаточно воспользоваться доказанной в [5] оценкой для правой части неравенства (4).

Замечание 1. Н.Н. Мануйлов в работе [4] показал, что для чисел т3, имеющих разложение в цепную дробь вида т3 = [#; (#)], существует бесконечная последовательность длин ¿тк, для которой оценка (9) может быть улучшена.

3. СРАВНЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТОМ ГЕККЕ

Теорема 5. Пусть разложение а в цепную дробь имеет вид а = = [0; #1, #2,...]. Пусть для некоторого е > 0 и всех п

А (У5+1

< —^--е

&=1 V

Тогда для всех т, больших некоторого т0, оценка (8) лучше оценки (5), даваемой теоремой Гекке.

Доказательство Из теоремы 1 следует, что

¿т(а) =< £т- 1а > .

Поэтому в случае |11 = гт(а) оценка (5) превращается в оценку

|г(а, а, п, I)| < 5т-1, и требуется доказать, что для т > т0

5т >

Так как 5т(а) = 5т(1 — а), ограничимся рассмотрением случая а < 2.

Число т назовем а-регулярным, если йт—1(а) > 5т(а). Пусть {тг} — последовательность а-регулярных чисел, пг = тг — 1. Тогда при переходе Т^/т._1 (а) ^ Тг/т. (а) длинные и короткие интервалы разбиения преобразуются по следующим правилам:

5т;-^ ^т®

Г™*-1 ^ пгГт® 0

Следовательно,

5 = Г

пгГт;_ 1 + 1 ■

Отсюда получаем, что

пг—15т;_ 1 + 2'

Поскольку 50 ^ 1, 51 ^ 1 и пг ^ 1, получаем оценку

^тг ^ (10)

где ^ — г-е число Фибоначчи.

Пусть теперь разложение а в цепную дробь имеет вид а = [0; #1, #2,...]

и

п

где #(ж) — некоторая монотонно возрастающая функция.

Пусть т = т{ + £ и 0 ^ £ < щ+\. В [6] было доказано, что п1 = = д1 — 1 и пк = (к при к ^ 2. Отсюда получаем, что т ^ д^ + 1) и i ^ [д—1(т)] — 1([х] — целая часть х). Так как последовательность {Ят} возрастает,

Ят ^ Рд-1(т). (П)

Выберем в качестве д(х) функцию д(х) = сх и воспользуемся явной формулой для чисел Фибоначчи

- - Ъ ((^)"+( Ъ—1

В результате получим неравенство

1 1о8т

Ят > -Т 1о8т

ту 5

п

где т = , при условии ^ дк < ск. Выбирая с = т — е, получаем

к=1

требуемый результат.

Гипотеза 1. Для любого иррационального а существует бесконечно много чисел т, для которых оценка (8) улучшает оценку (5).

4. ИНТЕРВАЛЫ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА Интервал I назовем интервалом ограниченного остатка, если

1г(а, а, п, I)| < С,

где С не зависит от п.

Теорема 6. Интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда

II | = £ Ь (а). (12)

к=1

Индексы ]к не обязательно все различные.

Доказательство Необходимость. Пусть I — интервал ограниченного остатка. Известно [2], что в этом случае |11 Е аЪ + Ъ, то есть |11 = аа + Ь, где а, Ь Е Ж.

Покажем, что существует интервал I' длины |11 вида I' = (0; < Жа >) или I' = (< Жа >; 1). Действительно, если а > 0, из условия 0 < а < 1 вытекает, что Ь = — [аа] и |11 = аа. Следовательно, в качестве интервала I' можно выбрать интервал I' = (0; < аа >). Если же а < 0, то Ь = = 1 + [—аа], и в качестве I' можно выбрать интервал I' = (< —аа >; 1).

Далее покажем, что для любого интервала I' = (< ^а >; < >) его длина представляется в виде

III = Е еЛ (а) + Е ад (а). (13)

к=1 к=1

Заметим, что по теореме 1 в ОТг/т(а) точки < га > с г Е Ъ и —Ет(а) ^ г ^ Ст(а) являются концами интервалов разбиения. Поскольку последовательности {Ет(а)},{Ст(а)} не убывающие и

Нш Ет(а) = Нш Ст(а) = то,

т^то т^то

существует целое т такое, что ш1п(Ж1,Ж2) ^ —Ет(а) и шах(Ж1,Ж2) ^ ^ Ст(а). При этом I' представляется в виде объединения интервалов из СТг/т(а) и, следовательно, его длина представима в виде (13), причем все ^ и ^'к' равны т.

Далее покажем, что каждое из чисел ет(а), ^т(а) равно гт/ для некоторого т'. Действительно, всегда существуют числа т1 и т2, такие что

Ет = Ет1 = ^т1+1 ф Ет1+1

Ст = Ст2 = Ет2+1 ф ст2+1.

При этом одно из чисел т1, т2 должно быть равно т. Отсюда следует, что

ет (а) гт1 (а),

дт(а) = 1т2 (а).

Собирая вместе полученные результаты, получаем, что для длины II| интервала ограниченного остатка справедливо разложение (12).

Достаточность. Из (12) следует, что интервал I можно представить в виде I = II 0 ^ 0 ... 0 Л, где ^к| = ijk(а), и по теореме 4 Д есть множество ограниченного остатка. Поэтому существуют постоянные С1,... ,Ск, такие что

(а) — Ск < N(а,а,п,Ь) < щк(а) + Ск. (14)

Пусть I' есть множество правых концов интервалов ^, 1 ^ к ^ £ — 1.

Тогда I = Д и ^ и ... и I и I' и, следовательно,

г

N (а, а, п, I) = ^^ N(а,а,п,Ь) + N(а,а,п,Г). (15)

к=1

Множество I' состоит из £ — 1 точек. Поэтому для всех а,п справедливо неравенство

0 < N (а, а, п, I') < £ — 1. (16)

Подставляя в (15) оценки (14),(16), получаем

г г

п|! | — £ Ск < N (а, а,п^) < п^ | + £ Ск + £ — 1. (17) к=1 к=1

Обозначая С = ^*к=1 Ск + £ — 1, имеем

1г(а, а, п, I)| < С.

Теорема доказана.

Неравенство (17) дает возможность получать оценки для 1г(а, а, п, I)| в случае, когда длина интервала I отлична от 1т(а).

Предложение 1. Пусть все неполные частные разложения а в цепную дробь меньше N и

III = £ Ь(а).

к=1

Тогда

|r(a, a, n, I)| < (N + 2)t - 1.

Доказательство Для доказательства достаточно подставить в (17) оценку (9). Замечание 2. Оценка (17) может быть улучшена, если известен явный вид разложения (12). Ситуация, однако, осложняется тем, что разложение (12) не единственно. Более того, таких разложений бесконечно много и нахождение разложения, дающего наилучшую оценку, представляет собой достаточно трудную задачу.

Библиографический список

1. Hecke E. Analitishe Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod eins // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1922. P. 54-76.

2. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Szüsz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arith. 1973. Vol. 14. P. 26-38.

3. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Известия РАН. Сер. мат. 2004 (в печати).

4. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {ia} в полуинтервал // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5, вып. 3. С. 72-81.

5. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112-121.

6. Zhuravlev V.G., Shutov A.V. Derivatives of circle rotations and similarity of orbits // Preprint of Max-Plank institut für mathematik. 2004. № 62.

7. Шутов А.В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004 (в печати).

8. Мануйлов Н.Н., Шутов А.В. Глобальный порядок разбиения окруж-ностию // Молодежь.Образование.Экономика: Сб. науч. ст. участников 5-й Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов, 4 мая 2004 г. Ярославль; Ремдер, 2004. С. 314-320.

УДК 510

А.Н. ГАМОВА

Канторовская теория множеств в свете альтернативной

теории множеств1

Канторовская теория множеств претендовала на то, чтобы служить основанием всей математики в целом. Альтернативная теория множеств, занявшая ее место, должна показать, что она может заменить Канто-ровскую теорию множеств по отношению к математике, гарантировав ей непротиворечивое основание. Теория множеств имеет два главных назначения: давать язык представления математического мышления и служить основанием математики, поскольку имеет целью структуризацию мира в универсуме множеств.

Первая функция теории множеств не вызывает сомнения. Никого не надо убеждать в том, что в современной математике господствуют теоретико-множественные представления (исключение составляют лишь конструктивное и интуиционистское направления в математике).

Вторая функция теории множеств казалось бы пошатнулась после обнаружения в ней противоречий, от которых Канторовская теория множеств так или иначе избавилась, но не избавила себя от появления новых

1 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-06-87028).