Научная статья на тему 'О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы'

О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
87
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АБЕЛЕВА ГРУППА / КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ / РАДИКАЛ ДЖЕКОБСОНА / ABELIAN GROUP / ENDOMORPHISM RING / JACOBSON RADICAL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мисяков Виктор Михайлович

Исследуется действие элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы на самой группе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the Jacobson radical of the endomorphism ring of a torsion abelian groups

Action of elements of the Jacobson radical of the endomorphism ring of an abelian torsion group on the group itself is investigated.

Текст научной работы на тему «О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 4. С. 94-100

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 512.552.12:512.541

О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы

В. М. Мисяков

Томский государственный университет

Аннотация. Исследуется действие элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой периодической группы на самой группе.

Ключевые слова: абелева группа; кольцо эндоморфизмов; радикал Джекобсона.

В монографии [1] сформулирована проблема 17: «Вычислить радикал кольца эндоморфизмов р-группы (сепарабельной р-группы)». Здесь под радикалом кольца эндоморфизмов р-группы (сепарабельной р-группы) понимается радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов данной группы, а под его вычислением подразумевается описание его элементов в терминах их действия на группе. В работах [10], [9], [5] и [6] описываются элементы из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в терминах их действия на периодически полных р-группах, на ^-сепарабельных р -группах, на тотально проективных р -группах и на достаточно проективных р -группах соответственно. Обзор этих результатов можно найти, например, в [1]. В данной статье эта задача рассматривается для сепарабельной р-группы и делимой периодической группы. Для сепарабельной р-группы, в частности, получено некоторое решение проблемы 17 [1].

Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми. Все понятия, которые не поясняются, являются стандартными, их можно найти, например, в монографиях [1], [2] или [3].

Введем некоторые обозначения: Е(А) — кольцо эндоморфизмов группы А; АпЬ(А) — группа автоморфизмов группы А; .](Е(А)) — радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы А; о(а) — порядок элемента а; ТР(А) — р-компонента периодической части группы А; А[п] = {а € А | па = 0} — подмножество элементов группы А; Р(А) — множество всех простых чисел р таких, что Тр(А) = 0; Ьр(а), Ьр(а) — высота и обобщённая р-высота элемента а.

Напомним некоторые понятия. Произвольная группа A называется сепарабельной, если любую её конечную подсистему (ai, ..., an} можно вложить в прямое слагаемое S группы A, являющееся прямой суммой групп ранга 1.

Далее, для всякого порядкового числа а под подгруппой p°G[p] группы G подразумевается подгруппа p°G П G[p].

Следующее свойство некоторых подгрупп будем использовать в дальнейшем.

Замечание 1. Для всякого натурального числа m, порядкового числа а и простого числа p подгруппы mG, G[m], p°G и p°G[p] являются вполне характеристическими в группе G.

Ниже показывается, что лемма 13.1 [10], доказанная Пирсом для сепарабельных p-групп, будет справедлива и в более общем случае.

Предложение 1. Пусть G — редуцированная р -группа и а £ E(G). Для того, чтобы а £ Aut(G) необходимо и достаточно выполнение равенств keraQG[p] =0 и а(рстG[p]) = p°G[p] для любого порядкового числа а.

Доказательство. Поскольку необходимость очевидна, то докажем достаточность. Если а(х) =0 и o(x) = pk, то o(pk-1x) = p и a(pk-1x) = pk-1(a(x)) = 0. Таким образом, pk-1x £ keraP|G[p] = 0, что противоречит порядку элемента х. Следовательно, ker а = 0. Покажем, что а — сюръективное отображение. Рассмотрим произвольное y £ G, где o(y) = pk, k £ N. Доказательство проведём индукцией по k. Пусть k = 1 и hp(y) = а, тогда из равенства а^°G[p]) = p°G[p] следует существование х £ p0G[p] такого, что а(х) = y. Пусть для любого l £ N такого, что 1 < l < k — 1, утверждение справедливо. Пусть l = k и рассмотрим элемент pk-1y, принадлежащий p0G[p] для некоторого порядкового числа а > k — 1. Тогда из равенства а^°G[p]) = p0G[p] следует существование x1 £ p0G[p] такого, что а(х1) = pk-1y. Так как а > k — 1, то p°G[p] С p°G С pk-1G. Поэтому, существует х £ G такой, что х1 = pk-1x. Тогда pk-1y = а(х1) = аpk-1x и pk-1 (y — ах) = 0. Следовательно, o(y — ах) < pk-1, и, по предположению индукции, существует z £ G такой, что y — ах = аз, то есть y = а(х + z) £ im а. Таким образом, im а = G и а £ Aut(G). □

Далее под радикалом Джекобсона J(E(G)) кольца эндоморфизмов E(G) будем понимать следующую его характеризацию: J(E(G)) = (а £ e(g) | Vв £ E(G), (1 — ав) £ Aut(G)} [10, гл. 4, теорема 15.3].

Пирс в [10] для редуцированной p -группы G без элементов бесконечной p-высоты (то есть для сепарабельной p -группы) вводит идеал H(G) = (а £ E(G) | Vх £ G[p], hp(x) < те ^ hp(x) < Л,р(ах)}. Здесь

Ьр(х) < те означает, что Ьр(х) = к для некоторого неотрицательного целого числа к.

Пусть С — редуцированная р -группа. Введём по аналогии с идеалом Н(С) идеал Н*(С) = {а € Е(С) | V0 = х € С[р] ^ Ьр(х) < Ьр(ах)}.

В следующем утверждении рассматривается более общий случай, чем в [1, предложение 20.2].

Лемма 1. Пусть С — редуцированная р -группа, тогда 3(Е(С)) С Н *(С).

Доказательство. Допустим противное, то есть пусть существуют а € 3(Е(С)) и 0 = х € С[р] такие, что Ьр(х) = Ьр(а(х)) = ст. Если ст — конечное порядковое число, то, как вытекает из доказательства предложения 20.2 [1], получаем противоречие с выбором элемента х. Пусть ст — бесконечное порядковое число. Представим группу С в виде: С =< Ь > ф В. Пусть а €< Ь >, Ь*(а) = к и о(а) = р. Тогда Ь*(а(х) + а) = Ь*(х + а) = к и о(а(х) + а) = о(х + а) = р. Следовательно, существуют разложения С =< с > ф С =< ^ ^ ® где а(х) + а €< с > и х + а €< d > . Проводя аналогичные рассуждения как выше, находим эндоморфизм ^ € Е(С) такой, что ^ :< с >^< d >, причём <^(а(х) + а) = х + а и ^С = 0. Тогда (1-<^а)(х) = ^>(а)—а. Представим элемент а в виде следующих разложений: а = пс+и = где пс €< с >, и € С, €< d >

и V € ^. Следовательно, имеем (1 — <^а)(х) = ^>(пс + и) — (md + V) = (^>(пс) — md) + (—V), где <^(пс) — md €< с > и (—V) € ^. Так как ^>(пс) — €< с >, то Ьр(<^(пс) — md) = 8 — конечное порядковое

число. Тогда Ь*((1 — ^>а)(х)) = тт{Ьр(<^(пс) — md), Ьр(—V)} < 8. Таким образом, эндоморфизм (1 — <^а) группы С понизил высоту элемента х, что приводит к противоречию. □

Приведём лемму 14.5 [10], доказанную Пирсом.

Лемма 14.5. Пусть С — сепарабельная р-группа. Равенство 3(Е(С)) = Н(С) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (*):

(*) если х € С[р], а € Н(С) и уп = х + а(х) + ... + ап-1(х), то существует у € С такой, что Ьр(у — уп) ^ те при п ^ те.

Последовательность {уга}пем, введённая Пирсом в данной лемме, как будет показано ниже, играет существенную роль при описании элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной р-группы.

Пусть С — сепарабельная р-группа и £р(С) = {а € Е(С) | Vx € С[р], Vв € Е(С) и уп = х + (ав)(х) + ... + (ав)п-1(х), п € Ж, последовательность {уга}гае^ сходится}. Сходимость последовательности {уп}пем рассматривается здесь в р-адической топологии группы С.

Напомним, что последовательность {$г}гем элементов группы С сходится к пределу д € С в р-адической топологии группы С, если для

любого n £ N существует k £ N такое, что g — gi £ pnG как только i > k.

Докажем один из основных результатов данной работы.

Теорема. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной p-группы G имеет вид J(E(G)) = Sp(G) П H(G).

Доказательство. Покажем, что J(E(G)) С Sp(G) П H(G). Поскольку J(E(G)) С H(G) (см. лемма 1), то осталось показать, что J(E(G)) С Sp(G). Рассмотрим произвольное а £ J(E(G)), тогда (1 — ав) £ Aut(G) для любого в £ E(G). Следовательно, для любого х £ G[p] найдётся y £ G[p] такой, что (1 — ав)(у) = х. Пусть yn = х + (ав)(х) + .. . + (ав)п-1(х) для любого n £ N, тогда yn = х + (ав)(х) +... + (ав)п-1 (х) = (1 + ав +

... + (ав^-1)^) = (1 + ав + ... + (ав^-1)^ — ав)(y) = (1 — (ав )n)(y).

Покажем, что y = lim yn. Рассмотрим произвольное n £ N и k =

n—

n + 1 покажем, что y — yi £ pnG для любого i > k. Действительно, y — yi = (ав)i(y). Так как ав £ H(G), то Л,р((ав)i(y)) > i > k > n. Следовательно, y — yi = (ав)Чу) £ pnG, то есть y = lim yn.

n—^

Докажем справедливость обратного включения. Пусть а £ Sp(G) П H(G). Согласно определению радикала Джекобсона кольца E(G) и предложению 1 достаточно показать, что для любого в £ E(G) выполняется: 1) ker(1 — ав) П G[p] = 0; 2) (1 — ав^^И = pnG[p] для любого n £ N. Покажем, что выполняется условие 1). Допустим противное, т. е. пусть существует 0 = х £ ker(1 — ав) П G[p]. Тогда (1 — ав)(х) =0 и, следовательно, Л,р((ав)(х)) = hp(x). Последнее равенство противоречит тому, что ав £ H (G).

Проверим выполнение равенства 2). Пусть х £ pkG[p]. Так как а £ Sp(G), то последовательность (yn}n^N сходится, где yn = х + (ав)(х) + ... + (ав^-1^). Так как х £ pkG[p] и pkG[p] — вполне характеристическая подгруппа, то yn £ pkG[p] для любого n £ N. Пусть y = lim yn, тогда существует t £ N такое, что y — yn £ pkG[p] как только

n—^

n > t. Следовательно, y £ pkG[p]. Тогда имеем hp((1 — (ав))(у) — x) = hp(((1 — (ав))^) — x) + (1 — (ав))(у — yn)) = hp (—(ав )n(x) + (1 — (ав))(у — yn)) > min(hp((ав)n(x)), hp(y — yn)}. Здесь учитывалось то, что y — yn £ pkG[p] (то есть y — yn £ G[p]) и ав £ H(G), тогда hp(1 — (ав))(y — yn)) > min(hp(y — yn), (ав)(y — Уп)} = hp(y — yn). Так как ^((ав^х)) и hp(y — yn) стремятся к те при n ^ те, то hp((1 — (ав))(у) — х) = те. Следовательно, (1 — (ав))(у) — х = 0 поскольку G — сепарабельная p-группа. Таким образом, х = (1 — ав)у и справедливо равенство (1 — ав^G[p] = pkG[p] для любых k £ N и в £ E(G). Следовательно, (1 — ав) £ Aut(G) для любого в £ E(G), то есть а £ J(E(G)). □

Из теоремы следует, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной р-группы С в точности совпадает с множеством всех элементов а € Н(С), для которых выполняется следующее условие: для любых х € С[р] и в € Е(С) последовательность {уга}гае^ сходится в группе С, где уп = х + (ав)(х) + ... + (ав)п-1(х). Это условие будем называть условием Пирса. Заметим также, что существуют сепарабельные р-группы С, в которых множество всех элементов а € Н(С), удовлетворяющих условию Пирса, не совпадает с Н(С). Например, если С — неограниченная группа, являющаяся прямой суммой циклических р-групп [1, следствие 20.6], то есть в этом случае имеем (5Р(С)П Н(С)) С н(С).

Следующее утверждение показывает, что лемма 14.5 [10] является следствием теоремы.

Следствие 1. Для сепарабельной р-группы С следующие условия эквивалентны:

1) 3(Е(С)) = Н(С); -

2) если х € С[р], а € Н(С) и уп = х + а(х) + ... + ап 1(х), то существует у € С такой, что Ь(у — уп) ^ те при п ^ те;

3) Н(С) С (С).

Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно следует из [10, лемма 14.5]. Эквивалентность условий 1) и 3) вытекает из теоремы. □

Доказательство следующего утверждения аналогично доказательству предложения 1, но для полноты изложения приведём его.

Лемма 2. Пусть С — делимая р -группа и а € Е(С). Для того, чтобы а € Аи£(С) необходимо и достаточно выполнения равенств кег а П С[р] =0 и а(С[р]) = С[р].

Доказательство. Необходимость. Первое равенство получим из определения автоморфизма группы С. Включение а(С[р]) С С[р] следует из замечания 1. Пусть х € С[р]. Так как а € Аи^С), то х = а(а-1х). Поскольку а-1х € С[р] (см. замечание 1), то х € а(С[р]).

Докажем достаточность. Если а(х) =0 и о(х) = рк, то о(рк-1х) = р и а(рк-1х) = 0. Тогда рк-1х € кег а^|С[р] = 0, что противоречит порядку элемента х. Следовательно, кег а = 0. Покажем, что а — сюръективное отображение. Рассмотрим произвольное у € С, где о(у) = рк, к € N. Доказательство проведём индукцией по к. Пусть к = 1, тогда из равенства а(С[р]) = С[р] следует существование х € С[р] такого, что а(х) = у. Пусть для любого I € N такого, что 1 < I < к — 1, утверждение справедливо. Пусть I = к и рассмотрим элемент рк-1у, принадлежащий С[р]. Тогда из равенства а(С[р]) = С[р] следует существование х1 € С[р] такого, что а(х1) = рк-1у. Так как С — делимая р -группа, то

С = рк-1С. Следовательно, существует х € С такой, что х1 = рк-1х. Тогда рк-1у = а(х1) = арк-1х и рк-1(у — ах) = 0. Следовательно,

о(у — ах) < рк-1, и, по предположению индукции, существует г € С

такой, что у — ах = аг, то есть у = а(х + г) € та. Таким образом,

т а = С и а € Аи^С). □

Замечание 2. Если С — делимая р-группа, то 3(Е(С)) = рЕ(С) [7, лемма 2.2].

Пусть С — делимая р -группа. Рассмотрим идеал в кольце эндоморфизмов этой группы Ьр(С) = {а € Е(С) | С[р] С кега}.

Предложение 2. Пусть С — делимая р-группа, тогда 3(Е(С)) =

¿Р(С).

Доказательство. Покажем, что 3(Е(С)) С Ьр(С). Пусть а € 3(Е(С)) и допустим противное, то есть пусть а € ¿р(С). Последнее означает, что существует 0 = х € С[р] \ кег а. Тогда а(х) = (ра1)(х) = а1(рх) = 0 и, следовательно, х € кег а, что противоречит выбору элемента х.

Покажем, что 3(Е(С)) 5 ¿р(С). Для этого необходимо доказать, что (1 — ав) € Аи^С) для произвольных а € Ьр(С) и в € Е(С). Согласно лемме 2 покажем 1): кег(1 — ав) П С[р] = 0. Рассмотрим произвольный элемент х € кег(1—ав) П С[р], тогда (1—ав)(х) = 0. Следовательно, х = (ав)(х) = а(в(х)) = 0, поскольку в(х) € С[р] С кег а. Покажем 2): (1 — ав)(С[р]) = С[р]. Поскольку (1—ав)(С[р]) С С[р], то для произвольного у € С[р] имеем (1 — ав )(у) = у — а(в (у)) = у (так как в (у) € С[р] С кег а). □

Заметим также, что некоторое описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов делимой р-группы бесконечного ранга можно найти в работе [8].

Замечание 3. Пусть С = ® Тр(С) — периодическая группа. Тогда

р€Р (С)

Е(С)= П Е(Тр(С)) и 3(Е(С))= П 3(Е(Тр(С))).

р€Р(С) р€Р(С)

Доказательство. Следует из [3, §106, упр. 4(а)] и [4, часть 4, §15, упр.

4]. □

Следствие 2. Пусть С — делимая периодическая группа, тогда

3(Е(С))= П ^р(Тр(С)).

р€Р (С)

Доказательство. Следует из замечания 3 и предложения 2. □

Список литературы

1. Крылов П. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов / П. А. Крылов, А. В. Михалёв, А. А. Туганбаев. - Томск : ТГУ, 2002. - 464 с.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1974. - Т. 1. -336 с.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1977. - Т. 2. -415 с.

4. Anderson F. W. Rings and categories of modules / F. W. Anderson, K. R. Fuller.

- N. Y. : Springer-Verlag, 1992. - P. 380.

5. Hausen J. The Jacobson radical of some endomorphism rings / J. Hausen // Lecture Notes in Math. - 1977. - Vol. 616. - P. 332-336.

6. Hausen J. Ideals and radicals of some endomorphism rings / J. Hausen, J. A. Johnson // Pacific J. Math. - 1978. - Vol. 74, N 2. - P. 365-372.

7. Hausen J. Determining Abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings / J. Hausen, J. A. Johnson // J. Algebra. - 1995. - Vol. 174. - P. 217-224.

8. Haimo F. Endomorphism radicals which characterize some divisible groups / F. Haimo // Ann. Unev. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. - 1967. - Vol. 10. - P. 25-29.

9. Liebert W. The Jacobson radical of some endomorphism rings / W. Liebert // J.Reine Angew. Math. - 1973. - N 262/263. - P. 166-170.

10. Pierce R. S. Homomorphisms of primary Abelian groups / R. S. Pierce // Topics

in Abelian groups (New Mexico State Univ. 1962). Scott. Foresman. Chicago. IL.

- 1963. - P. 215-310.

V. M. Misyakov

On the Jacobson radical of the endomorphism ring of a torsion abelian groups

Abstract. Action of elements of the Jacobson radical of the endomorphism ring of an abelian torsion group on the group itself is investigated.

Keywords: abelian group; endomorphism ring; Jacobson radical

Мисяков Виктор Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36 тел.: (3822)460369 (mvm@mail.tsu.ru)

Misyakov Viktor, Tomsk State University, 36 Lenin Prospekt, Tomsk, 634050 associate professor, Phone: (3822)460369 (mvm@mail.tsu.ru)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.