CC BY
38
Секция 4. Математика
Now there is key fact of evidence. Will prove a hypothesis of Legendre on the contrary. Let on the interval (n2, (n +1)) there is no primes. Hence, there is an inequality
Pd < n2 <(n +1)2 < pd+1. (3)
The number of all the numbers equal to 2n on the (n2, (n +1) ^.Therefore, the number of primes N on the theory of probability is
N (, (n +l) )= 2nj[n(l-(1/Pk))) + (/T )(4)
Since numerically conjecture of Legendre confirmed to n < 1010 then taking great n, you can ignore the second summand in the brace (4). Next we transform a(d) = П(-(!/Pk)).Since In(co(d)) = £n(1 -(1/pk)), we can use the following system of ratios
ln
\
1 --1
P J
\
f i Y
=-S 7
>-!
k j
k j
>- - .(5)
Pk-1 Pk
Using asymptotic equality of Legendre-Chebyshev type[5]
d i
Z“ = Ы(Сп ln (pd )) , (6)
pk
we find the number of primes is determined on the interval by the inequalities of the Legendre
(7)
By the condition the inequality (3) have -<Jpd < n, thus, inequality (6) can be strengthened
N((n +1)'))>)((,(n +1)’))>. (8)
With an increase of n and, consequently, increase of pd the right side of the inequality is a monotonically increasing, i. e. number of primes on the interval (pd, pd+1) seeks to infinity by the rule of L’Hopital. This contradiction proves assumption Legendre on the numeric axis.
The work reported at 8 All-Union conference “Mathematics and Mathematical Modeling” (Sarov, April, 2014) and 19 seminar ofyoung scientists in Nizhniy Novgorod (Nizhny Novgorod, May, 2014). The authors would like to thank prof., doctor ofphysico-mathematical sciences, head of RFYC-VNIIEF Y. N. Deryugina for discussion and support.
References:
1. Joaquin Navarro. Elusive ideas and timeless theorems. World ofmathematics, vol. 25, p. 58, Moscow De Fgostini, 2014.
2. Sizii S. V. Lectures on number theory, Moskow, 2007.
3. Dicson L. (E). History of the Theory of Numbers, v. II, CPC, NewYork, 1971.
4. Druzhinin VV, NTVP, 2014, №. 1, p. 22.
5. Drushinin V. V., Lazarev A. A., Sirotkina, A. G. Life Science Journal, 11, 2014 (10s), p. 346.
6. Druzhinin V. V., Lazarev A. A. NTVP, 2014, № 4, p. 21.
7. Druzhinin V. V. NTVP, 2014, №. 3, p. 14.
Shirokov Lev Vasilievich, Arzamas branch of the Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod (UNN), candidate ofphysico-mathematical Sciences, associate Professor
E-mail: Shirokov1954@mail.ru
On radial spaces
Abstract: The article considers the class of radial space. We study the properties of the radial spaces associated with topological products.
Keywords: topological space, continuous mapping, compact, radial space, topological product.
Широков Лев Васильевич, Арзамасский филиал ННГУ им. Н. И. Лобачевского
кандидат физико-математических наук, доцент E-mail: Shirokov1954@mail.ru
О радиальных пространствах
Аннотация: В статье рассматривается класс радиальных пространств. Изучаются свойства радиальных пространств, связанные с топологическими произведениями.
19
Section 4. Mathematics
Ключевые слова: топологическое пространство, непрерывное отображение, компакт, радиальное пространство, топологическое произведение.
Результаты данной статьи тесно связаны с работами автора [3 - 7 ] .Компакт — компактное хаусдорфо-во пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными.
Пусть S — семейство подмножеств топологического пространства X. Семейство S называется c -сетью в точке х е X, если выполняются следующие условия: а) х е П{{ • P е б) для каждой окрестности Ох
точки х в пространстве X найдется множество P е S такое, что выполняется P с Ох; в) S линейно упорядочено по включению. Положим [А] = { x е X : существует c -сеть S в х такая, что P п А Ф 0 для любого P е S }. Если т — кардинал, то положим: expTA = {: B с A и \В\ <т|и [A]=Uj[B { : B е ехрт А}.
Следующее понятие ввел Х. Херрлих.
Определение. Пространство X называется радиальным в точке х е X, если для всякого А с X такого, что х е [А] непременно x е [А ].
Пространство называется радиальным, если оно радиально в каждой точке.
В данной статье изучаются свойства радиальных пространств, являющихся непрерывными образами всюду плотных подпространств топологических произведений. Определение всех используемых понятий и обозначений можно найти в монографии Р. Энгель-кинга [8].
Архангельским А. В. [2] доказано, что если радиальный компакт является непрерывным образом топологического произведения компактов веса < т, где т>&0, то его вес не превосходит т. Следующее утверждение существенно усиливает этот результат.
Теорема 1. Пусть т>а>0, X = П{а :ае А} — топологическое произведение пространств Ха веса <т для любого аеА, S — всюду плотное подпространство X и f: S ^ Y непрерывное отображение S на радиальный компакт Y. Тогда вес Y <т .
Доказательство. Так как c(X) < т, то c(S) < т и, следовательно, c(Y) < т . Тогда из теоремы Архангельского А. В. [l] следует, что ffi(Y) < 2. Отсюда, в силу результатов Архангельского А. В. [1],вытекает существование множество А с А мощности < 2 и непрерывное отображение f: prA,(S) ^ Y пространства prA,(S) на компакт Y. Положим S' = prA,(S). Для каждого а<Е А’ рассмотрим компактное хаусдорфово расширение ЬХа пространства Xa такое, что w (bXa) < т и положим X' = П {X а: а е А'} .Через g: ßSX' обозначим стандартное отображение
стоун-чеховской компактификации ßS' пространства S' на X'. Далее, через р обозначим непрерывное продолжение отображения f на ßS'. Выбрав произвольную точку у еY положим Fy = g)) и пусть О — произвольное элементарное открытое подмножество X' такое, что О nFy ф 0. По теореме Хьюита -Марчевского-Пондичери [8] выполняется d (б)<т , то есть, существует множество M = {xt: t е T} мощности < т, всюду плотное в О . Положим
ET = {Х = ЮФ] : { А' : Ха * Ха }}
для каждого t еТ . Обозначим через О1 множество [g"(в)]. S и через О2 — множество (р(вх). Далее, для каждого tеТ обозначим через Ff множество g-1 (Х ) n 61 и через F2 — множество <р(у ). Ясно, что [if ] = в1 и, следовательно, [if ]у = в2. Так как для любого t еТ и любого множества Ф с Ff мощности < т выполняется [Ф] с F2 и c(F2t) < т, то F2 =в2 для любого t еТ [2], то есть, Fy nX ^ 0 для любого t еТ. Для каждого t еТ выберем точку z‘ е Fy n X и положим
A ={ае A:р^(2) Фр^(2)}.
Тогда мощность множества
А* = (J{{ : t zT}UAe
не превосходит т, где АО — конечное подмножество А' такое, что множество [0]X, не зависит от множества А' \ Ав. Так как множество pr .(M) всюду плотно в Em-, то
pr * F n[0l ) = X' *,
Т A \A V У L ix J A \A >
то есть множество Fy n PL является накрытием грани X'^a пространства X' с основанием А мощности < т. Тогда из результатов автора вытекает существование слоя Hiv) с основанием v мощности < т , лежащего в Fy п [0]х,. Так как элементарное открытое множество О было выбрано произвольно, то существует множество Fy с Fy, являющееся объединением множеств типа GSt в X' такое, что [if] = Fy. Тогда множество Fy имеет тип GSt в X'. Пусть п — система открытых подмножеств пространства X' такая, что
Fy =П{{ :U еп}и Щ-Т .
Тогда
y = C\{(Pt(s ~1(U )):U e^},
а так как в компактах псевдохарактер точек совпадает с их характером, то х(y,Y) < т . Так как точка у была выбрана произвольным образом, то выполняется х (Y) < т . Следовательно, rn(Y) < т. Теорема доказана.
20
Секция 4. Математика
Замечание. Без существенных изменений доказанная теорема переносится на непрерывные образы всюду плотных подпространств пределов обратных спектров топологических пространств с соответствующей модификацией ее условий. Идеи приведенных рассуждений позволяют доказать следующие утверждения, представляющие самостоятельный интерес.
Теорема 2. Пусть f: S ^ X — непрерывное отображение всюду плотного подпространства S обобщенного канторова дисконтинуума DT на компакт X, т' — несчетный регулярный кардинал, причем
S = U{{p * р}}
где для любого p е P множество Hx г) является слоем в DT с основанием vp мощности <т', и для любого p е P существует точка x е X такая, что множество f-1 (x) содержит слой H'^p. Тогда вес компакта X <Т.
Следующее понятие введено Архангельским А. В.
Определение. Топологическое пространство X называется а -растянутым, если существует на X линейное упорядочение ” < ” такое, что всякое множество Xx = {y eY: y < x}, x е X замкнуто в X.
Определение. Компакт X называется q-адическим, если X является образом некоторого подмножества обобщенного канторова дисконтинуума DT относительно d -регулярного отображения [4], [9].
Теорема 3. q -адическим компакт X, являющийся а -растянутым пространством, метризуем.
Теорема 4. Всякий q -адическим компакт X, вес которого т нельзя представить в виде суммы счетного совокупности меньших кардиналов, непрерывно отображается на тихоновский куб 1т веса т.
Теорема 5 (CH). Псевдорадиальный q -адиче-ским компакт X метризуем.
Замечание. CH — континуум-гипотеза.
Список литературы:
1. Архангельский А. В. Об отображениях всюду плотных подпространств топологических произведе-ний.//Докл. АН СССР. 1971. т. 197. № 4. С. 750-753.
2. Архангельский А. В. О некоторых свойствах радиальных пространств.//Мат. Заметки. 1980. т. 27. № 1. С. 95-104.
3. Широков Л. В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и N -метризуемых бикомпактов.//Докл. АН СССР. 1982. т. 263. № 5. С. 1073-1077.
4. Широков Л. В. О АБ(и)-бикомпактах.//Известия РАН. 1992. т. 56. № 6. С. 1316-1327.
5. Широков Л. В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности//Проблемы современной науки, Центр научного знания «ЛОГОС». 2013. выпуск 9. С. 3-9.
6. Широков Л. В. О AE(n) -бикомпактах и и-мягких отображениях.//Сиб. матем. журн. 1992. т. 33. № 2. С. 151-156.
7. Широков Л. В. Теория аналитических функций. Аспекты приложений/Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2004. -188 с.
8. Engelking R. General Topology. - Warszawa: PWN, 1977. - 626 p.
9. Shirokov L. V. On some forms of embeddings of topological spaces.//Russian Mathematical Surveys 42, (2), 297-298.
21
