О простых над конечными множествами и предельных моделях теории аддитивной группы целых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 34-36.

УДК 510.67 Р.А. Попков

О ПРОСТЫХ НАД КОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ И ПРЕДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ АДДИТИВНОЙ ГРУППЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ*

Рассматриваются счётные модели аддитивной группы целых чисел. С использованием моделей, предложенных Болдуином, Блассом, Глассом и Кикером, показывается, что у данной теории континуум попарно неизоморфных простых над конечными множествами счётных моделей. На основе этих моделей строятся элементарные цепи простых моделей над конечными множествами, что приводит к построению континуума попарно неизоморфных предельных моделей.

Ключевые слова: простая модель, предельная модель, аддитивная группа целых чисел.

Введение и основные определения

Определение 1. Модель М теории Т называется простой моделью над конечным множеством А, если любая константно содержащая А модель N теории Т содержит элементарную подмодель М', так же константно содержащую А и изоморфную модели М .

Определение 2. Модель М теории Т называется простой моделью, если она является простой над пустым множеством.

Определение 3. Множество {Ап єю} алгебраических систем называется элементарной цепью, если Ап ■< Ап+1 для любого п єю .

Определение 4. Модель М теории Т называется предельной моделью, если она является объединением элементарной цепи простых над конечными множествами моделей и не изоморфна никакой простой над конечным множеством модели.

Определение 5. Модель М теории Т называется минимальной моделью, если она изоморфна любой своей элементарной подмодели.

В монографии [1] доказано, что для малой теории (т. е. счётной полной теории, имеющей счётное число типов) любая счётная модель является простой над некоторым кортежем или предельной, и поставлена проблема описания предпорядков Рудин - Кейслера и функций распределения предельных моделей для различных классов алгебраических систем. В статье [2] рассматриваются немалые теории (т. е. полные теории, имеющие континуальное число типов) в общем случае и показывается, что для таких теорий могут существовать счётные модели, не являющиеся ни простыми над конечными множествами, ни предельными. В данной статье было введено понятие тройки распределения, т. е. набора

ст3 = (Р(Т), ЦТ), КРЬ(Т)) , где Р(Т), ЦТ), ОТЦТ) - мощности множеств типов изоморфизма простых над кортежами, предельных и остальных счётных моделей теории Т соответственно. Для теорий Т с континуумом типов выполняется I(Т, ю) = 2ю , и, значит, хотя бы одно из значений Р(Т) , Ц(Т), КРЬ(Т) равно 2ю . Кроме того, была доказана следующая теорема.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, государственное задание № 2014/138, проект 1052.

© Р.А. Попков, 2014

О простых над конечными множествами и предельных моделях..

35

Теорема 1 [2]. В предположении континуум-гипотезы для любой немалой теории Т тройка ст3 принимает одно из следующих значений:

1) (2“,2“, Я) , где Яеши{“,2“} ;

2) (0,0,2“);

3) (Я1, Я2,2“) , где Я1 > 1,

Я1, Я2ев и {“, 2“} .

Все указанные значения имеют реализации в классе немалых теорий.

Интересным является вопрос о том, какие возможны тройки распределения для различных естественных классов немалых теорий. Одной из таких теорий является

теория ТЬ ((, +, 0) аддитивной группы

целых чисел. В настоящей работе выясняются мощности множеств типов изоморфизма простых над конечными множества и предельных моделей данной теории.

Построение простых и предельных моделей

Описание типов элементов группы

(Ж, +, 0^ возможно с помощью разложения

их на простые множители. Тип единицы опишем как тип элемента, который ни на что не делится:

—Зх1 (х + х1 «1) , —Зх2 (х2 + х2 + х2 «1) ,

..., -Зхя (хя+1 + ... + хя+1 «1),...

Так как каждое конечное подмножество данного множества формул выполнимо (действительно, всегда можно найти число, которое не делится на конечное число каких-то чисел), то по теореме компактности выполнимо и всё данное множество формул. Противоположный к 1 элемент -1 имеет тот же тип, что и 1: 1р(1) = 1р(-1). При этом элемент -1 определяется элементом 1 с помощью формулы 1 + х « 0 .

Как известно, группа {Ь, +, 0^ является

простой моделью над {1}. Действительно, каждый положительный элемент а определяется как сумма соответствующего числа единиц, каждый отрицательный элемент представляется в виде суммы значений -1, а любая константа и, в частности, 0, попадая в определимое замыкание пустого множества, принадлежит определимому замыканию единицы.

Типы простых чисел р1, р2,..., р,... описываются формулами, означающими делимость каждого р{ лишь на ±1 и на ± р{.

Тогда типы д , описывающие элементы

группы (Ж, +, 0^ , изолируются (над 1) множествами формул, «говорящих» о

(не)делимости этих элементов на степени простых чисел:

(кар , * X), (- (ка * кЛ ) л (кар, * х)), .. м (- (ку * к2 ) Л • • • Л -(ку * ку-1 ) (куРі * Х)),

(-( ку+1 * к,2 )л • Л-( кр+1 * кр )л

Л-( ку+1 Р г * Х )) , •••,

(- (к у+1 * кг2 ) Л • Л - (ку+і * к ІІ+Ї-1 ) Л Л-(кР+іР, * Х)) .

Аналогично по теореме компактности (так как для каждого конечного і множество формул выполнимо) существуют элементы с бесконечной делимостью (как на бесконечное число различных простых чисел, так и на бесконечные степени одного простого числа, а также комбинации данных вариантов).

Так как количество простых и натуральных чисел счётно, получаем континуальное число типов в теории ТЬ (Ж, +, 0),

т. е. данная теория действительно не является малой.

В работе [3] показано, что рассматриваемая теория не имеет простой модели, и построены следующие модели.

Пусть с - отображение из множества простых чисел во множество целых положительных чисел. Тогда

т

с Ч —: т,Пі п

, и для любого простого р,

,с( р)

не является делителем п

Данные модели является минимальными и попарно неизоморфными. Так как всевозможных отображений с континуум, то существует континуум моделей Q с . Покажем, что данные модели являются простыми над конечными множествами. Рассмотрим произвольный тип д , говорящий о де-

„ст( р,)-1 _^с( р,)-1

лимости элемента на р1 1 , р2 , •••,

с( р. )—1

р. 1 , ... и неделимости на элементы

рС(й) , рС(р2) , ..., рс(р) , ..., где р , р2 , ..., р і , ... - простые числа. Пусть а - реализация типа д . Посмотрим, в реализации каких типов можем попасть с помощью добавления всевозможных линейных комбинаций вида ка * 1х . Если аг - наибольшая степень

простого числа р , на которую делился элемент а , то с помощью линейной комбинации а *агх получаем элемент х, для которого наибольшая степень числа р , на кото-

36

Р. А. Попков

рую делится х, равна аг — 1. С помощью формулы а а * х получаем элементы х, которые уже делятся на аг +1, т. е. с помощью конечных линейных комбинаций из типа д возможно попасть в типы, которые отличаются от д на конечное число степеней простых чисел. Таким образом, реализация в модели какого-либо типа влечёт реализацию счётного числа типов, следовательно, существует континуум попарно неизоморфных простых над конечным множеством моделей. Отметим, что в качестве элемента а можно взять 1. Так как в различных моделях Qс элемент 1 имеет разные типы, то будем элемент 1, относящийся к 0>с, обозначать через 1^ .

Поскольку все модели 0>с являются минимальными, то за счёт данных моделей невозможно построение элементарной цепи, объединение которой является предельной моделью. Как известно [4], прямая сумма А © 0>, где А - абелева группа без кручения, элементарно эквивалентна самой А (так как любая базисная размерность группы Q равна нулю, а базисные размерности прямой суммы абелевых групп равны сумме соответствующих базисных размерностей прямых слагаемых). Рассмотрим модели Q с © Q . Все элементы Qс можно породить с помощью элемента 1^ , а все элементы Q - с помощью элемента 1^ . Таким образом,

любой элемент ё =(ё1,ё2 )є 0>с © 0> определим при помощи главной формулы над парой а =((1^ ,0),(0,1^)) . Следовательно, модель 0>с © Q является простой моделью Ма над кортежем а . Обозначим через 0>с п модель ^с © Оп . Аналогично ^с © ^ , каждая из моделей Qс п является простой моделью Мь над кортежем

Ь =((10с,0,...,0),(0,1о,...,0),...,(0,0,...,1о) ) .

Очевидно, что при п Ф п2 модели 0>с и ^с не являются изоморфными, так как

имеют разную размерность и, кроме того, Q .. n ^ Q .. и+1 • Рассмотрим модель

Q... = U Q. n • Её элементы не выражают-

new

ся с помощью конечных линейных комбинаций с использованием элементов конечного множества An ={я1. a2. .... an} , n ею , так как для сколь угодно большого n в Q. . можно взять, например, элемент f Л

0.°.--..0. bn+i.b,

V n у

i > n • Таким образом, каждой модели Q. соответствует предельная модель Q. . , сле-

довательно, предельных моделей так же континуум.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для теории T = Th (Z, +. 0^) в тройке распределения cm3 имеет место P(T) = 2ю и L(T) = 2ю .

В заключение отметим открытый вопрос о существовании у теории

Th ((Z. +. 0)) модели, не являющейся ни

простой над конечными множествами, ни предельной, и если она есть, то неизвестно, какова мощность множества типов изоморфизма таких моделей.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Судоплатов С. В. Проблема Лахлана : монография. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. 336 с.

[2] Popkov R. A, Sudoplatov S. V. Distributions of countable models of theories with continuum many types // arXiv:1210.4043v1. 2012. URL: http://arxiv.org/pdf/1210.4043. pdf.

[3] Baldwin J. T., Blass A. R., Glass A. M. W, Kueker D. W. A 'natural' theory without a prime model // Algebra universalis. 1973. Vol. 3. Issue 1. Р. 152-155.

[4] Ершов Ю. Л, Палютин Е. А. Математическая логика : учебное пособие для вузов. М. : Физ-матлит, 2011. 356 с.

, где b Ф 0 для всех