О промежуточных асимптотических режимах в некоторых моделях теории горения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.927.4 MSC2010: 34M35

О ПРОМЕЖУТОЧНЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ В НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ

© С. В. Пикулин

ВЦ ФИЦ ИУ РАН, ул. Вавилова, 40, Москва, 119333, Российская Федерация e-mail: spikulin@gmail.com

On the intermediate asymptotic solutions in some models of the combustion theory.

Pikulin S. V.

Abstract. We consider the travelling wave solutions of a nonlinear parabolic equation of the second order, namely the equation of the Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov type with the heat release function on the right-hand side being analytical. We found a new analytic representation for such a solution or, more accurately, for its inverse function which is represented as a sum of an explicitly calculated summand and an auxiliary function defined on the unit interval. An algorithm for calculating the Taylor coefficients of that function at the right endpoint and at the interior points of the interval is constructed.

We establish a sufficient condition for for the mentioned auxiliary function to be analytical on the entire unit interval including its both endpoints. The obtained criterion for the analyticity allowed us to distinguish a countable dense set of values among the spectrum of the permissible values for the traveling wave velocity (the spectrum being a numerical ray defined by A.Kolmogorov, I.Petrovskii and N.Piskunov) for which the auxiliary function is analytic and consequently the inverse of the traveling wave solution is approximately representable by an explicit formula up to a term uniformly bounded on the unit interval.

There is a result of the analytical theory of the Abel defferential equation. In the proof of the criterion of analyticity we use a kind of Painleve test (or Fuchs - Kovalevskaya - Painleve test) applied to an accessorial equation namely to the Abel equation of the second kind. It became apparent that this equation satisfies the Painleve test when some additional parameter (defined in the text) takes the prescribed values. Moreover the family of solutions passed through the corresponding singular point of the equation consist of analytical functions when the conditions of test gets satisfied.

In the second part of the paper an analytic-numerical method is developed based on the representation described above. The method is applied to the problem of intermediate asymptotic regimes of the thermal combustion of a gas mixture reacting at the initial temperature under the condition of similarity of concentration and temperature fields. Some numerical results of the constructed method are presented.

Keywords: travelling wave solutions, flame propagation, intermediate asymptotics, Kolmogorov -Petrovskii- Piskunov equation, Abel equation of the second kind, Painleve test.

Введение

Процесс горения газовой смеси может быть при определенных условиях приближенно описан (см. [1, с. 202]) следующей задачей Коши для нелинейного параболического уравнения:

du

— - Au(t, x) = F(u(t, x)), (1)

u(t, x) |t=o = uo(x), (2)

где t > 0 — время, x = (x\, x2, x3) — точка пространства R3, A = Of + dff + öf — оператор Лапласа в R3, искомая функция u(t, x) предполагается ограниченной, непрерывной при t > 0, непрерывно дифференцируемой по t и дважды непрерывно дифференцируемой по x при t > 0 и удовлетворяющей уравнению (1) в классическом смысле при t > 0. Непрерывная функция u0(x) в начальном условии (2) принимает значения в диапазоне [0,1]. Заданная функция F (£) в правой части уравнения (1) определена на отрезке £ Е [0,1], принадлежит классу C:([0,1]) и отвечает условиям

F(0) = F(1) = 0, fi := F'(0) > 0, F(£) > 0, £ Е (0,1). (3)

Известно (см. [2]), что при сделанных предположениях решение u(t, x) принимает значения также в диапазоне [0,1] для всех t, x.

Важным свойством уравнения (1) является возможность существования квазистационарных решений типа бегущей плоской волны, то есть имеющих вид

u(t, x) = ^(wt - (x, n)), (4)

где n — единичный вектор, задающий направление движения волны, (, ) — скалярное произведение в R3, скорость ш распространения волны — числовой параметр, подлежащий определению вместе с функцией ^(п) класса C2(R). Подставляя решение u(t, x) в виде (4) с некоторым фиксированным значением ш = const > 0 в уравнение (1), получим относительно ^(п) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

dnf - + F(^(п)) =0, п Е (-го, ^(п) Е (0,1). (5)

Уравнение (5) дополним условием стремления при п ^ функции профиля бегущей волны "0(п) к одному из указанных выше стационарных решений:

lim ^(п) = 0, lim ^(п) = 1. (6)

Задача (1), (2) и ее автомодельный вариант (5), (6) впервые были рассмотрены в связи с некоторыми моделями популяционной динамики в работе [2] при следующем ограничении на функцию Г (£):

а также (независимо) в работе [3] для конкретной функции Г(£) = £ (1 — £). Позднее постановка (1), (2) нашла применение при моделировании процессов горения газовых смесей [1, 4, 5]. В частности, модель изотермического распространения пламени при автокаталитической цепной реакции (см. [1, гл.1, §4]) приводит к задаче (1), (2) при выполненных ограничениях (3), (7). Известно (см. [2]), что в этом случае спектр возможных значений скорости ш бегущей волны заполняет числовой луч

причем для каждого ш из указанного промежутка существует решение задачи (5), (6), единственное с точностью до сдвига п ^ П + const вдоль горизонтальной оси.

Теория распространения ламинарного пламени при тепловом механизме протекания реакции в газовой смеси, реагирующей при начальной температуре (см. [1, гл. IV, § 4], [6]) также приводит к задаче (5), (6) с аналитической эффективной функцией тепловыделения F(£), удовлетворяющей условиям (3); однако условие (7) оказывается при этом нарушенным ввиду того, что F(£) имеет характерный максимум вблизи £ =1 (безразмерной температуры горения). В таком случае спектр возможных скоростей для решения вида (4) также имеет вид луча [шт;п, где

для шт;п, в отличие от формулы (8), справедливо неравенство шт;п > 2 yfO.

Решение задачи (1), (2) типа бегущей волны (4) эффективно описывает протекание моделируемого процесса в некотором объеме реагирующей смеси в тот промежуток времени, когда влияние конкретного вида начальных данных u0(x) уже стерлось, но процесс еще далек от завершения; такой этап протекания процесса называют промежуточным асимптотическим режимом (см. [7]). В работе [8] при анализе процесса горения неравномерно нагретой газовой смеси были рассмотрены различные физически возможные промежуточные асимптотические режимы (т. е. режимы распространения пламени); в частности, были выделены «причинный» (поджигание соседних объемов смеси один от другого) и «спонтанный» (независимое последовательное воспламенение соседних объемов газа) режимы горения. Теория бегущих волн для уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова дает удобную математическую модель для исследования промежуточных асимптотических режимов: минимальная скорость волны ш = шт;п соответствует причинному режиму, другие значения ш > шт;п — спонтанным режимам.

F'(£) <F'(0), £ е (0,1),

В раделе 1 настоящей работы получено новое представление решения задачи (5), (6), точнее обратной к решению функции п("0),"0 Е (0,1), при заданной аналитической функции F(£) с условиями (3) и при заданном значении параметра ш (теорема 1). С помощью модификации теста Фукса—Ковалевской—Пенлеве получено условие аналитичности входящей в это представление вспомогательной функции. Указано счетное плотное на луче [штщ, +го) множество значений скорости бегущей волны, при которых данное условие аналитичности выполнено (теорема 2). Следствием доказанного критерия является тот факт, что в указанном классе случаев обратная к решению функция приближенно представима явной формулой с точностью до слагаемого, равномерно ограниченного на отрезке ^ Е [0,1]. Аналогичные результаты для уравнения (5) с функцией F(£), теряющей аналитичность в точке £ = 0, рассмотрены в работах [9, 10]. В разделе 2 построенный на основе результатов раздела 1 аналитико-численный метод расчета профиля бегущей волны применен к задаче о промежуточных асимптотических режимах теплового горения газовой смеси, реагирующей при начальной температуре.

1. Представление решения типа бегущей плоской волны

Рассмотрим задачу (5), (6), где функция F(£) удовлетворяет условиям (3), является аналитической на отрезке £ Е [0,1] и имеет в окрестности точек £ = 0 и £ =1 следующие разложения:

<х <х

F(£)=: £ fk £k, fi > 0, F(£)=: £ £ gk • (1 - £)k, g > 0. (9)

k=i k=i

Зафиксируем значение ш > o>min, при котором решение ^(п) определено.

Заметим, что решение ^(п) задачи (5), (6) строго возрастает при п Е (-го, +го). В самом деле, из уравнения (5) вытекает, что ^(п) не имеет ни одного локального минимума. Тогда из краевых условий (6) следует, что локальных максимумов у этой функции также нет, таким образом, функция ^(п) монотонна и выполнены равенства

^ > 0, п Е (-го, +го), lim ^ = lim ^ = 0. (10)

ап ап ап

Это позволяет рассматривать корректно определенную (с точностью до аддитивной константы) обратную функцию п = пС0). Отметим, что обе функции ^(п) и п(^) являются монотонно возрастающими в области своего определения.

Теорема 1. Рассмотрим задачу (5), (6) с аналитической функцией F(£) при условиях (3), (9) и при ш > штщ. Пусть y — произвольное положительное число. Для

функции п = пС0), обратной к ее решению ф(п), справедливо следующее представление:

п(ф) = ln ^ .а + Я7 (^) + const, ф е (0,1), (11)

(1 - ф^}

a = Ш + ^ + 4 gl > 0, b = Ш + ^ - 4 fl > 0, (12)

2 gi , 2 fi , 1 ^

где функция HY(z), зависящая от y как от параметра, является аналитической на полуинтервале z е (0,1] и удовлетворяет следующему условию:

HY(z) = o (ln z), z ^ 0. (13)

Коэффициенты hk ряда Тейлора в точке z =1 функции HY (z) = hk (1 — z)k

могут быть выражены через известные величины ш, y, f1,g1,... ,gk с помощью конечного числа арифметических операций.

Доказательство. Введем новую переменную (см., например, [2])

р:= | (14)

для того, чтобы понизить порядок уравнения (5) и привести его к виду уравнения Абеля второго рода (см. [11])

р(ф) ^ — шр(ф) + Г(ф) = 0, ф е (0,1), (15)

аф

свободного от переменной п. Переход к ф как независимой переменной корректен, поскольку соответствия между п и ф является взаимно однозначным ввиду монотонности (10) функции ф(п). Задача (5), (6) с учетом (10) принимает следующий вид:

I = ш— ш' р(ф) >0' ф е (0'1}' (16)

р(0)= р(1) = 0. (17)

Проанализируем фазовый портрет уравнения (16). Условие ш > шт;п означает, что существует единственное (с точностью до сдвига) решение задачи (5), (6). Этому решению соответствует лежащая в полуполосе ф е [0,1],р > 0 интегральная кривая ^ уравнения (16), соединяющая две особые точки этого уравнения — седло А(ф = 1,р = 0) и узел В(ф = 0,р = 0), характеристические полиномы которых равны соответственно РА (Л) = Л2 — ш Л — $1 и Рв(Л) = Л2 — ш Л + /1.

Кривая $ выходит из точки А как сепаратриса седла, величина наклона которой к горизонтальной оси

|(1) = а := " - < 0 (18)

является отрицательным корнем квадратного уравнения Ра (А) = 0.

Обозначим корни квадратного уравнения Рв(А) = 0 следующим образом:

в' := " + ^ " 4 ^ , в := " " ^ " 4 ^ , в' > в> 0. (19)

Кривая $ может входить в точку В с одного из двух направлений: р = вФ или р = в'Ф; покажем, что реализуется только первая возможность р = вф. Для этого рассмотрим зависимость а, в, в', $ от 2 как от параметра. При увеличении 2 от значения 2т;п числа |а|,в уменьшаются, в' растет. При этом в каждой фиксированной точке (ф,р) значение Ор/Оф производной решения, проходящего через эту точку, увеличивается. Следовательно, если 21 < 22 — два допустимых значения параметра 2, то соответствующие им кривые $1 и $2 не пересекаются нигде, кроме точек А и В, причем кривая $2 расположена ниже $1. Таким образом, $2 входит в В в направлении в = в(22) (меньшего по модулю корня характеристического уравнения); тогда это верно и для всех допустимых значений 2.

Введем новые переменные г, д по следующим формулам:

ф =: г1/7, р =: фд(ф), (20)

где 7 > 0 — параметр из условия теоремы. Подставив д(ф) в уравнение (15), получим уравнение

Ф д(Ф) (ф 0 + д(Ф)) - 2 Ф д(Ф) + ^(ф) = 0, (21)

обе части которого можно сократить на ф, поскольку функция

/(Ф) := ^ (22)

Ф

является аналитической на отрезке ф Е [0,1], причем / (0) = /1. Переходя в уравнении (21) к независимой переменной г, получим:

2 ^ + д2(г) - 2д(г) + /(г) = 0. (23)

Из равенств (20), (18) вытекают условия

д(0) = в, д(1) = 0, ^ (1) =а, (24)

аг 7

однозначно определяющие решение уравнения (23). Коэффициенты ряда Тейлора

го

5(т) = £ 5к тк, т = 1 — г (25)

к=1

функции ^(г) в точке г = 1 найдем методом неопределенных коэффициентов из уравнения (23), записанного в следующем виде с учетом условий (24) и разложения (9):

л 2 го

? (т — 1) Т + 52(т) — ш д(т) + £ 9к тк = 0, 51 = — а > 0, (26)

где ряд в последнем слагаемом левой части получается путем раскрытия скобок при подстановке £ = (1 — т)1/т согласно (20) в разложение (9):

го го го / ! \

£ 9к тк = £ $к (1 — (1 — Т)к, 1 — (1 — т= £(—1)3+Ч 1/7) т3

к=1 к=1 3=1 \ Л /

Последовательно вычисляя коэффициенты 51,... , 5к, получим 5к как результат конечного числа арифметических действий над известными величинами

$3^ = 1,...,к.

Выразим решение задачи (5), (6) через функцию ), считая ее известной. Из подстановки (14) найдем с учетом (24) следующее выражение для п(г):

ф ф г г

¿ф Г ¿ф 1 /" ¿г 1^/1 1 7 .

- "тт" +--г:-г

J р(ф) J ф?(ф) 13 ) 7 J вг а (1 — г)

+ 1 I (4---тг~—т ) ¿г = И(г) + -^1пг + 11п(1 — г) + еом^ (27)

7 У а (1 — г)/ в7 а

где

г

1 1 1

И7(г) = у к7 (у) ¿у, Мф= — — + ^ (1 — ^), г е (0,1], (28)

1

что соответствует формулам (11), (12) с показателями а = —1/а и Ь = 1/в.

Осталось исследовать свойства построенной функции И7 (г). Заданная формулой (28) функция к7(г), продолженная аналитически по переменной г в комплексную область, формально имеет в точке г =1 полюс порядка не выше первого. Пользуясь последним из равенств (24), найдем соответствующий вычет

1 1 7 1

Кв8г=1 к(г) = Кв8г=1 -+ ЯеВ^ —.-Т =---= 0;

а (1 — г) «7 а

следовательно, функции к1 (г), И7 (г) голоморфны при г =1.

Из (28), (24) получаем (г) = о (г-1) при г ^ 0, г € К. Это означает, что для любого С > 0 для всех достаточно малых г > 0 справедливо неравенство |Л,7 (г)| < С г-1, из которого интегрированием получаем оценку

г

Н(г)|<у"|%)1 ^<С11п+ С1, г € (0,1) 1

при некотором С1 € К. Из последней формулы и из произвольности С вытекает соотношение (13). Теорема доказана. □

Вспомогательная функция Н7 (г), входящая в представление (11), вообще говоря, имеет особенность в точке г = 0, причем характер поведения функции в окрестности этой точки описывается формулой (13). Однако при некоторых значениях ш и при подходящем выборе параметра 7 эта особая точка может оказаться устранимой. Так, известное частное решение (см. [12]) уравнения Фишера (т. е. решение задачи (5), (6), при ^ (£) = £ (1 — £)) при специальном значении скорости ш = 5/л/б выражается формулой (11) при 7 = 1/2 и Н7(г) = 0. Следующая теорема описывает другие возможные сочетания ш и 7, для которых соответствующая функция Н7 (г) обладает аналитичностью при г = 0.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 допустим, что значение ш в уравнении (5) задано формулой

Т + 2

ш = ВД := (29)

при некотором Y вида

Y е Q \ N, Y > 0. (30)

Тогда в представлении (11) при функция HY(z) является аналитической на всем отрезке z е [0,1] при выполнении условий 7-1 е N и (7-1 Y) е N.

Доказательство. Из конструкции (28) функции HY(z) вытекает, что ее аналитичность при z = 0 равносильна аналитичности решения q(z) уравнения (23) в той же точке z = 0. Для того, чтобы указанное условие выполнялось, необходимо, чтобы последнее слагаемое левой части уравнения (23) было представлено в окрестности z = 0 сходящимся рядом по целым неотрицательным степеням z:

^ k/ k - f /7fc+i, k = 0 (mod 7-1),

/ (z) = £ /fc+i zk/Y =: £ Д zk, /fc := Y f1 , , 0 ( d -i) (31)

t=0 I 0 k ^ 0 (mod Y ),

где включение 7 1 Е N будем считать выполненным по условию теоремы. Подставим предполагаемое разложение ) в ряд Тейлора

оо

Ьк гк, Ьо = в (32)

к=0

и ряд (31) в уравнение (23); приравнивая нулю получаемые коэффициенты при гк в левой части уравнения, найдем

1 к-1

((7к + 2) в - ш) Ьк + 2 (7к + 2) ^ Ь, Ьк- + /к = 0, к > 1. (33)

3 = 1

Если коэффициент при Ьк в левой части равенств (33) не обращается в нуль ни при каком к > 1, то из этих равенств можно последовательно найти однозначным образом определенные коэффициенты Ьк. Если при этом ряд (32) окажется сходящимся, тем самым будет определено единственное аналитическое решение уравнения (23), проходящее через точку г = 0,д = в; однако мало надежды, что это решение удовлетворит условию д(1) = 0 — второму из условий (24).

Допустим, что при некотором к = т коэффициент при Ьк в левой части равенств (33) обращается в нуль, а само это равенство превращается в тождество:

(7m + 2) в - ш = 0, (34)

1 m— 1

2 (7m + 2) bj bm—j + fm = 0; (35)

j=1

тогда формулы (33) однозначно определяют коэффициенты bk при 1 < k < m, не накладывают никаких ограничений на bm и, после произвольного выбора значения bm, однозначно определяют bk при k > m (в зависимости от выбранного bm). Таким образом, получаем семейство последовательностей {bk, k = 1,...}, параметризованное величиной bm £ R.

Выразим ш из формулы (34), учитывая равенства (19) и полагая Y = 7 m. Подставляя ш = в + в' в (34), найдем в' = (Y + 1) в. Затем из (34) и равенства вв' = f1 получаем

2 (Y + 2)2в2в' _ (Y + 2)2вЛ _ (Y + 2)2 Ш= в = (Y + 1) в = ^ + Г/ь (36)

что соответствует (29).

Из условия (30) теоремы следует выполнение равенства (35), поскольку при этом m ф 0 (mod 7—1) и fm = 0 в силу (31) и, кроме того, по крайней мере одно из чисел bj, bm—j равно нулю при каждом j < m, т. к. bk = 0 при k < m, k ф 0 (mod7—1).

Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что при выполнении условий (34), (35) при любом выборе Ьт € К ряд (32) с коэффициентами Ьк, определенными по формулам (33), сходится в окрестности г = 0, и что всякое решение уравнения (23), проходящее через точку г = 0,5 = в, представляется в виде такого ряда при подходящем значении Ьт.

Определим многочлен ф(г), не зависящий от выбора Ьт, и новую неизвестную функцию Р(г) по следующим формулам:

т— 1

) := £ Ьк гк, ф) =: д(г) + гт Р(г). (37)

к=0

В силу вышесказанного в полином ^(г) входят только степени г, кратные 7—1; кроме того, д(0) = в.

Подставляя (37) в уравнение (23), после приведения подобных членов и сокращения на гт+1 получаем

аР _ —1 А (г) Р 2(г) + В(г) Р (г) + С (г)

"07 = -7 д(г) + гт Р(г) , ( )

где коэффициенты А (г), В(г), С (г) с учетом (34), (19) имеют вид

А (г) = (Т + 1) гт—1, В(г) = 7 ^ + £ ^^^,

у у аг в г

С (г) = г-(т+1) г ООг2 + - "') + / (г))

и являются голоморфными функциями на отрезке г € [0,1].

Правая часть уравнения (38) является аналитической по г и по Р в окрестности точки г = 0, Р = с при любом с € С. Согласно теореме Коши (см. [13]) существует единственное аналитическое в окрестности г = 0 решение Р (г) с условием Р(0) = с, которое определяет по формуле (37) решение д(г) уравнения (23) вида (32) при Ьт = с. Выбирая с € К, получаем вещественные аналитические решения. Таким образом, доказано, что при любом выборе Ьт € К ряд (32) с коэффициентами Ьк, определенными по формулам (33), сходится в окрестности г = 0 к решению уравнения (23).

Покажем, что любое решение д(г) уравнения (23), проходящее через точку г = 0,5 = в, представляется (при соблюдении условий (34), (35)) в виде (37) для некоторой функции Р(г), аналитической в окрестности г = 0. В силу сказанного выше достаточно показать, что определенное подстановкой (37) решение Р(г) = г—т (д(г) — ф(г)) уравнения (38) стремится к конечному пределу при г ^ 0.

Нулевая изоклина /^г = 0} уравнения (38) на фазовой плоскости (г, Р) задается квадратным алгебраическим уравнением А (г) Р2 + В(г) Р + С (г) = 0, решения которого определяют две ветви вида Р±(г) = гк , где к € Ъ, д±(т) — аналитические в окрестности т = 0 функции переменной т = ^J~z. Если функции Ро±(г) в окрестности г = 0, г Е К принимают вещественные значения, то эти функции монотонны при достаточно малых г. При подходе к г = 0 вдоль интегральной кривой уравнения (38) знак производной меняется при пересечении нулевой изоклины, но ни одну из ее ветвей Р = Р±(г) эта кривая не может пересечь более одного раза в достаточно малой окрестности вертикальной оси. Следовательно, функция Р (г) монотонна в окрестности г = 0.

Докажем от противного, что монотонная функция Р (г) ограничена в окрестности г = 0. Предположим, что Р(г) ^ то при г ^ 0. Из равенств ф(0) = в = ?(0) следует соотношение

Р(г) = о (г-т), г ^ 0. (39)

Числитель дроби в правой части уравнения (38) содержит три слагаемых, одно из которых, С (г), заведомо ограничено в окрестности г = 0, тогда как поведение двух других слагаемых допускает две возможности:

|А(г) Р2(г)| = О(|В(г)||Р(г)|), г ^ 0, (40)

|В(г)||Р (г )| = о (А (г) Р 2(г)), г ^ 0. (41)

В случае справедливости условия (40) имеем неравенство

< С |В(г)||Р(г)|, С > 0 (42)

при достаточно малых г. Из (42) следует ограниченность функции Р (г) вблизи нуля, что противоречит предположению Р(г) ^ то при г ^ 0. В случае (41) имеем

> С2 А (г) Р 2(г), С2 > 0,

откуда |Р(г)| > С3 г-т, С3 > 0, что противоречит предположению (39).

Таким образом, сделанное предположение не верно, и всякое решение уравнения (38) с условием роста (39) имеет конечный предел при г ^ 0 и, следовательно, является аналитическим в окрестности г = 0. Таким образом, все вещественные решения уравнения (23) с условием д(0) = в имеют вид (32) при подходящих значениях Ьт Е К. Теорема доказана. □

^Р

^Р

2. Тепловое распространение пламени по смеси, реагирующей

при начальной температуре

В этом разделе рассмотрим пример вычисления профиля бегущей волны на основе формул (11), (12), (27) в задаче о структуре пламени в модели реакции экзотермического горения первого порядка при тепловыделении, зависящем от температуры по закону Аррениуса, и при соблюдении условия подобия полей концентрации и температуры. Уравнение (1) реакции принимает в этом случае следующий вид (см. [14]):

дб

— — Дб(£, х) = Ф(б(*, х)), б € (б*, 0), (43)

б

Ф(б) = —б ехр-—-, (44)

1—

где б — безразмерная температура по шкале, в которой б = 0 является температурой горения, б = б* < 0 — абсолютным нулем.

Ламинарное пламя в такой модели описывается (см. [6]) решением задачи (5), (6) с эффективной функцией тепловыделения ^(£) = (£,бо), зависящей (как от параметра) от температуры б0 на переднем крае фронта пламени:

б

£ =1 — ТТ, ^(£, бо) = Ф((1 — £) бо) — Ф(бо) (1 — £). (45)

бо

Отметим, что функция (£,бо) удовлетворяет условиям (3) в отличие от функций Ф(б) и Ф0(б), не обращающихся в нуль ни при какой температуре выше абсолютного нуля. К задаче (5), (6) применимы в этом случае теоремы 1 и 2, сформулированные в разделе 1.

Для простоты будем считать, что величина б/б* в правой части определения (44) является малой (так называемое приближение Д. А. Франк-Каменецкого), полагая

Ф(£) ~ Фо(£) = —б ехр б, (46)

хотя рассматриваемый метод применим и для функции /(б) в ее исходном виде (44).

Как непосредственно видно из анализа графиков на рисунке 1, для эффективных функций тепловыделения, вообще говоря, не выполнено требование (7) при бо ниже определенного значения, однако численный расчет показывает, что формула (8) для минимальной скорости бегущей волны остается справедливой (см. [15], [1, гл. 4, §4]).

Зафиксируем некоторое значение бо < 0 и найдем величину /1 = /'(0), где /(£) = (£, бо) определено равенством (45) при Ф = Фо, и коэффициенты дк разложения (9) функции (£-1 (£, бо)) по степеням т := 1 — £ = б/бо:

а

/1 = — ат Ьбо т ехр (бо т) — Фо(бо) т] т=1 = б2 ехр бо,

1 1 1 1

' /V/ 1 / _____________Ь ; с/ --~ 1

-4 -2 -1 О

Рис. 1. Графики функций тепловыделения: а) Ф(0) = Фо(0), см. (46); Ь, с, а) Ф(0) = ^ (£, 0о), 0 =(1 - £) 00 , 00 = -1, -2, -4; см. (45).

_ Фо(т0о) - т Фо(0о)

е-1 ^ (е,0о) =

1т

ОО \ ОО

(0о + Фо(0о)) т^ тМ тк =

к—2 / к—о

го / к 0к \

= £ 9к тк, 9к = - (^о + Фо(0о)^(к-1)^; , к > 1-

Зафиксируем значение скорости ш > -2 0о ехр (0о/2) и связанное с ним по формуле (29) значение параметра

Т = 2 УЩЕ!!., (47)

ш - V ш2 - 4 /1

найдем а согласно (18), а также зафиксируем величину 7 > 0.

Найдем коэффициенты ^ ряда Тейлора (25), подставив его в уравнение (26), затем по формулам (28), записанным в виде

1

7 (1 - т) д(т) ' ат в 7 (1 - т)

Я7(т) = - Н7 (у) ¿у, Н7(т) := —-^^ + — - -^, (48)

о

вычислим коэффициенты Нк, к = 1,... ряда Тейлора

го

Я7(т) = ^ Нк тк. (49)

к—1

Теперь решение задачи (5), (6) в виде п = п(Ф) можно найти по формулам (11), (12), по крайней мере, вблизи точки ф = 1.

На рис. 2 представлены результаты вычислений при 0о = -1 для трех значений скорости (параметр 7 был принят равным 7 =1 в случае аи 7 = 1/2 в случаях Ь, с). Поведение коэффициентов Нк при ш = П(1/2) и ш = П(200001 /2) (кривые Ь

"п

I_

Ф 0.5 1.0

Рис. 2. Решения задачи (5), (6) при ^(£) = (£, —1). Сверху вниз: поведение коэффициентов ряда Тейлора функции Н(г); график функции Н(г); профиль бегущей волны ф = ф(п). Значения параметра скорости ш: а) ш = П(0) = шт1п; Ь) ш = П(1/2) ~ 1.02 ■ шт1п; с) ш = П)20001/2) и 50.01 ■ шт;п; см. (29).

и с на верхнем графике) является характерным для степенных рядов с радиусом сходимости, превышающим 1, и тем самым иллюстрирует утверждение теоремы 2: если Т является рациональным, но не целым числом и представлено несократимой дробью т/в,, в > 2, то при 7 = 1/в функция Н7 (т) оказывается голоморфной в точке т = 1. В том случае, когда весь отрезок т Е [0,1] попадает внутрь круга сходимости ряда (49), найденных коэффициентов и показателей а,Ь достаточно для вычисления решения п = п(Ф) во всем диапазоне значений ф Е (0,1).

На рис. 3 приведен результат расчета двух профилей бегущих волн при в0 = —4 и 7 =1. На левом графике видно, что последовательность коэффициентов } ведет себя как возрастающая геометрическая прогрессия, т. е. радиус сходимости ряда (49) меньше единицы. В этом случае для получения решения можно дополнительно построить разложение в ряд Тейлора функции Н7 (т) в нескольких внутренних точках отрезка т Е [0,1], пользуясь, как и ранее, уравнением (26) и формулами (48). В данном случае были задействованы 4 дополнительные точки, равномерно расположенные внутри отрезка. Совпадение вычисленного значения д(т) при т = 1 с ожидаемым (24) значением в составила 17 знаков в случае а) и 38 знаков в случае Ь) при 50-значной мантиссе и суммировании первых 100 членов разложений в ряды Тейлора.

Рис. 3. Решения задачи (5), (6) при ^(£) = (£, —4). Слева: поведение коэффициентов ряда Тейлора функции Н(г); справа: профиль бегущей волны ф = ф(п). Значения параметра скорости ш: а) ш = П(0) Ь) ш = П)Щ и 2.13 ■ шт;п.

шт

Рис. 4. Решение задачи (5), (6) при ^(£) = (£, —10). Слева направо: график функции д(т); профиль бегущей волны ф = ф(п); верхняя часть про)филя) в увеличенном масштабе. Значение параметра скорости ш = П)21/2) и 1.84 ■ 2у7Г, 7 =1/2.

На рис. 4 представлен результат расчета в случае #о, когда эффективная функция тепловыделения имеет узкий пик вблизи £ =1 и близка к нулю в остальной части отрезка £ Е [0,1]. Первый график демонстрирует стремление функции д(т) к пределу в при т ^ 1; это отвечает существованию решения типа бегущей волны для заданного значения скорости ш = П(21/2). На среднем графике можно видеть, что профиль волны делится на две части: левая часть (п < 0) соответствует периоду разогрева смеси в результате протекания реакции при температуре ниже температуры горения; правая часть графика, расположенная почти вертикально, отвечает собственно горению. На третьем графике показана правая часть профиля бегущей волны в увеличенном масштабе.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1) найдено новое аналитическое представление (11) решения квазистационарной задачи (5), (6) для уравнения (1) типа Колмогорова - Петровского - Пискунова с аналитической функцией тепловыделения F(£) в правой части: решение представлено в виде суммы явно вычисляемого слагаемого и некоторой вспомогательной функции H(т), т G [0,1), для которой построен алгоритм вычисления коэффициентов ряда Тейлора в точке т = 0 и во внутренних точках единичного отрезка;

2) для вспомогательной функции H(т) найдено достаточное условие аналитичности в концевой точке т =1 промежутка изменения переменной т ; полученный критерий аналитичности H(т) позволил выделить среди спектра допустимых значений скорости бегущей волны (представляющего собой числовой луч ш > штщ) счетное всюду плотное множество значений ш, при которых функция H(т) является аналитической;

3) на основе полученных теоретических результатов построен аналитико-численный метод вычисления профиля бегущей волны, т.е. решения задачи (5), (6) с аналитической функцией F (£); проведена численная реализация построенного метода для задачи о горении газовой смеси, реагирующей при начальной температуре, при условии подобия полей концентрации и температуры.

Примененную в доказательстве теоремы 2 технику получения семейства решений дифференциального уравнения или системы уравнений называют тестом Пенлеве или тестом Фукса - Ковалевской - Пенлеве (см. [16]); тест заключается в проверке условий типа (34), (35) обращения в тождество одного или нескольких линейных алгебраических уравнений, возникающих в ходе применения метода неопределенных коэффициентов к этому уравнению или системе. Новыми результатами, полученными в настоящей работе, являются обнаруженное прохождение некоторой модификации теста Пенлеве для уравнения Абеля второго рода (23), а также проведенное доказательство аналитичности всех решений этого уравнения, проходящих через особую точку т =1, q = в при выполнении условий теоремы 2.

Список литературы

1. Зельдович, Я. Б. Математическая теория горения и взрыва / Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт,

В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе. — М.: Наука, 1980. — 478 с.

ZELDOVICH, Ya. & BARENBLATT, G. & LIBROVICH, V. & MAKHVILADZE, G. (1985) The

Mathematical Theory of Combustion and Explosions. New York: Consultants Bureau.

2. Колмогоров, А.Н., Петровский, И. Г., Пискунов, И. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Секция А. - 1937. - Т. 1, № 6. - C. 1-25.

KOLMOGOROV, A. & PETROVSKII, I. & PISKUNOV, N. (1937) Etude de l'Equation de la Diffusion avec Croissance de la Quantite de la Matiere et Son Application a un Probleme Biologique. Moscow Univ. Bull. Math. ser. A. 1. p. 1-25.

3. FISHER R. (1937) The wave of advance of advantageous genes. Ann. Eug. no. 7. p. 355-369.

4. Зельдович Я. Б., Франк-Каменецкий Д. А. Теория теплового распространения пламени // Журнал физ. химии. - 1938. - Т. 12, № 1. - C. 100-105.

ZELDOVICH, YA. & FRANK-KAMENETSKIID. (1938) The Theory of the Heat Flame Propagation. J. Phys. Chem. 12, no. 7. p. 100-105.

5. Зельдович Я. Б. К теории распространения пламени // Журнал физ. химии. — 1948. — Т. 22, № 1. - C. 27-48.

ZELDOVICH, Ya. (1948) To The Theory of the Flame Propagation. J. Phys. Chem. 2, no. 1. p. 27-48.

6. Зельдович, Я. Б. Распространение пламени по смеси, реагирующей при начальной температуре. Препринт / Я. Б. Зельдович. - Черноголовка: Инст. хим.физики РАН, 1978. - 7 c.

ZELDOVICH, Ya. (1980) Flame Propagation in a Substance Reacting at Initial Temperature. Combustion and Flame. 39, no. 3. p. 219-224.

7. Баренблатт Г. И., Зельдович Я. Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // УМН. - 1971. - Т. 26, № 2(158). - C. 115-129.

BARENBLATT, G, & ZELDOVICH, Ya. (1971) Intermediate Asymptotics In Mathematical Physics. Russian Mathematical Surveys. 26(2), no. 45. p. 45-61.

8. Зельдович, Я. Б. Классификация режимов экзотермической реакции в зависимости от начальных условий. Препринт / Я. Б. Зельдович. — Черноголовка: Инст. хим.физики РАН, 1978. — 8 c.

ZELDOVICH, YA. (1980) Regime Classification of an Exothermic Reaction with Nonuniform Initial Conditions. Combustion and Flame. 39, no. 2. p. 211-214.

9. Пикулин, С. В. О решениях типа бегущей волны для нелинейного параболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2015. - № 6 (128). - C. 110-116.

PIKULIN, S. (2015) On Solutions of Traveling Wave Type for a Nonlinear Parabolic Equation. Bulletin of the Samara St. Univ. Natural science series. 6 (128). p. 110-116.

10. Пикулин, С. В. О решениях типа бегущей волны уравнения Колмогорова - Петровского -Пискунова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2018. - Т. 58, № 2. - C. 1-9 (в печати).

PIKULIN, S. (2018) On the Traveling Wave Solutions of The Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov Equation Computational Mathematics and Mathematical Physics. (In press.)

11. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

KAMKE, E. (1977) Differentialgleichungen: Losungsmethoden und Losungen, I, Gewohnliche Differentialgleichungen. Leipzig: B.G. Teubner.

12. ABLOWITZ M. & ZEPPETELLA A. (1979) Explicit Solutions of Fisher's Equation for a Special Wave Speed. Bulletin of Mathematical Biology. 41, no. 6. p. 835-840.

13. Голубев, В. В. Курс аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. — М. : Гостехиздат, 1950. — 436 с.

GOLUBEV, V. (1950) Lectures on Analytical Theory of Differential Equations. Moscow: Gostekhizdat.

14. Худяев С. И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях / С.И.Худяев. — М.: Физматлит, 2003. — 272 с.

KHUDYAEV, S. I. (2003) Threshold Phenomena in Nonlinear Equations. Moscow: Fizmatlit.

15. Алдушин, А. П., Зельдович, Я. Б., Худяев, С. И. Численное исследование распространения пламени по смеси, реагирующей при начальной температуре // Физ. гор. и взрыва. — 1979. — 6. — C. 20-27.

ALDUSHIN А. & KHUDYAEV S. & ZELDOVICH Ya. (1981) Flame Propagation in the Reacting Gaseous Mixture. Archivum Combustionis. 1, no. 1/2. p. 9-21.

16. CONTE R.M. & MUSETTE M. (2008) The Painleve Handbook. Dordrecht : Springer Science+Business Media B.V.