CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 1.
УДК 519.713.2 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-116-126
О проблеме абстрактной характеризации универсальных
графовых автоматов
Р. А. Фарахутдинов
Фарахутдинов Ренат Абуханович — аспирант, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (г. Саратов). e-mail: renatfara@mail.ru
Аннотация
Данная работа посвящена алгебраической теории автоматов, являющейся одним из разделов математической кибернетики, в котором изучаются устройства преобразования информации, возникающие во многих прикладных задачах. В зависимости от исследуемых задач рассматриваются автоматы, у которых основные множества наделены дополнительными математическими структурами, согласованными с функциями автомата. В настоящей работе исследуются автоматы над графами — графовые автоматы, множество состояний и множество выходных сигналов которых наделены математическими структурами графов. Для графов G и Н универсальный графовый автомат Atm (G,H) является универсально притягивающим объектом в категории графовых автоматов. Полугруппа входных сигналов такого автомата имеет вид S = End G х Hom(G, Н). Естественно возникает интерес к исследованию вопроса абстрактной характеризации универсальных графовых автоматов: при каких условиях абстрактный автомат А будет изоморфен универсальному-графовому автомату Atm(G,H) над графами G из класса Ki, ff из класса K2? Целью работы является исследование вопроса элементарной аксиоматизации некоторых классов графовых автоматов. Доказана невозможность элементарной аксиоматизации средствами языка узкого исчисления предикатов некоторых широких классов таких автоматов над рефлексивными графами.
Ключевые слова: автомат, полугруппа, граф, абстрактная характеризация, аксиоматизация.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
Р. А. Фарахутдинов. О проблеме абстрактной характеризации универсальных графовых автоматов // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 116-126.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.
UDC 519.713.2 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-116-126
On the problem of abstract characterization of universal graphic
automata
R. A. Farakhutdinov
Farakhutdinov Renat Abukhanovich — postgraduate student, Saratov State University (Saratov).
e-mail: renatfara@mail.ru
Abstract
This work is devoted to the algebraic theory of automata, which is one of the branches of mathematical cybernetics, which studies information transformation devices that arise in many-applied problems. Depending on a specific problem, automata are considered, in which the main sets are equipped with additional mathematical structures consistent with the functions of an automaton. In this work, we study automata over graphs — graphic automata, that is, automata in which the set of states and the set of output signals are equipped with the mathematical structure of graphs. For graphs G and H universal graphic automaton Atm(G, H) is a universally attracting object in the category of semigroup automata. The input signal semigroup of such automaton is S = End G x Hom(G, H). Naturally, interest arises in studying the question of abstract characterization of universal graph automata: under what conditions will the abstract automaton A be isomorphic to the universal graph automaton Atm(G, H) over graphs G from the class Ki, H from class K2? The purpose of the work is to study the issue of elementary axiomatization of some classes of graphic automata. The impossibility of elementary axiomatization by means of the language of restricted predicate calculus of some wide classes of such automata over reflexive graphs is proved.
Keywords: automaton, semigroup, graph, abstract characterization, axiomatization.
Bibliography: 18 titles.
For citation:
R. A. Farakhutdinov, 2024, "On the problem of abstract characterization of universal graphic automata", Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 116-126.
1. Введение
Одним из направлений современной алгебры является исследование автоматов в категориях [1], то есть автоматов у которых множества состояний и выходных сигналов наделены математическими структурами из некоторой категории K, а функции переходов и выходов являются морфизмами этой категории. Такие алгебраические системы были предметом изучения многих известных алгебраистов, таких как Б. И. Плоткин [2], А. Г. Пинус [3, 4], Л. М. Глу-скин [5, 6], Ю. М. Важенин [7, 8], А. В. Михалёв [9] и многих других.
В данной работе исследуются автоматы над графами, которые называются графовыми автоматами. В категории таких автоматов для любых графов G\,G2 £ Gr найдётся универсально притягивающий объект [1] Atm(Gi,G2) с полугруппой входных сигналов End Gi x Hom(Gi,G2), который называется универсальным графовым автоматом над графами G1 и G2.
В своей широко известной работе [10] С. Улам обозначил проблему характеризации математических объектов с помощью их эндоморфизмов и автоморфизмов. Принимая во внимание результаты Б. Ионссона по проблеме абстрактной характеризации алгебр отношений [11], возникает интерес к исследованию следующей проблемы абстрактной характеризации универсальных графовых автоматов: при каких условиях абстрактный автомат А будет изоморфен некоторому универсальному графовому автомату С2) над графами С1 из класса Кц,
из класса К2? Основным результатом данной работы является доказательство невозможности решения этой проблемы средствами языка узкого исчисления предикатов (УИП) для универсальных графовых автоматов над некоторыми широкими классами рефлексивных графов.
2. Основные понятия и определения
В работе используется общепринятая терминология теории автоматов из [1], теории графов из [12] и теории алгебраических систем из [13].
Далее всюду под графом будем понимать рефлексивный ориентированный граф С = (Х, р), где X — непустое множество вершин и р С X х X — множество дуг графа, удовлетворяющее условию (х,х) € р для всех х € X [12]. Дугу (х,у) € р будем называть собственной, если (у, х) € Р- Граф называется квазибесконтурным, если ни одна его собственная дуга не лежит ни в каком контуре.
Графы Со(Х) = (X, Ах), ^(Х) = (Х,Х2) будем называть тривиальными рефлексивными графами. Ясно, что любое преобразование множества X является эндоморфизмом этих графов, и, следовательно, их полугруппа эндоморфизмов совпадает с множеством Т(X) всех преобразований множества X. Класс тривиальных рефлексивных графов обозначим К^.
Полугрупповой автомат А = (Х1, Б,Х2,*, о) называется графовым [1], если множество состояний Х1 и множество выходных сигналов Х2 наделены структурами графов С1 = (Х1,р\) и ^2 = (Х2, Р2), что для любого входного сигнала в € Б функция переходов 53 = х-8 (х € Х1) является эндоморфизмом графа С1 и функция выходов = х о 8 (х € Х1) является гомоморфизмом графа в граф С2• Символически такие автоматы обозначаются А = (С1, Б, С2,-, о).
Графовый автомат А^(С1,С2) = (С^Епё С1 х Нот(С1,С2),С2,к, о) с операциями х к (р = <р(х) и х о <р = ф(х) (где х € Х^ <р € Епс1 ф € Нот(С1,С2)) является универсально притягивающим объектом в категории графовых автоматов [1], поэтому его называют универсальным графовым автоматом.
Мощностью графового автомата А = (С1, Б,С2,к,о) над графами С1 = (Х1,р1) и С2 = (Х2,р2) называется кардинал |А| = |Х1| + |51 + |Х2|. Автомат А называется конечным, счётным или несчётным, если его мощность |А| — конечный, счётный или несчётный кардинал соответственно.
3. Задача элементарной аксиоматизации
Для классов графов К1 и К2 через А1т(Кх, К2) обозначим класс всех автоматов, изоморфных универсальным графовым автоматам А1;т(С1,С2) для графов С1 € К1 и С2 € К2. Естественно возникает вопрос об абстрактной характеризации автоматов из класса А1;т(К1, К2), который формулируется следующим образом [11]: при каких условиях абстракт-
(К1, К2)
приводятся решения этой задачи для полуавтоматов (автоматов без выходов) над классами графов квазипорядка Кчо и для класса рефлексивных квазибесконтурных графов Кгча. Оба этих результата, помимо аксиом языка узкого исчисления предикатов, используют условия,
формулируемые на языке исчисления предикатов более высокого порядка. Целью настоящей работы является доказательство невозможности аксиоматизации средствами языка УИП классов автоматов А1т(Кх, К2) для некоторых широких классов графов К1 и К2.
Графовый автомат А = (С\, Б,С2,*, о) с графом состояний С\ = (Х\,р\), полугруппой входных сигналов 5 = (5, •), графом выходных сигналов С2 = (X2, р2), функцией переходов * : Х\ х 5 ^ Х\ и функцией выходов о : Х\ х 5 ^ Х2 рассматривается как многоосновная алгебраическая П-система А = (Х\, Б, Х2, П) с тремя непустыми базисными множествами Х\, Б, Х2 и сигнатурой П = {Р\, Р2, ■, *, о}. Здесь Х\ — множество вершин графа С\, Х2 — множество вершин графа С2, Р\ — бинарный предикатный символ отношения смежности вершин графа С\, Р2 — бинарный предикатный символ отношения смежности вершин графа С2, ■ — бинарный функциональный символ композиции элементов полугруппы, * — бинарный функ-
о
функции выходов автомата.
Элементарная теория универсальных графовых автоматов определяется в стиле аксиоматики Гильберта геометрии плоскости с помощью языка УИП с трёхсортными переменными Ьа сигнатуры П = [Р\,Р2, ■,*, о}. Алфавит такого языка состоит из:
1) счётного множества индивидуальных переменных первого сорта для обозначения элементов множества вершин графа состояний автомата;
2) счётного множества индивидуальных переменных второго сорта для обозначения входных сигналов автомата;
3) счётного множества индивидуальных переменных третьего сорта для обозначения выходных сигналов автомата;
4) из двухместного предикатного символа Р\ типа (1,1) для обозначения отношения смежности на множестве вершин графа состояний автомата;
5) из двухместного предикатного символа Р2 типа (3,3) для обозначения отношения смежности на множестве вершин графа выходных сигналов автомата;
■
позиции полугруппы входных сигналов автомата;
7) из двухместного функционального символа * типа (1,2,1) для обозначения функции переходов автомата;
о
ходов автомата;
9) из конечного множества логических и технических символов, таких как -, Л, V, У1, 31, У2, З2, У3, З3, = и (, ).
Для языка Ьа термы трёх сортов получаются обычным комбинированием символа ■ с
*о
выражения вида х(1\ х(2\ х(3\ № ■ *Ь(2\ о где х(1 и — переменная и терм
первого сорта, х(2) и 1(2\ ^ — переменная и термы второго сорта, х(3) — переменная третьего сорта. При этом получаются термы ^^ * ^2), ^2) ■ ^^ ^^ о ^2) первого, второго и третьего сорта, соответственно.
Атомарные формулы языка Ьа получаются обычным комбинированием символа = с двумя термами одного сорта, символа Р1 — с двумя термами первого сорта и символа Р2 — с двумя
термами третьего сорта, т.е. это выражения вида £ = Р1(11\ Р2(^З3 —
термы одного и того же сорта, ¿(1) — термы первого сор та (где г = 1, 2), — термы третьего сорта (где ] = 3, 4). Формулы языка Ьа определяются по индукции обычным образом (см., например, [16]).
К1 К2 (К1, К2)
тарно аксиоматизируемым, если существует такое множество предложений Т языка графовых автоматов Ьа, что класс А1;т(К1, К2) состоит из тех и только тех графовых автоматов А, на которых истинны все формулы из множества Т.
Графовый автомат А = (С-\_, Б, С2,к, о) над графами С1 = (Х1,р1), С2 = (Х2, р2) может рассматриваться не только как многоосновная алгебраическая система А = (Х1, Б, Х2, О) сигнатуры О = {Р1, Р2, ■,-, о} но и как обычная алгебраическая система А1 = (В, П1) с базисным множеством В = Х1 и 5 и Х2 и обогащённой сигнатурой = {Р1, Р2, ■,-, о, Рхг, Ря, Рх2} с тремя дополнительными унарными предикатными символами Рхг, Ря, Рх2 Для обозначения состояний, входных и выходных сигналов автомата А. Поэтому аксиоматизация классов графовых автоматов с помощью языка УИП сигнатуры О = {Р1, Р2, ■,-, о} с трёхсортными переменными Ьа сводится к аксиоматизации классов таких автоматов с помощью обычного языка УИП сигнатуры О1 = {Р1, Р2, ■, к, о, Рхг, Ря, Рх2 }• Следовательно, для графовых автоматов справедливы основные результаты теории моделей монографии Г. Кейслера и Ч. Чэна [16]. В частности, будет справедлива следующая теорема Лёвенгейма-Скулема-Тарского для графовых автоматов.
К
К
бесконечной мощности.
(К1, К2) (К1, К2)
К1, К2, К1, К2 называется относительно элементарно аксиоматизируемым в классе А1;т(К1, К2), если существует такое множество предложений Т' языка УИП сигнатуры О, что класс А1т(К1, К2) состоит из тех и только тех графовых автоматов А класса А1;т(К1, К2), на которых истинны все формулы из множества Т'.
(К1, К2)
(К1, К2) (К1, К2)
(К1, К2)
аксиоматизируем.
4. Основной результат
Введём следующие предикаты языка Ьа для переменных первого сорта х, у, и, V:
П(х, у, и, V) = (32з)(ж к 8 = и Л у к 8 = V Л (у1х)(х к 8 = и V Хк 8 = V)),
Я(х, у) = П(х, у, х, у) Л -П(х, у, у, х), Е(х, у,и,у) = (х = и Л у = V V х = V Л у = и), N(х, у,и,у) = (х = и Л х = V Л у = и Л у = у),
Я1(х,у) = я(х,у) Л (У1и,у)(д(и,у) ^ Е(х,у,и,у)).
Используя лемму 2 из работы [17], легко проверить истинность утверждений следующей леммы.
Лемма 2. Для любого универсального графового автомата А1т,(С1,С2) над графами С1 = (X1, р1) и С2 = (Х2, р2) справедливы следующие утверждения:
1) для вершин х, у, и, V графа состояний С1 предикат П(х, у, и, V) истинен тогда и только тогда, когда в автомате АШ(С1, С2) найдётся входной сигнал в, который определяет, отображение 53(х) = х*в (х € X), удовлетворяющее условию 53(х) = и, 53(у) = V и ¿Д^) = {и, у};
2) для вершин а, Ь нетривиального графа состояний С1 предикат Q(a, Ь) истинен тогда и только тогда, когда в графе С1 вершины а и Ь соединяются собственной дугой, не лежащей ни в каком контуре;
3) для, вершин а, Ь, с, (I графа состояний С1 предикат Е(а, Ь, с, (I) истинен тогда и только тогда, когда {а,Ь} = {с,(1};
4) для вершин а,Ь, с, (I графа состояний С1 предикат N(а,Ъ,с,й) истинен тогда и только тогда, когда {а, Ъ} П {с, (1} = 0;
5) для, вершин а, Ъ графа состояний С1 предика,т (^^а^) истинен тогда и только тогда, когда в графе С1 вершины а, Ъ соединяются собственной дугой, не лежащей ни в каком контуре, и в графе С1 нет других собственных дуг, не лежащих ни в каких контурах.
Пусть Ог — класс всех графов, Ко — класс рефлексивных графов с одной вершиной. Имеют место следующие леммы.
Лемма 3. Для любого класса, графов К класс автомата в А1т(К, К0) относительно элементарно аксиоматизируем в классе А1т,(К, Ог) с помощью аксиомы
Л = (У3х, у) х = у.
Лемма 4. Пусть А = А1т(С1,С2) — универсальный графовый автомат над тривиальным рефлексивным графом состояний С1 = (Х1, р{) € К^ и одновершинным, рефлексивным графом, выходных сигналов С2 = (Х2, р2) € К0. Тогда, автомат А имеет конечную мощность, если граф С1 — конечный граф, и а,втомат А имеет несчётную мощность, если граф С1 — бесконечный граф.
доказате льство. Пусть А = Акт.(С1, 02) — универсальный графовый автомат над тривиальным рефлексивным графом С1 = (Х1,р{) € К^, одновершинным рефлексивным графом С2 = (Х2, р2) € Ко и полугруппой входных сигналов 5 = Епс1 С1 х Но 111(^1, С2)-
По определению мощность автомата А — это кардинал |А| = + 1 + Так как С1 € К^, |Х2| = 1, то
|5| = |Епс1 ■ |Нот(С1,С2)| = 1 ■ ^| = |
и, следовательно, А имеет конечную мощность, если Х1 — конечное множество, и А имеет несчётную мощность, если Х1 — бесконечное множество. □
Следующий результат показывает невозможность элементарной аксиоматизации классов универсальных графовых автоматов А1т(К, Ог) для ряда классов рефлексивных графов К.
К
(К, Ог)
1) класс К = К^ всех тривиальных рефлексивных графов;
2) класс К = Кг всех рефлексивных графов;
3) класс К = КГ8 всех рефлексивных симметричных графов;
4) класс К = Кчо всех графов квазипорядка;
5) класс К = Кга всех рефлексивных бесконтурных графов;
6) класс К = Кге всех рефлексивных графов, имеющих дугу, не лежащую ни в каком контуре;
7) класс К = Кгча всех рефлексивных квазибесконтурных графов;
8) класс К = К1о всех графов линейного порядка.
Доказательство. Рассмотрим класс автоматов А1;т(К;г, Сг). Аксиома А0 определяет в этом классе подкласс автоматов А1;т(К;г, Ко), в котором согласно лемме 4 содержатся универсальные графовые автоматы с конечной или несчётной мощностью, значит в классе А1;т(К^;Г, Ко) нет счётных автоматов и по теореме 1 такой класс не может быть элементарно аксиоматизируем. Согласно лемме 3 класс А1;т(К;г, Ко) относительно элементарно аксиоматизируем в классе А1т(К;г, Сг), и, следовательно, по лемме 1 класс автоматов А1;т(К;г, Сг) не может быть элементарно аксиоматизируем.
Из п. 1) леммы 2 следует, что в классах А1т(Кг, Сг), А1;т(КГ8, Сг) и А1т(Кчо, Сг) подкласс А1;т(К;г, Ко) определяется аксиомой
А1 = (У1х, у, х, w)(У3u, у) ((х = у П(х, у, х, м)) Л и = у).
Следовательно, классы А1т(Кг, Сг), А1;т(КГ8, Сг) и А1т(Кчо, Сг) также не могут быть элементарно аксиоматизируемы.
Аналогично аксиома А1 в классе А1т(Кга, Сг) определяет подкласс автоматов А1;т(К;го, Ко) для класса К;го тривиальных рефлексивных графов состояний с тождественным отношением смежности. Из леммы 4 следует, что универсальные графовые автоматы над такими графами имеют конечную или несчётную мощность. Следовательно, в классе А1;т(К;го, Ко) нет счётных автоматов, и по теореме 1 такой класс не может быть элементарно аксиоматизируем. Значит, по лемме 1 класс А1т(Кга, Сг) не является элементарно аксиоматизируемым.
Из п. 5) леммы 1 следует, что в классе А1;т(Кге, Сг) аксиома
А2 = (31х, у)(У3и, у) ^^х, у) Л (У1 г, 'ш)(М(х, у, г, 'ш) П(х, у, г, 'ш)) Л и = у)
определяет подкласс А1;т(Кге1, Ко) универсальных графовых автоматов с рефлексивными графами состояний С1 = (Х1,р{), имеющих точно одну собственную дугу (а,Ь), не лежащую ни в каком контуре, и смежными между собой всеми остальными вершинами с,й € Х1, которые отличны от вершин а,Ь, и одновершинными рефлексивными графами выходных сигналов С2 = (Х2,р2) Х2 = {г}. В таких автоматах любое отображение (р : Х1 ^ Х'ъ где Х1 = Х1 \ {а, Ь}, является эндоморфизмом графа С1, а пара отображений (<р, сг) (где сг — постоянное отображение Х1 в х € Х2) является входным сигналом универсального графового автомата А = АЬт(С1 ,С2) и, значит, такой автомат имеет мощность |А| > |Х1| + |-|Х2Х11 + |Х2|, то есть |А| > + 1. Очевидно, что для конечных таких автоматов А мощноеть |А| конечна и для бесконечных таких автоматов А мощноеть |А| несчётна. Следовательно, в классе Atm(Krel, Ко) нет счётных автоматов, и по теореме 1 такой класс не может быть элементарно аксиоматизируем. Значит, по лемме 1 класс А1;т(Кге, Сг) также не является элементарно аксиоматизируемым.
Аналогично в классе А1т(Кгча, Сг) аксиома А2 определяет подкласс А1;т(Кге1, Ко) и, значит, класс А1;т(Кгча, Сг) также не может быть элементарно аксиоматизируем.
Класс А1т(к10, ог) состоит из универсальных графовых автоматов с графами состояний, являющимися линейно упорядоченными множествами С = (X, <). Введём дополнительные предикаты языка Ьа с переменной первого сорта х:
М(х) = (У1 у) Р(у,х), т(х) = (У1 у) Р(х,у).
Очевидно, что для вершины ж графа состояний С предикат М(х) истинен тогда и только тогда, когда в линейно упорядоченном множестве С элемент х является наибольшим элементом, тогда как предикат т(х) истинен в том и только том случае, когда в линейно упорядоченном множестве С элемент х является наименьшим элементом. К10
А2 =(З1 и,у) (т(и) Л М(у) Л (У1 х)(х = V
(З1 у)(у = X Л Р(х, у) Л (У1 г)(г = х Л Р(х, г) Р(у, г))))).
определяет подкласс к1о1 линейно упорядоченных множеств С = (X, <), которые удовлетворяют условиям:
1) С имеет наименьший элемент и и наибольший элемент у;
2) для любого элемента х € X, не являющегося наибольшим элементом, существует единственный следующий за ним элемент у, который будем обозначать х'.
К101
нейно упорядоченное множество натуральных чисел N с обычным порядком < и с внешне присоединенным наибольшим элементом те.
Для любого бесконечного упорядоченного множества С = (X, <) из класса к1о1 по индукции определяется упорядоченное подмножество ^, <):
1) элемент € Z — это наименьший элемент множества С;
2) для уже определенного элемента гп € ^ элемент гп+\ € ^ является следующим за гп элементом г'п.
Очевидно, что множество Z = : г € М} в графе С определяет линейно упорядоченное подмножество, изоморфное (М, <).
Рис. 1: Схематическое изображение отображения ф : X ^ X для бесконечного подмножества У С
Покажем, что для любого бесконечного подмножества У С Z существует такой эндоморфизм р € Епс1 С, что р(Х) П Z = У. Ясно, что элементы подмножества У С Z образуют строго возрастающую последовательность у\ < у2 < ■ ■ ■ < уп < ..., с помощью которой можно определить отображение ф : X ^ X по правилу (см. рисунок 1):
(х) =
у\, если х < у\,
У1, если у1 < х < для некоторого г € М, V, в остальных случаях.
Ясно, что отображение ^ является эндоморфизмом графа G и выполняется ^(Х) П Z = Y.
Следовательно, мощность множества End G не меньше мощности ß(Z) множества всех подмножеств счётного множества Z, которое несчётно [18].
Рассмотрим автомат А из класса Atm(Kioi, Ко) с графом состояний Gi = (Xi, <i) и одновершинным рефлексивным графом выходных сигналов = (Х2, <2)• Мощность такого автомата — это кардинал
|А| = iXil + |End Gi| ■ |Hom(Gb G2)l + = = IXil + |End GiUX*11 + |X2| = = |Xi| + |End Gi| ■ |1Xl| + 1.
Таким образом, |А| > ^^d Gi| > ß(Zвде ß(Z) — это несчётная мощность множества всех подмножеств счётного множества Z С Xi.
Отсюда следует, что класс Atm(Kioi, Ко) не может быть элементарно аксиоматизируем, значит по лемме 1 весь класс Atm(Kio, Gr) не может быть аксиоматизируем средствами языка УИП. □
5. Заключение
В работе изучена проблема абстрактной характеризации универсальных графовых авто-
(K, Gr)
K
аксиоматизации средствами языка узкого исчисления предикатов.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высш. шк., 1994. 191 с.
2. Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966. 604 с.
3. Пинус А. Г. Об элементарной эквивалентности производных структур свободных полугрупп, унаров и групп // Алгебра и логика. 2004. Т. 43, №6. С. 730-748.
4. Пинус А. Г. Об элементарной эквивалентности производных структур свободных решеток // Изв. вузов. Матем. 2002. №5. С. 44-47.
5. Глускин Л. М. Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. С. 841-870.
6. Глускин Л.М. Полугруппы изотопных преобразований // УМН. 1961. Т. 16, №5. С. 157162.
7. Важенин Ю.М. Элементарные свойства полугрупп преобразований упорядоченных множеств // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, №3. С. 281-301.
8. Важенин Ю.М. Об элементарной определяемости и элементарной характеризуемости классов рефлексивных графов // Изв. вузов. Матем. 1972. №7. С. 3-11.
9. Михалев A.B. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. 1974. Т. 12. С. 51-76.
10. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964. 168 с.
11. Jonsson В. Topics in Universal Algebras // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1972. Vol. 250. P. 230.
12. Харари Ф. Теория графов. M.: Мир, 1973. 300 с.
13. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука. Физматлит, 1970. 392 с.
14. Акимова С. А. Абстрактная характеристика полугруппы эндоморфизмов упорядоченного множества // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2004. №6. С. 3-5.
15. Фарахутдинов Р. А. Относительно элементарная определимость класса универсальных графовых полуавтоматов в классе полугрупп // Изв. вузов. Матем. 2022. №1. С. 74-84.
16. Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977. 616 с.
17. Molchanov V. A., Farakhutdinov R. A. On Concrete Characterization of Universal Graphic Automata // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. Vol. 43, №3. P. 664-671.
18. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с. REFERENCES
1. Plotkin, В. I., Greenglaz, L.Ja. к, Gvaramija, A. A., 1994, "Elements of algebraic theory of automata", Vyshaja Shkola, Moscow, 191 p. (In Russ.)
2. Plotkin, B.I., 1966, "Groups of automorphisms of algebraic systems", Nauka, Moscow, 604 p. (In Russ.)
3. Pinus, A. G., 2004, "Elementary equivalence of derived structures of free semigroups, unars, and groups", Algebra and logic, vol. 43, no. 6, pp. 408-417 (In Russ.)
4. Pinus, A. G., 2002, "Elementary equivalence of derived structures of free lattices", Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., vol. 5, pp. 44-47 (In Russ.)
5. Gluskin, L.M., 1961, "Semigroups and endomorphism rings of linear spaces", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 25, no. 6, pp. 809-814 (In Russ.)
6. Gluskin, L. M., 1961, "Semigroups of isotone transformations", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 16, no. 5, pp. 157-162 (In Russ.)
7. Vazhenin, Yu.M., 1970, "Elementary properties of semigroups of transformations of ordered sets", Algebra and logic, vol. 9, no. 3, pp. 281-301 (In Russ.)
8. Vazhenin, Yu.M., 1972, "The elementary definability and elementary characterizabilitv of classes of reflexive graphs", Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., vol. 7, pp. 3-11 (In Russ.)
9. Mikhalev, A. V., 1976, "Endomorphism rings of modules, and lattices of submodules", ,J Math Sci, vol. 5, no. 6, pp. 786-802.
10. Ulam, S.M., 1960, "A collection of mathematical problems", Interscience, New York, 150 p.
11. Jonsson, В., 1972, "Topics in Universal Algebras", Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, vol. 250, 230 p.
12. Hararv, F., 1969, "Graph Theory", Addison Wesley, 288 p.
13. Maltzev, A. I., 1970, "Algebraic systems", Nauka. Fizmatlit, Moscow, 392 p. (In Russ.)
14. Akimova, S. A., 2004, "Abstract characterization of endomorphism semigroups of ordered sets", Mathematika. Mekhanika: sb. nauch. tr. Saratov: Izd. Saratov State Un., no. 6, pp. 3-5. (In Russ.)
15. Farakhutdinov, R. A., 2022, "Relatively elementary definability of the class of universal graphic semiautomata in the class of semigroups", Allerton Press, vol. 66, no. 1, pp. 62-70.
16. Kejsler, H. J., Chang, C.C., 2013, "Model theory", Dover Publications, 672 p.
17. Molchanov, V. A., Farakhutdinov, R. A., 2022, "On Concrete Characterization of Universal Graphic Automata", Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 43, iss. 3, pp. 664-671.
18. Kuratowski, K., Mostowski, A., 1698, "Set theory", North-Holland, 417 p.
Получено: 06.12.2023 Принято в печать: 21.03.2024
