О природе вибрационного гидродинамического волчка Текст научной статьи по специальности «Физика»

О ПРИРОДЕ ВИБРАЦИОННОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЛЧКА

Ник. Козлов

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Теоретически исследуется новый вибрационный эффект, обнаруженный экспериментально в [1]. Суть эффекта состоит в возбуждении интенсивного среднего вращения легкого тела, находящегося в замкнутой полости с жидкостью, которая вращается с высокой скоростью и одновременно подвержена воздействию вибраций, нормальных оси вращения (симметрии). Описывается механизм вращения тела, природа которого заключается в генерации средних массовых сил в тонких пограничных слоях Стокса вблизи твердых стенок тела и полости. Получено выражение для угловой скорости вращения тела относительно полости. Проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов, выявлено их согласие.

Ключевые слова: жидкость, легкое тело, вращение, вибрации, инерционные волны.

ВВЕДЕНИЕ

В [1] экспериментально рассмотрена следующая система: легкое тело помещено в полость с жидкостью, вращающуюся вокруг своей оси. Воздействие на систему внешних осциллирующих полей приводит к возникновению движения тела относительно полости. В случае вращения полости в поле силы тяжести наблюдается обратное движение тела во вращающейся системе отсчета, которое становится менее выраженным при повышении скорости вращения. Воздействие вибраций приводит к проявлению более сильного эффекта: резонансным образом тело раскручивается относительно полости. В зависимости от частоты воздействия тело может опере-

© Козлов Ник., 2007

жать полость или отставать от нее. При этом скорости вращения полости и тела могут отличаться в несколько раз.

Вращение системы в поле силы тяжести приводит к тому, что вектор ускорения свободного падения меняет свою ориентацию относительно полости по гармоническому закону. То же справедливо для вибрационного ускорения, однако вибрационное воздействие в резонансных областях оказывается более сильным, чем гравитационное, а вне резонанса мало ощутимо.

Таким образом, в обоих случаях в системе отсчета вращающейся полости тело совершает круговые поступательные колебания: при движении ось тела описывает окружность (рис. 1). Такое поведение вызвано действием внешнего осциллирующего поля. Тело при этом может как совершать вращение относительно полости (опережать или отставать), так и вращаться со скоростью полости, что зависит от ряда параметров.

Рис. 1. Круговые колебания тела в системе отсчета полости; Оа!Х. - частота осцилляций внешнего поля в неинерциальной системе отсчета

Ниже будет показано, что круговое движение тела ответственно за его вращение. Ввиду сходства между гравитационным и вибрационным движением тела при описании механизма генерации дифференциального вращения можно рассмотреть первый случай, что позволит решить задачу аналитически, оставаясь в линейном приближении.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Теоретически рассматривается бесконечно длинный цилиндрический слой, заключенный между двумя соосными цилиндрами, внутренняя граница которого образована телом радиусом Яг, внеш-

няя - радиусом полости R2 (рис. 2, а). Плотность тела меньше плотности жидкости, и оно устанавливается в центре полости при вращении в результате действия центробежной силы.

Рассматривается случай высоких скоростей вращения, таких что

R2 - R >>j2v / W .

Это означает, что вязкие силы оказывают действие лишь вблизи твердых стенок тела и полости. В данном случае скорости вращения полости Wr и колебаний тела Wosc в системе отсчета полости связаны: Wosc = -Wr. В неинерциальной системе отсчета удобнее использовать Wosc.

Амплитуда круговых колебаний тела полагается малой.

Задача решается методом последовательных приближений. Сначала находится поле скоростей в невязком цилиндрическом слое жидкости. Затем решается вязкая задача для нахождения пульсаци-онного движения внутри тонких пограничных слоев Стокса. Граничные условия для вязкой задачи находятся из невязкого решения. Полученное для пограничных слоев решение осредняется по периоду колебаний, в результате чего находится выражение для средних вязких сил и скоростей вызываемых ими средних течений. Расчет момента сил, приложенного к телу, позволяет найти скорость вращения тела.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

В гравитационном поле в лабораторной системе отсчета ось вращения тела смещается на величину b (рис. 2, б; также см. Приложение):

b = (1/2)rRj(1 -р)(1 - q2), (2.1)

где Г ° g / W2rR1 - безразмерное ускорение, q ° R1 / R2, р ° рх / pL -относительная плотность тела (pL - плотность жидкости).

В системе отсчета полости такое смещение соответствует круговому движению тела (рис. 1).

В связанной с полостью неинерциальной системе отсчета с началом отсчета в центре симметрии полости (рис. 1) скорость тела изменяется по закону bWosc [-sin (Wosct) i + cos (Wosct) j] , где i, j -орты системы отсчета полости.

Рис. 2. Смещение легкого тела в лабораторной системе отсчета под действием силы тяжести

g

В системе отсчета полости движение будет описываться уравнениями Навье - Стокса:

r(f+<UV)U)-

(2.2)

--Vp + pLg + hAU + pL (Qr x rx fir + 2Ux fir), div U - 0.

Движение вдоль оси цилиндрической полости отсутствует, кроме того, выполняется условие трансляционной симметрии относительно оси Z . В невязком линейном приближении второй член в левой части и третий член в правой части уравнения (2.2) обращаются в нуль. Нетрудно видеть, что в силу особенностей геометрии задачи член nr x r x nr потенциален. Применяя к уравнению (2.2) операцию rot, получим:

РL j ( r0t U)- 2Pl r0t ( U x&r ) . (2.3)

В случае двумерного движения, когда U - (Ur ,Utj ,0), rot (U x fir)- 0. Из уравнения (2.3) следует, что rot U - 0. Таким образом, течение можно считать потенциальным,

и = УФ ,

и решать уравнение неразрывности жидкости

ДФ = 0.

На границах тела и полости будут выполняться следующие условия для радиальной компоненты скорости жидкости:

(и • е )|,=* = «^Ф-^^

(и • е, )|,=. = О,

е, - единичный вектор, направленный вдоль радиуса.

Решение ищется в виде Ф = ЬІ10ІС/(г)8Іп(ф-ОоіС0 . Это позволяет найти скорость движения жидкости в коаксиальном зазоре:

Г

и = ЬО-осА 1 -Ф) 1 - I Єг - “^о^ - Ф)

я

( я 2 Л

1+%

Г

\ ' У

где А ° д2 /(1 - д2), ф - угловая координата, еф - единичный вектор, направленный вдоль азимута.

Видно, что круговые колебания тела рождают в цилиндрическом слое бегущую азимутальную волну. Вблизи твердых стенок жидкость совершает касательные колебания с амплитудой

(

иФ

V

(2.4)

г =Я Я

В условиях колеблющейся жидкости на стенках формируются вязкие пограничные слои Стокса, для описания которых можно перейти к декартовой системе координат, пренебрегая кривизной стенок на расстояниях, сравнимых с толщиной пограничного слоя. Направив ось х по касательной в направлении распространения волны, а ось у вдоль нормали от стенки, переходим к задаче о колебаниях жидкости вблизи пограничного слоя за его пределами. При этом граничные условия имеют вид:

2

е

ф

и = и = 0 ,

^1>=0 y|y=0

их|у 8 = -UjL=^ -Ф), (2.5)

— = Р0| 5ш(0 (-ф). (2-5)

0 \г =Л,;Я! У ^

Вид условий (2.5), (2.5') определяется движением жидкости в невязком коаксиальном зазоре. Задача решается в линейном приближении

дих дР д2их

р^=-эх+^-. (2.6)

Общее решение для касательной компоненты скорости ищется в

виде их = и(у) • в'<а°‘с-ф). Частное решение определяется видом

дР / дх. Нормальная компонента скорости находится из условия неразрывности жидкости. В результате для проекций пульсацион-ной скорости внутри вязкого слоя получается:

их = иф I=*,л 005 Ь- 005 а), (2.7)

иу = к8иф| jl^cosa-sina + ez(sinb-cosP)J + Zcosa. (2.8)

Здесь Z ° У / 8 - безразмерное расстояние от стенки, ф = kx, k - волновое число, a ° Wosct - ф, b ° Qosct - ф - Z.

Рассмотрим поведение жидкости внутри вязкого слоя. Представим скорость и давление как сумму медленно и быстро меняющихся компонент: v + u , P + P . После подстановки этих выражений в уравнения Навье - Стокса и осреднения по быстрому времени имеем:

pz ^V + (vV)v j = -V P + hAv-pz (uV)u + pz (x r x П. + 2v x П.), (2.9)

&у V = 0 .

Учитывая, что в приближении тонкого пограничного слоя их >> иу , получим

|(иУ)и| = ^их дХ + иу ду^их . (2.10)

После подстановки уравнений (2.7), (2.8) в (2.10) и осреднения имеем:

------- о и2

(иУ)и = -^-ф 2 с

еС( еС-С бш С + (С- 1) С0Б С) ех , (2.11)

где с = Оос / к - фазовая скорость азимутальной волны. В общем случае к зависит от г , следовательно, с = с(г).

Из (2.9) и (2.11) видно, что наличие пульсационного движения в вязком слое Стокса приводит к появлению средней массовой вибрационной силы, действующей вдоль твердой стенки в направлении распространения азимутальной волны (рис. 3):

^=-р! (и^)их =

(2.12)

р^0o^c иф

2 с

в С (-в С +С ЯШ С + (1 - С) С0Б С)

г=Л,

Уравнения (2.11), (2.12) учитывают зависимость амплитуды пульсационной скорости от радиуса и справедливы для вязких слоев вблизи поверхности тела и полости.

Рассмотрим случай стационарного ламинарного движения жидкости

^ = 0, VVV = 0. (2.13)

Вследствие замкнутости цилиндрического слоя дР /дх = 0 . Первое уравнение в (2.9) принимает вид:

г =Л

1

д2у

0 -Рх (uV)ux

дУ

(2.14)

Легкое тело, находящееся в центре полости, свободно к касательному смещению. Поэтому вязкое напряжение на поверхности тела обращается в нуль, а далеко за пределами пограничного слоя постоянно:

Эх*

дС

=0,

С=0

дХх

эс

= С0Ш1 .

С>>1

0 6 у/5 12

Рис. 3. Профиль средней массовой силы Е вблизи твердой стенки (тела или полости)

Зная распределение средней массовой силы, находим вязкое напряжение за пределами пограничного слоя вблизи тела

= -л

1 ЭХъ 5 ЭС

откуда получаем граничное условие

ЭС

Со 1

и

2с

(2.15)

г=*

Интегрируя уравнение (2.14), находим профиль скорости вблизи стенки тела (рис. 4)

щ

2с

е-С\ — - (2 + С)0С8 С + (1 -С)5ІИ ^-С

+ соші. (216)

Напомним, что проекция на касательную ось т совпадает с проекцией на ось х в данной точке поверхности стенки.

Рис. 4. Профиль средней скорости V вблизи стенки тела. Начало отсчета по оси х определяется константой в уравнении (2.16), V = ^/(и? /2с)

' ? '\г=*1

В коаксиальном зазоре момент вязких сил постоянен

МІ = МІ ,

\г=* \г=*2

следовательно

эс

• 2я*12 =ЛЭ-1 1 ЭС

• 2я*2.

г

г =*

г =*

г =*

Переходя в систему отсчета, связанную с границами полости, в качестве условия за пределами пограничного слоя получим

ЭС

= д

С>>1

2 ЦФ

2с

(2.17)

Здесь записи £ >> 1 и г = Я2 имеют аналогичный смысл. На стенке полости выполняется условие прилипания жидкости.

Распределение средней скорости вблизи стенки полости имеет вид (рис. 5):

&

2с

-С

е С <-(2 + С) 008 С + (1 - С)^п С г +—+ вС

2

3

2

(2.18)

где

В = (1 + д2 )2/(4д3)

отвечает за согласование течения в погра-

ничном слое с потоками за его пределами.

Если, следуя [2], положить скорость за пределами пограничного слоя постоянной, выражение (2.18) примет иной вид:

щ

2с

-С

Є С <--------(2 + С) 008 С + (1 - С Г + _

2

3

2

(2.19)

Найдем полную вибрационную силу, приложенную к единице длины тела. Для этого проинтегрируем среднюю массовую силу по всей области вблизи поверхности тела

К = 5К, Рт-ЭфЭС .

Вклад во вращение тела силы, генерируемой вблизи стенки полости, полагаем малым. Учитывая, что за вращение ответственна касательная проекция силы

К = ^Т^ Рх§~ 2с

} Эф} Є С (-е С + С 8ІП С - (С - 1) 008 С) ЭС ,

получим выражения для средней вибрационной силы

г=К

\

г

г

0 0

0 0

г=К

^ = 2 пр15иф г=Л (2.20)

и для момента вибрационной силы

мV = 2рр1г=ч . (2.21)

0 6 У5 12

Рис. 5. Профиль средней скорости вблизи стенки полости (2.18), q = Я1 / Я2 = 0.50 (I), 0.61 (II), 0.99 (III). Кривая IV соответствует решению (2.19), полученному без учета взаимодействия стенок полости и тела;

v = V/ (и ф/2с )| г=я

Движение жидкости за пределами вязких слоев можно рассматривать как движение в цилиндрическом слое с вращающимся внутренним цилиндром. Профиль скорости при этом имеет вид [3]:

= АПЯ? Я2 (Я2 _ г '

Vф= Я22 _Я2 [Т““ Я у,

где АО - скорость вращения тела относительно полости.

Момент вязких сил, действующий на единицу длины тела, равен

.. . АОЯ12 Я22

М = _4рг| 2 1 ,2 . (2.22)

Я2 _Я12

При стационарном движении моменты уравновешивают друг друга

Мх, + М = 0. (2.23)

После подстановки выражений (2.21), (2.22) в (2.23) и несложных преобразований находим выражение для скорости вращения тела

иф Я

АО =-----(1 _ q ). (2.24)

4О„Д5' q ) ( )

Подставляя (2.1), (2.4) в (2.24) и учитывая, что в случае гравита-

ционного движения О01с = _Ог, получаем безразмерное выражение для скорости вращения тела относительно полости:

АО 1 Я, 2 2 2 4

— = _-ягг2(1 _р)2(1+q )(1 _q ). (2.25)

О„ 16 5

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Использованные приближения соответствуют экспериментам, проведенным в отсутствие вибраций. Однако ввиду того, что тело совершает круговые колебания как в гравитационном случае, так и под действием вибраций, приведенные рассуждения непосредственно относятся к вибрационному механизму генерации среднего дифференциального вращения тела относительно полости.

Выражение (2.12) указывает на возбуждение средних эффектов в осциллирующих пограничных слоях. В задаче о колеблющемся в жидкости теле [4] рассматривается механизм генерации средней массовой силы в пограничном слое Стокса. Причиной возникновения средних эффектов является неоднородность амплитуды пульса-ционной скорости вдоль поверхности тела.

В рассматриваемой задаче за генерацию средней массовой силы вблизи твердой стенки ответственна фазовая неоднородность пуль-сационной скорости, связанная с бегущей азимутальной волной.

Интересным оказывается поведение жидкости вблизи подвижной твердой стенки (легкого тела). Из уравнения (2.16) следует, что движущаяся под действием вибрационной силы жидкость увлекает за собой свободную стенку, раскручивая тело в направлении распространения инерционнной азимутальной волны.

Движение жидкости вблизи плоского пограничного слоя, описываемое выражением (2.19), соответствует случаю бегущей гравитационной волны в бассейне конечной глубины [2]: за пределами вязкого слоя скорость жидкости постоянна и с учетом кинематической

добавки равна (5/4 )(Ц;/ с )| .

0.1

|ДО/Ц.|

0.01

0.001

0.01

0.1 г

2

1

Рис. 6. Зависимость безразмерной скорости дифференциального вращения тела от безразмерного комплекса вибрационных параметров. Относительная плотность тела р = 0.54 (1) и 0.085 (2). Сплошная линия - теоретическая зависимость, построенная по (2.25)

Из сравнения уравнений (2.18), (2.19) и рис. 5 видно, что скорость движения жидкости, обусловленная вращением тела, заметно превосходит скорость движения, генерируемого в самом пограничном слое. Этот факт указывает на то, что интенсивное вращение тела способно увлекать потоки жидкости в цилиндрическом зазоре и приводить к изменению скорости вращения полости (в лабораторной системе отсчета). Относительный вклад пограничных слоев вблизи тела в осредненное движение возрастает с уменьшением

относительного размера тела д (рис. 5, кривые I, II). Следует, однако, учитывать, что при д << 1 квадрат амплитуды пульсационной скорости мал, и2 » 0 , и среднее движение жидкости вблизи

2 \ г=

внешней стенки пренебрежимо мало.

Выражение (2.25) позволяет провести сравнение экспериментальных и теоретических результатов на плоскости г2, |ДО / Ог|

(рис. 6), где Г2 °Г2 (Яг /5)(1 -р)2. Вид экспериментально полученной зависимости для двух тел различной относительной плотности с точностью до постоянного множителя совпадает с зависимостью теоретической. Отличие экспериментальных точек от теоретической кривой может быть связано с недостаточной длиной тела и наличием интенсивных вихревых потоков вокруг тела [5]. В предельном случае р = 0, X << 1 выражение (2.25) с точностью до численного коэффициента согласуется с результатами [6], полученными в этом приближении иным методом.

Заключение. Построена теоретическая модель поведения свободного легкого цилиндра в заполненной жидкостью полости при воздействии внешних осциллирующих сил. Показано, что природа вращения тела заключается в генерации средних массовых сил в условиях бегущей азимутальной волны. Эти силы локализованы в тонких пограничных слоях вблизи поверхности твердых стенок. Действие вибрационных сил приводит к генерации осредненного движения в цилиндрическом зазоре. Особенностью данной задачи является то, что поверхность тела свободна к касательному смещению, и это приводит к раскручиванию тела.

Рассчитан момент вибрационных сил, приложенных к телу, и угловая скорость отстающего вращения тела относительно цилиндрической полости, совершающей равномерное вращение в поле силы тяжести. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов показало их качественное согласие. В асимптотических предельных случаях проведено сравнение с работами других авторов, где также выявлено качественное согласие результатов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00189), Рособразования (темплан 0120.0600475) и администрации ПГПУ (грант № 04-07).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Козлов Ник. Легкое тело во вращающейся полости с жидкостью при вибрациях // Конвективные течения... Вып. 2 / Пермь: Перм. пед. ун-т, 2005. С. 163-171.

2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

5. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационный гидродинамический волчок // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 6. С. 759-762.

6. Greenspan H.P. On rotational flow disturbed by gravity // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 74. Pt 2. P. 335-351.

ON THE NATURE OF THE VIBRATIONAL HYDRODYNAMIC TOP

Nick. Kozlov

Abstract. New vibrational phenomenon, which was found experimentally in [1], is studied theoretically. The phenomenon consists in the excitation of intensive mean rotation of the light solid placed in the rotating cavity with liquid, subject to vibrations normal to its axis. The mechanism of generation of solid body rotation is explained. it is shown that the nature of the phenomenon consists in generation of mean force in the thin Stokes boundary layers near the firm walls of the solid and the cavity.

The expression for angular speed of solid rotation in the cavity frame is obtained. The comparison of theoretical and experimental results is lead. Their consent is revealed.

Key words: liquid, light solid, rotation, vibration, inertial waves.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В [Phillips OM. Centrifugal waves II J. Fluid Mech. 1960. Vol. 7. P. 340-352] решена задача о динамике центрифугированного слоя жидкости в поле силы тяжести. Уравнения записываются в лабораторной системе координат. Давление в цилиндрическом слое записано в виде

p =1 Pl W R22 ((h2 - q2) + a )+pLgR h cos e,

(П.1)

где ^ = г /Я2, угол 0 отсчитывается, как показано на рис. П.1, р -стационарное возмущение давления.

Рис. П.1. Постановка задачи в [Ркіїїір,?], координаты записаны в лабораторной системе отсчета

В цилиндрической системе координат уравнения Навье - Стокса и граничные условия записываются в безразмерном виде:

Эм 1 Эр, Эи, 1 Эр,

—1 - 2и1 =------^, —1 + 2м1 =-----------^,

Эе

2 Эh Эе

2h Эе

Эр1 п Э , \ Эи

— = 0, — (hu1) + —1 = 0.

эс э^ и эе '

(П.2)

h = 1 : u1 = 0 ,

Э§

h = q : u1 =—1, p1 + 2q51 =-2q—g— cos Є,

1 Эе 1 1 QR

(П.2')

g

где Mj и Uj - радиальная и азимутальная компоненты скорости, 5j

- стационарное возмущение поверхности. В качестве единицы измерения длины используется радиус полости R2, скорости - WrR2. Вторая часть выражения (П.2') получается подстановкой в (П.1) значения p с = 0 .

г lh=g+5j

Найдено решение, при котором свободная поверхность жидкости сохраняет цилиндрическую форму и смещена относительно центра полости вниз:

5j = (1/2)Гд(1 - q2)cos 0. (П.3)

Это решение соответствует движению длинного твердого цилиндра нулевой плотности, помещенного во вращающуюся полость с жидкостью. Поэтому для нахождения величины смещения тела конечной плотности используем тот же метод решения [Phillips], но учитывая при этом плотность тела.

Полная сила, приложенная к поверхности тела со стороны жидкости, может быть записана в виде:

F = $ p • dS ,

где dS = —R1d 0 .

Рассмотрим стационарное решение, когда ось тела остается неподвижной в лабораторной системе отсчета и смещена вниз по вертикали относительно оси цилиндрической полости. Это означает, что сила давления, приложенная к телу, уравновешивается силой тяжести. Из вида возмущения следует, что давление изменяется с углом 0 (рис. П.1) по закону

p , = A cos 0.

lh=q+5,

Спроецируем силу давления на вертикальную ось Y :

R1 • у = — R1 cos 0,

2 (П.4)

2p

F • у = R1J A cos2 0-d 0 = pR1A .

0

Сила давления уравновешивается силой Архимеда

Fa = Ps8 pR12 (П.5)

Из равенства выражений (П.4) и (П.5) находим граничное условие на поверхности цилиндрического тела:

p| h=q+5l =PsgqR2cos 0 , (П.6)

где 51 = (b / R2) cos 0 - безразмерное смещение тела.

Подставляя (П.6) в (П.1), находим граничное условие для длинного цилиндра конечной плотности:

g

h = q : p1 + 2qd1 =-2q—£— cos е

1 1 Qj R2

^ P ^

1 ^ s

Pi,

(П.7)

Уравнения (П.2) не изменяются при учете плотности тела. Решая систему уравнений (П.2) с учетом граничного условия (П.7), получаем:

§1 = (1/ 2)Гд(1 - р)(1 - д2)соє 0 . (П.8)

В предельном случае невесомого тела (р = 0) выражение (П.8) согласуется с (П.3), полученным в \Phi\lips\ для центрифугированной границы раздела жидкость - газ. Амплитуда смещения тела находится из выражения

Ь = §1^2

cos е