Том XXXIV
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 3
№ 1—2
УДК 532.527
629.735.33.015.3
532.517.4
О ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧ С СИЛЬНОЙ ЗАКРУТКОЙ ПОТОКА
В. Г. СУДАКОВ
Рассматривается задача о диффузии бесконечного осесимметричного несжимаемого турбулентного вихря с нулевой компонентой скорости вдоль его оси в рамках уравнений Навье — Стокса, осредненных по Рейнольдсу. Задача сводится к решению уравнения диффузии для окружной скорости. Для определения неизвестного напряжения Рейнольдса использовались алгебраическая и д-т двухпараметрическая модели турбулентности.
Определяются модели турбулентности, которые пригодны для расчетов сильно завихренных потоков. Для этого проводилось сравнение результатов, полученных на основе алгебраической и модифицированной д-т двухпараметрической дифференциальной моделей турбулентности с результатами эксперимента. Сделана попытка учета влияния внешней турбулентности на диффузию вихря. Для этого модифицировалась алгебраическая модель турбулентности.
В настоящее время существует несколько типов полуэмпирических моделей турбулентности [1]:
алгебраические модели турбулентности. В алгебраических моделях замыкание уравнений Навье — Стокса, осредненных по Рейнольдсу, производится с помощью алгебраических формул, без использования дополнительных дифференциальных уравнений для каких-либо параметров турбулентности. Алгебраические модели — самый простой тип моделей турбулентности. В них используется гипотеза локальности, согласно которой механизмы турбулентного переноса полностью определяются локальными параметрами среднего течения и моментально реагируют на изменение условий среднего движения. Эти модели не универсальны и сильно меняются от одного класса течений к другому, хотя и требуют минимальных вычислительных затрат;
модели с одним или двумя дифференциальными уравнениями (одно- и двухпараметрические модели). В дифференциальных моделях потоки выражаются не только через параметры среднего движения, но и через некоторые параметры, характеризующие пульсационное движение. Для этих параметров используются дополнительные дифференциальные уравнения. При этом гипотеза локальности не устраняется полностью, а используется при замыкании дополнительных дифференциальных уравнений для параметров пульсационного движения. Существует два наиболее важных диапазона турбулентных движений: крупномасштабные и мелкомасштабные. Эти диапазоны физически различны и должны описываться по отдельности. Поэтому чаще применяются двухпараметрические модели турбулентности;
двухпараметрические модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса (ARSM). Эти модели в настоящее время бурно развиваются. Они основаны на моделях анизотропной градиентной диффузии;
дифференциальные модели для напряжений Рейнольдса. В данных моделях для определения неизвестных напряжений Рейнольдса решаются дополнительные дифференциальные уравнения.
Модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса достаточно сложны, поэтому в настоящей работе использовались алгебраические и двухпараметрические модели турбулентности. Константы замыкания этих моделей меняются от одного класса течений к другому, поэтому была предпринята попытка выбрать те модификации этих моделей, которые пригодны для расчета сильно завихренных потоков, в том числе в вихревом следе за самолетом. С этой целью проводилось сравнение результатов расчетов, полученных на основе алгебраической и двухпараметрической моделей турбулентности с различными экспериментальными данными. Коэффициенты в моделях подбирались по экспериментальным данным в аэродинамической трубе (АДТ-124 ЦАГИ — концевой вихрь и вихрь от закрылка [2], АДТ-105 ЦАГИ — концевой вихрь за полной компоновкой самолета) и по данным летного эксперимента [3], [4].
Отдельной серьезной и мало исследованной проблемой является учет влияния атмосферной турбулентности на структуру вихрей. Эта задача осложнена наличием двух существенно разных
масштабов турбулентности (масштаб турбулентности атмосферы---------200 — 300 м, а масштаб
турбулентных пульсаций в следе за тяжелым самолетом — ~1 — 10 м). Была предпринята попытка исследования влияния турбулентности атмосферы на структуру вихрей с использованием алгебраической модели турбулентности. При этом турбулентная вязкость находилась из уравнения для баланса энергии турбулентности, в которое было добавлено дополнительное слагаемое, которое описывает поток энергии из крупномасштабного турбулентного движения атмосферы в турбулентное движение на масштабах вихря.
1. Постановка задачи. В данной работе рассматривалась модельная задача о турбулентной диффузии осесимметричного вихря, в котором
где Уг, У2 и Ув — средние радиальная, осевая и окружная компоненты скорости соответственно. Таким образом, уравнения Навье — Стокса, осредненные по Рейнольдсу, сводятся к уравнению для окружной скорости:
где неизвестное напряжение Рейнольдса моделировалось с помощью гипотезы Буссинеска
где г — расстояние до оси вихря, ґ — время, V — молекулярная вязкость и V,. — турбулентная вязкость. В [5] и [6] приведено аналитическое решение аналогичной задачи в случае ламинарного течения.
Турбулентная вязкость моделировалась на основе алгебраической (с учетом и без учета турбулентности атмосферы) и двухпараметрической моделей турбулентности.
Задача решалась на отрезке 0 < г < гтах. Граничные условия: У(ґ, 0) = 0, У(ґ, гтах) = Г/2пгтах, где Г — циркуляция вихря. При этом гтах выбирался достаточно большим, чтобы положение границы не влияло на течение внутри расчетной области. В качестве начального условия использовался профиль окружной скорости, измеренный экспериментально.
1.1. Алгебраическая модель турбулентности. Рассмотрим сначала случай, когда турбулентность атмосферы отсутствует. Используя гипотезу равновесности турбулентности, можно записать:
Уг = У2 = 0, У0 = У (г),
(1)
Р
---= СОП8І,
рв
(2)
где Р — производство кинетической энергии турбулентности, рв — ее диссипация. Производство кинетической энергии турбулентности можно представить с помощью гипотезы Буссинеска следующим образом:
Р = ру6£2.
(3)
4 2
(дК дУ,
дх, д%і
\ і 1
— тензор скоростей деформации. Для
дУ _ у дг г
осесимметричного вихря, рассматриваемого в данной задаче, £ =
Турбулентную вязкость ут можно определить по Колмогорову из интервала равновесия где I — масштаб турбулентности; С — константа. Отсюда:
1/ 4/
= Св'ъ г3
в = с-\36г4.
(4)
Подставляя (3) и (4) в (2), получаем известную формулу:
V а = СОП8ІI £ .
В случае турбулентной атмосферы, которая характеризуется двумя величинами: да (уровень турбулентности атмосферы
= ( и’2 + у'2 + м>'2 ) ) и Ьт (масштаб турбулентности атмосферы
~200 — 300 м), скорость диссипации кинетической энергии турбулентности атмосферы ва выражается в виде
в = С ^ єа -Со - .
Ьо
Энергия турбулентности атмосферы должна передаваться по каскаду вихрей в более мелкие масштабы. Следовательно, в уравнении баланса турбулентной энергии вихря должен присутствовать член, связанный с притоком энергии от крупномасштабных вихрей атмосферы. Модифицируя (3), получаем:
Р = Р
V д£ 2 + Со ІЛ
ЬА
(5)
Тогда из (2), (5) и (4) следует, что
С^ 0£ 2 + С23^ = Ц-10 2 Ь 14
(6)
где I = г, если г < Ьь и I = Ьь, если г > Ьь.
Таким образом, получено кубическое уравнение для определения турбулентной вязкости. В этом уравнении предполагалось, что да, Ьт заданы.
1.2. Двухпараметрическая модель турбулентности. Расчеты проводились на основе д-ю модели [7]:
д q _ 1 д dt r dr
дю _ 1 д dt r дг
v о '
д q r—— д r
дю д r
P _
(СцP _ю2 2ю' ц
■ Сю1 P Сю 2 ю
ю
дУ _ У дr r
где Сц = 0,09; ад = 0,8; сю = 2,0; Сю1 = 0,555; Сю2 = 0,833; д — масштаб турбулентных
пульсаций скорости; ю — удельная скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций. Граничные условия задаются в виде:
г = 0: д-3- = ^ = 0;
r _ r
дт дт дq дю дт дт
_ 0.
Для нестационарной задачи необходимы начальные профили q и ю. Экспериментальные данные для этих величин найти сложно. На первом этапе в качестве начальных данных для параметров турбулентности были выбраны простейшие профили q = const и ю = const. При вычислении выяснилось, что результат достаточно сильно зависит от начальных данных. Поэтому для того, чтобы найти начальные профили параметров турбулентности, использовалась
дУ
процедура, указанная в [8]. Решалась система уравнений (7) совместно с уравнением -------_ 0.
дt
После нахождения стационарных решений для q и ю эти данные использовались в качестве начальных для нестационарной задачи (1), (7).
Стандартные двухпараметрические модели турбулентности ориентированы, в основном, на моделирование турбулентности в пограничных слоях и слоях смешения. Расчеты показали, что эти модели дают чрезвычайно быструю диффузию вихря, как указано в [8]. Следовательно, стандартные модели требуют при их применении в расчетах вихревых движений газа модификации коэффициентов и функций замыкания для адекватного учета стабилизирующего эффекта закрутки потока в малотурбулентной области течения в ядре вихря.
Существует два варианта модификации двухпараметрических моделей турбулентности:
1. Модификация коэффициента Сц в формуле для вихревой вязкости (7), как в моделях
ARSM. Подробный обзор данного подхода рассмотрен в [9].
2. В дифференциальные уравнения для параметров турбулентности вводятся дополнительные члены, зависящие от внесдвиговых напряжений, а коэффициенты замыкания представляются в виде функций от параметра, описывающего эти напряжения.
В данной работе использовался второй подход.
При получении дифференциального уравнения для ю моделируются все члены исходного (полученного при осреднении по времени системы уравнений Навье — Стокса) уравнения и, следовательно, оно является наиболее вероятным источником погрешностей. Поэтому целесообразно модифицировать константы замыкания именно в этом уравнении. По-видимому, лучше всего модифицировать коэффициент Сю1, определяющий интенсивность генерации скорости диссипации, хотя следует отметить, что есть работы, где модифицируется коэффициент
С„2 [10].
В данной работе коэффициент Сю1 представлялся как функция параметра, описывающего закрутку потока. В качестве такого параметра в [11] предложено использовать угловую скорость
)
вращения главных осей тензора скоростей деформации Da. В трехмерном случае вместо этого
параметра необходимо использовать вектор угловой скорости, компоненты которого имеют сложную структуру. Поэтому в [12] для трехмерного течения предложен в качестве меры угловой скорости параметр
е = SJkDSij
(25 £ )3/2 Dt
у^^тп^тп /
где Ц, = 2
ду дуі
дх, дх.■
\ 1 1
тензор завихренности.
Можно показать, что в двумерном случае е = Da. Параметр закрутки потока можно определить как
4Р
г =
|Da /Бг\ ’
где Р берется из (7). Для осесимметричного вихря, рассматриваемого в настоящей задаче,
г =
г дУ 1------------
У дг
(8)
В [8] приведена формула для коэффициента Сю1, которая и использовалась в настоящей работе для расчетов:
ч Г 0,261/(0,05 + г), апёе г < 0,2,
с„1 = О,555+(с„2-°,555И1004/(1+.) .... ->02 (9)
11,004/(1 + 0,0017А), ап.е г > 0,2,
где
А = (г + 3,27)(г -1)(г - 3)2.
2. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными. Ниже проведено сравнение расчетных и экспериментальных данных. Расчеты проводились на основе алгебраической и двухпараметрической моделей турбулентности. В первом случае решалось уравнение (1), где турбулентная вязкость бралась из (3) для случая отсутствия турбулентности атмосферы и
_12
из (6) для случая учета турбулентности атмосферы при С1 = 0,23(Г/у) 7 , С2 = 0,08. Функциональный вид зависимости коэффициента С от Г/у получен с помощью результатов
[13]. Во втором случае решалась система уравнений (1), (7), где Сю1 определялась из (8) и (9).
Для решения системы уравнений в частных производных использовался метод прямых [14].
Расчетные данные сравнивались с экспериментальными, полученными в аэродинамических трубах АДТ-124 ЦАГИ (концевой вихрь и вихрь от закрылка) [2] и АДТ-105 ЦАГИ (концевой вихрь за полной компоновкой самолета), а также с экспериментальными данными, полученными в ходе летного эксперимента [3], [4].
На рис. 1 представлено изменение окружной скорости с течением времени для концевого вихря (а) и вихря от закрылка (б) в АДТ-124 ЦАГИ. Для данного сравнения использовалась алгебраическая модель турбулентности без учета турбулентности атмосферы и модифицированная q - ю модель.
Как видно из сравнения, обе используемые модели турбулентности приводят к удовлетворительному соответствию расчетных и экспериментальных данных. Хотя алгебраическая модель с хорошо подобранными коэффициентами несколько лучше описывает экспериментальные данные, чем модифицированная q - ю модель, последняя является более универсальной.
Ниже представлено сравнение расчетов, выполненных на основе алгебраической модели с учетом турбулентности атмосферы, с результатами летного эксперимента. На рис. 2 представлено изменение по времени циркуляции вихря, взятой по окружности с радиусом г0 = 6 м, для самолета Вое^-757 [3]
(так называемая «потеря» циркуляции). На рис. 3 представлен профиль скорости для самолета DC10 в сравнении с результатами расчета с помощью LES и результатами эксперимента [4] для левого и правого вихря при qa = 0,7 м/с.
Результаты показывают, что совпадение расчетных и экспериментальных данных достаточно хорошее.
На основе алгебраической модели с учетом турбулентности атмосферы была дана оценка влияния внешней турбулентности атмосферы на структуру вихря. На рис. 4 приведены профили окружной скорости Вое1^-747-400 для случаев спокойной атмосферы, qa = 0,1 м/с (а) и случая qa = 0,5 м/с (б). Как видно из приведенных графиков, при наличии турбулентной атмосферы диффузия вихря происходит гораздо быстрее.
При этом радиус ядра растет с течением времени лишь несколько быстрее, а максимальная скорость в вихре уменьшается
значительно быстрее по сравнению со случаем спокойной атмосферы.
Г (Эксп.)
■Г (Расчет)
Рис. 2
■ Лидар прав.
— - — - вИеп е1 а1. 1_Ев
Лидар лев. ■Расчет
Рис. 3
V
а)
■ Начальный профиль - - - Двухпараметрическая модель Алгебраическая модель а Эксперимент
V м/с
б)
■ Начальный профиль - - - Двухпараметрическая модель Алгебраическая модель а Эксперимент
Рис. 1
Рис. 5
На рис. 5 показано, как ведет себя циркуляция скорости, взятая по окружности заданного радиуса, с течением времени для случаев спокойной (а) и турбулентной (б) атмосферы соответственно. Можно заметить, что на расстоянии нескольких радиусов ядра циркуляция уменьшается. В турбулентной атмосфере происходит быстрая диффузия внешней части вихря и возникает потеря циркуляции. На рис. 6 приведены графики турбулентной вязкости для случаев спокойной и турбулентной атмосферы. Следует отметить, что в данной задаче завихренность сконцентрирована около оси вихря. Поэтому поведение турбулентной вязкости при больших значениях г практически не влияет на течение внутри вихря.
В заключение отметим, что алгебраическая модель с выбранными коэффициентами и модифицированная q - ю дифференциальная модель достаточно хорошо описывают экспериментальные данные. При этом была сделана попытка учесть влияние внешней турбулентности на диффузию вихря. Для этой цели в уравнение баланса турбулентной энергии введен дополнительный член. Показано, что при увеличении уровня турбулентности атмосферы происходит быстрая диффузия внешней части вихря и возникает потеря циркуляции.
Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант № 632).
Автор благодарит Г. Г. Судакова и В. В. Вышинского за полезные замечания и обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власенко В. В. О некоторых свойствах двухпараметрических дифференциальных моделей турбулентности // Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». Тезисы докладов. — Жуковский — Москва. — 2000.
2. Brysov O. P., Soudakova I. A., Soudakov G. G. Experimental investigation of the vortex wake behind a high-lift wing // Trudy TsAGI. — 1999. Vol. 2641.
3. Sarpkaya T. A new model for vortex decay in the atmosphere // AIAA Paper 99-0761.
4. Shen S., Ding F., Han J., Ary a S. P., Proctor F. H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulations // AIAA Paper 99-0755.
5. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 2. —
М.: Гостехиздат. — 194S.
6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. — 19S7.
7. C o a k l e y T. J., Huang P. G. Turbulence modeling for high speed flows // AIAA Pa-
1,4
vT, m2/c
0,7
0
----- 9=0,1 м/с ? :0,5 м/с
Рис. 6
per 92-0436.
8. P a k i n A. N. Application of a modified q - m turbulence model to simulation of twodimensional vortex gas motion // Trudy TsAGI. — 1997. Vol. 2627.
9. Lakshminarayana B. Turbulence modeling for complex shear flows // AIAA Journal. — 1986. Vol. 24, N 12.
10. Hellsten A. Some improvements in Menter’s к - m SST turbulence model // AIAA Paper 98-2554.
11. Knight D. D., Saffman P. G. Turbulence model prediction for flows with significant mean streamline curvature // AIAA Paper 78-258.
12. S p a l a r t P. R., S h u r M. On the sensitization of turbulence model to rotation and curvature // Aerospace Science and Technology. — 1997. Vol. 5.
13. Saffman P. G. Structure of turbulent line vortices // Phys. Fluids. — 1973. Vol. 16, N 8.
14. Madsen N. K., Sincovec R. F. Algorithm 540: PDECOL, General collocation software for partial differential equations // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1979. Vol. 5, N 3.
Рукопись поступила 1/Х 2001 г.