О ПРИМЕНЕНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЁРРА К АСИМПТОТИЧЕСКОМУ ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ РЕЗЕРВА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. .V 3. С. 39 53 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal

УДК 519.2

В.Е. Бенинг1

О ПРИМЕНЕНИИ РАПРЕДЕЛЕНИЯ БЁРРА К АСИМПТОТИЧЕСКОМУ ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ РЕЗЕРВА СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ*

В работе рассмотрено асимптотическое поведение резерва организации, подверженной риску в случае, когда число факторов, приводящих к убытку, случайно. Рассмотрено конкретное рапреде-леппе убытков, а именно распределение Вёрра. Проведено асимптотическое сравнение деятельности таких организаций в терминах необходимого добавочного числа таких факторов. Рассмотрены два примера, иллюстрирующие полученные результаты. Первый пример касается максимальных потерь, а во втором примере рассматриваются усеченные биномиальное распределение и распределение Пуассона, описывающие число случайных факторов, приводящих к потерям.

Ключевые слова: резерв страховой компании, выборка случайного объема, распределение Вёрра, асимптотические разложения, усеченные биномиальное распределение и распределение Пуассона, максимальная порядковая статистика, асимптотический дефект.

DOI: 10.55959/MSU/0137 0782 15 2024 47 3 39 53

1. Введение. Всюду ниже под организацией, подверженной риску, будем понимать страховую компанию (фирму), а иод факторами риска ее клиентов, страхующих свои потери. Хотя, например, иод такой организацией можно рассматривать .лечебное учереждение, а иод факторами риска ее больных (в случайном числе, например, в условиях пандемии). Итак, рассмотрим простейшую модель страхования, в которой в течение разных отчетных периодов одинаковой длины (например, месяцев или лет) происходит разное число страховых событий (страховых выплат или заключений страховых контрактов). Подобного рода ситуации возникают, например, в медицине, когда число пациентов с тем или иным заболеванием варьируется от года к году, в технике, когда при испытании на надежность (скажем, при определении наработки на отказ) разных партий приборов, число отказавших приборов в разных партиях будет разным и заранее неопределенным. В таких ситуациях, когда число клиентов, которые доступны страховой компании заранее не известно, его разумно считать случайной величиной. В силу указанных обстоятельств вполне естественным становится изучение асимптотического поведения деятельности страховой компании в случае, когда число клиентов случайно. На естественность такого подхода, в частности, обратили внимание авторы работ [1 5].

В работе [6] рассматривалось распределение (распределение Берра) с функцией распределения (ф.р.) вида

F(x) = 1 - ——х > 0, г > 0, 7 > 0.

V ) (]_ + xr )Y ' ' '

При этом постоянные r и 7 характеризуют скорость убывания "хвостов" этого распределения (она может быть достаточно медленной, т. е. с большой вероятностью возможны "большие" риски). При малых r и y v этого распределения отсутствуют моменты достаточно высоких порядков и плотность. Применению этого распределения, например, посвящены раздел 6 работы [6] и работа [7]. Оно также рассмотрено в книге [8, с. 242].

Для случая распределения Берра в работе изучается асимптотическое поведение необходимого резерва страховой компании в случае, когда число клиентов страховой фирмы детерминиро-ванно или случайно. Результаты подобного типа содержатся в работах [9 14]. Получены аеимп-

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.п., е-шаП: beningOyandex.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке Мипобрпауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению .Л- 075 15 2022 284.

тотичсскис разложения (а.р.) необходимого резерва страховой компании. Проведено асимптотическое сравнение деятельности страховых компаний в терминах необходимого добавочного числа клиентов (асимптотический дефект). Рассмотрены два примера, иллюстрирующие полученные результаты. Первый пример касается максимальных потерь (максимальная порядковая статистика), а во втором рассматриваются усеченные биномиальное распределение и распределение Пуассона.

2. Асимптотический дефект и его свойства. Рассмотрим две статистические процедуры ПП и Пп с мерами качества пП и пп соответственно. Здесь п — число наблюдений Х1,..., Хп, на которых основаны эти процедуры. При этом предполагается, что статистическая процедура ПП

Пп

задаче статистического оценивания в качестве меры качества обычно выступает среднеквадратичное отклонение оценки от оцениваемой функции, при этом пП ^ пп, а в задаче проверки статистических гипотез в качестве меры качества критериев рассматривают их мощность и тогда

п-

Обозначим через m(n) необходимое число наблюдений, которое требуется процедуре Пт(п), основанной на наблюдениях Xi,..., Хт(п), для достижения такого же качества, что и "лучшей" процедуре ПП, которой требуется n наблюдений Xi,..., Xn. Ниже рассматривается асимптотический подход, означающий, что n ^ то. Под асимптотической относительной эффективностью (АОЭ) процедуры Пт(п) по отношению к процедуре ПП понимается предел (в случае его существования и независимости от последовательности m(n)) вида (см., например, [15])

n

е = hm ——. п^то m(n)

Например, предположим, что e = 1/3, тогда при больших значениях числа наблюдений n величина m(n) приближенно равна 3n, поэтому процедуре Пт(п) для достижения такого же качества, что и процедуре ПП, требуется примерно в три раза больше наблюдений.

Вместо отношения необходимого числа наблюдений, естественно, можно было бы рассматривать разность вида m(n) — n, которая тоже имеет наглядный смысл необходимого дополнительного числа наблюдений, требующихся процедуре Пт(п) для достижения того же качества, что и процедуре ПП- Однако, исторически сложилось так, что многие авторы сначала исследовали асимптотические свойства отношения n/m(n) (возможно, в силу относительной простоты его поведения).

Впервые общее асимптотическое исследование поведения разности m(n) — n было предпринято в 1970 г. Дж. Ходжесом и Э. Леманом (см. [16]). Они назвали разность m(n) — n дефектом (deficiency) конкурирующей процедуры Пт(п) относительно процедуры ПП и предложили обозначение

dn = m(n) — n. (1)

Если предел lim dn существует, то от называется асимптотическим дефектом процедуры Пт(п) относительно процедуры ПП и обозначается символом d. Часто d называют просто дефектом Пт(п) относительно П^. Заметим, что если АОЭ e = 1, то d = той этот случай малоинтересен. В работе [16] также было отмечено, что существуют статистические задачи, в которых типичным

e=1

ответа на вопрос, какая процедура лучше, и понятие дефекта проясняет эту ситуацию, поскольку в этом случае асимптотический дефект может, в принципе, быть любым.

Предположим, например, что d = 7. Тогда для больших значений n величина m(n) равна приближенно n + 7. Чтобы получить ту же величину критерия качества процедуре Пт(п) требуется примерно на семь наблюдений больше, чем процедуре ПП

Таким образом дефект процедуры Пт(п) относительно процедуры ПП показывает, сколько добавочных наблюдений примерно требуется, если мы настаиваем на использовании процедуры Пт(п) вместо процедуры ПП, и поэтому создает естественный базис для их асимптотического сравнения в случае e = 1. Исследование асимптотического поведения дефекта dn технически

более сложно, чем нахождение предела е. Часто оно требует построения асимптотических разложений (а.р.) для соответствующих функций, характеризующих качество оценок (см., например, [15 171).

Напомним, что статистические процедуры П^ и Пп имеют меры качества пП и пп соответственно, тогда по определению величины (1п = т(п) — п, для каждого п должно выполняться равенство

пП = пт(п) • (2)

При решении уравнения (2) целочисленную величину т(п) следует рассматривать как переменную, принимающую произвольные действительные значения. Для этого можно определить функцию пт(п) для нецелых значений т(п) по формуле

Пт(п) = (1 — т(п) + [ш(п)]) П[т(п)] + (т(п) — [ш(п)]) П[т(п)]+1

(см. работу [16]).

Типичным образом функции пп и пп неизвестны точно и используются их аппроксимации. Предположим, что справедливы асимптотические разложения вида

< = % + + (3)

Жп = ^ + ^ + 0 (""'"')> (4)

где а, Ь и с — некоторые постоянные, не зависящие от п, а I > 0, в > 0 — некоторые

п

асимптотических разложениях одинаков, и это отражает тот факт, что АОЭ этих процедур равна единице. Из соотношений (1) (4) легко получить, что (см. работу [16] или книгу [15])

с - Ъ I а

Таким образом, асимптотический дефект имеет вид

0 < в < 1,

с—Ь

(1П = —-тг1"* + о^1"*). (5)

(=

I а

0, в > 1.

= 1, (6)

в=1

этом случае асимптотический дефект конечен. Дж. Ходжее и Э. Леман в работе [16] привели ряд простых примеров, показывающих естественность возникновения этого случая в математической статистике (см., также книгу [17] и работы [9, 10]).

В статье приняты следующие обозначения: М — множество вещественных чисел, N — множество натуральных чисел.

В п. 2 приведены результаты в случае неслучайного числа клиентов, в п. 3 проведено асимптотическое сравнение деятельности страховых компаний в этом случае, в п. 4 рассмотрена ситуация, когда число клиентов страховой фирмы случайно, в п. 5 рассмотрены примеры.

2. Асимптотическое поведение необходимого резерва страховой организации в случае большого неслучайного числа клиентов. Рассмотрим страховую компанию, занимающуюся страхованием п € N клиентов, риски которых описываются случайными величинами Х1,... ,Хп (не обязательно независимыми и одинаково рапределенными). Обозначим через

Бп = £п(Хъ ..., Хп)

п

иметь вид суммы отдельных исков клиентов

п

Бп = X (7)

г=1

или равняться их максимальному значению

Бп = тах X = (8)

Назовем а-резервом (асимптотической а-кваптилью статистики Бп, а € (0,1) — малое число), соответствующим потерям Бп, величину сО,(п), удовлетворяющую асимптотическому равенству

Р(Бп ^ с£(п)) = а + о(п-2в), в > 0, п ^ то. (9)

В регулярном случае обычно в = 1/2 (см. [14]), однако здесь будет рассмотрен случай в = 1-

Бп

клиентами страховой компании, то а-резерв с^(п) может рассматриваться как резервный капитал

п

вероятностью 1 — а желательно не превышать.

Применяя формулу Тейлора, несложно получить следующий результат.

Лемма 1. Пусть для функции распределения статистики Бп равномерно по х € М справедливо а.р. вида

Р (Бп < х) = С*(х) + 9*1 (х) + 4в + Ф"2/3), Р > 0,

где С*(х), д*(х), д*(х) — достаточно гладкие функции. Тогда, для а-резерва с£,(п) справедливо

9\ (са)

ca (n) = ca

aV v a «в *V„*

ne g*' (ca)

1 + G*'(c*a)g*2(cZ) - ^(Q^h + , _2/3)

n2e V 2(G* (ca))3 ' (G* (ca))2

где ca удовлетворяет ура,в нению G*(ca) = 1 — a.

Рассмотрим применение этой леммы в случае, когда страховая компания страхует однотипных и независимых клиентов, а потери представлены нормированной величиной (8) (случай нормированной суммы (7) рассмотрен в работе [14]).

Итак, пусть Xi,X2,..., Xn — независимые одинаково распределенные с.в., имеющие функцию распределения (распределение Берра)

F(x) = Р(Хг < х) = 1 - ж > 0, г > 0, 7 > 0, (10)

n

порядковой статистики (или максимальной потери)

1

Бп = П Х{п). (11)

Обозначим:

Fn (x) = Р(Sra < x), F„ (x) = P(Sra < (x — n-1 )1 . Тогда Fn(x) = Fn((x + n-1 )r) и справедлива следующая

Теорема 1. Пусть независимые одинаково распределенные с.в. X1 ,...,Xn имеют функцию распределения (10). Тогда, для, функции распределения Fn(x) при x ^ 0 > 0 справедливо асимптотическое разложение вида

р _1/т7 e~l/x'1 e~l'xl /1__1_\

6 + 2?гх2-г + «2^37 U 8x7 J ^ < C("e\f, \/Х , С (в) > 0, х ^ в > 0, и € N,

n3h(x)

г^е функция h(x) имеет вид

h(x) =

x4y , x ^ 1,

x8y , 0 <0 < x < 1.

Доказательство. По определению (11) статистики Sn имеем

Fn(x) = P(Sn < (x - n-1/Y)1/r) =

= n1/r?f(x - ??"1/7)1/r) = (l -

Таким образом, получаем представление

Fn (x) = expj n log(l - 1/nx7)}. (12)

Теперь используя разложение

i2 i3

log(l + i)=i-- + - + p(t),

где для 5 > 0, при |t| ^ 5 существует константа C > 0, такая, что справедливы неравенства

|p(t)| < Cs t4, |t| < 5, ()

Fn (x) = exp{n log(l — 1/nx7)} = = exp{—1/xY — 1/2nx27 — 1/3n2x3Y + npn(x)}, (13)

где для остаточного члена справедливо неравенство

\прп(х)\ < с (в) > о, х > е > 0.

Теперь из соотношения

t2

еь = 1 + t + - + p(t), |p(i)| < Cs\t\\ |i| < 5,

и равенства (13) следует представление

Fn(x) = exp{—1/xY} exp{— 1/2nx27 — 1/3n2x37 + npn(x)} =

2x

= exp{—1/xY} (l — 1/2nx27 — 1/3n2x3Y + npn(x) +

+ (1/2'"27 + 1/3f '7 + + MX)), (14)

(1/2 ??ж27 + 1/3??2 ж37 + прп(х))2 ~2

где остаточный член pn(x) удовлетворяет неравенству

|рп(х)| < С(0)|1/2пх2г + 1/3п2х3г + прп(х)|3.

Теперь утверждение теоремы 1 следует из соотношений (13) и (14). Теорема доказана. С учетом равенства

Fn (х) = Ёп ((х + п-1/7 )г)

из теоремы 1 непосредственно получается

Следствие 1. Пусть независимые одинаково распределенные с.в. Х1,... ,Хп имеют функцию распределения (10) с 0 < 7 < 1/2, тогда для функции распределения Fn(х) статистики Бп справедливо асимптотическое разложение вида

1 __i_

__i_ е ^ е ^ /1 1 \

К(х) - е ^ + —_ + _ ——j

<

<

С(0) е-

пт1п(1/7,3) ^1(х)'

С(0) > 0, х ^ 0 > 0, п € М,

где функция Л-1 (х) имеет вид

х4г7, х ^ 1, х8

^(х) = ^ т8^, 0 <0 < х < 1.

Следствие 2. Пусть независимые одинаково расиределеные с.в. Х1,...,Хп имеют функцию распределения (10) с у = 1/2, тогда для функции распределения ^П(х) Бп

справедливо асимптотическое разложение вида

^П(х) — е-

1 е хг'2 е хг'2 /1 ^ + т—г- + -

1

2пхг

п2х3г/П 3 8хг/2 2х1-г

<

<

С(0) е

1

V/2

п3Л,2(х)

где функция Л-2 (х) имеет вид

^2(х) =

С(0) > 0, х ^ 0 > 0, п € М,

хт1п(2г,2+г) х ^ 1

хтах(4г'2+г), 0 <0 ^ х < 1.

Следствие 3. Пусть независимые одинаково распределенные с.в. Х1,... , Хп имеют функцию распределения (10) су > 1/2, тогда для функции распр еделения ^П(х) Бп

справедлива следующая асимптотическая аппроксимация:

^П(х) = ехр

1

х

£

ГМ х-к п-к/7~> X

Х(1 " й^т Е (Т) + +

* **

где в — некоторое положительное число, суммирования ^ и ^ распространяются на все к €

к к

{0,1, 2,...}, такие, что соответственно к/у ^ 2 ж к/у ^ 1, при этом

а(а — 1) ■ ■ • (а — к + 1) Л!

, а € М, к = 0,1,....

Из этих утверждений и леммы 1 непосредственно следует а.р. для а-резерва сО,(п). Лемма 2. 1. Пусть выполнены условия следствия 1, тогда для а-резерва са(п) справедливо

а.р.

где

са(п) = „а +

"1{а) ' ^ + 0(п"2),

п

+

п2

„а = Г1^ (а),

1 1-Г7

■гд(а) = — I г~1 (а), гу

„2 (а) =

1^-У/гЦд) ((-к + Я) + ¿(а)М)

гу

¿(а) = — log(1 — а).

1

X

1

1

г

а

к

2. Пусть выполнены условия следствия 2, тогда для а-резерва с^(п) справедливо а.р.

сМ =юа + Ю-^ + Щ + о(п"2),

п п2

V« = 1-2/г (а), 2

«1 (а) = - 1{2~г)/г{а),

2 г(аг-2)/г(ск) + ^) + ) - г

■г;2(а) = -—-----,

г

¿(а) = — ^(1 — а).

3. Сравнение необходимых резервов страховых компаний при неслучайном числе клиентов. В этом разделе будет проведено асимптотическое сравнение необходимых резервов двух страховых компаний в терминах необходимого добавочного числа клиентов (асимптотический дефект).

Рассмотрим теперь другую страховую компанию, суммарный ущерб которой имеет вид Тп = = ЗДь ..., У) и зависит от п "потерь" У1,..., УП, представляющих собой с.в.(с произвольным

п

фирмы. Назовем а-резервом (а € (0,1)), соответствующим ущербу Тп, величину са(п), удовлетворяющую асимптоти ческому равенству

Р(т„ ^ Са(п)) = а + о(п-2), п ^ то. (15)

Если интерпретировать величину Тп как суммарные страховые требования, предъявляемые страховой компании п клиентами, то а-резерв са(п) может рассматриваться как резервный капитал

(1 — а)

Здесь будет рассмотрен случай, когда У^ ... — независимые одинаково распределенные с.в., имеющие функцию распределения (см.(10))

С„(ж) = Р(У1 < х) = ^(х — 0„), (16)

= 1 " (1 + хг)Г ж > 0, г > 0, 7 > 0,

дп = 4 + о(п~2), х - вп > 0, / € М, п2

п

порядковой статистики (или максимальной потери)

Тп = п т У{п), У{п) = тах Г,. (17)

Из леммы 2 непосредственно следует

Лемма 3. Пусть независимые одинаково распределенные с.в. У1,...,УП имеют функцию распределения (16), тог да:

1) если выполнены условия следствия 1, то для ф.р. статистики Тп (17) справедливо а.р.

-1/жгт е-1/жг^ /1 1

Р(Х„ < „ = е-/- - _ _ + + о(п->);

2) если выполнены условия следствия 2, то для ф.р статистики Тп (17) справедливо а.р.

_ 1

__Р хг/'2

Р(Тп < X) = е ^ -

2пХ

где

е г-1/2 /1__^ г(/ - 1)\ ,

"п2жЗг/2^3 " 8жГ7 + 2ж1-г у +

Лемма 4. Пусть независимые одинаково распределенные с.в. К1,...,Уп имеют функцию распределения (16). Тогда:

1) если выполнены условия следствия 1, то для а-резерва са(п) (15) статистики Тп (17) сщмведливо а.р.

Са(п) = + ^ + Щ + 0(п-2),

п п2

„а = Г1/Г7 (а),

X 1-Г7

■гд(а) = — I г"< {а), гу

Ыа) = -^--}- + /,

¿(а) = — log(1 — а).

2) если выполнены условия следствия 2, то для а-резерва са(п) (15) статистики Тп (17) сщмведливо а.р.

где

■гд

п п2

= 1-2/г (а), 2 г

2 + П) + , _ г

• /

(а) = - Р~гУг{а),

2 ^-«/-(а) ((* + ¥) + ) и22(а) = ---^-1- + / - 1,

¿(а) = — ^(1 — а).

а

П* = са(п), Пп = Са (п).

Теперь непосредственно из Леммы 4 и формулы (6) получаются формулы для аеимптотичеекхнх) дефекта.

Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 4. Тогда, если 0 < у < 1/2, то асимптотиче-,,

л = ; /Г7

„1(а) (— log(1 — а))(1-г7)/гт'

если же у = 1/2 то

л = ' - 1 - (/ - 1»г

■1(а) 2(— log(1 — а))(2-г)/г '

3 а м с ч а н и с 1. Если рассмотреть меру качества в виде функций распределения (при х

п* = Р(Бп < х), Пп = Р(Тп < х),

то в условиях теоремы 1, ее следствий и леммы 3 соответствующие асимптотические дефекты имеют вид

й = —2/гухГ7-1

и при 7 = 1/2

а = г(1 — /) жг/2-1.

4. Случайное число клиентов. Рассмотрим случайные величины N1, N2, ... и Х1, Х2, ...

заданные на одном и том же вероятностном пространстве (П, А, Р). В рассматриваемом случае страхования с.в. — Х1, ... интерпретируются как страховые требования клиентов, п — неслучайное число клиентов страховой фирмы, а с.в. N — случайное число клиентов страховой компании, зависящее от натурального параметра п € N. Например, если с.в. N имеет геометрическое распределение вида

1 Л 1\к-1

Р(^ = к) =

п

1 - -I п

к € N

то

Е N. = п,

(18)

п

далее будет предполагаться всех да выполненным.

Предположим, что для каждого п € ^в. Nn принимает только натуральные значения (т.е. Nn € N и не зависит от последовательности с.в. Х1, Х2, ...

Для каждого п € N обозначим через = 5га(Х1,...,Хга) обобщенные потери страховой компании, т.е. действительную измеримую функцию, зависящую от страховых требований Х1, ..., Для каждого п определим потери страховой компании, обслуживающей случайное число клиентов как

(ш) = ^„н(Х1 (Ш)(ш)) ш € П.

Асимптотическое разложение для ф.р. случайных потерь описывается следующей леммой.

1

< ж) - е +

е~— ЕМ,

2ж2гт

+

ж3г^

М

3 8жг^)

<

С(0) е-^т ЕАГ-т!п(1/7'3) ^1(ж)

С(0) > 0, ж ^ 0 > 0,

г(9е функция (ж) имеет вид

^(ж) = ( ж8г7, 0 < 0, < ж < 1. 2

ж4г7, ж ^ 1,

<

< ж) - е ^ +

__1 е ЕК,

2жг

-1 е хг/2 ЕТУ-2 /1

га__га ' х

ж

3г/2

1

3 8жг/2 2ж1-г

<

<

С(0) е-

EN,

-3

^2 (ж)

С(0) > 0, ж ^ 0 > 0,

г(9е функция Л,2 (ж) имеет вид

^2(ж) =

жШ1п(2г,2+г) ж ^ 1

жтах(4г'2+г), 0 <0 < ж < 1.

Д о к а з а т с л ь с т в о непосредственно следует из формулы полной вероятности. С л с д с т в и с 4. Пусть справедливы формулы

Е Ып = п, Е К'1 = - + Ц + о(п~2), а-1 € М,

п п2

г

1

г/2

Е К~2 = + о{п~2), Е К~3 = о{п~2), а,2 € М,

и выполнены условия следствия 1. Тогда

1

1 е

Р(Б^п < х) = е-

Г7 _

2пх2г^

1

е /1 1 \ а^' ' \ . 2ч

- - 8^) + —) + >• * > » >

Если же выполнены условия следствия 2 (у = 1/2), то

_ 1

. , __е

1

е / /1 1 г \ а,1Хг/2

: / /1 1 г \ а^'^ч . 2.

^Нз - " 2^) + —) + °{п * > ' >

п2х3-/^ \ 3 8хг/2 2х1-г/ 2

Рассмотрим теперь как меру качества страховой компании ее функции распределения (при х

пП = Р(Бп < х), Пп = Р(Б^„ < х). (19)

Теперь непосредственно из следствий 1, 2, 4 и формулы (6) получается формула для асимптотического дефекта.

С л с д с т в и с 5. Пусть выполнены условия следствий 1 и 4. Тогда для асимптотического дефекта (добавочное число клиентов) при мере качеств (19) справедлива формула

2 (а2 - 1) (1 1 \ ,3

й = 2 102 " - -Ц + а,.

Уз 8х^У 1

Если выполнены условия следствий 2 (у = 1/2) и 4, то асимптотический дефект имеет вид

2 (д2 - 1) /1__1___г_л

х-/2 13 8хг/2 2х1~г) 01'

Определим теперь а-резерв са(п) статистики Б^п по формуле

Р(Б^„ ^ Са(п)) = а + о(п-2), п ^ то. (20)

Следствие 6. Пусть выполнены условия следствий 4 и 1 с а2 = 1. Тогда для а-резерва са(п) статистики Б^п (см. (20)) справедливо представление (см. лемму 3)

С*(п) = уа + + Щ + 0(п-2)>

п п2

„а = уГ1/г (а),

7

а1 11-1/г7 (а)

Щ(а) = 1 а),

и2(а) = У2{а) +

¿(а) = — log(1 — а).

Если выполнены условия следствий 4 и 2 (у = 1/2), а2 = 1, то (см. лемму 3)

п п2

^ = 1-2/г (а), 2

щ{а) = - Р~г)/г{а),

а1 11-2/г (а) и^уа) = г>2{а) + ---,

¿(а) = — ^(1 — а).

Пусть теперь меры качества имеют вид

пП = 4(а), п„ = с„(а). (21)

Непосредственно из следствия 6, леммы 3 и формулы (6) получается выражение для асимптотического дефекта.

С л е д с т в и е 7. Пусть выполнены соответственно условия леммы 3 и следствия 6. Тогда для асимптотического дефекта (добавочное число клиентов) при мере качеств (21) справедливы формулы

г/.г(а) — ^(а) «1 ¿^(ск) г^ (а) 72

при 7 = 1/2:

2( г—2)

^ _ и.2(а) — г>2(а) _ а,\ I г (а) щ(а) ~ 2 '

5. Случай усеченных биномиального распределения и распределения Пуассона.

Пусть с.в. N имеет усеченное в нуле биномиальное распределение с параметрами мр € (0,1), т.е.

Р(М = г) = ^ д = 1 - г = 1 (22)

Тохда

Е N = ПР

1 —

и в работе [18, см. (2.18) (2.20)] получены следующие асимптотические формулы:

^ ^ 1 — (¡'г (пр (пр)2 ^ ^^П^ '

Е = Г^ ((¿р + м-: Е ^ = г^ {ш + 0(1прГ

Определим теперь случайный индекс N. как с.в. N с параметрами пт, п, т € М, т фиксировано и р = 1/т, п ^ то. Тогда из последних формул получаем

ЕДГ-1 = _I_ (I + 1 ~ Ут + о^-з^

1 - (1-1/т)пш + п2 + ))

аналогично:

1 1 — 1/т .

= - + -т-~ + 0(п ),

п п2

ЕЖ"2 = ± + 0(п"3) ЕЛГ"3 = -1 + 0(п"4)

Теорема 2. Пусть случайный индекс Мп имеет, распредел,ение (22) с параметрами пт, п, т € М, т фиксировано и р = 1/т, п ^ то. Тогда, при выполнении условий следствия 4 справедливы асимптотические разложения

Р(< X = е"

1

1 е " —

2пж2г7

1

е

— - — —

п2ж3гтУ Уз если о/се 7 = 1/2, то

((- - —) + ^-+ о(п~2), х > в > О,

Р(^ < X = е-

1

е хг/'2

ХГ/2

1

2пж

Пусть теперь меры качества страховой компании имеют вид

= Р(5п < ж), Пп = Р(^„ < ж). (23)

Пп

Теперь непосредственно из леммы 2, теоремы 2 и формулы (6) получается формула для аеимп-тоти чеекого дефекта.

С л с д с т в и с 8. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для асимптотического дефекта (добавочное число клиентов) при мере качеств (23) в обоих случаях справедлива формула

(1=1-—.

т

С л с д с т в и с 9. Пусть выполнены условия следствия 8. Тогда в условиях следствия 6 для а-резерва са(п) статистики справедливы асимптотические разложения

са(п) = ^ + ^ + ^ + о(п-2),

где

Если же 7 = 1/2, то

где

п п2

V« = 7 Г1/г(а),

Щ(а) = 1 1^/Ца),

и,(а) = у2(а) + (1 " ^"1/Г7(а): ¿(а) = — 1о§(1 — а).

са(п) =юа + ^ + Щ + о(п~2),

п п2

V« = Г2/г (а), 2

щ{а) = - Р~г)/г{а),

гМа) = у2(а) + (1 ~ ^^^, ¿(а) = — 1о§(1 — а).

г

а

и случайного числа клиентов, т.е. пусть

пП = 4(а), п„ = с„(а). (24)

Теперь неносредственно из леммы 3, теоремы 2 и формулы (6) получается формула для асимн-тоти чеекого дефекта.

С л е д с т в и е 10. Пусть выполнены условия следствия 8. Тогда для асимптотического дефекта (добавочное число клиентов) при мере качеств (24) справедливы формулы

й = и2(а) - у2(а) = (1 ~ /У (а)

их (а) 72

при 7 = 1/2

/ 1 \ 2(Г-2)

= и2(а) - У2(а) = (1 - -г) 1 г (а) щ (а) 2

Пусть теперь с.в. М имеет усеченное в нуле распределение Пуассона с параметром А > 0,

т.е.

е~А А* г! (1 - е_А)

тохда

Р(М = '0 = Л П _ = (25)

ЕМ = Х

1 — е-А'

и в работе [18, см. (3.7)] получены следующие асимптотические формулы:

,_,„.„ 1 Л д(д + 1) д(10 + 21д + 14д2 + Зд3) 3Л\

ЕМ- = Лй (1 _ е_Л) (1 + + ^-24А2 + °(Л ))' * >

В этом случае определим случайный индекс N. как с.в. М с параметрами А = п € М, п ^ то. Тохда из последней формулы получаем

ЕЛ-,-» = ± л + 2<г±!) + + 11У + 38») ( ^

па V 2п 24?г2 1 V у

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 6 и случайный индеке N имеет распределение (25) с параметром А = п. Тогда при выполнении условий следствия 4, справедливы асимптотические ю,вложения,

1

< х) = е."- - ^ -

- - —) + —) + о(п~2), х > 0 > О,

если же 7 = 1/2, то

1

__е

< х) = е _

г

е //1 1 г \ хг/2\ . --'---лт--1— + - + о(п~2), х ^ в > 0.

п2х3г/Н\3 8жг/2 2ж1-ГУ 2

Пусть теперь меры качества страховой компании имеют вид

пП = Р(< ж), п„ = < ж). (26)

Теперь непосредственно из леммы 2, следствия 5 и формулы (6) получается формула для аеимп-тоти чеекого дефекта.

С .л с д с т вис 11. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для асимптотического дефекта при мере качеств (26) справедлива формула й = 1.

Следствие 12. Пусть выполнены условия следствия 11. Тогда для а-резерва са(п) статистики (см.(15)) справедливо представление

са(п) = + Щ + ^ + о(п"2),

п п2

1ДС

Если же у = 1/2, то

где

Рассмотрим теперь

^ = 71-1/г (а),

Щ(а) = 1- ^-^(а),

11-1/'7 (а)

и2(а) = у2(а) + -—-=

¿(а) = — 1о§(1 — а).

п п2

„а = 1-2/г (а), 2

щ{а) = - Р~г)/г{а), ¿1-2/г (а)

г/,2(а) = У2{а) + ---,

¿(а) = — 1о§(1 — а).

пП = 4 (а), п„ = с„(а). (27)

Теперь непосредственно из леммы 2, теоремы 2 и формулы (6) получается формула для аеимп-тоти чеекого дефекта.

С л е д с т в и е 13. Пусть выполнены условия следствия 12. Тогда для асимптотического дефекта для мер качеств (27) справедливы формулы

_ и2(а) - (а) _

г^(а) у2

Если 7 = 1/2, то

_ йг(а) - щ{а) _ 1~^гЛ(а) щ(а) ~ 2 '

6. Заключение. Таким образом, в работе рассмотрено конкретное распределение Берра (см. работы [6, 7] и, например, книгу [8, с. 243]) в применении к описанию деятельности организации, подверженной риску. Исследовано асимптотическое поведение резерва страховой компании (организации, подверженной риску) в простейшей модели страхования в случае, когда число факторов, приводящих к убытку (число клиентов), как случайно так и детерминировано. Проведено асимптотическое сравнение деятельности этих организаций в терминах необходимого добавочного числа таких факторов (клиентов). Приведены явные формулы для асимптотического дефекта. Рассмотрены два конкретных примера, иллюстрирующие полученные результаты. Первый пример касается максимального ущерба, который характеризует потери страховой компании, а во втором примере рассматриваются усеченные биномиальное распределение и распределение Пуассона, описывающие случайное число клиентов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г н о д о н к о Б. В. Об оценке неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений // Труды Тбилисского Математического института. 1989. 92. С. 146 150.

2. Г н е д е и к о Б. В.. Ф а х и м X. Об одной теореме переноса /'/' ДАН СССР. 1969. 187. С. 15 17.

3. Б е н и н г В. Е.. Королев В. Ю. Об использовании распределения Стыодента в задачах теории вероятностей и математической статистики // Теор. верояти. и ее примеи. 2004. 49. № 3. С. 417 435.

4. В е n i n g V. Е.. К о role v V. Yu. Generalized Poissori Models arid Their Applications in Insurance and Finance. Utrecht: VSR 2002.

5. Бен и и г В. E.. К о р о л е в В. Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Лапласа // Информатика и ее применения. 2008. 2. № 2. С. 19 34.

6. В u г г I. W. Cumulative frequency functions // Ann. Math. Statist. 1942. 13. P. 215 232.

7. Hakim A. R... F i t h r i a n i M., Novita M. Properties of Burr distribution and its application to heavy-tailed survival time data // J. Physics: Conference Series. 2nd BASIC. 2018. P. 10 15.

8. К e и д а л л M. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука. 1966.

9. Boning V. Е. Transfer theorems concerning asymptotic expansions for the distribution functions of statistics based on samples with random sizes // Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 2018. 28. N 2. P. 187 200.

10. Boning V. E. On the asymptotic deficiency of some statistical estimators based on samples with random sizes // Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society. 2018. 21. N 2. P. 185 193.

11. Б e ii и ii г В. E. Об асимптотическом поведении квантилей распределений статистик, основанных на выборках случайного объема /'/' Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2017. № 3. С. 5 121

12. Б о н и н г В. Е. О поведении асимптотического дефекта квантилей распределений статистик, основанных на выборках случайного объема /'/' Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2018. № 3. С. 42 57.'

13. Б о н и н г В. Е. Об асимптотическом поведении резерва страховой компании /'/' Вести. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2020. № 2. С. 35 47.

14. Б о и и и г В. Е. О сравнении необходимых резервов организаций, подверженных риску, с помощью понятия дефект // Вестн. Тверского гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. 2022. № 3. С. 5 26.

15. L о h rii a n n Е. L., С a s о 11 a G. Theory of Point Estimation. Berlin: Springer, 1998.

16. Hodges J. L., L e h m a n n E. L. Deficiency // Ann. Math. Statist. 1970. 41. N 5. P. 783 801.

17. Boning V. E. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses: Efficient Statistics, Optimality, Power Loss, and Deficiency. Berlin: Walter do Grnyter, 2011.

18. ZnidaricM. Asymptotic expansion for inverse moments of binomial and Poisson distributions / / arXiv:matli/0511226vlfmatli.ST] 9 Nov. 2005.

19. К p а м о p Г. Математические методы статистики. M.: Мир, 1976.

20. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

Поступила в редакцию 15.12.23 Одобрена после рецензирования 11.03.24 Принята к публикации 11.03.24