О применении модельных пространств для построения коциклических возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КОЦИКЛИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОЛУГРУППЫ СДВИГОВ НА ПОЛУПРЯМОЙ

Г.Г. АМОСОВ, А.Д. БАРАНОВ, В.В. КАПУСТИН

Аннотация. В работе описывается конструкция коциклических возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой, основанная на использовании теории модельных пространств. Показано, что, подбирая внутреннюю функцию, определяющую модельное пространство, можно добиться того, чтобы элементы возмущенной полугруппы имели предписанный спектральный тип и отличались от элементов исходной полугруппы на операторы класса Шаттена-фон Неймана &р, р > 1. Отдельно рассматривается случай возмущений класса со следом 61.

Ключевые слова: полугруппа сдвигов, внутренняя функция, классы Шаттена-фон Неймана.

1. Введение

Пусть ( St, t > 0) и (St, t Е R) - полугруппа сдвигов в пространстве Н = L2(R+) и группа сдвигов (ее унитарная дилатация) в пространстве Н = L2(R), определенные формулами

{;

(Q \ )^(Х — ^, х > t,

(St f)(х) = ^ ^ + f ЕН,

0, 0 < х < t,

и

(&д ){х)=д{х - г), деН.

Иногда удобно считать, что мультипликативная группа алгебры В(Н) ограниченных операторов в пространстве Н вложена в мультипликативную группу алгебры В(Н) таким образом, что элементы В(Н) действуют на функциях / е Н с носителем на отрицательной полуоси как тождественное отображение. В этом смысле операторы, действующие в Н НН

семейство унитарных операторов ( Wt, £ > 0) в пространстве Н называется коциклом полугруппы СДВИГОВ ( St, £ > 0), если выполнено условие (см. [1])

Wt+a = WtStWsS-t, 1,8 > 0, ^0 = I. (1)

Из условия (1) вытекает, что семейство изометрических операторов ( Vt = WtSt, ^ > 0) в пространстве Н образует полугруппу (т.е. Vt+S = VtVs, Ь,в > 0), которую будем называть коциклическим возмущением полугруппы СДВИГОВ ( St, £ > 0).

G.G. Amosov, A.D. Baranov, V.V. Kapustin, On applications of the model spaces to the

CONSTRUCTION OF COCYCLIC PERTURBATIONS OF THE SEMIGROUP OF SHIFTS ON THE SEMIAXIS.

© Г.Г. Амосов, А.Д. Баранов, В.В. Капустин 2012.

Работа поддержана программой РАН "Математические основы управления" и грантом РФФИ 11-01-00584-а.

Поступила 20 декабря 2011 г.

В предлагаемой работе будет показано, что любое коциклпчеекое возмущение полугруппы ( St) унитарно эквивалентно ортогональной сумме

( V) = (и ®St), (2)

где ( Ut, £ > 0) - полугруппа унитарных операторов, причем справедливы следующие две теоремы. Здесь и далее все рассматриваемые полугруппы предполагаются сильнонепрерывными; символом 0Р обозначаются классы операторов Шаттена-фон Неймана,

Теорема 1. Для любой полугруппы унитарных операторов ( и, Ь> 0) со спектральной мерой, сингулярной относительно м,еры Лебега, найдется коцикл ( Wt, Ь> 0), удовлетворяющий условию

Wt — 1е 0Р

для, всех р > 1, для, которого соотношение (2) выполняется для, коциклического возмущения ( V = WtSt, Ь> 0), причем,

V — St е 01, Ь> 0. (3)

Как следствие, из теоремы 1 получается аналогичный результат для произвольной (не обязательно сингулярной) спектральной меры.

Теорема 2. Для любой полугруппы унитарных операторов ( и, Ь > 0) и для, любого р > 1 найдется коцикл ( Wt, Ь> 0), удовлетворяющий условию

Wt — 1е 0Р

для, всех р > 1, для, которого соотношение (2) выполняется для, коциклического возмущения, ( V = WtSt, Ь> 0),

Ниже будет показано (предложение 10), что в рассматриваемой нами модели коциклических возмущений условие Wt — I е 01 никогда не выполняется. Таким образом, результаты работы в определенном смысле неулучшаемы. Естественно предположить, что этот факт обобщается и на общий случай.

Гипотеза. Для любого коцикла ( Wt, Ь > 0) такого, что Wt — I е 01 при всех Ь > 0, возмущенная полугруппа ( VI = WtSt, Ь> 0) унитарно эквивалентна исходной: (V*) = ^г).

Отметим, что связанная с рассматриваемым вопросом задача о марковских коциклических возмущениях группы унитарных операторов была поставлена в [2], а в работах [3, 4] были построены марковские коциклы со свойством Wt — I е 02, t > 0, Свойство (3) рассматривалось в статье [5], где изучались возмущения ( VI, Ь > 0) полугруппы сдвигов ( St, Ь > 0), для которых V; — St е 0Р, р > 1, Отличие данной статьи состоит в том, что рассматриваемые возмущения обладают дополнительным свойством коцикличноети, что требует рассмотрения унитарных дилатаций полугрупп. Техника, развиваемая здесь, аналогична использованной в работе [5].

2. КОЦИКЛИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА

Для любой сильно-непрерывной полугруппы изометрических операторов ( Ц,, Ь > 0) в

Н

вида,:

Н = Но ФН1,

= и ® ° (4)

где ( и^, Ь > 0) - полугруппа унитарных операторов в Н0, а (В*, Ь > 0) - полугруппа

Н1

инвариантных подпространств, на которых они действуют как унитарные операторы.

Предложение 3. Пусть полугруппа изометрических операторов ( VI, Ь> 0) является коциклическим возмущением, полугруппы, сдвигов ( St, Ь> 0). Тогда, вполне неунитарная часть ( В1, Ь > 0) в разложении Вольда-Колмогорова (4) унитарно эквивалентна полугруппе сдвигов ( St, Ь> 0).

Замечание. Это утверждение справедливо для произвольной (не обязательно являющейся коциклическим возмущением) полугруппы изометрических операторов ( VI, Ь> 0), если потребовать, чтобы VI — St е 0Р, р > 1 (см, [5]),

Доказательство. Определим элементы & е Н, Ь> 0, по формуле

Заметим, что семейство (^, t > 0) удовлетворяет так называемому условию аддитивного коцикла полугруппы ( St, Ь> 0), то есть

причем функции £tl — £S1 И £t2 — £S2 ОрТОГОНаЛЬНЫ, если (Si, t1) П (S2, t2) = 0. Более

того, линейные комбинации элементов (£s, 0 < s < t) порождают KerS*. Положим

= Wt^t, t > 0, Для доказательства предложения 3 достаточно убедиться, что для коцик-

лического возмущения ( V = WtSt, t > 0) семейство элементов обладает следующими

свойствами:

(i) it+s = it + VtІs, Sjt > °

(ii) £tl — ^ и £t2 — Cs2 ортогональны, если ( s 1, t1) П (s2, t2) = 0,

(iii) линейные комбинации (£s, 0 < s < t) порождают KerV^*,

В самом деле, тогда сужение полугруппы ( Vt, t > 0) на подпроетранство Н0, порожденное Ker V*, t > 0, унитарно эквивалентно ( St, t > 0), а сужение VtlH± будет унитарным оператором, поскольку Ker VtlH± = {0}, t> 0,

Из (9) следует, что носитель вирр W*f С [0, £]. Следовательно, f принадлежит замыканию линейной оболочки элементов ( Wt^s, 0 < 5 < £), ПОСКОЛЬКУ 8 < I, для таких элементов Wt^s = Ws^;s = ^ в силу соотношения (8), Тем самым, свойство (111) также доказано, и

Имеем

it+s = Wt+sCt+s = WtStWsS-S + WtSt(Ws)S-tStCs

(5)

Заметим, что

(6)

(7)

(8)

(9)

доказательство предложения завершено.

□

Следующее свойство потребуется нам для построения модели коциклов.

Предложение 4. Пусть ( ^, Ь > 0) - коциклическое возмущение полугруппы сдвигов ( ^%, Ь > 0) коциклом ( Wt, Ь > 0). Тогда, определив сем,ейство унитарных операторов ( W-t, Ь> 0) в пространстве Н формулой

Доказательство. Как обычно, будем считать, что действия унитарных операторов Wt, Ь> 0 заданные первоначально в пространстве Н, продолжатся тождественным действием па функции / с носителем вирр/ С К_, Тогда формула (10) задает продолжение семейства ( Wt, Ь> 0) унитарных операторов в Н для отрицательных значений параметра

вытекающей из определения (10), Для завершения доказательства осталось заметить, что если вирр / С К_, то

3. Модель коциклического возмущения, основанная на когенераторе

полугруппы

Нам потребуются общеизвестные сведения из теории однопараметрических полугрупп (см, [6]), Генератором сильно-непрерывной полугруппы изометрических операторов ( VI, £ > 0) называют (возможно, неограниченный) симметрический оператор А = ^ — Иш^о+ ~_^ ■ Когенератором полугруппы называют изометрический оператор

V = (А — г 1)(А + И)-1. Для того чтобы изометрический оператор был когенератором

1

надлежало его точечному спектру. Исходная полугруппа будет состоять из унитарных

А

самое, когда V является унитарным оператором, для которого точка 1 не принадлежит его точечному спектру. Если ввести функции

то по когенератору V полугруппа восстанавливается как VI = ), Ъ > 0, Отметим, что

функции ограничены и аналитичны в единичном круге О,

Нетрудно показать, что когенератор полугруппы операторов сдвига ( St, Ь > 0) в пространстве Н унитарно эквивалентен оператору (одностороннего) сдвига в пространстве Харди К = Н2(О), состоящем го аналитических в круге О функций /(г) = ^ +=“0 спгп,

w_t = s_twt*st, г > 0,

получим, что сем,ейство операторов ( V,, Ь е К), где

(10)

Н

, йирр/ с к+, г> 0,

St/, вирр / С К_, Ь < 0.

Wt+a = WtStWsS_t, 8,1 е К,

что следует из формулы

I = W_t+t = W_tS_tWtSt, I > 0,

V_tf = W_ts_tf = S_twt*f = s_t!, г > 0.

□

> 0,

(п)

для которых Е+Го 1 Си12 = \\f\\2L2m < +го. Тем самым, пространство Харди в круге естественным образом вложено в пространство К = L2(T) на окружности T, Оператор сдвига S

(Sf)W = zf(z), f ё К. (12)

Н

( S )( ) = ( ) К

S S

Предположим, что Е - нетривиальное инвариантное подпространство оператора сдвига S, то есть SE С Е. Тогда, согласно теореме Берлипга (см, [7]), Е = 9Н2(D) для некоторой внутренней функции 9 ё Нr(D) (то есть функции, аналитической и ограниченной в единичном круге D с некасательными предельными значениями, для которых 16(z)l = 1 почти везде па T), Ортогональное дополнение Кв = Н2(D) 0 9Н2(D) = Ех принято называть модельным пространством. Следующее предложение описывает модель ко циклического возмущения, используемую в данной работе.

Предложение 5. Когенератор любого коциклического возмущения полугруппы сдвигов

V

К = Н2 (D), для, которого найдется внутренняя функция 9, так что

V = U ®S 1е , (13)

где SIE является сужением оператора, сдвига, S на, инвариантное пространство, опреде-

U Кв

щийся, когенератором унитарной части разложения Вольда-Колмогорова коциклического возмущения.

V К

определено разложение Вольда-Колмогорова К = К0 ф К1 такое, что V 1к0 является унитарным оператором и сужение V 1кг является вполне неунитарным изометрическим оператором, Из предложения 3 следует, что сужение V 1к-± унитарно эквивалентно оператору S

V ^сужение S|e на любое инвариантное подпространство Е, подобранное так, чтобы для соответствующего модельного пространства Кв = Ех выполненялось соотношение dim Кв = ^шК0, что завершает доказательство, □

Из предложения 5 немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие 6. Когенератор полугруппы унитарных операторов ( Vt, t > 0), определяющей коцикл согласно предложению А, унитарно эквивалентен оператору V в пространстве К = L2(T), обладающему свойствами,

Vf = Vf, /ёК = н 2(d),

( V7)(z) = z f(z), f ё К 0К = L2(T) 0 Н2(D).

4. Модель возмущения, основанная на мерах Кларка

U

U

унитарно эквивалентен оператору умножения на г в пространстве L2(/i), причем мера ^ сингулярна относительно меры Лебега, Отметим, что U по условию является когене-

1

Операторы умножения на г в пространствах L2(/i) и L2 (Д) унитарно эквивалентны, если меры Д и д взаимно абсолютно-непрерывны. Умножая меру д на положительный вес,

можно добиться того, чтобы она удовлетворяла следующему дополнительному условию, играющему важную роль в дальнейшем:

[ ^(0

|1 -&

< (14)

для некоторого д> 3,

Пусть д — конечная сингулярная борелевекая мера на единичной окружности, Опреде-

1 + ^( *) Г £ + *

1 - ф) ] £-Х

Т

Тогда оператор П, заданный на Ь2(д) формулой

dд{0. (!5)

(П/)(*) = (1 - в(-,)) !1 ), (16)

1-

Т

является унитарным оператором из Ь2(/і) и а Кд. При этом унитарный оператор и в Ь2(/і) переходит в унитарный оператор и в модельном пространстве Кд, такой, что

и $ = Пи П7 = г/+ (д)(1 - в), / еКв, (17)

где

. _ ф) - 0(0) ^

Ф) = *(1-0(0)) € Кв•

и ии

Оператор (17) является сужением на модельное пространство Кд изометрического оператора V, действующего в пространстве К по формуле

( V/)(*) = ;/(~) + (/, 9)(1 - />(;)), / € К. (18)

Унитарной дилатацней изометрического оператора (18) будет оператор

( УЛ(г) = ?/(^ + ( f, 9)(1 — — (f, ^)(1 — 0(1)0(z)), !еК ■ (19)

Заметим, что

( V * f )(*) = */(*), 1еК ек.

Следовательно, согласно предложению 5 и следствию 6, доказано следующее утверждение.

Предложение 7. Формулы, (18), (19) определяют м,одел,ь когенератора коцикл,ическо-го возмущения в случае, когда, унитарная часть когенератора, в разложении Волъда-Колмогорова унитарно эквивалентна оператору умножения на, г в пространстве Ь2(д) с мерой д, сингулярной относительно меры Лебега.

5. Близость КОЦИКЛИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Применим функцию (11) к модельному когенератору V полугруппы изометрических операторов ( VI, Ь > 0). Изометрический оператор V является сужением унитарного оператора У, определенного формулой (19), на подпространство К = Н2. Напомним, что символы ^ и ^^^аторы сдвига на К и К соответственно. Тогда коцикл

( Wt, Ь> 0) удовлетворяет равенству

<^(у) — ^(У = (wt — вд, г > 0.

Таким образом, включение разности Wt — I в идеалы &р оказывается равносильным соот-ветвующему включению для разностей фг(У) — <^(*У). В свою очередь, свойства операторов

Ф*(и) - Фі(Б) определяются свойствами спектральной меры ^унитарного оператора (17), а именно, ее малостью (гладкостью) в точке 1,

Нам потребуется следующее утверждение, доказанное в [5] (предложение 7,2),

(17)

ет условию

ММ = / 1 (20)

Т

для некоторого д > 3. Тогда

ф*(1) - Фь(Б) € ©і, і> 0,

причем

\\ф,И') -ф,(в)ИЄі <су1/2(мц(р))1/2,

где константа Сд зависит только от д.

Ключевую роль в доказательстве теорем 1 и 2 играет следующее предложение, позволяющее оценить компоненты унитарной дилатации, В этом случае мы уже не можем добиться включения ф*(и) - (*($) € 01; то разность может принадлежать идеалам ©р для всех р > 1,

(17)

ет условию (20) для, некоторого д > 3. Тогда,

Ф*(и) - фг(Б) € Єр, р> 4 = —Ц-, і> 0,

д - 1

причем,

1Ы и) - ^(и)\\еР < и(тд(д)), где ш — некоторая, положительная функция та,кая, что ш(г) ^ 0 щи г \ 0.

Доказательство. Доказательство предложения 9 состоит из нескольких этапов. На первом этапе мы рассмотрим компоненты оператора ф* (и) - Фі(Б) относительно неко-

Ки

исключением одной, будут принадлежать идеалу 01 в силу предложения 8, Затем будет показано, что оставшаяся компонента унитарно эквивалентна (после конформной пересадки в верхнюю полуплоскость) оператору умножения на некоторую функцию в пространстве Пэли-Винера, Это позволит свести задачу к вопросу об описании мер (весов), для которых оператор вложения пространства Пэли-Винера принадлежит идеалу ©р. Завершит доказательство применение одной теоремы О,Г, Парфенова [9].

Этап 1. Анализ компонент унитарной дилатации. Рассмотрим матрицу оператора ф* (и) - <рг(Б) относительно разложения К = Н2_ ф Кд ф ОН2, где Н2_ = Ь2(Т) © Н2, Нетрудно видеть, что все компоненты, кроме одной, будут принадлежать классу 01, В самом деле, для блока Кд ф ОН2 ^ Кд ф ОН2 утверждение вытекает из Предложения 8, Переходя к сопряженнному оператору, заключаем, что блок Н2_ ф Кд ^ Н2 ф Кд также входит в 0^ По построению компонента Н2 ^ Н2 равна нулю. Таким образом, осталось рассмотреть компоненту, отвечающую оператору Н2 ^ 9Н2, Более того, заметим, что па пространстве фгН2_ оба оператора ф*(и) и фг(Б) действуют как операторы умножения на фі-, и, следовательно, ф*(и) - Фг(Б) = 0 на фіН2_. Осталось изучить действие оператора фъ(и) - ((Б) на подпространстве </*Н2 © Н2 = ф+К^.

Обозначим через Q : ф+К^ ^ Н2 сужение оператора Ф*(и) - фг(£>) на подпространство ФіКфі ■

Этап 2. Включение компоненты ^ ^ ^деалы &р. Покажем, что для V Е Кспра-

ведливо равенство

Q(ptv) = -(1 - 9(1)9)у.

Если и Е Н^, то для произвольной функции р Е Нимеет место равенство

Р+р(У)и = 9(1)9 • Р+(ри), Р_р(У)и = Р-(ри),

(21)

(22)

где символы Р+ и Р- обозначают проекторы в пространстве Ь2(Т) на подпространства Н2 и

Н2

соответственно, В самом деле, это равенство нетрудно проверить для случая, когда р^) = гп.; п > 0, а и(г) = гт, т < 0, По линейности и непрерывности равенство (22) справедливо для всех и Е Н^ и р(г) = гп, п > 0. Наконец, в силу линейноети и *-елабой непрерывности, равенство (22) выполнено и для произвольной функции р Е Н Поскольку рг(ё>)и = рги, из равенства (22) вытекает, что

(23)

(ф*("Ю — р*(‘5<))и = (9(1)9 — 1) • p+(p^:u), и Е Н—.

Подставляя и = рполучим равенство (21),

Таким образом, включение Рь(У) — р* ($) Е &р равносильно включению

М\-в(\)в\н2е^гн2 Е &Р, где символ Мд обозначает оператор умножения на функцию д Е Ьте(Т).

Этап 3. Пересадка в полуплоскость. Будет удобно доказывать включение (23), сделав “унитарную пересадку” из единичного круга в верхнюю полуплоскость С+ = {г : 1т г > 0}, Положим

©(*) “(Х —

)

Тогда 0(г) будет внутренней функцией в верхней полуплоскости: 0 Е Нте(С+), и \0(х)\ = 1 для почти всех х Е К, где значения функции 0 па прямой понимаются в смысле

^ (х) „ х — г

ф(0

п(1 + х2):

х

получим

1 — 0(г) _ 2 1 + 0(г) пг

(

х

Из условия (20) вытекает, что

х — г х2 + 1

< +о,

)

du (х).

так что предел Пт 0(гу) существует; обозначим его через 0(<о), Имеем \0(^о)\ = 1 и 1 — 0(о)0 Е Ь2(Ж), причем

||1 — 0(о)0|Ь2(К) = \1 — 0(о)\ • л/й Условие (20) равносильно тому, что /(1 + \t\)q-2dv(Ь) < о.

Формула

1 х

(Ь / )(х)= Г( +• )/

у^(х + г) \х

х-\х + г)

1

осуществляет унитарное отображение пространства Ь2 (Т) на Ь2(Ж), при котором пространство Харди Н2 (О) переходит в пространств о Харди Н 2(С+), При таком преобразовании включение (23) переходит в соотношение

^-©мек е &р, (24)

где К = Н2(С+) 0 е%иН2(С+), Пространство Пэли-Винера ТШа состоит из всех це-

прямую принадлежит Ь2(Ж); при этом, согласно классической теореме Пэли-Винера, 'РШа = е-гагН2(С+) 0егагН2(С+). Тогда включение (24) эквивалентно вопросу о том, будет ли вложение пространства Пэли-Винера */2 в пространство ^(Ж^^сИ) па прямой с весом 1и({) = |1 — 0(<^)0(£)|2 принадлежать &р. Этот вопрос был решен в работе [9], где получен следующий результат:

Теорема (О.Г. Парфенов). Для, всякого р > 0 оператор вложения J пространства ТШа, а > 0, в пространство Ь2(Ж^(1)(И) принадлежит классу &р тогда, и только тогда, когда,

к+1 - Р/2

Np(w) = £(/ w(x)dx^j < то. (25)

Из доказательства теоремы Парфенова немедленно следует оценка (см, также [10], где аналогичный результат получен для общих модельных пространств):

ИЯ!;,, <

Этап 4. Применение теоремы Парфенова. Из включения (1 — £) я е Ь1(д) следует, что функционал Ф,

Ф(9) = f l-1^9^^ g(t)dt, д є Ке,

T

ограничен на Кд, и |Ф(д)| < С(q)Mq(д)|Ы|2. Отметим, что для q є N значение Ф(д) совпадает с радиальным пределом g(q-1 (1) производной порядка q — 1 функции д в точке z = 1.

Таким образом, ограниченный функционал Ф на К в порождается функцией q є H2 (D). Строго говоря, фупкция Я не принадлежит пространству

Кд, то нетрудно показать, что норма ее проекции на подпространство 9H2 оценивается через норму ее проекции на Ко. Поэтому

1 — 0(1ЖО dm(£) <ш(Шд(д)), (26)

1—

Т

где ш(г) ^ 0 при г \ 0 (на самом деле ш(г) < С^)г, но явная форма функции ш не имеет для нас значения). Сделав замену переменной, получаем

|1 — 0(то)0(і)|2?(|i| + 1)2q 2dt < то.

Воспользовавшись неравенством Гельдера, найдем к+1

J |1—0(то)0(і)| &

к

к+1 1 , к+1 і / /

<(||1 - ЄЩ0(()|'2»(|(| + 1)2"-2д) ’

<-

к

С1/9

:(|£| + 1)2/^' Предположим, что р > (/; тогда

к+1

£( |1 — 0(^)0(*)|2лУ <с/2£

ке% ' £ ' к&

Таким образом, учитывая оценку (26), при р > д1 получаем

+ 1)р/я'

< то.

к+1 ■ Р/2

( А | 1 — 0(<Х))0(1)12<И | < ^(Мд (^)),

кєй к

с некоторой функцией ш, ш(г) \ 0 при г \ 0, Теперь, применяя теорему Парфенова, получаем включение (24), Предложение 9 полностью доказано, □

В рассматриваемой здесь модели коцикличееких возмущений соотношение ^ — I е &р равносильно включению ф* (V) — <£*($) е 6Р. В заключении параграфа отметим, что разность ф*(У) — фг(&) не может принадлежать массу ядерпых операторов 01 одновременно для всех Ь> 0,

Предложение 10. Для класса коцикличееких возмущений, описи вам ого предложением Ь, из включения <рг(У) — фг(^>) е в1 для, всех Ь > 0 следует, что в — унимодулярная константа.

Доказательство. Из доказательства предложения 9 вытекает, что включение ф*(V) — ф*(£) е 01 равносильно тому, что ЭТ1(|1 — 0(^о)0(^)|2) < то (см, (25)), Отсюда следовало бы, что

г _________ / г к+1 ______ \ 1/2

|1 — 0(то)0(£)| сИ < ( |1 — 0(<x>)0(t)|2/Л) < то,

кєї к

и, значит, функция 1 — 0(то)0 принадлежит пространству Харди Н1, Но тогда /Ж (1 —

0(го)0(£)) <И = 0 чт0 невозможно, так как И,е(1 — 0(то)0) > 0 почти везде на Ж для любой непостоянной внутренней функции 0, □

6. Случай произвольной спектральной кратности

Пусть и — унитарная часть в разложении Вольда-Колмогорова (13) произвольного ко-геператора коциклического возмущения. Любой унитарный оператор и может быть представлен в виде не более чем счетной суммы

и = ®^к,

в которой операторы и к унитарно эквивалентны операторам умножения в подходящих пространствах Ь2(дк), где ^ — меры на окружпости Т,

( ик/)(^ = ^ f(z), ! еЬ(Дк).

1

выбрать меры Дк таким образом, чтобы условие

? (/ $т,Г < -

было выполнено для всех д > 0, Определим внутренние функции 9^, связанные с мерами Дк формулой (15), Условие (27) гарантирует, что произведение Пк^к сходится к внутренней

П—1

‘?к

оп = П дк к=1

и определим когенератор V по формуле

У ^п9п)^п(1 — &п) — (', ^)(1 — 6(1)6),

п

Где

= «„(-) - 9(0)

9"'(г)= -(! — „„(0)) ■

Доказательство теоремы 1. Оператор V = у ^ является диагональным по отношению к ортогональному разложению К = ®к@кКвк ® ОК. Из условия (27) и предложения 8 вытекает, что

ф*(У) — <рг(Я) е &1, Ь> 0.

То же самое условие (27) и предложение 9 гарантируют включение

фг(У) — фг(&) е Sp, t > 0

для р > д1. Поскольку, по выбору мер, условие (27) выполнено для сколь угодно больших значений д, имеем фt(У) — фг(&) е &р при любом р > 1, □

и

тарных операторов, являющейся унитарной частью в разложении Вольда-Колмогорова коцикличеекого возмущения. Тогда найдется такой оператор А, принадлежащий всем классам &р для р > 1, что возмущение и + А будет иметь сингулярный спектр (см, [11]), При этом

фь(и + А) — фь(и) е Sp, ^ > °.

Подробное доказательство последнего утверждения приведено в [5] (доказательство теоремы 1,3), Теперь для завершения доказательства достаточно применить теорему 1, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. W. Arveson Continuous analogues of Fock space // Mem. Amer. Math. Soc. V. 80. 1989. P. 1-66.

2. Амосов Г.Г. О марковских возмущениях группы унитарных операторов, ассоциированной со случайным процессом со стационарными приращениями // Теория вероятностей и ее применения. Т. 49. 2004. С. 145—155.

3. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прямой // Матем. заметки. Т. 79. 2006. С. 3—18.

4. Амосов Г.Г., Баранов А.Д. О дилатации сжимающих коциклов и коциклических возмущениях группы сдвигов на прям,ой, II // Матем. заметки. Т. 79. 2006. С. 779^780.

5. Амосов Г.Г., Баранов А.Д., Капустин В.В. О возмущениях изометрической полугруппы сдвигов на, полупрямой // Алгебра и анализ. Т. 22. 2010. С. 1—20.

6. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве Мир. Москва. 1970. 431 С.

7. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига Наука. Москва. 1980. 383 С.

8. D.N. Clark One-dimensional perturbations of restricted shifts // J. Anal. Math. V. 25. 1972. P. 169-191.

9. Парфенов О.Г. Весовые оценки преобразования Фурье // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 222. 1995. С. 151-162.

10. Баранов А.Д. Вложение модельных подпространств класса Харди: компактность и идеалы Шаттена фон Неймана // Известия РАН. Сер. матем. Т. 73:6. 2009. С. 3 2К.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов, Мир. Москва. 1972. 740 С.

Григорий Геннадьевич Амосов,

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, ул. Губкина, 8,

119991, г. Москва, Россия E-mail: gramos@mi. ras. ru

Антон Дмитриевич Баранов,

Санкт-Петербургский государственный университет,

Старый Петергоф, Университетский пр., 28,

198504, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: anton.d.baranov@gmail.com

Владимир Владимирович Капустин,

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН, наб. р. Фонтанки 27,

191023, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: kapustin@pdmi. ras. ru