О применении метода корневого годографа к синтезу объединенных следящих систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО. КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОЁА

Том 294 1976

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА К СИНТЕЗУ ОБЪЕДИНЕННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ

Ю. С. МЕЛЬНИКОВ, А. П. ПАРАМЗИН

(Представлена научно-техническим семинаром кафедры автоматики и телемеханики) -

В [ 1 ] была показана возможность использования метода корневого годографа для исследования объединенной следящей системы (ОСС) (рис. 1).

Силовая следящая система (ССС) в разомкнутом состоянии описывалась передаточной функцией вида

W«C=(S) =

К

+ 1)

(1)

а корректирующая следящая система (КСС)—передаточный функцией

И^ксс (5) =

К,

5(Л5+ 1)

(2)

Передаточная функция замкнутой ОСС с учетом указанной на рис. 1 связи между каналами

Рис. 1. Структурная схема объединенной следящей системы

W (s) =

K\s(As+l)-(\ + +КД]

[s(A0s' + A,s+l) + K] [s(As + \)+Ka]

(3)

и условия компенсации ошибок ССС по первой и второй производным от задающего воздействия

? =

К

1

к,

(4)

Были определены поля расположения корней и нулей ОСС в комплексной плоскости 5 с учетом выполнения указанных условий компенсации ошибок (4).

Предметом данной статьи является обсуждение предложенных методик построения корневых годографов ОСС и применение их для синтеза параметров объединенных следящих систем.

Из литературы известно, что начальные точки корневых годографов системы с передаточной функцией (1) располагаются на полуокружности радиуса 1/]Л40 с центром в начале координат при ус-4*. 51

ловии постоянства параметра Л0 и переменном А1 при декременте затухания с == Л1/2^Л0. Докажем, что в случае постоянства параметра Ах при переменном Л0 и <; < 1 начальные точки корневых г одографов этой системы располагаются на окружности радиуса 1 ¡Ах

с координатами центра ( —1/Л^+уО) (рис. 2). Характеристическое уравнение замкнутой ССС

2<205 + 2§)+<:•/( = О, (5)

5

где с = -

2,

А

-=, с

Л0 " У А 0' ' 2 V А0

Начальные точки Р,, Я2, Р3 найдем как результат решения (5) при К=0:

Рис. 2. рх = О, Р2,з = - ± /20 УТ^?.

(6)

На рис. 2 вектор оР2 поделим пополам и из центральной точки п восстановим прямую ш, перпендикулярную оР2 до пересечения ее с осью абсцисс в точке т. Треугольник Р2ко подобен треугольнику тпо, откуда следует

Р-ю-по

от ~ —=-, (7)

ко

где

тогда

по

Рщо 2,

2УА~0

ко

'О —

0 —

А 2 л0

от

& л ° 2

с-20

ц,

2с

1

Ах

(7а)

Нетрудно показать, что любая точка, принадлежащая окружности, проведенной через начало координат с центром в точке т, является начальной точкой корневого годографа, то есть является решением рассматриваемого характеристического уравнения (5) при /( — 0, переписанного к первоначальному виду

8 (А082 +А18+\) +к = 0. (8)

Таким образом, начальные точки корневых годографов характеристического уравнения третьего порядка определяются как точки пересечения рассмотренных выше окружностей. Это позволяет, не вычисляя корней, легко определять изменение положения начальных точек корневого годографа при изменении параметров системы, что особенно удобно при синтезе систем, когда в качестве исходной информации задается, например, положение корней замкнутой системы.

Далее рассмотрим предложенную методику построения эквикоэф-фициентных кривых на поле корней КСС при учете выполнения условий (4). В [1] эквикоэффициентными кривыми КСС названы линии, соединяющие точки корневых годографов, соответствующие постоянным значениям коэффициента усиления КСС. Построение корневых годографов КСС в данном случае производить нецелесообразно, поскольку лишь одна точка на каждом годографе соответствует выполнению условий (4). Поэтому, естественно, представляет большой интерес отыскание множества точек корневых годографов, в которых удовлетворяются условия компенсации отдельных составляющих ошибки ОСС.

Для определения границ поля корней КСС примем в (4) А^ = 0. Характеристическое уравнение замкнутой КСС

А А

Параметр А из (4) при А1 = 0 равен

1

А =

(9)

(10)

51,2

Тогда из (9) получим 2,4

Таким образом, корни уравнения (9) при условии Л1 = 0 располагаются на прямой линии, выходящей из начала координат с углом наклона к мнимой оси

~ V 4-Л2 Л ' 2 2/

Р

X . Уз агс*£ г;- , =

30°.

(12)

\1ГП8\,2\ О

В случае А\ > 0 корни уравнения (9) располагаются внутри сектора, образованного осью ординат и прямой, построенной при А 1 = 0 для различных значений Из (10) следует, что модуль корня характеристического уравнения (9), соответствующего граничному условию А 1 = 0, равен коэффициенту усиления Кё> то есть прямая, ограничивающая поле корней КСС, может быть разбита на отрезки, пропорциональные Кё.

Это обстоятельство позволило предположить, что эквикоэффициент-ные кривые КСС есть дуги окружностей радиуса Кё с координатами центра (—К*, ±/0). Для доказательства этого в поле корней возьмем полюс (рис. 3) замкнутой КСС с параметрами, обеспечивающими выполнение условий компенсации ошибок (4). Известным способом проведем окружность через точки начала координат и полюса 5ь Из подобия треугольников СКО и П8{о определим, что радиус построенной окружности равен коэффициенту усиления При доказательстве этого положения учитываем, что п есть кратная точка корневого годографа астатической ситемы с астатизмом первого порядка. Модуль вектора корневого годографа

Рис. 3. Построение эквитсоэфф'ициентных кривых КСС

$10 определяем из уравнения модулей

5 иО

К

(13)

На рис. 4 для иллюстрации приведены эквикоэффициентные кривые КСС для трех значений коэффициента /С^.

На основании проведенных исследований был разработан ряд методик синтеза параметров ОСС с учетом выполнения не только ус-

^овий' компенсации составляющих ошибки (4), но и некоторых ограничений на характер динамических процессов. Ограниченный объем статьи не позволяет рассмотреть все методики, поэтому ограничимся

лишь самой упрощенной методикой синтеза параметров ОСС.

Считаем, что параметры А0 и Ах ССС известны из энергетического расчета силовой части этой системы, при-* чем дёкремеит затухания 1, что справедливо в большинстве случаев; время переходного процесса ОСС ограничено /доп. Требуется скомпенсировать составляющие ошибки ОСС по первой и второй производным от задающего воздействия.

Методика синтеза параметров сводится к следующему.

Из ограничений на время переходного процесса вытекает, что полюсы замкнутых ССС и КСС должны располагаться на полях своих корней левее вертикальной линии, имеющей абсциссу (рис. 5)

Рис. 4. Семейство эквикоэффициентных кривых КСС

(14)

доп

причем вследствие особенностей поля корней КСС необходимо делать доминирующими именно комплексно-сопряженные полюсы КСС, для этого поместим их на ограничительную вертикаль с абсциссой, определяемой из (14).

По формуле, полученной из (4) с учетом обычной методики построения корневого годографа, используя данные о величине параметра Ль можно найти требуемую величину коэффициента усиления.

2-Ю

К,

l-2VKni

(15)

Рис. 5. Определение местоположения полюсов ОСС при синтезе ее параметров

Положение полюса замкнутой КСС, параметры которой удовлетворяют условиям компенсации

составляющих ошибки (4) и величине найденного из (15) коэффициента усиления Kg, на поле корней можно определить как точку пересечения вертикали с абсциссой (14) и эквикоэффициентной кривой, представляющей собой дугу окружности радиуса Kg.

Полюсы ССС следует расположить таким* образом, чтобы они, не являясь доминирующими, обеспечивали бы в ССС по возможности большую добротность; это означает, что их надо выбрать на корневом годографе ССС как можно ближе к вертикали а — а (рис. 5). Положение этих полюсов на корневом годографе, построенном при известных параметрах Л0 и Аи можно определить при помощи обычной методики построения корневых годографов Эванса. Если полюсы ССС

расположены левее вертикали а — а, то доминирующее влияние КСС на качество переходного процесса ОСС очевидно. .

Неизвестные параметры можно найти по известным уже формулам:

А = АХ + 1. (16)

Ад

Параметр К определяется с помощью уравнения модулей применительно к ССС:

К = А0.1г - /2 • /3. (17)

Так как в условии задачи не поставлены ограничения на перерегулирование ОСС, то влияние нулей передаточной функции (3) на переходные процессы в системе не рассматриваем.

На этом задачу синтеза параметров ОСС методом корневого годографа можно считать решенной. Самой трудоемкой операцией является отыскание корней замкнутой ССС по методике Эванса. Значительно быстрее и точнее можно определить положение этих корней с помощью разработанного нами способа, использующего лишь геометрические построения [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ю. С. Мельников, А. П. Парамзин. Исследование двухканал^ной следящей системы методам траектории корней. Известия ТПИ (в печати).

2,- Ю. С 'Мельников, А. П. И а р а м з и н. Методика 'Построения корневых годографов систем, описываемых уравнением третьего порядка. Статья в сборнике.