О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ -СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

УДК 517.983

doi 10.18522/1026-2237-2020-4-55-60

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ p -СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА

© 2020 г. А.П. Чеголин1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

ON THE APPLICATION OF THE COLLOCATION METHOD IN SPACES OF ^-SUMMABLE FUNCTIONS TO THE FREDHOLM INTEGRAL EQUATION OF THE SECOND KIND

A.P. Chegolin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Чеголин Андрей Петрович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Andrei P. Chegolin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equation, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Данная работа посвящена исследованию численного решения методом сплайн-коллокации уравнения Фредгольма второго рода. Для численных решений таких задач классический метод коллокации, использующий многочлены, в пространствах р-суммируемых функций не всегда реализуем, и даже в случае его реализации не всегда можно получать характеристики и оценки погрешностей таких приближений. В последнее время на практике аппроксимации строятся за счет конечно-разностных методов. Цель этого исследования - получение оценок погрешности полученного приближенного решения в указанных выше пространствах. Кроме того, получено несколько утверждений о поточечной оценке этой погрешности в коллокационных узлах в терминах нормы ядра в специально построенных пространствах функций, суммируемых по второй переменной. Для получения основных результатов применяются коллокационные сплайны третьего порядка, а также интегральные и усредненные модули гладкости. При этом полученные результаты могут быть стать отправной точкой для работы с коллокационными сплайнами более высоких порядков. В случае третьего порядка получены точные константы, участвующие в оценках. Эти результаты могут быть распространены и на случай линейных, параболических коллокационных сплайнов, а также сплайнов порядка выше третьего.

Ключевые слова: уравнение Фредгольма второго рода, ядро оператора, p-суммируемые функции, коллокацион-ный сплайн, узловая точка, усредненный модуль гладкости, функция ограниченной вариации.

This work is devoted to the study of the numerical solution by the spline collocation method of the Fredholm equation of the second kind. For numerical solutions of such problems, the classical collocation method using polynomials is not always realizable in spaces of p-summable functions for numerical solutions of such problems. It is not always possible to obtain characteristics and estimates of errors of such approximations even in the case of its implementation. In this regard, in recent years, in practice, approximations are built using finite-difference methods. The purpose of this study is to obtain estimates of the error of the obtained approximate solution in the spaces indicated above. In addition, several statements were obtained about a pointwise estimate of this error at collocation nodes in terms of the kernel norm in specially constructed spaces of functions summable over the second variable. To obtain the main results, third-order collocation splines are used, as well as integral and averaged modules of smoothness. In this case, the results obtained can become a starting point for working with collocation splines of higher orders. In the case of the third order, the exact constants involved in the estimates are obtained. These results can be extended to the case of linear, parabolic collocation splines, as well as splines of order higher than the third.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

Keywords: Fredholm equation of the second kind, kernel of an operator, p-summable functions, collocation spline, nodal point, averaged module of smoothness, function of bounded variation.

Введение

В последнее время в вычислительной математике активно развивается направление, связанное с приближенными решениями дифференциальных и интегральных уравнений. Это связано с алгоритмизацией решения некоторых прикладных задач механики, аэродинамики, геофизики, электродинамики, теории волн на поверхности жидкостей, задач спектроскопии, кристаллографии, акустики, анализа и диагностики плазмы и т.д. Для численных решений таких задач классический метод коллокации предполагает аппроксимативные методы, использующие многочлены. Однако такой подход не всегда реализуем, и даже в случае его реализации не всегда можно получать характеристики и оценки погрешностей таких приближений. Это происходит, например, в пространствах р -суммируемых функций. В последнее время на практике аппроксимации строятся за счет конечно-разностных методов. В частности, это в основном заложено в современное программное обеспечение, занимающееся решением прикладных задач, сводящихся к приближенному решению дифференциальных и интегральных уравнений. Такие методы в последнее время также активно используются при решении гиперсингулярных уравнений и в вопросах, связанных с применением гиперсингулярных интегралов [1-4].

Данная работа посвящена исследованию численного решения методом сплайн-коллокации уравнения Фредгольма второго рода

y(x )-Л\ K (x, t )y(t "dt = f (x)

(1)

Цель этого исследования - получение оценок погрешности полученного приближенного решения в пространствах

Г Гь л '

Lp[a,b] = \f(x). J|f(x)

V a

dx

в случае его однозначной разрешимости. В отличие от классического метода он основывается на аппроксимации сплайнами. Сам такой подход к решению интегральных уравнений, в частности при рассмотрении уравнения Фредгольма второго рода, конечно же, не является новым [5, 6]. Известны и принципы составления алгоритмов на основании этого метода. Одним из преимуществ такого подхода оказывается простота, позволяющая легко работать с различными прикладными задачами на том же уровне, что и при использовании разностных схем. Однако в отличие от последних мы имеем возможность работать не только на сетке, но и во всей области допустимых значений данной задачи.

Кроме того, получено несколько утверждений о поточечной оценке этой погрешности в коллокаци-онных узлах в терминах нормы ядра в специально построенных пространствах функций, суммируемых по второй переменной. Для получения основных результатов применяются коллокационные сплайны третьего порядка, а также интегральные и усредненные модули гладкости [7-10]. При этом полученные результаты могут стать отправной точкой для работы с коллокационными сплайнами более высоких порядков. В случае третьего порядка получены точные константы, участвующие в оценках. Третий порядок, в отличие от первого и второго, позволяет следить уже за некоторой закономерностью в получении этих констант. Принципиально же очевидно, что подобные результаты могут быть получены и в случае линейных, параболических коллокационных сплайнов, а также сплайнов порядка выше третьего.

Для подтверждения полученных результатов с помощью математического пакета Maple в некоторых примерах построены графики погрешностей решений рассматриваемого уравнения коллокаци-онными сплайнами. Результаты оказались полностью соответствующими основным теоретическим результатам данной работы.

Предварительные результаты

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (1). Будем предполагать, что оно разрешимо однозначно. Например, пусть выполняются условия следующей теоремы.

Теорема 1 [9]. Если число Л не является характеристическим, то уравнение (1) имеет решение, причем оно определено однозначно.

Условие теоремы 1 является лишь достаточным, а не необходимым. В дальнейшем при формулировке всех утверждений будем предполагать, что уравнение (1) разрешимо однозначно, хотя это не означает, что обязательно выполнены условия именно теоремы 1.

Ограничимся случаем, когда K(a, t) = K(b, t) и f (a) = f (b). Рассмотрим приближенное решение

a

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

данного уравнения с помощью кубических колло-кационных сплайнов

^з(х)= (2)

n

3 n+1 4

. SS(-1) dkCl4X-(k + i -2) 6 к=-1i=0

b - a

где

« +=■

^, если a > a,

[а7, если а < а, а коэффициенты ^ , к = —1,0, ...,п +1, определяются из условия коллокации в узловых точках

(Ь — ак

Хк = а + -—

■, к = 0,...,n.

S3(Xk) = /(xk)+4K(Xk, tS(t)dt.

(3)

Краевые условия:

Яз'(а) = ^з"(а)= £,'>). (4)

Так как функция является линейной относительно коэффициентов ёк, то в совокупности уравнения (3) и (4) образуют систему, состоящую из п + 3 линейных уравнений относительно такого же количества неизвестных ёк.

Для уравнения Фредгольма второго рода хорошо известен алгоритм решения полученной системы методом сведения к системе с доминирующей главной диагональю. При этом уже в терминах найденных коэффициентов в пространствах Ьр [а, Ь] можно показать справедливость оценки

нормы самого коллокационного сплайна:

IS

31 Lp [a,b]

<

—1 э ,

< 3Mb-ate (6a2n2 + 5(b - а ) ^ i

Y

—1

|S3IILp [a,b]<

3 p (b - a(ба2n2 + 5(b - а)э ) p

1

npq(4(b - a)2 - 6a2n2 )

(

S

к=0

(4(b - a):

/ i a + MM U K i a + kib-a), t >3 (t i

1 < р < да , где константа q не зависит от р (оставаясь зависимой от а , Ь и п). Эти оценки не являются для нас самоцелью, они нужны для получения основных результатов. Наша цель - получить оценки для величины ||_у — £3^ ^.

Оценки норм погрешности в терминах сплайнов, интерполирующих решение

Пусть S3, y (х) - сплайн вида (2), интерполирующий решение уравнения (1) и удовлетворяющий условиям (4). Его коэффициенты определяются из условий коллокации в интерполяционных узлах хк : b

S3,y (xk) = f (xk)+ЦK(хк,t)y (t)dt, к =

a

и указанных краевых условий. Введём следующее пространство функций двух переменных:

CL p [a, b] =

= ЫХ,t) : ¡4 [a,b] = SUP 4ML [a,b] «4 ,

t xe[a;b] p J

1 < p < да . Справедлива.

Теорема 2. Пусть уравнение (1) разрешимо

1 1 1 1

однозначно, 1 <p <да , —I— = 1,

p q

K е

CL1[a;b]n CLq[a;b], Kla^b] < M4 >

где M =

—13/ vi

б • 3 p (b - a)p-1 (6a2n2 + 5(b - a)3 )q (1 - q)(4(b - a)2 - 6a2n 2 )

Тогда y - S-

Р ^к=0 '

пр

1 < р < да .

На основании этой оценки может быть получена еще более точная оценка в терминах ядра и правой части уравнения вида 2

<

1 +

411 4

31 Lp [a,b] \oL. [a,b]

<

1 - Ml 4 K сфд

y - S-

э, y

\l„ [a;b].

Доказательство. В интерполяционных узлах справедливы равенства

b

S3,y (Xk) = f (Xk ) + K (Xk, t )y (t )dt =

= /(xk )+4 K (xk, t )S-,y (t )it +

a

+ 4 K (Xk, t )(y - S-, y (t ))it.

3

n

n

a

X

a

n

X

a

a

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

1

При фиксированном к = 0,...,n из полученного равенства вычтем (3):

S3,y (Хк )- S3 (xk ) =

= 4K(Хк, ty (t)-S3(t))dt + 4K(Хк, t)(y - S3,y (t))dt.

T

k (/;S)Lp [a;b] ®k (/> x,S) =

f

1 b \ -JK (/ ,x,S] Pdx

b - a '

где

= sup

Соответственно,

|S3,y (xk )- S3 (xk )

Akh/(t )

: t, t + khe

kS kS

x--; x +--

2 2

[a;b]l -

nia;

<

1411K C^b]"! S3, y - C[a;b] +

(5)

+UI-II K

CLq [a,b]

У -

3, У

Lp [a;b]

Отметим, что функция S3 у (х) — S3 (х), представляющая собой разность сплайнов, также является кубическим коллокационным сплайном, при- 1 справедлива оценка чем удовлетворяющим тем же краевым условиям (4). Можно показать, что для любого подобного том числе для £3,у (х) — £3 (х), спра-

локальный модуль гладкости порядка к е N функции /(х) в точке х е [а; ь], построенный по нецен-

трированной конечной разности порядка к с ша-

к

гом к : А//(Г)=Х (— \)т+кст/(г + тк).

ш=0

Непосредственно из теоремы 1 вытекают Следствие 1. При выполнении условий теоремы

сплайна, и в ведлива оценка вида

У - Lp [a,b]< 16(b - a + 1)4

' WIK

К - S3I с [a;b] - (xk ) - S3 (xk) .

Воспользовавшись неравенством (5), в итоге получаем

1 + -

lOLq [a,b]

a + 1 )4 x

Л

1 - MIK

CLj[a,b]

' T41 у;

Lp [a;b]

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоре-I 2 и y' е Lp[a;b], 1 < p <<x> ; n e N. Тогда

(1 -M\ЩKllCL, [a,b][ |S3,y (xk ) - S3 (xk ) <

f

<III Kl

CLq [a,b]

У - S

||y -

3, y

lp [a;b]:

3HLp [a,b]

= O

откуда с учетом условии теоремы следует

1411K (

.л

®3| у;

П >Lp [a;b]

So 1 î — So

<-

Wdq [a,b]

^У — ^ с[а;ь] " 1 — м\4^[а,ь] У — ^4аь].

Последний шаг в доказательстве проведем за счет следующих преобразований:

Если же при этом решение уравнения (1) имеет производную порядка /, I = 0,1,2..., ограниченной вариации, то

lly - S3|lLp [a,b]

= O

Г vbyП

i+1

n

lly - ^11 Lp, [a,b] <1У - S3, У ILp [a;b] + 1- S3 | Lp [a;b] < где Vaby (') = SUpj^Jy(' ^k ) - У(' )(xk-1 ) <11У - S3, y|Lp [a;b]+l |S3. У - 4 C[a;b] <

вариа-

< У - S3

И-lK

CLq [a,b]

3, y

\Lp ja:

У - S;

[a;b] 1 -ЦЩКсц m 11 l[a;b]

f

1+

H'" K CLq [a,b]

Л

ция функции у' на отрезке [а;Ь] (верхняя грань сумм берется по всевозможным разбиениям отрезка [а;Ь] точками а = х0 < х1 <... < хп = Ь).

Оценки погрешности в коллокационных узлах

1 - Ml IK CL[ [a,b]

У - S

3, yILp [a;b]'

На основании результатов, полученных при доказательстве теоремы 1, могут быть получены

Аналогичную оценку можно получить в терми- °ценки абсолютной погрешности пр^и^ннж

решений в виде кубических коллокационных сплайнов в узлах коллокации.

нах усредненных модулей гладкости:

a

a

1

X

n

n

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

Теорема 3. Пусть уравнение (1) разрешимо

1 1 1 1

однозначно, 1 <p < œ , —I— = 1,

p q

K е CL1 [a;b]oCLq[a;b], ||k||cl[a;

<

1

y(xk)- S3 (xk )|< 411KOLq [a,b]

<

y - S:

3, yILp [a;b].

+

+4M к

OLq [a,b]'

y - S3

3, y

Lp [a;b]'

<-

411 Kl,

СLq [a,b]

y - S

3, y\\Lp [a;b].

лива и

Для |y(xk )- S3 (xk ) .

< 16(b - a +1)

141K

CLq [a,b]

1 -14 K

СЦ^^]

т4\ y;1

n ]Lp [a;b]

Ь < || •

Тогда при любом фиксированном п е N, любом разбиении отрезка [а; Ь] точками а = Хo < x1 <... < xn = Ь , для любого k = 0,1,...,п справедлива оценка

х ) — (х

Следствие 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, у' е Lp [а; Ь], 1 < p <да ; п е N. Тогда

г г 1\ ^

®3\ у;

Lp [ab]

1 — 411К С^[а,Ь]

Доказательство. Преобразуем и оценим сверху абсолютную величину погрешности в точке колло-кации следующим образом:

КХк) — £з (Хк ) =

= |(у(хк)—£з, у (Хк))+ (£з, у (Хк)—£з (Хк)) <

< |у(Хк) — £з, у (Хк ] + £з, у (Хк) — £з (Хк | В соответствии с условиями коллокации (3)

|у(х£) — £з, у (Хк ] = 0.

Для второго слагаемого в полученной оценке воспользуемся неравенством (5), из которого следует

£з,у (Хк ) — £з (Хк )| < <141К СА [а,Ь]-£з, у (Хк ) — £з(Хк

|y(xk)- S3 (xk ) = O

Если же при этом решение уравнения (1) имеет производную порядка 1, I = 0,1,2..., ограниченной

( Уьу('))

1 ' а У

вариации, то

|y(xk)- S3 (xk ) = O

i+1

Решая это неравенство как линейное относительно £з,у (Хк ) — £з (Хк ) , получим оценку

£з, у (Хк ) — £з (Хк 1 <

1 -411K Сьы

Соответственно, такая же оценка будет справед-

Следствие 3. Пусть выполнены все условия теоремы 3. Тогда

|у(Хк) — £з (Хк )<

Литература

1. Samko S.G. Hypersingular Integrals and There Applications. Analytical Methods and Special Functions. Taylor-Francis, 2002. 307 p.

2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

3. Бойков И.В., Айкашев П.В., Семов М.А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2015. № 2. С. 78-90.

4. Chegolin A.P., Nogin V.A. Multidimensional potential integral transforms and description of L-characteristic of multiplier operators // Integral Transforms & Special functions. 2002. Vol. 13. Р. 193-197.

5. Чеголин А.П. Классы Lap r типа Лизоркина -

Самко, связанные с комплексными степенями телеграфного оператора // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 58-64.

6. Чеголин А.П. Интегралы и производные дробного порядка в классах Гёльдера на прямоугольнике // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 1. С. 56-59.

7. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости. М.: Мир, 1988. 327 с.

8. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

9. Чеголин А.П. Отрицательные комплексные степени классического двумерного телеграфного оператора в пространствах Lp (r 2 ) // Изв. вузов. Сев.-Кавк.

регион. Естеств. науки. 2017. № 4. С. 58-62.

10. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1975. 302 с.

n

n

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4

References

1. Samko S. G. (2002). Hypersingular Integrals and There Applications. Analytical Methods and Special Functions. Taylor-Francis, 307 p.

2. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. (1987). Integrals and derivatives of fractional order and their applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 688 p. (in Russian).

3. Boykov I.V., Aikashev P.V., Semov M.A. (2015). Approximate solution of hypersingular integral equations on the number axis. Izv. vuzov. Povolzhskii region. Fiz.-mat. nauki, No. 2, pp. 78-90. (in Russian).

4. Chegolin A.P., Nogin V.A. (2002). Multidimensional potential integral transforms and description of L-characteristic of multiplier operators. Integral Transforms & Special functions, vol. 13, pp. 193-197.

5. Chegolin A.P. (2002). The Lizorkin-Samko type spaces associated with complex powers of the telegraph operator. Izv. vuzov. Matematika, No. 7, pp. 58-64. (in Russian).

6. Chegolin A.P. (2015). Integrals and derivatives of fractional order in Holder classes on a rectangle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 1, pp. 56-59. (in Russian).

7. Sendov B., Popov V. (1988). Averaged moduli of smoothness. Moscow, Mir Publ., 327 p. (in Russian).

8. Stechkin S.B., Subbotin Yu.N. (1976). Splines in computational mathematics. Moscow, Nauka Publ., 248 p. (in Russian).

9. Chegolin A.P. (2017). Negative complex powers of the classical two-dimensional telegraph operator in

Lp {r2) spaces. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv.

nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 4, pp. 58-62. (in Russian).

10. Krasnov M.L. (1975). Integral equations. Introduction to the theory. Moscow, Nauka Publ., 302 p. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received

2 сентября 2020 г. /September 2, 2020