CC BY
23DOI 10.7442/2071-9620-2019-11-1-31-37
УДК 378 ББК 74.48
С.А. Соловьева
(Казанский (Приволжский) федеральный университет, Набережночелнинский институт (филиал), г. Набережные Челны, Россия)
О ПРИМЕНЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В КУРСЕ ФИЗИКИ
Изучение математики играет важную роль в ходе подготовки специалиста, способного результативно действовать в новых социально-экономических условиях. Однако современное образование, в том числе математическое, переживает кризис. Для решения имеющихся проблем содержательного характера необходимо выявить и продемонстрировать студентам применение математики, в том числе в их будущей профессии. Данная работа посвящена анализу математических фактов, применяемых при изучении некоторых понятий физики, с целью их учета в процессе преподавания курса математики. Выявлены факты элементарной и высшей математики, необходимые для усвоения понятия вращательного движения. Выпускники школ должны хорошо выполнять | действия над алгебраическими дробями, знать понятиярадианной меры угла, представ- ^ лять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Студенты должны ® владеть элементами дифференциального и интегрального исчислений, действиями над ^ векторами, в том числе векторным произведением. Проанализированы методические ™ трудности, которые могут встретиться при использовании данного математического аппарата, т.е. определены моменты, на которые следует обратить внимание при изучении курса математики для претворения в жизнь междисциплинарных связей. Последующие исследования возможны в направлении анализа других разделов математики и физики с целью поиска взаимопроникновения этих дисциплин, разработки методики их 5 интеграции в вузе. ^
Ключевые слова: элементарная математика, высшая математика, физика, вращательное движение, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, векторная алгебра, интеграция, методика преподавания.
ON APPLICATION OF MATHEMATICAL TOOLS TO STUDY ROTATIONAL MOTION IN PHYSICS COURSE
ro m
<u
T
CP d
S.A. Solovyeva
(Kazan (Volga region) Federal University, «
Naberezhnye Chelny Institute (branch), Naberezhnye Chelny, Russia)
о
<u x <u
Studying mathematics is important in training specialists who can be effective in the new social and economic conditions. However, contemporary education, including o
the mathematical one, is in crisis. In order to solve the existing problems of content it is necessary to reveal and demonstrate the applications of mathematics to students, including those of their future profession. In this paper mathematical facts, that are used in studying some physical concepts, are analyzed to take them into account in teaching mathematics. Facts of elementary and higher mathematics necessary to understand the rotational motion concept have been revealed. School leavers are to be good at working with algebraic fractions, know the concept of angle radian measure, understand relative positions of straight lines and subspaces. Students must use the elements of differential and integral calculus, operations with vectors including vector product. Methodological problems that can be uncounted in using these mathematical tools are analyzed, i.e. the moments to be noted when Mathematics is taught to materialize inter-subject links. Further research may be to analyze other areas of Mathematics and Physics in order to find links between the two subjects and develop methods of their integration at higher school.
Key words: elementary mathematics, higher mathematics, physics, rotational motion, differential calculus, integral calculus, vector algebra, integration, teaching methods.
CO m <D _o m о с; о
О <
Переход человечества в постиндустриальную фазу своего развития приводит к новому типу экономики, в которой существенную роль играют технические и технологические знания. В процессе подготовки специалиста, способного эффективно действовать в новых условиях, в том числе готового к инновационной деятельности, существенную роль играет изучение математики.
В «Концепции развития математического образования в Российской Федерации» [6] подчеркивается значение математики как в создании инновационной экономики, так и в развитии способностей человека. Вместе с тем, значительная часть этого документа посвящена проблемам математического образования, обострившимся в результате социально-экономических изменений. Одна из трех выделенных групп - это проблемы содержательного характера. Отмечено, что содержание математического образования «остается формальным и оторванным от жизни», кроме того, «нарушена его преемственность между уровнями образования».
Одно из направлений работы по решению этих проблем - установление связей между математическими курсами, в том числе вузовскими, и другими дисциплинами, а также разработка таких методов
и приемов преподавания высшей математики, которые будут демонстрировать студентам ее применение в их будущей профессии.
Внутри- и, особенно, межпредметной интеграции посвящено значительное число исследовательских работ. Например, в статье В.А. Тестова постулируется то, что научная картина мира, формируемая в процессе обучения, - это особая форма систематизации знаний [11]. В работе Л.В. Львова, М.В. Усынина выделяются уровни интеграции учебных дисциплин в высшей школе [10], а в исследовании Б.Н. Гузанова, К.А. Федуло-вой предложен план организации междисциплинарного обучения на основе проекто-модульного подхода [2].
Ряд исследований посвящен межпредметным связям конкретных дисциплин, практико-ориентированному обучению. Например, Н.А. Калеевой, З.Н. Краевой, В.А. Черновым рассматривается взаимосвязь курсов механики и прикладной геометрии [4], в Т.П. Кандауровой представлен опыт применения физических задач, содержание которых имеет профессиональную направленность [5]. В других современных исследованиях анализируются междисциплинарные связи математики с другими дисциплинами [3; 8; 12]. В частности, статья С.Н. Дво-
ряткиной, А.А. Дякиной, С.А. Розановой посвящена интеграции гуманитарного и математического знания посредством использования информационных технологий [3]; в работе Т.Н. Литвиновой, Е.И. Панченко отмечается необходимость более глубокого изучения математической статистики студентами медицинских вузов [8]; В.М. Федосеев научно-исследовательскую работу студентов рассматривает в контексте межпредметной интеграции [12].
Часть работ посвящена исследованию методических связей между математикой и физикой. Например, И.В. Ко-рогодина, Д.А. Коростелев анализируют возможность преподавания единого курса физики и математики [7]; Горбузова М.С., Коробкова С.А., Смыковская Т.К., Соловьева В.В. рассматривают возможность применения контекстных задач [1]; Л.Б. Лубсанова рассматривает межпредметные связи как форму индивидуального и дифференцированного подходов [9]. Работа T. Ames, E. Reeve, G. Stewardson, K. Lott посвящена оценке эффективности имеющегося опыта интегрированного обучения математике, физике и технологии.
Несмотря на проведенные исследования вопрос интеграции высшей математики с другими дисциплинами, в том числе с физикой, требует дальнейшей проработки. Данное исследование посвящено указанной проблеме, а его целью является анализ математического аппарата, применяемого при изучении одной из тем курса физики, а именно кинематики вращательного движения, для дальнейшего его учета при изучении высшей математики.
Методологической основой исследования является структурный подход. Все учебные дисциплины, изучаемые в рамках одной специальности, взаимосвязаны. Однако студенты в большинстве своем не могут самостоятельно, без помощи преподавателя, увидеть и осознать эти отношения. Между тем, технология демонстрации связей между курсами ме-
тодически проработана довольно слабо и требует дальнейшего изучения. Так как в конечном итоге исследование направлено на поиск наиболее эффективных в современных условиях методов и приемов преподавания, то, помимо структурного, в работе используется технологический подход. Из общенаучных методов были применены анализ, синтез и сравнение.
Проанализируем сначала факты элементарной математики, используемые при изучении вращательного движения, а также уровень их освоения современными студентами.
Во-первых, для вывода и использования ряда простейших формул, например, соотношений
T =
t
N''
N
v = ■
v = ■
1
T
связывающих период Т, частоту вращения V, время вращения I и количество сделанных оборотов Ы, требуются навыки беглого выполнения действий над дробями. Большинство студентов справляются с этими вычислениями достаточно хорошо. Однако в последние годы проявляется тенденция ухудшения знаний по данному разделу «школьной» математики, особенно среди студентов, обучающихся на договорной основе.
Во-вторых, при изучении вращательного движения довольно часто требуется использовать понятие радиана, а также связь меры угла (в радианах) и длины дуги, на которую он опирается. Следует отметить, что формирование понятия радиана у школьников связано со значительными методическими трудностями, в частности, у учеников часто вызывает недоумение факт выражения угла через длину. Формальное усвоение этих понятий и соотношений оказывает негативное влияние на их использование в приложениях математики, в том числе на применение естественной параметризации.
В-третьих, из геометрических знаний школьного курса при изучении вращательного движения нужны, например, теорема Пифагора, взаимное расположение
ф о ср
ф *
S
ш ч
о
0
1 _0
Ф
н го
го ср ш
ф т
ср с
го ср го с с го о
о ф
т
S
н го
S ф
н
го
ф
I
ф
о
t
го со <и _о ш о с; о
О <
прямых и плоскостей в пространстве. Теорема Пифагора используется при выражении ускорения через его тангенциальную и нормальную составляющие. Перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости используются при анализе взаимного расположения радиус-вектора г , вектора
линейной скорости V и вектора угловой скорости со . Кроме того, само понятие угла поворота вводится на основе двугранного угла между плоскостями.
Далее проанализируем использование понятий математического анализа и высшей алгебры.
Поскольку угол поворота, угловые скорость, ускорение и многие другие величины зависят от времени, они представляют собой функции от времени. В случае равномерного движения угол поворота является периодической функцией. Далее, модуль угловой скорости со - это производная угла поворота р по времени:
с1р А р со = — = ит-.
Аналогично
с1со .. Аса
е =-= ит-,
с1г Л' >« Ы.
где £ - модуль углового ускорения. Если же поставить задачу выразить £ через р, то потребуется вторая производная:
£ =
сЛ2ср сЧ2
Для более глубокого изучение физического смысла производной в курсе высшей математики можно, наряду с линейными, рассматривать угловые скорость и ускорение, в том числе анализировать тип движения при различных сочетаниях знаков угловой скорости и углового ускорения. Например, если в некоторый момент времени I = t 0 выполняется условие
и при переходе через эту точку меняется знак производной, то в момент времени
t = 10 угол поворота либо максимальный, либо минимальный, то есть в этот момент времени меняется направление вращения.
Для получения обратных зависимостей, например, для выражения угла ( через угловую скорость со используется интегрирование:
I
ср = ^а> ^.
Несмотря на то, что и дифференцированию, и интегрированию в курсе высшей математики уделяют самое пристальное внимание, при применении этих разделов при изучении вращательного движения в физике может возникнуть ряд трудностей, первая из которых связана с разницей в обозначениях. Далее, в курсе математического анализа чаще работают со скалярными функциями, а угловые скорость и ускорение получаются как производные от векторных величин:
с1со
со =
сЛф
£ =
Ж
Кроме того, часто в приложениях (в том числе в рассматриваемой теме) используется интеграл с переменным верхним пределом, а в большинстве общих курсов математики этому понятию не уделено достаточное внимание.
Из материала векторной алгебры при изучении вращательного движения существенно используется векторное произведение векторов:
V = со х г
где г - радиус-вектор точки вращающегося тела.
Для получения соотношений для тангенциального и нормального ускорений используют дифференцирование векторного произведения:
а этой операции при изучении математики тоже уделяют мало внимания.
Итак, в работе проанализированы математические термины и формулы, используемые при изучении вращательного движения. Выявлены моменты, на которые следует обратить внимание в курсе высшей математики для успешной реализации межпредметных связей.
Дальнейшие исследования могут быть продолжены в направлении анализа математических соотношений, используемых в других разделах физики, и сбора материала для составления задач с практическим содержанием. Библиографический список:
1. Горбузова М.С., Коробкова С.А., Смыковская Т.К., Соловьева В.В. Контекстные задачи как средство интеграции содержания предметных областей математики, физики и информатики // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 5. С. 585.
2. Гузанов Б.Н., Федулова К.А. Проек-тно-модульное непрерывное междисциплинарное обучение в профессионально-педагогическом вузе // Современная высшая школа: инновационный аспект. - 2017. - Т. 9. - № 4 (38). С. 34-43.
3. Дворяткина С.Н., Дякина А.А., Розанова С.А. Синергия гуманитарного и математического знания как педагогическое условие решения междисциплинарных проблем // Интеграция образования. - 2017. - Т. 21. - № 1 (86). С. 8-18.
4. Калеева Н.А., Краевая З.Н., Чернов
B.А. Повышение общетехнической компетентности курсантов авиационного вуза при изучении дисциплин «Прикладная геометрия и инженерная графика» и «Механика» // Современная высшая школа: инновационный аспект. - 2018. - Т. 10. - № 2 (40).
C. 90-100.
5. Кандаурова Т.П. Повышение познавательной мотивации у курсантов военного вуза при изучении физики //
Современная высшая школа: инновационный аспект. - 2018. - Т. 10. - № 3 (41). С. 34-41.
6. Концепция развития математического образования в Российской Федерации (утв. распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. № 2506-р) [Электронный ресурс] // Министерство образования и науки российской Федерации. - Режим доступа: https:// xn--80abucjiibhv9a.xn--p1ai/%D0%B4 %D0%BE%D0%BA%D1%83%D0%B C%D 0%B5%D 0%BD%D 1%82%D 1% 8B/3894
7. Корогодина И.В., Коростелев Д.А. Идея фузионизма как новая форма интеграции при обучении физике и математике в техническом вузе // Образование и общество. - 2016. - № 4-5 (99-100). С. 50-53. URL: https://elibrary. ru/item .asp?id=30587523
8. Литвинова Т.Н., Панченко Е.И. Математическая статистика как необходимый компонент профессиональной подготовки студентов медицинского вуза // Общество: социология, психология, педагогика. - 2018. - № 4. С. 84-89.
9. Лубсанова Л.Б. Реализация межпредметных связей в процессе изучения факультативного курса по математике // Вестник Бурятского государственного университета. - 2016. -№ 1. С. 38-43.
10. Львов Л.В., Усынин М.В. Проблемы интеграции в ходе управления образовательно-профессиональным процессом развивающегося вуза // Современная высшая школа: инновационный аспект. - 2016. - Т. 8. - № 2 (32). С. 122-134.
11. Тестов В.А. Интеграция дискретности и непрерывности при формировании математической картины мира обучающихся // Интеграция образования. - 2018. - Т. 22. - № 3 (92). -С. 480-492.
12. Федосеев В.М. Научно-исследовательская работа со студентами как
ф о
ф *
S
ш ч
о
0
1 _0
Ф
н
го ^
го ш
ф т
с
го
го с с го о
о ф
т
S
н го
S ф
н
го
ф
I
ф
о
форма интеграции инженерной и математической подготовки в учебном процессе вуза // Интеграция образования. - 2016. - Т. 20. - № 1 (82). С. 125-133.
13. Ames T., Reeve E., Stewardson G., Lott, K. Wanted for 21st century schools: Renaissance STEM teacher preferred // Journal of Technology Education. -2017. - Vol. 28. - No. 2. Pp. 19-30.
Поступила 09.03.2019
го m <u _o m о с; о
О <
Об авторе:
Соловьева Светлана Александровна, доцент кафедры математики Набережно-челнинского института (филиала) Казанского (Приволжского) федерального университета (Россия, г. Набережные Челны), кандидат физико-математических наук, доцент, [email protected]
Для цитирования: Соловьева С.А. О применении математического аппарата при изучении вращательного движения в курсе физики // Современная высшая школа: инновационный аспект. - 2019. - Т. 11. - № 1. С. 31-37. DOI: 10.7442/2071-9620-2019-11-1-31-37
References:
1. Gorbuzova M.S., Korobkova S.A., Smykovskaya T.K., Solovyeva V.V. Contextual problems as a means of integrating the content of subject areas mathematics, physics and informatics [Electronic resource] // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. - 2015. -No. 5. P. 585. - Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=32664472 [in Russian]
2. Guzanov B.N., Fedulova K.A. Project-module continuing interdisciplinary training at the vocational pedagogical university // Contemporary Higher School: Innovative Aspects. - 2017. - Vol. 9. - No. 4 (38). P. 34-43. [in Russian]
3. Dvoryatkina S.N., Dyakina A.A., Rozanova S.A. Synergy of humanitarian and mathematical knowledge as a pedagogical condition for solving interdisciplinary problems // Integraciya obrazovaniya. - 2017. - Vol. 21. - No. 1 (86). P. 8-18. [in Russian]
4. Kaleeva N.A, Krayevaya Z.N., Chernov V.A. Ways of increasing the technical competence of aviation higher school cadets in «Applied geometry and engineering graphics» and «Mechanics» // Contemporary Higher School: Innovative Aspects. - 2018. - Vol. 10. -No. 2 (40). P. 90-100. [in Russian]
5. Kandaurova T.P. Improving the cognitive motivation of military university cadets in studying physics // Contemporary Higher School: Innovative Aspects. - 2018. - Vol. 10. -No. 3 (41). P. 34-41. [in Russian]
6. «The concept of development of mathematical education in the Russian Federation» [Electronic resource] // (Approved by the order of the Government of the Russian Federation of December 24, 2013, No. 506-p). - Available at: http://www.pravo.gov.ru/ [in Russian]
7. Korogodina I.V., Korostelev D.A. The idea of fusionism as a new form of integration in teaching physics and mathematics in a technical college // Obrazovanie i obshhestvo. -2016. - No. 4-5 (99-100). Pp. 50-53. - Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=30587523 [in Russian]
8. Litvinova T.N., Panchenko E.I. Mathematical statistics as a necessary component of professional training of medical university students // Obshhestvo: sociologiya, psihologiya, pedagogika. - 2018. - No.4. P. 84-89. [in Russian]
9. Lubsanova L.B. Realization of intersubject communications in the elective course of mathematics // Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2016. - No. 1. P. 38-43. [in Russian]
10. Lvov L.V., Usynin M.V. Integration problems in managing professional education process at a developing higher school // Contemporary Higher School: Innovative Aspects. - 2016. - Vol. 8. - No. 2 (32). P. 122-134. [in Russian]
11. Testov V.A. Integration of discreteness and continuity in forming mathematical world view among students // Integraciya obrazovaniya. - 2018. - Vol. 22. - No. 3 (92). P. 480-492. [in Russian]
12. Fedoseyev V.M. Involving students in research as a form of integration of engineering with mathematical education // Integraciya obrazovaniya. - 2016. - Vol. 20. - No. 1 (82). P. 125-133. [in Russian]
13. Ames T., Reeve E., Stewardson G., Lott, K. Wanted for 21st century schools: Renaissance STEM teacher preferred // Journal of Technology Education. - 2017. - Vol. 28. - No. 2. P. 19-30.
About the author:
Solov'eva Svetlana Aleksandrovna, Associate Professor, Department of Mathematics, Naberezhnye Chelny Institute (branch), Kazan (Volga region) Federal University (Naberezhnye Chelny, Russia), Candidate Physics and Mathematics, academic title of associate professor, [email protected]
For citation: Solovyeva S.A. On application of mathematical tools to study rotational motion in physics course // Contemporary Higher Education: Innovative Aspects. - 2019. -Vol. 11. - No. 1. P. 31-37. DOI: 10.7442/2071-9620-2019-11-1-31-37
<D О
<D S
m Ч
о
I—
о х
_D
Ц
CD H ГО ï го ü m
eu т
с
го ü го с с го о
о ф
т s H го
s ф
H
го
ф
I
ф
о
