CC BY
9
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
УДК 517-938, 531-36 DOI 10.18522/1026-2237-2020-1-11-16
О ПРИМЕНЕНИИ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ КОСИММЕТРИЯМИ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ*
Л.Г. Куракин1'2'3, А.В. Курдоглян1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия,
3Институт водных проблем РАН, Москва, Россия
ON APPLYING OF EQUILIBRIUM STABILITY CRITERIA FOR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO COSYMMETRIES IN CRITICAL CASES
L.G. Kurakin1'2'3, A.V. Kurdoglyan1
1Southern Federal University, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia, 3Institute of Water Problems, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
Куракин Леонид Геннадиевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Миль-чакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; главный научный сотрудник, Южный математический институт -филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, Республика РСО-Алания, 362027, Россия; ведущий научный сотрудник, Институт водных проблем РАН, ул. Губкина, 3, г. Москва, 119333, Россия, e-mail: kurakin@math.sfedu.ru
Курдоглян Айк Варужанович - младший научный сотрудник, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: aik_kurdoglyan@mail.ru
Leonid G. Kurakin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Main Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Markusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia; Leading Researcher, Institute of Water Problems, Russian Academy of Sciences, Gubkina St., 3, Moscow, 119333, Russia, e-mail: kurakin@math. sfedu. ru
Aik V. Kurdoglyan - Junior Researcher, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: aik_kurdoglyan@mail.ru
Рассматриваются критические случаи устойчивости равновесий дифференциальных уравнений с двумя косим-метриями. Спектр устойчивости равновесия состоит из объединения двух спектральных множеств: непустого нейтрального спектра, лежащего на мнимой оси, и устойчивой части спектра, лежащей строго в левой полуплоскости. Исследование критических случаев в общей теории сводится к изучению нелинейных модельных систем. Вычисление их коэффициентов считается отдельной задачей. В предшествующей работе авторов были получены критерии устойчивости для модельных систем, отвечающих шести различным случаям нейтрального спектра устойчивости. Цель данной работы - выразить коэффициенты этих систем через коэффициенты ряда Тейлора исходного уравнения. Стандартный алгоритм построения модельной системы состоит из двух последовательных преобразований исходного уравнения. Сначала строится его сужение на нейтральную поверхность. В результате размерность исходной системы редуцируется до размерности ее нейтрального подпространства. Затем полученное уравнение нормализуется до некоторого конечного порядка и отбрасываются слагаемые старшей степени. В данной работе для вычисления коэффициентов модельной системы применяется алгоритм, предложенный В.И. Юдовичем. Это позволило объединить оба преобразования в одно. Полученные формулы коэффициентов модельных систем не
* Работа выполнена при финансовой поддержке Южного федерального университета ВнГр.2020-04-ИМ, 2020 (Министерство образования и науки Российской Федерации)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
зависят от размерности исходного уравнения. Они применимы как к конечномерным, так и к бесконечномерным системам и удобны для реализации с помощью пакетов аналитических вычислений.
Ключевые слова: косимметрия, равновесие, устойчивость, дифференциальное уравнение, инвариантная поверхность, полуинвариантная форма.
Critical cases of equilibrium stability are considered for differential equations with two cosymmetries. Stability spectrum of such equilibrium consists of two spectral sets. The first is the non-trivial neutral spectrum that is on the imaginary axis. The second is a stable part of the spectrum that lies in the left half-plane. According to the general theory, research of the critical cases comes down to study of nonlinear model systems. To calculate the coefficients for such systems is a separate problem. Stability criteria for the model systems are described in the previous work of the authors. The purpose of given paper is to express the coefficients of Taylor's series for model systems from such coefficients for the original equation. A usual algorithm constructing a model system consists of two coherent conversions of the original equation. The first is to form the reduction on the neutral surface for this equation. As a result its dimension is decreased to the neutral subspace's dimension. Then the constriction is transformed to normal form to some finite order. The higher order terms are ignored. In this work the coefficients of the model systems are computed with the help of algorithm of V.I. Yudovich. It makes possible to unite both conversions into one. The obtained formulae for coefficients of model systems are independent of the original equation's dimension. Thus it is applicable to systems of finite or infinite dimension and usable to realize using packages of analytical calculations.
Keywords: cosymmetry, equilibrium, stability, differential equation, invariant surface, semi-invariant form.
Постановка задачи и описание метода
Рассматриваются системы дифференциальных уравнений с двумя косимметриями [1]. Изучаются критические случаи устойчивости равновесий, когда для ответа об устойчивости требуется нелинейный анализ.
Данная работа является естественным продолжением работы [2], где получены критерии устойчивости для систем с двумя косимметриями, и работы [3], где получены полуинвариантные формы критериев устойчивости для систем с одной ко-симметрией.
Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение, обладающее нулевым равновесием, в пространстве Р
да
и = / (и) = Ли + Я (и), 8(и) = 2 К и, / (0) = 0. (1)
I =2 7
Здесь Л : Я" — Я" - линейный оператор. Действующий в Я" симметрический однородный степени I оператор Ку определяется у -линейным отображением (иь..., и у) — К у (иь..., и у), К И = Ку (и,., и) , где щ,..., и у, и е Я" .
Отображение f: О — Р" является аналитическим в некоторой окрестности нуля ОсР и допускает две непрерывные косимметрии
¿1, ¿2 :0 —^ Р" . Согласно определению, введенному В.И. Юдовичем [1, 4, 5], это означает, что в каждой точке и еО и у = 1,2 векторы f (и) и ¿у (и) ортогональны: (Дм), Ь у (и)) = 0.
Считаем выполненными следующие предположения:
1°. Точка 0еО является некосимметричным равновесием уравнения (1):
f (0) = 0, ¿1(0) * 0, ¿2(0) * 0 .
В работах [1, 5] показано, что векторы ¿1(0) и
*
¿2 (0) принадлежат ядру оператора Л* , сопряженного к производной Л = f' (0). Таким образом, точка нуль принадлежит спектрам сг(Л) и с(Л ) опе-
*
раторов Л и Л* .
2°. Выполнено условие минимальности вырождения: ядро оператора Л является двумерным: &шкег Л = 2. При этом векторы ¿1(0) и ¿2(0) линейно независимы.
3°. Спектр с(Л) оператора Л состоит из нейтрального с^Л) и устойчивого с1(Л): сг0(Л) = (Л: Лес(Л), ЯеЛ = 0}, с1 (Л) = (Л: Лес(Л), ЯеЛ<0} . При этом нейтральный спектр С0(Л) содержит 2 -кратное нулевое собственное значение и отличен от него.
Далее будем следовать алгоритму, предложенному в работе [6].
Спектральным множествам с() и с отвечают спектральные подпространства и0, и и спектральные проекторы ¿0 , ¿1.
Согласно [7], в некоторой окрестности V с О с Я" точки и = 0 существует инвариантная поверхность М0 с V системы (1), которая в точке и = 0 касается нейтрального подпространства и0 .
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
(2)
При этом Mo - график некоторого отображения F : V0 ^ Ui, где V0 = V nU0.
Множество M0 иногда называют нейтральным
(или центральным) многообразием.
Из принципа сведения [7] следует эквивалентность задач устойчивости нулевого равновесия для исходного уравнения (1) и для его сужения на M0. Систему (1) запишем в виде
"0 = Pof (м0 + и) = А0и0 + Po g (м0 + "i), "i = Pif ("o + Ui) = Ai"i + Pig("o + Ui), где ик = Pku, Ak = PkA , к = 0,i.
Введем новые переменные #0 = "0, #i = "i - F("0). Нейтральное многообразие в этих переменных определяется из условия #i = 0 . При этом уравнение (2) принимает вид ¿0 = P0 f (#0 + #i + F (#0)), #i = (Pi - F' (#0)P0)f (#0 + #i + F(#0)). Согласно принципу сведения, устойчивость нулевого равновесия достаточно исследовать на нейтральном многообразии ( #i = 0 )
#0 = P0f (#0 +#i + F (#0)). (4)
Отображение F можно представить в виде ряда Тейлора
(3)
F (¿o) = Z Fj¿,
(5)
j=2
где Fj : £0 ^ F£j ( j = 2,3,... ) - симметричная век-торнозначная форма j -й степени на U0 со значениями на Uj.
Известно, что ряд (5) может быть расходящимся, однако для критических случаев, рассматриваемых далее, достаточно знать лишь несколько первых его членов.
Для определения F из условия инвариантности получаем уравнение
P/(£o + F (£0)) = F' (£o)Po/(£o + F (£0)).
Подставляя ряд (5) в последнее уравнение и приравнивая слагаемые одинаковых степеней, получим систему уравнений для определения Fj ( j = 2,3,. ).
Замена vo = £0 - G(£o ) ( G : V0 ^ Uo ) приводит уравнение (4) к нормальной форме до некоторого порядка [8, 9].
Приведение уравнения (4) к нормальной форме в ряде случаев упрощается, если F и G разыскивать в виде F = PJT, G = PoT, а отображение T : V) ^ V определять так, чтобы замена v = u - T (Mo) в уравнении (3) обращала в нуль нерезонансные члены [8], содержащие uo .
Таким образом, задача устойчивости нулевого равновесия уравнения (1) приводится к случаю уравнения на нейтральном многообразии в нормальной форме, исследованной в статье [2]. В этой статье искомая задача упорядочена по коразмерности вырождения в классе всех возможных систем с двумя косимметриями.
Далее результаты работы [2] представлены в полуинвариантной форме - используется жорда-нов базис лишь в нейтральном подпространстве, а не во всем пространстве. В приведенных формулах нигде не фигурирует размерность системы, так что они применимы и для бесконечномерных задач, скажем, для систем уравнений в частных производных.
В каждом из критических случаев, рассматриваемых далее, принята следующая схема представления результатов:
1. Приводятся условия вырождения линейной части. Вводятся нейтральный спектр и проектор Po •
2. Записывается уравнение на нейтральном многообразии М0 в нормальной форме. При этом используется асимптотическое представление уравнения при |vo| ^ 0.
3. Задается модельная система - укороченное уравнение на нейтральном многообразии, в котором присутствуют лишь те члены тейлоровского разложения, которые используются в критерии. В полуинвариантной форме формулируется критерий устойчивости, полученный в работе [2].
Далее нейтральный спектр oqCA) матрицы A задается, например, в следующей форме: CTo(A) = {0k,0,+ia>i,±i0)2}. Это означает, что нейтральный спектр состоит из двух простых пар чисто мнимых собственных значений и к + 1 - кратного нулевого собственного значения, соответствующего двум жордановым клеткам матрицы A : к -мерной и -мерной.
Системы с двумя косимметриями
Случай нейтрального спектра ct0(A) = |)2,o|
1. Собственное значение - нуль кратности 3, которому отвечают двумерная и одномерная жорда-новы клетки. Соответствующие корневые векторы
операторов A и A* суть р, \, рр и Lw = L(0),
Y, L20 = L2(0):
Ap = 0, A\ = p, Ap1 = 0, A*L10 = 0,
A*Y = L10, A%0 = 0;
(р, Y) = (\, L10) = (су, L20) = 1.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Проектор на нейтральное подпространство и0 имеет вид ¿ут = Хф + х2^+ хъФ1 ■
Компоненты вектора х = (Х1, х^, ) е Я3 - скалярные произведения:
Х1 = (v0, ^Х х2 = (v0, ¿10 ), х3 = (v0, ¿20 ). 2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме
2
Х1 = Х2 + Х2^(| х | ),
ХХ2 = «1Х1Х2 + «2Х12Х2 + Х20(| Х1 I3 + | Х2 |), (6)
= х20(| х |3). 3.1. Модельная система: Х1 = Х2, Х2 — «1Х1Х2, Х3 — 0.
2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме:
Здесь ai = 2 • (k (v, W) - W2v2,Lw)
i = 2
W2v2 =^A-1K2v2.
¿101, где
A Lio = A = 0,
20
A * Ф = -®Ф, A *Ф* = iaФ* ;
X = S|z|2 +O(|z|3),
x2 =|z| 2 O(| xi |3 + | X2 | + | z |),
23 z = iaz + z(C]Xi + C2xj ) + zO(| X2z | + | z | ).
3.1. S Re C1 Ф 0. Модельная система:
i2
(7)
Критерий устойчивости. Нулевое равновесие системы (6) неустойчиво, если а1 * 0.
3.2. Выполнено условие вырождения: а1 — 0. Модельная система:
• - • - 2 • -П
ХХ*1 — Х2, Х^ — «2 Х1 Х2, Х3 — 0 .
Здесь а2 — (М, ¿ю), где М — 3К3 (ф2, у) + 2К2 (у, ) + + 4К2 (ф W2 (ф, у)) - 2«1^2 (ф, у) - З^зф3. Щ(ф,у)) — -2Л-1[2К2(ф,у) -у2W2ф2
Wзф3 — —Л-1 [К3ф3 + 2К2 (ф, W2ф2 )]. Критерий устойчивости. Пусть «1 — 0. Нулевое равновесие системы (6) устойчиво, если «2 < 0, и неустойчиво, если «2 > 0.
Случай нейтрального спектра с0(Л) — {0,0,±г'ю} 1. Собственные значения - нуль кратности 2 и простая пара ±Ю (ю > 0) на мнимой оси. Жорда-нова матрица, отвечающая нейтральному спектру с0 (Л), диагональна. Соответствующие корневые
векторы операторов Л и Л *: ф, ф2 , ф, ф* и ¿10 — ¿1(0), ¿20 — ¿2(0), Ф, Ф* : Лф — Лф2 — 0, Лф — 1юср, Лф* — —юф*,
(фь¿ш) = (02¿20) = (фФ) = (0 ,Ф ) = 1.
Проектор на нейтральное подпространство Uo :
г» =1= =1=
/qV = X0Pi + Х2Ф2 + z0 + z 0 .
Компоненты вектора vq = (xj, X2, z, z * ) e R2 x C2 -скалярные произведения:
X1 = (V0> ¿10 X x2 = (V0> ¿20 X z = (V0> ФХ z = (^,Ф ).
Xi = S \ z \ , Х- = 0, z = i®z + CjXjZ.
Здесь S = 2(к-(ф,ф* ), ¿ш ), C = 2(К-(ф,ф),Ф). Критерий устойчивости. Пусть q = Re Q. Нулевое равновесие системы (7) неустойчиво, если > 0, и устойчиво, если Sc-j < 0. 3.2. Выполнено условие вырождения: с- = 0 . Модельная система:
Х- =S\ z \2, .¿2 = 0, z = iaz + C-x-z + C2x-z. Здесь C2 = (M, ф), где M = 3K3 (ф2 , ф)+ 2K 2 ф, Г2ф2 )+ + 4K - (ф , W- (ф, ф)) - 2C-W- (ф, ф), W-ф2 =- А_1К2ф2,
W (ф, Ф) = - (i®/ - A)-1 (2K- (ф, ф) - Сф) .
Критерий устойчивости. Пусть с- = 0, а S ф 0 . Нулевое равновесие системы (7) неустойчиво, если ReC2 > 0, и устойчиво, если ReC2 < 0.
Случай нейтрального спектра т0(Л) = |)3,0|
1. Собственное значение - нуль кратности 4, которому отвечают трехмерная и одномерная жорда-новы клетки. Соответствующие корневые векторы
операторов Л и Л *: , , у2 , ф и Lw = ¿-(0),
Ti, Т2 , ¿20 = ¿2(0):
Лф0 = Лф = 0, л^1 =ф0, л^2 = щ; Л * ¿10 = Л * ¿20 = 0, Л*Т- = ¿10, Л* Т- =Т-;
(Ф0Т2) = (у1, Т1) = (у2, ¿10) = (Ф, ¿20) = 1. Проектор на нейтральное подпространство U0 : ^0V = Х1Ф0 + ¿2y1 + ¿зу2 + Х4Ф. Компоненты вектора x = (¿1, х-, ¿3, ¿4) е R4 -скалярные произведения:
¿1 = (V0, Т2 ), ¿2 = (V0, ТО, х3 = (V0, ¿10 ), х4 = (V0, ¿20 ).
2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме:
X1 = x2 + O(\ x \ ),
2
X2 = x3 + O(\ x \ X X3 = axix2 + X2O(\ x \2 + \ X4 \) + X3O(\ x \ ), X4 = X2O(\ x \) + X3O(\ x \).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
3. Модельная система:
Х1 = X&2 = , X3 = 0x1x2, X4 = 0 .
Здесь а = 2 -(k2(0),\1) + A^^p^, Lw )• Критерий устойчивости. Нулевое равновесие системы (8) неустойчиво, если а Ф 0 .
Случай нейтрального спектра сг0(Л) = {)2,02} 1. Собственное значение - нуль кратности 4, которому отвечают две двумерные жордановы клетки. Соответствующие корневые векторы операторов A и A* суть р, \, Р2, \ и L10 = Lj(0), Y, L20 = L2(0), Y2 :
AP1 = AP2 = 0, A\1 = p, A\2 =P2 ;
A*L,n = A*Ln = 0.
A11 = Lio,
A Т2 = L20;
'10 - А ¿20
(П,^1) - {¥1,Ьо) - (П2,^2) - (¥2, ¿20) - 1.
Проектор на нейтральное подпространство и о :
Р0У - Х1П1 + Х2¥ + Х3П2 + х4¥2-
Компоненты вектора х - (Х1, Х2, Х3, Х4) е Л4 -скалярные произведения: Х1 - х2 - (v0,¿шХ
х3 - Ы, ^2 X Х4 - Ы, ¿20 X
2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме:
Х1 - Х2 + 0(| Х |2), ХХ2 - ^1Х1Х2 + #2Х1Х4 + @зХ3Х2 + #4Х3Х4 + 0(| Х | ),
Х3 - Х4 + 0(| Х |2), Х4 - 61Х1Х2 + ¿2Х1Х4 + ^3Х3Х2 + ¿4Х3Х4 + 0(| Х | ).
3. Модельная система:
Х1 - x2,
Х^ - Я1Х1Х2 + + а^Х^Х^у + адХ^Хд
(9)
44X3X4,
(10)
42X1X4 + 03x3X2 '
x3 = x4,
XX4 = ¿1x1x2 + b x1x4 + Ьз x3 x2 + ¿4 x3 x4. Здесь ау- = 2 -(Mj , L10 ), bj = 2 - (Mj, L20 ) (j = 1,2,3,4), где
—1 2
M1 = K2(P1,\1) + A K2P1 ,
M2 = K2(P1\\2) + A"1K2(P,P2) ,
M3 = K2(P2,\1) + A"1K2(P,P2) ,
M4 = K2(р2, \2) + A"1K2p22 .
Критерий устойчивости. Нулевое равновесие системы (9) неустойчиво, если 01 + а + аз)а +
+ 04а2 Ф 0. Здесь а - любой из вещественных корней многочлена Р(а) = ¿1 + (¿2 + b3 — а1)а + 2 3
+ (¿4 — 02 — 03 )а — 04а .
Случай нейтрального спектра cr0(A) = {)2,0,±i®}
1. Собственные значения - нуль кратности 3, которому отвечают двумерная жорданова клетка и простая пара ±io на мнимой оси. Соответствующие
корневые векторы операторов A и A* : р , \, Р2 ,
Р3, Р3* и L10 = Lj(0), Y, L20 = L2(0), Ф3 , ф; :
Ap = Ap2 = 0, A\ = p, Ap = iop3,Ap* = —iap*;
A*LW = A%0 = 0, A*Y = L10,
A*Ф3 =— ;0Ф3, A*Ф3 = /оФ3;
(P1, Y) = (\, L10) = (p2, L20) = (P3, Фз) = (P*, Ф3) = 1. Проектор на нейтральное подпространство U0 :
P0V = x1P1 + x\\+ x3P2 + ZP3 + z*p*. Компоненты векторов x = (x1, x2, x3) e R3 и
* 3 2
V0 = (x, z, z ) e R x C - скалярные произведения: x1 = (v0, Y), x2 = (v0, L1oX x3 = (v0, L20 X z = (V0, Ф3), zZ = (V0, Ф3).
2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме:
x = x2 + O(| V0 |2), xx2 = 0x1x2 + O(| z |2 + x| + | x2x3 |)+ O(| z | -1 V0 |2), x3 = x2O(|x|2) + O(|z|-|v0 |2), z = iaz + zO(| x |)+ z*O(| v0 |4).
3. Модельная система:
x;1 = x2, xc2 = 0x1x2, xc3 = 0, z = iaz.
Здесь 0 = 2 - (K2 (p, \) + A—K2P2, L10 ). Критерий устойчивости. Нулевое равновесие системы (10) неустойчиво, если 0 Ф 0.
Случай нейтрального спектра CTq(A) = {0,0,±ia1,±ia2}
1. Собственные значения - нуль кратности 2 и две ненулевые пары ±i®1, ±i®2 на мнимой оси. Между собственными значениями i®1 и i®2 отсутствуют резонансы оо >02 > 0, 01 Ф 202, a Ф 3о2. Жорданова матрица, отвечающая нейтральному спектру Oq (A), диагональна. Соответствующие
собственные векторы операторов A и A* : р, P2 ,
р , P4 , P3, P4 и L10 = L1(0) , L20 = L2(0) ,
Ф3 , Ф4, Ф3 , Ф4 : Ap = Ap2 = 0, Apj= iaj—2pj, Ap* = — iaJ—2P* (j = 3,4), A*LD = A*L2o = 0, A^j = —ioj—2ФJ, A*Ф** = ioj—2Ф* (J = 3,4) ,
(Pk,Lk0) = (Pk+2, Фк +2 ) = (P* , Ф* ) = (P4*, Ф4) = 1 (к = 1,2) .
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Проектор на нейтральное подпространство и0 :
Р^У — Х1ф1 + Х2ф2 + 2фф3 + гф* + ¿*ф* + г*ф* . Компоненты векторов х — (Х1, Х2) е Я2 ,
г — (г!,22) е С2 и У0 — (х,г,г *) - скалярные произведения:
ху — (у0,¿^х 2у — (у0, фу+2),
г) — (У0, Ф)+2) (у —1,2) .
2. Уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме:
Х1 — «11 | г1 |2 +«12 | г2 |2 +0(| г |2 • | у0 |2),
Х2 — «21 | г1 |2 +«22 | г2 |2 +0(| г |2 •| у0 |2),
2
г1 — ю + г1 (5цх1 + В12х2) + 0(| г | •| у0 | ),
2
¿2 — + г2(В21Х1 + В22х2) + 0(| г | • | у0 | ).
3. Модельная система:
Х1 — «11 | г1 |2 +«12 | г2 |2, Х2 — «21 | г1 |2 +«22 | г2 |2, г1 — ю + г1 (ВцХ1 + В12 x2), ¿2 — юг2 + г2 (В21Х1 + В22х2).
Здесь коэффициенты «ук , Вук (у —1,2 ; к —1,2) определены равенствами
«л — 2
(11)
•(K2 0%+2^+2). ¿/0 )>
Вук = 2 -(^2 (Pk, Pj+2 X Ф j+2 ) •
Достаточное условие устойчивости и неустойчивости. Введем обозначения: bjk = 2ReBjk, cjk = a\kbj\ + a2kbj2 , k = 1,2 , j = 1,2 • Пусть А = C\\C22 - C\2c2\ •
Нулевое равновесие системы (11) неустойчиво, если А Ф 0 и выполнено одно из двух условий: cn > 0 либо С22 > 0 . Это равновесие устойчиво, если выполнены четыре неравенства: c\\ < 0, c22 < 0, А > 0, c\2c2\ > 0.
Литература
1. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49, № 5. С. 142-148.
2. Куракин Л.Г., Курдоглян А.В. Критические случаи устойчивости равновесий в дифференциальных уравнениях с двумя косимметриями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2018. № 1. С. 26-32.
3. Kurakin L.G., Kurdoglyan A.V. Semi-Invariant Form of Equilibrium Stability Criteria for Systems with One Cosymmetry // Russian J. of Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 15, № 4. P. 525-531.
4. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5, № 2. P. 402-411.
5. Yudovich V.I. The cosymmetric version of the implicit function theorem // Linear topological spaces and complex analisis. Ankara, 1995. Vol. 2. P. 105-125.
6. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Полуинвариантная форма критериев устойчивости равновесия в критических случаях // Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50, № 5. С. 707-711.
7. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1964. Т. 6. С. 1297-1324.
8. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985. 215 с.
9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
References
1. Yudovich V.I. (1991). Cosymmetry, degeneration of solutions of operator equations, and onset of a filtration convection. Mathematical Notes, vol. 49, no. 5, pp. 540-545.
2. Kurakin L.G., Kurdoglyan A.V. (2018). Critical cases of equilibrium stability for differential equations with two cosymmetries. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), no. 1, pp. 26-32. (in Russian).
3. Kurakin L.G., Kurdoglyan A.V. (2019). Semiinvariant form of equilibrium stability criteria for systems with one cosymmetry. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, vol. 15, no. 4, pp. 525-531.
4. Yudovich V.I. (1995). Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. Chaos, vol. 5, no. 2, pp. 402-411.
5. Yudovich V.I. (1995). The cosymmetric version of the implicit function theorem. Linear topological spaces and complex analysis. Ankara, vol. 2, pp. 105-125.
6. Kurakin L.G., Yudovich V.I. (1986). Semiinvariant form of equilibrium stability criteria in critical cases. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 50, no 5, pp. 543-546.
7. Pliss V.A. (1964). A reduction principle in the theory of stability of motion. Izv. AN SSSR. Seriya matematicheskaya, vol. 28, no. 6, pp. 1297-1324. (in Russian).
8. Khazin L.G., Shnol E.E. (1985). Stability of critical equilibrium states. Manchester University Press, 208 p.
9. Arnold V.I. (1978). Supplementary chapters to the theory of ordinary differential equations. Moscow, Nauka Publ., 304 p. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
11 февраля 2020 г. /February 11, 2020
