CC BY
16О ПРИМЕНЕНИИ "ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ" К МЕХАНИЧЕСКИМ
ЗАДАЧАМ
Неъмат Сафоевич Мустафоев
Старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Бухарского инженерно-
технологического института
АННОТАЦИЯ
Обсуждается применение производных и интегралов дробного порядка в механических задачах. Сделан неформальный вывод для формул "дробного исчисления". Обсуждается проблема континуальных моделей "силовых" механических систем.
Ключевые слова: дробный порядок, дробный интеграл, дробный производный, дробный исчисления.
ON APPLICATION OF "FRACTIONAL CALCULATION" TO MECHANICAL
PROBLEMS
ABSTRACT
The application of derivatives and integrals of fractional order in mechanical problems is discussed. An informal conclusion is made for the "fractional calculus" formulas. The problem of continuous models of "power" mechanical systems is discussed.
Keywords: fractional order, fractional integral, fractional derivative, fractional calculus.
ВВЕДЕНИЕ
В традиционных курсах дифференциального исчисления понятию производной обычно предшествует введение понятия непрерывной функции. Изложение математических курсов выстраивается так, что возникает картина, когда специфика дискретных систем становится вторичной по отношению к основным непрерывным и аналитическим объектам. Дискретные (или иные «разрывные») системы становиться удобнее рассматривать, как предельные свойства непрерывных систем.
С другой стороны, в интегральном исчислении, которое в преподавании традиционно следует за дифференциальным, первичными объектами анализа являются все же дискретные суммы. А интегралами называются пределы соответствующих интегральных сумм.
Хорошо известно, что профессиональные математики не должны увлекаться содержательной стороной формального математического аппарата (а кто в наше время не желал бы считаться профессионалом?) Математическая литература вычищается от иллюстраций, образов и интерпретаций собственного текста. В том числе и от естественных ассоциаций. Что касается «первичности» непрерывного, которое следует только из логики преподавания математического анализа, то эта «первичность» становиться ненавязчиво конкретной, и уже в дальнейшем может проявляться в некотором специальном физическом тексте. Непрерывное очень серьезно толкуется в наивных физических картинах мира, проецируя всего лишь язык изложения математических дисциплин на объяснение природы. Возникали, и будут возникать горячие споры о дискретности или непрерывности, как в отдельных областях физического знания, так и в областях, тематически связанных с фундаментальными первоосновами мироздания. Между тем, гораздо более сильное предложение заключается в том, что ни мир, ни какое-либо явление не могут быть изначально дискретными или непрерывными. Имеет смысл спокойно относиться к прагматике познавательных действий (в том числе и собственных), дабы, оставаясь научно-честными перед явлениями природы, не уменьшать ценности разнообразных точек зрения.
Неформальный вывод формул для дробного исчисления
Рассмотрим понятие производной для некоторой функции, как частный случай исчисления конечных разностей, и, следовательно, из некоторой дискретной конструкции. Еще английский математик Брук Тейлор (Brook Taylor 1685-1731) пришел к «теореме Тейлора» отправляясь от конечных разностей. Значение какой-либо величины легче интерпретировать, как среднее значение инструментально измеряемой на некотором, пусть очень малом, но конечном промежутке (времени, пространства). Следуя модернизированной схеме Тейлора, построим таблицу, в которой размещены всевозможные разности при равномерном разбиении x на Ax :
x x + Ax x + 2 Ax x + 3Ax ......
У У1 У 2
АУ АУ1
A2 У A2yi
A3 У
Для разностей различных порядков справедливы выражения, которые можно заметить из таблицы:
Уз
ЛУ2
Л3 yi ...
лЫ = У/+1 - У/
л
л У/ = лУ/+1 - лУ/ = У/+2 - 2 У/+1 + У/
л3 У/ = л2 У/+1 - л2 У/ = У/+3 - з У/+2 + з У/+1 - У/
Общая формула для разности порядка п имеет следующий вид:
п
к=0
( П ^
Any = Е("п • Л* + п'Ax-k Ax). (1)
V k J
Здесь
rn\
V k J
П!
известная формула для биномиальных коэффициентов,
г !(п - г ) выраженная через факториалы.
Используя формулу (1) можно вычислять пределы при устремлении Ах к нулю следующих отношений:
А1 У,. А2 у.. А3 у
Ax1 ' Ax2 ' Ax3
(2)
и, которые, должны определять производные различных порядков в точке (если, конечно, они существуют).
«Дифференциальное исчисление» великого математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера также начиналось с исчисления конечных разностей. Им же введена так называемая гамма-функция комплексной переменной Г^), которая при Re(z) > 0 определяется интегралом:
<х>
Г(г)=|е- Н'-Чг. (3)
0
В своих частных свойствах, гамма-функция является обобщением функции факториала. Важно то, что гамма-функцию можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость, за исключением точек 2 = 0, -1, -2,... , в которых она имеет полюсы первого порядка.
Собственно здесь мы используем «факториальные» свойства Г(г) для положительных и отрицательных действительных чисел:
Г(1 + г) = 2 Г^); г(п +1) = п!. (4)
Поскольку гамма-функция допускает вышеуказанные обобщения, то можно построить обобщение формулы (1) для разности произвольного порядка:
а
œ f
Aay> = Ê(- l)k 7 • y(x, +a'Ax - k Ax), (5)
vk J
-1*
к=0
где а - необязательно целое и положительное число. При этом вместо традиционных биномиальных коэффициентов используются выражения
a
vк J
Г(1 + a)
(6)
Г(1 + к )г(а- к +1) Рассмотрим частные случаи значений а.
1) Если а= т - целое неотрицательное, то благодаря полюсам гамма-
функции выражение
a
vк J
m!
к < m
(7)
к!(т - к)!
0, к > т
полностью совпадает с биномиальными коэффициентами в (1). Следовательно,
А1 у А2уг А3уг „ ,
выражения —^; —у; —^;...,определенные по новой формуле позволят
Ах Ах Ах
вычислять обычные производные различных целых порядков. 2) Если а=0, тогда
Г(1) П, к = 0
a Г 0 ^
vк J vк J
к !Г(1 - к) [0, к > 0
(8)
Следовательно,
Л0У,
Лх 0
У(х) •
г w
3) Если а = —1, то после подстановки выражение
v kJ
Г(0)
к !Г(- к)
содержит неопределенное отношение простых полюсов. Учитывая свойство
1Л
Г(1 + z) = z • r(z), получаем Г(0) = (- 1)к к! Г(к) и
v ку
д-11; да да
ЛУ = I(- 1)2к • У(х - (к + 1)Лх) = -Iу(х - к • Лх)•
Лх к=0
= (-1) . Таким образом
(9)
к=0
a
Это выражение при условиях, обеспечивающих математическую корректность, можно рассматривать, как интегральную сумму, которая при Ах^-0 даст выражение для определенного интеграла с переменным верхним пределом
J y(x )dx (10)
— <х>
Связь между определенными и неопределенными интегралами известна.
x
« J ф(х)dx )dt + C Замечательную эту формулу читают: неопределенный
a
интеграл есть сумма определенного интеграла с переменным верхним пределом и постоянным нижним плюс прибавочное произвольное постоянное». Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 460
I
1) Если a - дробное, положительное или отрицательное число, то сходимость ряда (5) при Дх^-0 определит величину дробного «дифферинтеграла» в точке x.
О характере применения дробного исчисления в механике
Отношение первых разностей, когда независимой переменной является время, имеет прозрачную физическую интерпретацию. Это обычно представляется, как «средняя скорость» точечного объекта на некотором конечном интервале времени. То есть скорость, вычисленная при перемещении объекта из начала временного интервала в конец. Соответственно отношения разности второго порядка считается «средним ускорением» на некотором интервале. А отношение разностей нулевого порядка есть точная координатная функция точечного объекта. Дробные разности не дают аналогичных интерпретаций, которые можно приписать точечным свойствам объекта или малого интервала, - скорее это свойства всего пути-траектории в целом. Именно поэтому свои смысловые интерпретации дробные производные (вернее дифференциальные уравнения с дробными производными) часто находят в описаниях диффузионных процессов, в которых объект моделирования принципиально считается распределенным, и рассматриваются всевозможные распределения плотности. В классической же механике воплотились два метода вычисления движения систем, представимых в виде точки некоторого, иногда даже очень абстрактного пространства. В одном, берущем начало от Ньютона, движение считается однозначно определенным, если известны все силы и моменты сил. Другой метод, происходящий от Лейбница, носит название «аналитической механики». Здесь движение вычисляется из двух скалярных величин - потенциальной и кинетической энергии, которые своей четкой «определенностью» могут определять направление и траектории движений материального точечного объекта (диссипативные процессы естественно мешают «определяемости»). Исторически сложилось так, что успехи «аналитической механики» нивелировали разнообразие возможных сил, действующих на материальные объекты. Например, элементарное поведение при вязком трении -вязкость Ньютона - рассматривается за пределами «классической аналитической» механики: в механике сплошных сред, реологии. Реология в свою очередь вынуждена возвращаться к вопросам построения элементарных моделей действительного разнообразия сил. Модели Кельвина, Максвелла, Фойгта, Сен-Венана, Бюргерса, Шведова и др. могут считаться элементарными, так как они одноосны и линейны, достаточно просты, и не сводимы друг к другу только лишь линейной комбинацией.
Любопытно, что классическая механика формулируя аксиомы своих аналитических процедур, опирается на экспериментальный материал физического познания. «Принцип детерминированности Ньютона.
Начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в какой-нибудь момент времени) однозначно определяет все ее движения.
Мы не успеваем удивиться этому факту, так как узнаем его очень рано. Можно представить себе мир, в котором для определения будущего системы нужно в начальный момент знать также и ускорения. Опыт показывает, что наш мир не таков» [3]. Однако, в реологии можно «представить себе мир», в котором есть не только координаты, скорости и ускорения, но и «промежуточные» величины. «Ползучесть многих материалов описывается ядром Абеля к = X • Ia . При этом величина деформации сверху ничем не ограничена, но скорость деформации все время убывает. Существуют эксперименты по ползучести пластиков, продолжавшиеся 100000 часов (около 12 лет). Зависимость e(t) (деформации) на всем протяжении испытания была степенной без какой-либо тенденции к выходу на горизонтальную асимптоту».
Можно вспомнить, что слово «динамика» происходит от греческого dvva^ia со значением сила, мощь, возможность. Но «реальное» описание многообразия (динамических) поведений появилось в реологии. «Термин «реология» приводит на ум выражение «navza рв1 » (все течет). С таким же основанием мы можем сказать: «любое тело есть твердое». Между жидкостями и твердыми телами имеется скорее количественное, чем качественное различие ...мы, например, считали бетон жидкостью со временем релаксации ~ 106 сек , а воздух твердым телом со временем релаксации ~ 10-10 сек . Если же считать бетон твердым телом и воздух жидкостью, то такое рассмотрение не представляет интереса для реолога».
Следует признать довольно содержательную дистанцию между двумя выше обозначенными областями механики. Если в первой вводится галлилеева относительность пространственно-временных координат, то во второй -относительность масштаба динамического воздействия и релаксации. В первой, «классической» существенны точные координаты, а также первые и вторые производные движения. Во второй, явление в общем случае неизбежно следует представлять в виде спектров или комбинаций релаксационных процессов, и, следовательно, целостность явления содержит в себе неопределенность, связанную со «сверхбольшими» и «сверхмалыми» измерениями. Если по определенным правилам допускать неопределенность в аналитические процедуры, то оправдано применение в моделировании динамических систем дробного исчисления, которое «нелокально». Даже приближенное вычисление
дробных производных и интегралов должно заключать в себе практически неосуществимое суммирование бесконечных рядов. Oldham & Spanier ввели вариант дробного исчисления включающей «окно наблюдения» между x и x0 :
fv v \-Sm-1 /^сЛ С v \
DS _ = lim
Xr\, X
n m
x xn 1 m—if i\k
V k У
К-1)' У X- kX-Xn . (11)
m У k=n
V ^ У
Однако качество нелокальности остается и в этом случае.
Интересно, что нелокальность может проявлять себя в структурных схемах в виде бесконечных цепей. Элемент, специфичный для высокоэластичных деформаций, независимый от гуковского и ньютоновского, и выражающийся через операцию дробного интегрирования предложен еще в 1961 году Слонимским. В настоящее время есть работы, в которых подобные элементы строятся в виде иерархических и бесконечных цепей простейших элементов Гука и элементов Ньютона (например, Schiessel & Blumen). В лаборатории ОСЕНС считают, что различного вида алгебраические выражения от операторов дифференцирования, в том числе и дробные степени операторов, получаются при введении структуры самоподобия в описание специальных элементов. В этом случае структурная формула приобретает вид бесконечного цепного дерева, а в частности - вид бесконечных цепных дробей, как в работах Schiessel & Blumen и др. авторов. Однако в принципе все элементы с дробными дифферинтегралами не являются линейными комбинациями элементов с нулевой (Гук) и первой (Ньютон) производной, так как комбинаторная схема включает в себя как последовательные, так и параллельные соединения. Следует рассматривать специальные суммы (и даже интегралы) с операторами в виде дробного дифферинтегрирования в качестве естественных моделей упругих, вязкоупругих и иных мягко-жестких явлений. Происходит переход от дискретных структурных моделей механических систем к моделям со свойствами континуальности. Характеристики явления, а, следовательно, параметры суммирования возможно оценивать только в привязке к определенным масштабным классам динамических воздействий. В таком случае значение некоторых понятий (например, мягкость) становится параметризованным от значения масштабного фактора.
REFERENCES
1. Mamatov, T. (2019). Composition of mixed Riemann-Liouville fractional integral and mixed fractional derivative. "Journal of Global Research in Mathematical Archive^', vol. 6 (11), India, 23-32
2. Letnikov A.V. (1872). An explanation of fundamental notions of the theory of differentiation of fractional order. Mat. Sb. Vol. 6. 413-445.
3. Miller K.S.& Ross B.(1993). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. , Wiley, New York,
4. Mamatov T.(2018). Mixed Fractional Integration Operators in Mixed Weighted Holder Spaces. LAPLAMBERT Academic Publishing.- 78 p.
5. Mamatov T. (2014). Mapping Properties Of Mixed Fractional Integro-Differentiation in Holder Spaces. JCAAM- vol.12 (3). 272-290
6. T. Mamatov, F. Homidov, and D. Rayimov, On Isomorphism Implemented by Mixed Fractional Integrals In Holder Spaces, International Journal of Development Research, Vol. 09, Issue, 05 (2019) pp. 27720-27730 (journal style)
7. T. Mamatov. Mapping Properties Of Mixed Fractional Integro-Differentiation in Holder Spaces. Journal of Concrete and Applicable Mathematics (JCAAM), vol. 12 (34). 2014. P. 272-290
8. Mamatov T. Mixed Fractional Integro-Differentiation Operators in Holder Spaces. «The latest research in modern science: experience, traditions and innovations» Proceedings of the VII International Scientific Conference North Charleston, SC, USA, 20-21 June, 2018. P. 6-9
9. Mamatov T. Fractional integration operators in mixed weighted generalized Holder spaces of function of two variables defined by mixed modulus of continuity. "Journal of Mathematical Methods in Engineering" Auctores Publishing - vol.1(1)-004, 2019, p. 116
10. Mamatov T.(2019). Mapping Properties of Mixed Fractional Differentiation Operators in Holder Spaces Defined by Usual Holder Condition. JCSCM.- vol. 9(2).-DOI: 10.20967/.2019
11. Маматов Т. Гельдер фазосида аралаш каср тартибли интеграл операторлар. «НамДУ илмий ахборотномаси», 2-сон, Наманган, 2020, 32-39 бетлар.
12. Mamatov T., Raimov D. Some properties of mixed fractional integro-differentation operators in Holder spaces. "Journal of Global Research in Mathematical Archives", vol. 6, No.11, Noveber 2019. Available online at http: //www.j grma.info. Issn 2320-5822. India, p. 13-22
13. Mamatov T., Mustafoev N. Non-Weighted Zygmund Type Estimates for The Volterra Convolution Type. Impact Factor 3.582 Case Studies Journal ISSN (2305-509X) - Volume 8, Issue 11-Nov-2019. P. 119-122, http://www.casestudiesjournal.com/volume-8-issue-11/
