О приложении теории накрывающих отображений к исследованию нелинейной модели рынка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-77, 517.988

О ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЫНКА

Ключевые слова: а -накрывающие отображения; точки совпадения отображений; функция спроса; функция предложения; равновесные цены.

Исследуется вопрос существования вектора равновесных цен в одной нелинейной модели рынка. Получены достаточные условия существования вектора равновесных цен, изучена устойчивость вектора равновесных цен к малым возмущениям модели. Эти результаты являются следствиями теорем теории а -накрывающих отображений о существовании и устойчивости точек совпадения.

Теория накрывающих отображений имеет приложения в различных областях математики. Традиционно, накрывающие отображения используются при исследовании экстремальных задач. В настоящее время существует ряд работ, в которых результаты теории накрывающих отображений применены для исследования обыкновенных дифференциальных (см. [1]), уравнений Вольтерра (см. [2]) и управляемых систем (см. [3], [4]). В настоящей работе на примере задачи о равновесии в нелинейной модели рынка показано приложение теорем из [5], [6] о точках совпадения а -накрывающего и липшицевого отображений и теоремы из [7] об устойчивости точек совпадения к задачам математической экономике.

В работе рассмотрена модель рынка, на котором продается п товаров, присутствуют производитель и покупатели. Количество приобретаемого покупателем г -го товара зависит от цены товара и находится при решении задачи минимизации функции Р. Стоуна при некоторых ограничениях. Зависимость ^ количества приобретаемого покупателем г -го товара от цен р\,р2, ■■■,рп называется функцией спроса на г -ый товар. В рассмотренной модели ^ : Р ^ М, г = 1,ш,

где I > 0, > 0, аз > 0, і = 1,п - заданные параметры.

Количество поступающего на рынок і -го товара также зависит от вектора цен р и находится в результате решения задачи максимизации функции прибыли производителя. Зависимость Бі количества поступающего на рынок і -го товара от вектора цен р называется функцией предложения і -го товара и в рассматриваемой модели имеет вид

© С. Е. Жуковский, Н. Г. Павлова

Рі Е а^

3 = 1

П

Р = {р = (рі,р2, ...,Рп) Є М+ : ^2рзаз < I},

3 = 1

П

Бі(р) = Кі\\ Р- ^ - ьіРі 1, і = 1,т

3=1

где

CM-1

E віі n

Ki =

IK

j=l

Pij

ij

Li

ffi ■*•)

— 5Z вкі к-1

E

bs^s

i = 1, m,

s=l E fisj

j=1

Ьі > 0, і = 1,т, вк,з > 0, к, і = 1,п - заданные параметры.

Определение. Вектор р Є Р называется вектором равновесных цен, если Бі(р) = Бі(р) для любого і = 1,т.

Основная цель работы заключалась в нахождении таких условий на входящие в задачу параметры, что в рассматриваемой модели существует вектор равновесных цен.

Отметим, что вектор равновесных цен является точкой совпадения отображений Б : Р ^ Мк, Б (р) = (Бі (р),Б2(р),...,Бт(р)) и Б : Р ^ Мк, Б(р) = (Бі(р),Б2(р),...,Бт(р)). Поэтому к задаче о существовании вектора равновесных цен применимы теоремы о существовании точек совпадения а -накрывающего и липшицева отображений из [5], [6]. В результате применениях этих теорем в работе были получены достаточные условия существования равновесных цен в задаче. Кроме того, был исследован вопрос устойчивости точки совпадения при малых возмущениях входящих в задачу параметров. Этот результат был получен как следствие теоремы из [7] об устойчивости точек совпадения а -накрывающего и липшицева отображений.

Представленные результаты выполнены в рамках исследований по теории накрывающих отображений под руководством профессора А.В. Арутюнова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E., Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.

3. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. № 6. P. 889-898.

5. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

6. Arutyunov A., Avakov E., Gel‘man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications, 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

7. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.

Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00427, № 12-01-31140).

Zhukovskiy S.E., Pavlova N.G. ON THE APPLICATION OF COVERING MAPPING THEORY TO NONLINEAR MARKET MODELS

Existence of an equilibrium price-vector in a nonlinear market model is studied. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. Stability of the equilibrium is studied. These results are obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.

Key words: a -covering mappings; coincidence points; demand function; supply function; equilibrium price-vector.

УДК 517.922, 517.988.5

К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

© Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова

Ключевые слова: накрывающие отображения метрических пространств; обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной; управляемые дифференциальные системы.

Получено утверждение о липшицевых возмущениях векторного накрывающего отображения. Этот результат используется для исследования разрешимости управляемой дифференциальной системы неявного вида со смешанными ограничениями на управление и фазовые переменные.

Идея использования накрывающих отображений для исследования дифференциальных управляемых систем была предложена в работах [1,2]. Для эффективного применения предложенных схем возникла необходимость распространения теорем о липшицевых возмущениях на векторные накрывающие отображения. В работе [3] получены утверждения о возмущениях для отображений, действующих в произведении двух метрических пространств. В данной работе такое утверждение получено для отображений, действующих в произведении любого конечного количества метрических пространств. Этот результат мы используем для исследования управляемых систем, описываемых не разрешенными относительно производной дифференциальными уравнениями со смешанными ограничениями на управление и фазовые переменные.

Приведем определения понятий, необходимых для формулировки основных результатов.

Пусть заданы метрические пространства (Х,рх), (У, ру)■ Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г> 0 в пространстве X (аналогичное обозначение используем для У и конкретных метрических пространств, рассматриваемых ниже).

Определение 1 [4, определение 1]. Пусть задано число а> 0. Отображение Ф: X ^ У называется а-накрывающим, если для любого г> 0 и любого и € X имеет место включение

Ф(Вх(и,т)) 5 Ву(Ф(и),ат).