CC BY
11
УДК 517.956.35
DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-43-52
О ПРИБЛИЖЁННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Бозиев ОЛ.
Кабардино-Балкарский государственный университет
360016, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, ул. Чернышевского, д. 173, Российская Федерация
Аннотация. В статье предлагается метод решения смешанной задачи с однородными начальными условиями для нагруженного гиперболического уравнения, содержащего интеграл натуральной степени модуля неизвестной функции. Приближённое решение ищется с помощью априорных оценок решения поставленной задачи. Получена формула, выражающая это решение через решение обыкновенного дифференциального уравнения, ассоциированного с исходным нагруженным уравнением.
Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, нагруженные уравнения в частных производных, априорные оценки, приближенные решения.
ON THE APPROXIMATE-ANALYTIC METHOD OF SOLVING A NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATION WITH HOMOGENEOUS INITIAL CONDITIONS
O. Boziev
Kabardino-Balkarian State University
ul. Chernyshevskogo 173,360016 Nalchik, Kabardino-Balkar Republic, Russian Federation Abstract. The paper presents a method for solving a mixed problem with homogeneous initial conditions for a loaded hyperbolic equation with an integral natural degree modulus of unknown function. An approximate solution is sought for by means of a priori estimates of the solution to the problem. A formula expressing the solution through the solution to the ordinary differential equation associated with the initial loaded equation is obtained.
Key words: nonlinear partial differential equations, loaded partial differential equations, a priori estimates, approximate solutions.
Введение
Нелинейное уравнение
utt - a2uxx + b\uf ut = 0, (1)
с положительными параметрами a и b, натуральным p и начально-краевыми условиями различного вида в прямоугольной области является математической
© Бозиев О.Л., 2017.
моделью различных нестационарных процессов. В частности, при p > 0 неоднородное уравнение вида (1) возникает в релятивистской квантовой механике [6, с. 16]. При p = 1 уравнение (1) моделирует неустановившееся течение жидкости в трубе со скоростью u(x,t) [4, с. 42]. Для нахождения приближенного решения (1) с соответствующими условиями, как правило, используются трудоёмкие численные методы. В данной статье предлагается приближенно-аналитический метод решения уравнения (1). Для его применения необходимо сначала от (1) перейти к нагруженному [7, с. 17] уравнению:
Г, |p
utt - a2Uxx + but I \u\ dx = 0, (2)
о
которое рассматривается в качестве аппроксимирующего относительно (1) при исходных начальных и граничных условиях. Уравнения вида (2) и его обобщения представляют самостоятельный интерес и исследованы, например, в [8; 9], где доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений соответствующих краевых задач. Переход от (1) к (2) позволяет «ослабить» нелинейность исходного уравнения и при этом избежать чрезмерного искажения сути моделируемого процесса. Найденное впоследствии точное или приближенное решение нагруженного уравнения (2) в дальнейшем можно принять за приближенное решение исходного нелинейного уравнения (1). Такой подход применён в [2; 3], где получены формулы общих членов последовательностей приближенных решений начально-краевых задач для некоторых нагруженных уравнений, аппроксимирующих исходные нелинейные уравнения. В [1] для нахождения приближенного решения первой смешанной задачи с однородными граничными условиями для уравнения (2) используются априорные оценки решения поставленной задачи. Ниже используется комбинация этих подходов, в которой для запуска итерационного процесса приближения к регулярному решению задачи (1), (3), (4) предварительно ищется решение задачи (2) - (4) с использованием его же априорных оценок.
Априорные оценки
В области Q = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим уравнение (2) c натуральной степенью p > 3. Требуется найти интегрируемую функцию u(x, t) е C2'2(Q), удовлетворяющую уравнению (2) в области Q, а также условиям
u(x,0) = 0, ut (x,0) = 0,0 < x < l, (3)
u(0,t) = у 1(t), u(l, t) = у2(t), 0 < t < T, (4)
с функциями y1(t), у2(t) eC1(0,T).
Установим некоторые априорные оценки решения задачи (2) - (4), необходимые для нахождения её приближенного решения.
Умножая (2) скалярно на ut с помощью стандартных для подобных случаев преобразований, получаем следующие неравенства, выполняющиеся для всех значений t е [0, Г]:
-1 а2
J(u2 + а2u2x)dx < Ci,||ut||2,n< Ci,||ux||2>о < —-. (5)
о a
Здесь и далее равенством
v
I р
ро
о
= J\vfdx
выражается норма функции у(г) в пространстве Ьр(О), О = [0, I].
Теорема. Пусть функция и е Ьр-2(0) является решением задачи (2) - (4), а неубывающие функции уКО, у2(0 е 1р_1[0, Г]. Тогда функция о ограничена
константой, зависящей только от г.
Доказательство. Умножим уравнение (2) скалярно на функцию ир-1
(ии, ир-1) - а2(ихх, ир-1) + —| |и|р —х(и, ир-1) = 0. (6)
о
Преобразуем по отдельности каждое слагаемое:
(ип, ир-1) = 1 | ир—х - (р -1)" и^ир-2йх, р — о о
(ихх, ир-1) = их (I, г)ур-1 (г) - их (о, г)ур-1(г) - (р -1)| иХир-2
о
I\и\Рйх(и ,ир-1) =1 I\и\Рйх • — I" ир—х.
р —г:
о го и1 о
Вернёмся к (6) и умножим его на sgnpu, чтобы перейти к уравнению:
й2 Ь й ( Л2
-"|и|р —х +---1 "|и|р —х = р(р-1)"|и|р (и? -а2и2х)—х + ЖО,
2 о11 2 у ом
Л (г) = ра2 (их (I, г)у р-1(г) - их (о, г)у р-1 (г)^пр и,
после интегрирования которого по г с учётом однородности начальных условий получаем:
— — (Л2 г 2 г
—||и|р —х +—II|и|р —х = р(р -1)|||и|р 2 (и2 -а2и2)—х—г + | (7)
о 2 \о У о о о
К первому слагаемому в правой части (7) применим неравенство Гёльдера:
/ t 2 Л 2 f t 2 Л
2 (u2t - a2u2x )dxdt < J J|u|p 2 dx dt J Ju -a2ul\dx dt
10 H 1 0 H
Сомножители правой части полученного неравенства ограничены: первый в силу и е 1р-2(^):
/ t 2 Л 2 f t Л
J Ju|p 2 dx dt < JC2I2 dt
10 H 10
а второй - в силу первой из оценок (5):
/ t 2 Л 2 f t 2 Л 2 f * Л
J Ju? - a2ux dx dt < J Jut2 + a2ul\ dx dt < JC12 dt
10 H 10 H 10 )
Следовательно,
Ц|u|p 2 (uf -a2ul)dxdt < ClC2t,
что позволяет перейти от уравнения (7) к неравенству
2
— [\и\Р dx + -1 [Iи|Р dx < р(р- 1)0x021 + [| 1{(йdt.
Я О 2 Го ) О
Используя свойства функций и ^2(t), можно убедиться в том, что:
J |Fi (t)| dt < pa2 J |ux (l, t)| p-1 (t)| dt + J|ux (0, t)| p-1 (t)| dt
Vö ^r
<
pa2
J|y 2 (t )|p 1 dt + J|yi(t) p 1 dt
Vo
Сз,
C3 = max{max\ux(l,t) ,max\ux(0,t)
[t E[0,r ] 1 t E[0,r ] 1
С учётом этого проинтегрируем (8) и получим соотношение:
t2
J|u|p dx +—J| J|u|p dx dt <J|u(x,0)|p dx + F(t),
(8)
(9)
в котором первое слагаемое правой части равно нулю в силу первого условия (3), а
(т т \
F(t) = 1 p( p - 1)C1C2t2 + pa2
J|y 2 (t )|p 1 dt + J|^1(t) p 1 dt
0
Ct.
(10)
0 H
ISSN 2072-8387 j Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика ( 2017 / № 3 Заметим, что F(t) < F(T), в силу чего перейдем от (9) к неравенству:
* 2 i (KL)+f (т )•
u
Применяя к нему следствие из леммы Бихари [5, с. 112], получаем оценку:
с правой частью:
H;0s к»), dl)
ксо=-^, (12)
2 - Р (Т )Ы
выполняющуюся для всех t е [0, Т], Т<2/(ЬР(Т)). Таким образом, теорема доказана.
Начальное приближённое решение
Для нахождения начального приближённого решения задачи (2) - (4) перейдём от (2) к ассоциированному с ним обыкновенному дифференциальному уравнению. Для этого проинтегрируем (2) в границах от 0 до х:
(x,t) = -1 i(utt + but ||w|£n)) + A(t)•
а о
Применяя к интегралу теорему о среднем значении, запишем последнее равенство в виде:
I
Ux(x, t) = — i(utt + but |U||Jp ^ ))x + A(t)•
la2 J\ -рд/
1а о
После повторного интегрирования по х и удовлетворения условий (3) приходим к соотношению:
x
u(x, t) = —-2a2
x - 1Л
l
(( + bu'||u||pQ) + x ¥ 2 ¥1 + yb (13)
в котором
и (t) = | ийх. (14)
о
Применим преобразование (14) к функции (13) для того, чтобы перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению:
, и нр —, 12а2 _ 6а2 . . . .
и + Ь|и11р>о и и =— (V1 + ¥2). (15)
Начальные условия, необходимые для его интегрирования, получаются из условий (3):
U(0) = J u(x ,0)dx = 0, U'(0) = J Ut (x,0)dx = 0. (16)
о о
Для решения полученной задачи выберем в (11) верхнюю границу неравенства, что позволяет сделать замену:
||u|L= K (t), (17)
II llp,o
приводящую от (15) к линейному уравнению:
12а2
U" + bK (t )U + —U = ВД, (18)
l2
Ы) = —(у 1 + У2).
Как известно, единственное решение задачи (18), (16) существует для непрерывных функций и Р2(0 при t е (0,Т). После его подстановки вместе с (17) в формулу (13) будет найдена функция:
, . 3x u(x, t) = —
x - 1Л
О /
f т Л
2_ + У2 -yu
+ x^L + V1, (19)
которую примем за приближенное решение как задачи (2) - (4) и начальное приближение аппроксимируемой ею задачи (1), (3), (4).
Итерационный процесс
Функцию (19) примем за нулевое приближение ы(0) в итерационном процессе поиска решения задачи (1), (3), (4), состоящем в нахождении «улучшенных» приближенных решений путём последовательного решении задач вида:
ыЫ£) -а2ык + Ь\ы(к-1)\Ры(к) = 0, (1')
ы(к)(х,0) = 0, ы(к)(х,0) = 0,0 < х < I, (3')
ы(к)(0,t) = у^), ы(к)(/,t) = у2^), 0 < t < Т, (4')
где к = 1, 2, ... - итерационный индекс. Процесс завершится при выполнении условия:
|ы(к)(х,t) -ы(к-1)(х,t)| < £
с достаточно малым наперёд заданным числом £ или по достижении заданного количества итераций.
Таким образом, задача решения нелинейного уравнения (1) сводится к последовательному решению линейных уравнений (1') при соответствующих условиях.
2
Пример
Абстрагируясь от смысла уравнения (1), примем в нём для упрощения выкладок а = b = 1. Будем искать решение задачи (2) - (4), рассматривая уравнение (2) в качестве аппроксимирующего для (1).
Пусть p = 3. Положим l = 1 и выберем граничные условия (4) в виде y1(t) = = V2(t) = 1, тогда в (18) правая часть F2(t) = 12, а величина F(T), задаваемая формулой (10), определяется как:
F(T) = CT2, C = 3(CC + 2Сз).
При этом функция (19) запишется как:
u(x, t) = 6x (x -1)(1 - U) +1. (21)
Перейдем к определению постоянных, входящих в эти выражения. Из (12) следует условие положительности функции K(t), а именно F(T)t < 2, т. е. t < 2/CT2. Так как t < T, то должно быть T < 2/CT2, откуда следует, что С < 2/ T3. Положим T = 1 и выберем, например, C = 1,8. Затем последовательно найдем F(T) = 1,8, K(t) = 1,8/(1 - 0,9t). Непрерывность K(t) нарушается лишь при t = 10/9 < T = 1. Теперь задача (18), (16) принимает вид:
u" + 1,8 u' + 12u = 12, 1 - 0,9t
u (0) = 0, u '(0) = 0.
Её решением является функция:
u(t) = — t -1 cos(yßt)-^sin(lyßt) +1,
v10 ,
подстановка которой в (21) даёт приближенное решение задачи (2) - (4):
( Зл/3 ( 9 ^ ^
u(x,t) = 6x(x-1) -sin(t)-l— t-1 cos (t) 1 +1. (21)
V
/
Так как уравнение (2) является аппроксимирующим по отношению к уравнению (1) и его интегрирование проводится при тех же условиях (3), (4), что и для уравнения (1), то функцию (21) будем считать начальным приближением решения задачи (1), (3), (4). Чтобы найти «улучшенные» решения, функцию (21), принимаемую за ы(0), необходимо подставить в (1') для запуска соответствующего итерационного процесса.
На рис. 1-3 приведены графики функций ы(х,0 и ы(1)(х,0 при t = 0,5, 1,0 и 1,8 соответственно, полученные путём численного решения задачи (1), (3), (4) и задачи (1'), (3'), (4') с функцией ы(0), определяемой по формуле (21). Сплошная линия соответствует функции ы(х,0, а пунктирная - ы(1)(х,0.
Рис. 1. г = 0,5 Рис. 2. г = 1,0 Рис 3. г = 1,8
Результаты вычислений показывают, что при г < 0,3 значения этих функций практически совпадают, а их графики не различимы. Увеличение г приводит к росту относительной погрешности вычислений, не превышающей 13,25%. Ожидается, что к её уменьшению приведёт продолжение итерационного процесса.
Заключение
В работе предложен приближенно-аналитический метод нахождения решения задачи (1), (3), (4), состоящий, во-первых, в переходе от исходного нагруженного уравнения (2) к ассоциированному с ним обыкновенному дифференциальному уравнению (15), а во-вторых, в линеаризации (15) с помощью априорной оценки решения исходной задачи вида (11). Полученное начальное приближенное решение выражается аналитически функцией (21). Данная функция используется для запуска итерационного процесса (1'), (3'), (4'), предназначенного для последовательного приближения к решению задачи (1), (3), (4).
Данный метод применим к нагруженным дифференциальным уравнениям в частных производных, содержащим интеграл по пространственной переменной от р-й степени неизвестной функции при некоторых допущениях относительно р. Основную сложность в реализации метода представляют процедуры установления априорной оценки (11) и подбора констант, входящих в это и другие необходимые неравенства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бозиев О.Л. Приближенное решение нагруженного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями // Вестник Южноуральского государственного университета. Серия: Математика, механика, физика. Т. 8. 2016. № 2. С. 14-18.
2. Бозиев О.Л. Применение нагруженных уравнений к приближенному решению дифференциальных уравнений в частных производных со степенной нелинейностью // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2015. № 1. С. 127-136.
3. Бозиев О.Л. Решение начально-краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения с помощью двойной редукции к нагруженным уравнениям // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2014. № 4(60). С. 7-12.
4. Вишневский К.П. Переходные процессы в напорных системах водоподачи. М: Агропромиздат, 1986. 132 с.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / пер. с фр.; 3-е изд. М: Едиториал УРСС, 2010. 586 с.
7. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М: Наука, 2012. 232 с.
8. Louredo A.T., Siracusa G., Silva Filho C.A. On a Nonlinear Degenerate Evolution Equation with Nonlinear Boundary Damping [Electronic Source] // Journal of Applied Mathematics 2015. URL: https://projecteuclid.org/euclid.jam/1429105047 (request date: 08.10.2017).
9. Medeiros L.A. On the weak solutions of nonlinear partial differential equations // Anais da Academia Brasileira de Ciencias. 1981. Vol. 53. No. 1. P. 13-15.
REFERENCES
1. Boziev O.L. [An approximate solution of the loaded hyperbolic equations with homogeneous boundary conditions]. In: Vestnik Yuzhnouralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, mekhanika, fizika [Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics, Mechanics, Physics], vol. 8, 2016, no. 2, pp. 14-18.
2. Boziev O.L. [The use of loaded equations to approximate the solution of differential equations with power nonlinearity]. In: Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Prikladnaya matematika [Bulletin of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2015, no. 1, pp. 127-136.
3. Boziev O.L. [The solution to the initial-boundary value problem for nonlinear hyperbolic equation with double reduction to the loaded equations]. In: Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN [News of the Kabardino-Balkarian Science Center of the Russian Academy of Sciences], 2014, no. 4(60), pp. 7-12.
4. Vishnevskii K.P. Perekhodnye protsessy v napornykh sistemakh vodopodachi [Transient processes in pressure systems of water supply]. Moscow, Agrarian and industrial publishing house Publ., 1986. 132 p.
5. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti [Lectures on mathematical theory of stability]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 472 p.
6. Lions J.-L. Problumes aux Limites dans les Equations aux Dnrivnes Partielles (Montreal: Presses de l'Universitn de Montreal, 1962).
7. Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primenenie [Loaded equations and their applications]. Moscow, Nauka Publ., 2012. 232 p.
8. LourKdo A.T., Siracusa G., Silva Filho C.A. On a Nonlinear Degenerate Evolution Equation with Nonlinear Boundary Damping. In: Journal of Applied Mathematics. 2015. Available at: https://projecteuclid.org/euclid.jam/1429105047 (accessed: 08.10.2017).
9. Medeiros L.A. On the weak solutions of nonlinear partial differential. In: Anais da Academia Brasileira de Ciencias, 1981, vol. 53, no. 1, pp. 13-15.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Бозиев Олег Людинович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информатики и технологий программирования Института информатики, электроники и компьютерных технологий Кабардино-Балкарского государственного университета; e-mail: boziev@yandex.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Oleg L. Boziev - PhD in Physics and Mathematics, associate professor at the Department of Informatics and Programming Technology, Institute of Informatics, Electronics and Computer Technologies, Kabardino-Balkarian State University; e-mail: boziev@yandex.ru
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Бозиев О.Л. О приближённо-аналитическом методе решения нелинейного гиперболического уравнения с однородными начальными условиями // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2017. № 3. С. 43-52.
БО!: 10.18384-2310-7251-2017-3-43-52
CORRECT REFERENCE TO THE ARTICLE
Boziev O.L. On the Approximate-Analytic Method of Solving a Nonlinear Hyperbolic Equation with Homogeneous Initial Conditions. In: Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2017, no. 3, pp. 43-52. DOI: 10.18384-2310-7251-2017-3-43-52
