CC BY
13
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 169-182
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 169-182
mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-169-182, EDN: JKUQAS
Научная статья УДК 517.518.8
О приближении ограниченных функций тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа
Е. Х. Садекова
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Россия, 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31
Садекова Екатерина Халиловна, старший преподаватель кафедры высшей математики, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4124-7432, AuthorlD: 1131874
Аннотация. Рассматривается задача о приближении в метрике Хаусдорфа ограниченной (не обязательно однозначной) 2^-периодической функции f тригонометрическими полиномами. Построение приближающего полинома проводится в несколько этапов. Сначала по функции f строится подходящая кусочно-постоянная 2п-периодическая функция g, обладающая свойством А-монотонности, для которой получены оценки хаусдорфова уклонения от f, модуля непрерывности и вариации. Затем по функции g строится 2^-периодическая сплайн-функция ^ порядка г. Получена оценка производной через модуль непрерывности функции f. На последнем этапе используется классическое неравенство Джексона для наилучшего приближения гладкой функции тригонометрическими полиномами. В итоге доказана точная по порядку оценка указанного отклонения функции f в метрике Хаусдорфа с явно выписанной константой. По порядку оценка совпадает с известными результатами Б. Сендова и В. А. Попова, но лучше с точки зрения выбора константы.
Ключевые слова: сплайн-функция, приближение тригонометрическими полиномами, метрика Хаусдорфа
Для цитирования: Садекова Е. Х. О приближении ограниченных функций тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 169-182. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-169-182, EDN: JKUQAS
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
On the approximation of bounded functions by trigonometric polynomials in Hausdorff metric
E. H. Sadekova
National Research Nuclear University MEPhI, 31 Kashirskoye Shosse, 115409 Moscow, Russia Ekaterina H. Sadekova, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4124-7432, AuthorlD: 1131874
Abstract. The article discusses a method for constructing a spline function to obtain estimates that are exact in order to approximate bounded functions by trigonometric polynomials in the Hausdorff metric. The introduction provides a brief history of approximation of continuous and bounded functions in the uniform metric and the Hausdorff metric. Section 1 contains the main definitions, necessary facts, and formulates the main result. An estimate for the indicated approximations is obtained from Jackson's inequality for uniform approximations. In section 2 auxiliary statements are proved. So, for an arbitrary 2^-periodic bounded function, a spline function is constructed. Then, estimates are obtained for the best approximation, variation, and modulus of continuity of a given spline function. Section 3 contains evidence of the main results and final comments.
Keywords: spline function, approximation by trigonometric polynomials, Hausdorff metric For citation: Sadekova E. H. On the approximation of bounded functions by trigonometric polynomials in Hausdorff metric. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 169-182 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-169-182, EDN: JKUQAS
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
В теории приближения непрерывных функций алгебраическими полиномами пространство непрерывных на компакте X функций стандартно рассматривается с равномерной (чебышевской) метрикой
В 1911 г. Д. Джексон [1] (см. также [2]) доказал оценку наилучшего приближения для непрерывных -периодических функций тригонометрическими полиномами степени не выше п через значение ш (f; 1 /п) модуля непрерывности функции f. В 60-х годах прошлого века рассматривались различные метрики пространства функций для получения точных оценок приближений непрерывных (или ограниченных) функций полиномами. Так, Б. Сендов предложил использовать метрику Хаусдорфа [3] в тех случаях, когда «близость двух функций . . . является "для глаза" понятием более естественным, чем понятие их близости в любой другой метрике» (цит. по: [4, с. 509]). В этой метрике Б. Сендов установил [3], что любая ограниченная на отрезке функция приближается алгебраическими полиномами степени п со скоростью О (ln n/n) при n ^ го. Позже В. Веселинов указал [5], что с этой же скоростью любая 2^-периодическая функция приближается в метрике Хаусдорфа тригонометрическими полиномами. В 1970-х гг. Е. П. Долженко и Е. А. Севастьяновым были предложены новые методы исследования, использующие, в частности, понятие среднего модуля колебания функции. Это позволило получить новые оценки в прямых и обратных теоремах, относящихся к приближению ограниченных функций в хаусдорфовой метрике [6]. В дальнейшем Б. Сендовым и В. А. Поповым [7,8] было доказано, что отмеченное наилучшее приближение алгебраическими полиномами не превосходит
В настоящей работе показано, как из известных результатов теории равномерных приближений тригонометрическими полиномами можно получить точные по порядку оценки для приближения в хаусдорфовой метрике ограниченной 2^-периодической функции.
p(f, д) = ||/ - а|| = max (|/(х) - д(®)| : * € X} .
величины max ■ ln(nu (f; 1/n)), , где А — абсолютная постоянная.
1. Основные определения и главный результат
Рассмотрим метрическое пространство точек на плоскости хОу с расстоянием Минковского
р ((хх, Ух), (Х2, У2)) =тах {\хх - 1, \ух - у21} .
Хаусдорфовым расстоянием между плоскими замкнутыми множествами А и В на плоскости хОу назовем величину
Н(А, В)=Ы {£> 0: А С ие(В), В С ие(А)} ,
где и£(X) = {(х,у) : р ((х,у), X) ^ е} — ^-окрестность множества X относительно расстояния р.
Хаусдорфово расстояние для двух непрерывных на отрезке [а, Ь] функций У = Л (х), У = /2 (%) задается по правилу
Н (¡1 ,/2 ) = Н (Р и\ ),р и2 )),
где Р(/) — график функции у = /(х) (см. [2]).
Если рассматривать разрывные ограниченные (вообще говоря, многозначные) функции, то удобно дополнить их графики вертикальными отрезками в точках разрыва до связного множества. Под дополненным графиком Р(/) такой функции / будем понимать наименьшее замкнутое множество плоскости хОу, содержащее график {(х, /(ж))} этой функции, а также все точки вертикальных отрезков, образуемых любыми двумя точками множества (хх,у1) и (хх, у2). Такое множество называется выпуклым относительно оси Оу.
Хаусдорфовым расстоянием Н(/, д; Р) между двумя ограниченными функциями /(х) и д(х), где х е Е, называется хаусдорфово расстояние между их дополненными графиками, т.е. Н (/, д; Р) = Н (Р (/), Р (д)). Используем символ Н (/, д) для аналогичного расстояния между 2^-периодическими функциями.
Введем еще некоторые обозначения, используемые в работе. Для наименьшего уклонения в смысле равномерной метрики 2^-периодической функции /(х) от тригонометрических полиномов Тп порядка не выше п применяем обозначение
ЕТп (I)=П {||/- Тпу} ,
т
п
где ||/1| = max \f (х) |, Тп(х) = а0 + ак c°s кх + Ьк sin кх.
хе[а,Ц к=1
Аналогичное наименьшее уклонение в смысле хаусдорфова расстояния для ограниченной -периодической функции обозначим символом НРП(f) = inf {Н(f, Тп)} .
тп
Как обычно, u(f, А; 5) = sup {\f (х') — f (х")\ : х',х" £ A, \х' — х"\ ^ 5} — равномерный модуль непрерывности функции f (х) на (конечном или бесконечном) промежутке А С R, а Var f — ее полное изменение на этом промежутке. Для 2/-перио-
дической функции f (х) пишем ш(/; 5) вместо ш(/, [0,21]; 5) и Var f вместо Var f.
[0, 21]
Следуя [4], введем средний модуль колебания функции f (х) на отрезке А по формуле
А; 5) = щ J f, (х — 5/2, х + 5/2) П а) dx, д
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2 где |Д| — длина отрезка А, 5 > 0, и ti(f,E) = sup /(х) —inf /(х). Для 2/-периодической
хеЕ хеЕ
функции f (х) вместо Q(f, [0, 2Z]; 5) пишем Q(f; 5). Известно (см. [4]), что средний модуль колебания Q(f, А; 5) является неотрицательной, возрастающей и непрерывной функцией переменной 5 > 0.
Напомним, что функция р(х) называется кусочно-постоянной (соответственно, кусочно-линейной) на конечном отрезке А = [а,Ь], если существует такое разбиение а = х0 < х\ < ... < хп = b этого отрезка точками {х^}П=0, что на каждом интервале (xk-i,Xk) функция ф(х) постоянна (линейна), а в каждой точке Xj — непрерывна слева или справа (соответственно, просто непрерывна). Функция ф(х) называется кусочно-постоянной (кусочно-линейной) на бесконечном интервале А, если она такова на каждом отрезке А С Д. Отметим, что кусочно-линейная 2/-периодическая функция непрерывна на R и имеет конечное число точек излома на периоде.
Дадим теперь определение А-монотонной на интервале функции. Пусть функция f (х) (не обязательно однозначная) определена на некотором промежутке А, и Л > 0 — заданное число. Функция f (х) называется Х-монотонной на А, если она является монотонной на каждом интервале (а,р) С А длины р — а = Л, причем если А = R, то дополнительно требуем, чтобы f (х) была равна одной постоянной на каждом интервале, представляющем собой пересечение А с открытой (А/2)-окрестностью каждой концевой точки промежутка А.
Классическим сплайном (сплайн-функцией) нулевой степени называется кусочно-постоянная функция. При г е N функция ф(х) называется классическим сплайном степени г, если у(г-1\х) является непостоянной непрерывной кусочно-линейной функцией. Таким образом, если ф(х) — классический сплайн r-ой степени, то г-я производная (х) кусочно-постоянна и отлична от тождественного нуля, а р(х) — последовательная r-я первообразная от кусочно-постоянной функции (х).
Ниже будет показано, как оценку уклонений тригонометрических полиномов в метрике Хаусдорфа от произвольной ограниченной 2^-периодической функции можно получить из классического неравенства Джексона
^ ы < £ М, (1)
справедливого для 2п-периодической функции имеющей (г — 1)-ю производную ^(г-1) с модулем непрерывности ш (^(г-1); 5) ^ М5. Здесь Кг — константа Фавара, определяемая по формуле
4 » (—1)»(г+1)
^ =
■к ^ (2т + 1)г+1'
т=0 у у
Центральным результатом настоящей работы является следующее утверждение (см. теорему 2 в разд. 3).
Пусть /(х) — ограниченная не обязательно однозначная 2к-периодическая функция. Тогда при всех натуральных п ^ 2 выполняется оценка
НЕ1-, (/) ^ ln (е + nu(f; , где С = , г = [ln (е + пи (f; п/п))] е N, Кг — постоянная Фавара, С ^ к/2.
2. Вспомогательные утверждения
Для доказательства основного результата понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Пусть / — ограниченная 2и-периодическая, вообще говоря, неоднозначная функция, д е N. Тогда существует 2тт-периодическая кусочно-постоянная и - -монотонная функция д(х) такая, что
и
И (,;> * ;) *")■
И)
Уагд * 2д П .
Доказательство. Введем на числовой прямой промежутки Д~ и Д~ вида
(2)
(3)
(4)
Д,
n Я / n Я \
и - 1)-и + 1)-)■
зе Z.
Пусть т^ = Ш ^/(х) : х е ДМ) = Бир |/(ж) : х е Д^ (з е Щ. Определим
2^-периодическую кусочно-постоянную функцию д (х) ее значениями на отрезке [0, 2к] следующим образом:
9(х)
то,
х е
0 й ■
т2г ■ х е Д2г ■ 1=1,...^ — 1, МЪ-1 ■ X е Д2г-1■ 1 = 1,...^, т0, х е 2к — —, 2к
Определим также 2-к-периодические функции т(х) и М(х) равенствами т(х) = т2^ при х е Д2г и М(х) = М21-1 при х е Д2г-х, где г е Z.
В качестве иллюстрации приведем следующую таблицу:
Д-
т
м3
Д
9(х)
3 = 0 3 = 1
о 2-\ ч' ч ) I ' ч )
3 = 2 —
ч' ч )
то т2
Мх
0—1 — 3—1 3— 5— |
0 2Я) [2д ' 2ч)[2ч ' 2д )
т0 Мх т2
3 = 2я — 2
(2 ч-3)- (2д—уЛ ч ' ч ) т2 -2
3=2д — 1
, 2п
(2 д-2)-
)
М2д-1
— 5ч >— — 1> — 20
т2 -2 М2 -1
2п — —, 2ъ 2
то.
Здесь соответствующее Д с Д^.
Для доказательства неравенства (2) требуется проверить такие два включения: Р(/) с и£ (Р(д)) и Р(д) с и£ (Р(/)), где всюду далее е = для краткости.
Действительно, докажем, что Р(/) с ие (Р(д)). Для этого рассмотрим дополненные графики Р(д) и Р(/) на каждом из промежутков Д, Д
Начнем с j = 0 и для А0
— -, q ) рассмотрим промежутки, на которых функция
д(х) постоянна, и точки, в которых функция д(х) меняет свое значение.
Пусть г = 0. На промежутке Д0 С Д0 функция д(х) постоянна, д(х) = т0, где т0 = т| {/(ж)}. Для удобства обозначим Р(#)|д часть дополненного графика
хеА о
функции д(х), рассматриваемой на множестве Д, а ие (Р(д)|До) — Щ-окрестность соответствующей части дополненного графика Р(д),
U (F(д) | Ао ) =
2^ 2^ q ' q
х
3^
mo ,m0 + 7Г 2 2
Рассмотрим отдельно точку ж = 2^. Функция д(х) при переходе через эту точку
меняет значение и F(^)|х=^ = \ х [m0,M1], M1 = sup {f (ж)}, где Дi
q хеА i
Тогда
U (F(9)|х=t) =
Объединяя полученные на отрезке
к 2п q q
К К
2q , 2q
X
3n ^ 3п m0 — ~2q >Mi + ~22q
результаты, имеем там
F(/) С U£ (F(g)).
0, 2К
(5)
Далее, задавая j = 1, Аi = 0, 2К ), i = 1, получим промежуток А1 =
2q. | )-На
этом промежутке д(х) = М1 = sup {/(ж)} и требуемое включение выполняется для
хеА 1
точек промежутка А1.
Повторяя рассуждения, будем получать включения типа (5) для каждого внутреннего промежутка.
Выделим особо случаи j = — 1 и j = q («концевых» промежутков).
Пусть j = — 1, А-1 = — 2К, 0^, г = — 1, тогда получим промежуток Д—
3к 2q '
где функция д(х) = M2q-1. В силу периодичности функции f(x) рассмотрения на
промежутке
3к 2 q '
2qj повторяют аналогичные для j = 0.
2q ' У ~ • luvv"lulf2 q
Обозначим точку х* = — 2-, у* = М0. Рассмотрим f--окрестность дополненного
графика F(р)|х=-% = { — х [m0,М0], т.е.
Up
2q
)
2^ к q ' q
х
3^ 3^ m0 — 'M° + 2^
Эта окрестность содержит весь график функции }' на Д0. Аналогично проводится доказательство для других интервалов.
Таким образом, дополненные графики функций т(х) и М(х) задают «коридор», который содержит дополненный график Р(/) и сам находится в окрестности дополненного графика Р( ) функции .
Аналогично проводится доказательство второго включения: Р(д) С ие (Р(/)) с тем же £= |.
Докажем неравенство (3), т. е. ш ^д; ^ ш ^ f; у).
ж
По определению
ш (д; ^ := sup{|д(х') - д(х")| : х',х" € А, \х' - х"| ^ w (/; у) := sup{ I f(x') - f(x" )| : X X € А, - х'' | < 3f
Обозначим отрезок А* = j^, (j + 1)^ , j € Z, а отрезок А** = (j - 1)^, (j + 2)^ j € Z. Ясно, что А* с А**. Поскольку
sup{g(х)}- mf* {д(х)} < sup* {/ (х)} - mf {/ (х)} ,
хеА* хеА хеА** хеА* *
то Щ(д, А*) ^ Щ(/, А**), что и доказывает неравенство (3). Оценим
Var д — Var д — (М1 - т0) + (М1 - т2) + (М3 - т2) +-----Ъ
[0,2ж]
+ (М2q_3 - m2q—2) + (M2q_1 - m2q_2) + (M2q_i - mo) —
2q / // ixx // i\'
1 \ ^ i i ^^
=¿(«((, -ш-
f2'K о f2'K f 2n 2-к \
(M(х) - т(х)) йх Щ /,х---£,х + — +£ ) с1х
Jo к J 0 \ о о )
= 2qn[f;4K + 2s^j Var д^ 2qtt (j; ^
при е ^ 0 + 0, где
М (х) - т(х) < sup {/ (х)} - inf {/ (х)} < Щ /Ах - — - е,х + — + s] ), хеА* хеА* V V о о ) )
Л * ( 2к 2к \
А* — х---£,х +---Ve .
Данное неравенство справедливо для любого е > 0, значит, и для е — 0. Таким образом, неравенство (4) и лемма 1 доказаны. □
Лемма 2. Пусть 0 < h ^ 5, a ограниченная 21-периодическая функция /(х) является 25-монотонной. Тогда функция Стеклова
1 fh
h(х) = й J 1(х + t)dt
(6)
является 21-периодической, 2(8 - h^-монотонной и справедливо неравенство
Н (.f,.fh) < h.
Доказательство. Докажем, что
F(f) с Uе (F(fh)). (7)
Пусть (а,р) — интервал постоянства функции /(х) такой, что на любом другом интервале, содержащем (а,р), функция /(х) уже не является постоянной. Тогда р — а ^ 25 ^ 2И > 0 и функция Д(х) на (а + И, р — И) также является постоянной, совпадая с /(х).
Пусть теперь х0 «/ [а + И, р — И]. Функция /(х) будет монотонной на отрезке [х0 — 2И,х0 + 2И], а функция Д(х) будет монотонной на отрезке [х0 — И,х0 + И] и Д(х0 — И) ^ /(х0) ^ Д(ж0 + И). Неравенство следует из определения функции Стеклова, так как
1 гхо
Л (*0 — h) = ^ № dt < f(x0), 2h Л0-2h
1 /»хо +2h
1(Х0) < Д (*0 + h) = — J f(t)dt.
Поэтому существует ж1 из [ж0 — 2h,x0 + 2h] такое, что Д(ж1) = f(x0). Таким образом, для всякой точки (ж0, f(x0)) существует точка (х1, Д(ж1)) такая, что |ж0 — x11 ^ h.
Рассмотрим случай, когда f(x) не является монотонной на (х0 — 2h,x0 + 2h). Существует интервал (а,Р) С (х0 — 2h,x0 + 2h), р — а ^ 25 ^ 2h > 0, такой, что f(x) = const на (а,р) и f(x) = const на любом интервале, содержащем (а, р). Тогда х0 £ (а,р) и возможны три случая:
1) ^0 £ (а, а + h] = Д1;
2) ^ £ [Р — h, Р) = Д2;
3) ^ £ (а + h,P — h) = Д3.
Рассмотрим случай 1). Пусть х0 £ (а, а + h] = Д1. Тогда Д (х) = ^ Д f(x + t) dt, где f(x) — функция, монотонная на (а — 2h, а + h] и (а, а + h] С (а — 1ь,а + h], причем Д(а) = mf ^ Д(Ж0) ^ Mf = Д(а + h), а mf = inf Д(ж) = Д(а),
хеА1
Mf = sup Д(а + h). Далее считаем, что f(x) и Д(ж) возрастают (для убывающих
хеА1
функций действуем аналогично). При этом Д(а) ^ /(а) ^ /(ж0) ^ Д(а + h) = const, поскольку f(x) монотонна, а Д(а + h) = const = /(а + h). Тогда существует такое значение Х1 £ Д1, что Д(Ж1) = f(x0).
Случай 2) рассматривается аналогично.
В случае 3) справедливы равенства Д(х) = f(x) = const на Д3. Все случаи рассмотрены, включение (7) доказано. Докажем, что
F(Л) С Up (F(/)), (8)
т.е. каждая точка (х0, fh(x0)) дополненного графика функции Д(х) содержится в h-окрестности дополненного графика функции f(x).
Пусть mf = inf {f (t) : |i — ^01 ^ h}, Mf = sup {f (t) : \t — ^01 ^ h}. Тогда mf ^
хеА1 хеА1
^ Д(#0) ^ Mf, причем существуют значения ж1, ж2 такие, что mf = f(x1), Mf = f(x2) и точки (ж1 ,mf), (ж2,Mf) принадлежат F(/).
Так как F( ) линейно связное, то существует непрерывная кривая, которая соединяет эти точки дополненного графика, и существует х из [х0 — h,x0 + h] такое, что f(x) = fh(x0).
Получаем, что для каждой точки графика у = Д(ж) найдется точка графика = f(x), отстоящая от нее по горизонтали не более чем на h. Таким образом, включение (8) доказано.
Из вышесказанного следует, что Н (f, Д) ^ h. Лемма доказана. □
Лемма 3. Пусть h> 0, г £ N, а интегрируемая (измеримая) 21 -периодическая функция f(x) является 2hr-монотонной. Тогда функция Стеклова fhjr (х) порядка г для f(x) с шагом h является 21 -периодической и выполняется неравенство
Н (f, fh,r) < rh.
Доказательство. Напомним, что для функции f(x) функция Стеклова Дг(х) порядка с шагом h определяется следующим образом:
Дд (х) = Д(х), Д,2(х) = (fh,1(x))h , h,r(х) = (h,r-1(x))h , г = 2,3,... . (9)
Воспользуемся методом математической индукции.
1. Пусть г = 1. Рассмотрим Дд (х) = Д(х) — функцию Стеклова для f(x) порядка 1 с шагом h> 0, т.е. Д(х) = J^-h f(t)dt. По лемме 2 получим:
1) Д(х) — 21 -периодическая, как интеграл от 21 -периодической функции f(x);
2) Н (f, Д) < h. xh
2. Пусть г = 2. Рассмотрим fha(x) = (Дд (x))h, Д,2(х) = ^ /хх-^Дд(£) dt. Требуется доказать:
1) Д 2(ж) — 21 -периодическая;
2) Н (f, fh) < 2h.
Докажем 1). Повторяя рассуждения из леммы 2, получим, что Д2(ж) — 21 -периодическая, так как Дд (ж) = Дд(ж + 2/) по свойству интеграла от периодической функции.
Докажем 2). Для начала докажем, что Н (Дд, Д2) ^ h.
Справедливо включение
F(Д2) С Uh (F(/h,1)). (10)
Действительно, для любой точки А (^0, fh,2(х0)) существует точка В (х1, Дд (х1)) такая, что р(А, В) ^ h. Если Д2(ж) = const на [ж0 — h,x0 + h], то включение (10) очевидно, так как Д2(ж) = Дд(ж) = const при |ж1 — ж0| ^ h (из определения функции Стеклова). Если Д2(х) = const на [х0 — h,x0 + h], то она монотонна на данном отрезке и по лемме 2 Дд(ж0 — h) ^ Д,2(ж0) ^ Дд(ж0 + h). Таким образом, существует точка ж1 £ [ж0 — h,x0 + h] такая, что Д)2(ж0) = Дд(ж1). Следовательно, включение (10) доказано.
Теперь докажем справедливость включения
F(Дд) (F(fh,2)). (11)
Если Дд (ж) постоянна на [ж0 — 2h,x0 + 2h] для любой точки А(ж0, Дд (ж0)), то на [ж0 — h,x0 + h] функция Д2(ж) постоянна и Д2(ж) = Дд (ж) = const, т. е. — ж01 ^ h.
Если для любой точки А(ж0, Дд(ж0)) функция Дд (х) монотонна на [ж0—2h,x0+2h], то функция Д)2(ж) также монотонна на [ж0 — h,x0 + h] и существует точка ж1 из [^0 — h,X0 + h] такая, что при Д2(Ж0 — h) ^ Дд(ж0) ^ Д,2(#0 + h) и Д,1 (ж0) = Д,2(#1). Включение (11) верно.
Значит, Н (Дд, fh,2) < h. Тогда Н (f, Д2) < Н (f, fh) + Н (Дд, Д,2) < h + h < 2h, т. е. 2) доказано.
3. Далее по индукции (г £ N) предположим, что Дг-1 (ж) — 2/-периодическая и Н(f, fh,r-1) < (г — 1) • h.
Докажем, что Д)Г(ж) = (Дr-1 (x))h — 2/-периодическая и Н (f, Д)Г) ^ rh.
Повторяя рассуждения п. 2, заменив Дд(ж) на Дг-1 (ж) и Д2(ж) на Д)Г(ж), придем к утверждению леммы. □
Лемма 4. Пусть Н> 0, г е N и /(х) — ограниченная интегрируемая (измеримая) 21 -периодическая функция. Тогда почти всюду
и (Д2Н)
fh. Г(х)
<
2h
Кроме того, если Уаг / < ж, то справедливо неравенство
т/ Лг) ^ Уаг /
Уаг Аг
Доказательство. Пусть Р(х) — первообразная функции /(х). Напомним, что симметрической разностью для функции д(х) называется величина
А /
АКд)—д(х + Q-д(х - £) , 5> 0.
2 J 'J \ 2 ' > Тогда симметрическая разность для F(х) имеет вид
Ак (F (х^—F (х + h) -F (х - h).
Обозначим fh,i(х) — -1А2Ь(F).
По индукции симметрическая разность порядка к для функции д(х) задается формулой А'(д) — А1 (А^—1(д)), к — 2, 3,... . Тогда в силу определений функции Стеклова и симметрической разности порядка г получим
^—^Fhpi, (12)
где Fr(х) -r-я последовательная первообразная функции f(х).
Дифференцируя равенство (12) г раз, для почти всех х будем иметь
Лг) {гЛ — А2н(!(х)) Jh,A ) (2h)r •
Для тех же х докажем по индукции справедливость неравенства
\X2hf(х)\ < 2r—1w(f; 2h). В условиях леммы справедлива цепочка соотношений
А^(1(х)) — \f (х + h) - /(х - h)\ < ш(f; 2h), А2h(Кх)) < \!(х + 2h) - }(х) - /(х) + /(х - 2h)\ < < \f (х + 2h) - f(х)\ + \f (х) - }(х - 2h)\ < 2ш(f;2h),
А'h(Дх)) < 2'■_1w(f;2h). Тогда, используя (12), запишем
&) — h(Щ < 2'—1 u(f.2h) — ш(f;
ы*'— щу < шw(f;2h) —
Рассуждения, аналогичные проведенным выше, дают неравенства Var А\к (Дх)) < 2Varf,..., Var А' J (х) < 2r Var f.
Тогда
Var &! — v^Var А'h(Дх)) <-^2rVar f — h, (2h) 2h (2h) h
и лемма доказана. □
3. Доказательство основных результатов
Для формулировки и доказательства основных результатов понадобится стандартная норма в (X)
IMU = ess sup 1ф(х)1 = inf {К : |-(ж)| ^ К для п.в. х £ X} .
Теорема 1. Пусть 0 < h ^ ^, г £ N, q = (> 4^) и f(x) — ограниченная 2к-периодическая функция. Тогда существует такой 2к-периодический сплайн ф(х) степени г, что
f--
h
При этом верны оценки
г)< ¿"(/i) « h h)- (13)
Н(у) < + ^ 7гН, 3-к
НЕТп_1 (/) ^Е^ + ^ + гН ^Е^ (у) + 7гЛ, п € N. (14)
Здесь у(г\х) — производная порядка г, которая в условиях теоремы существует всюду, за исключением конечного числа точек, на любом конечном промежутке.
Доказательство. По лемме 1 существует 2^-периодическая кусочно-постоянная функция д(х), которая является ^-монотонной (а значит, и 2Нг-монотонной). Как было доказано ранее,
Н(1,9) < 2.. (15)
Пусть у(х) — функция Стеклова порядка г для д(х) с шагом Н, т.е. у(х) = дг^(х) из леммы 2 (см. (6)). Тогда по лемме 4 имеем
»(хм ^ "(9;2Н)
Мг) (х)1 <
2h
(неравенство (9)).
Согласно неравенству (3) запишем
Л < < ¿4"Й « ¿И
В силу условий теоремы 1 верны соотношения q ^ n/2hr и 6hr ^ 3п/q. Значит,
По свойству хаусдорфова расстояния из леммы 1 (неравенство (2)) с учетом неравенства Н(д, д^г) ^ гН из леммы 3 получим, что
З'к
Н(}\у) < — + гН < 7гН. 2
В последней оценке величина 3^/(2() меньше 6Нг, так как по условию теоремы
( > ъ/(4Нг).
Наконец, докажем неравенство (14). Имеем
НЕ1-,(Л < К-М + Н(/, д) + Н(д, ф) < Ё1п-1 (ф) + + гк < Ё1п-1 (ф) + 7гк.
*т
т
3к
чТ
2
Теорема доказана.
□
Теорема 2. Пусть /(х) — ограниченная не обязательно однозначная 2к-перио-дическая функция. Тогда при всех натуральных п ^ 2 выполняется оценка
НЕ11 (Л < ^ 1п(е + пи(Л П)),
где С = , г = [1п (е + пи (/; к/п))] е N, Кг — постоянная Фавара, С < к/2. Доказательство. Положим
к еС
к = —, г п
1п[е + пи —
к
п
(16)
Рассмотрим случай, когда кг < к/6. Пусть д = [2-], имеем д^ 3. По теореме 1 для функции ф справедливы соотношения:
\\ф(т) \и < + и\}-:~) ^-и(л, к),
1
'3к\ ,6 г
2к к Н(ф) < 7гк, НЕТ-1 (Л < ЁТ-1 (ф) + 7тк,
где 0 <к < £, г е N, д= [^ (> ^)•
Используя (13), из неравенства Джексона (1) получаем
ЕТ-1 (ф) < £ \\ю < £ ■ -±-г . и( Л-
3А <
д) 2(кп)
и
(*т)<
1 (Г3Л е ^ Т
< 2* ■ ч Т )< 2п ■ ЯМ)'
Поскольку 1 = ^, или (1У = (Щ)Г, из (16) получаем
ег ■ е ^ е + п ■и ^^ ,
<
1
ё < ё+п ■ и (п) " п ■ и (п) '
С учетом того, что д < т^- < д + 1 и д ^ 3, имеем
1 1 2к 1
"<" ( я + 1)—= 1 + -
д д к \ д) к
^ < 8кг
3к '
4<( т+0 »("Э <( ^+0 »("
-)
п
Пользуясь соотношениями 1 = ^, С > 1, г е N из (16)—( 18) получим
ЕП-1 м < ¿.-1-
2п и
(I; П) < ^
+0 =
(17)
(18)
4hr • G + 8/^) =4hr(î + 8Z>)< 4ЛГ'
Здесь учли, что ^ + < 1.
Поэтому из (14) имеем
HEf-1 (/) ^ El-X(у) + ^ + rh ^ 4hr + ^ • ^ + hr ^ 4hr + 4hr + hr = 9hr,
2 3n
что совпадает с доказываемой оценкой в случае h г ^ |.
Рассмотрим случай h г > |. Поскольку НЕf (/) ^ n, то HEJ-! (/) < HEf (/) < ^ n < 6hr. Значит, неравенство (15) также справедливо и при hr > |.
Теорема доказана. □
Список литературы
1. Jackson D. Üeber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Inaugural-Dissertation. Gottingen, 1911. 99 S.
2. Даугавет И. K. Введение в теорию приближений функций. Ленинград : ЛГУ, 1977. 185 с.
3. Сендов Б. Х. Апроксимиране на функции с алгебрични полноми по отношение на едне метрика от хаусдорфовки тип // Годишник на Софийския университет. Физико-математически факултет. София : Наука и изкуство, 1962. Т. 55. С. 1-39.
4. Долженко E. П., Севастьянов Е. А. О приближениях функций в хаусдорфовой метрике посредством кусочно монотонных (в частности, рациональных) функций // Математический сборник. 1976. Т. 101, № 4. С. 508-541.
5. Веселинов В. М. Аппроксимирование функций при помощи тригонометрических полиномов относительно одной метрики хаусдорфовского типа // Mathematica. 1967. Т. 9, № 1. С. 185-199.
6. Долженко E. П., Севастьянов Е. А. О зависимости свойств функций от скорости их приближения полиномами // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1978. Т. 42, № 2. С. 270-304.
7. Сендов Б. Х., Попов В. А. Точная асимптотика наилучшего приближения алгебраическими и тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа // Математический сборник. 1972. Т. 89, № 1. С. 138-147.
8. Sendov B. Kh., Popov V. A. On a generalization of Jackson's theorem for best approximation // Journal of Approximation Theory. 1973. Vol. 9, iss. 2. P. 102-111. https://doi.org/ 10.1016/0021- 9045(73)90098-1
9. Боянов Т. П. Точная асимптотика наилучшего хаусдорфова приближения классов функций с заданным модулем непрерывности // Сердика Българско математическо списание. 1980. Т. 6. С. 84-97.
References
1. Jackson D. Üeber die Genuigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Inaugural-Dissertation. Gottingen, 1911. 99 p. (in German).
2. Daugavet I. K. Vvedenie v teoriyu priblizheniy funktsiy [Introduction to the Theory of Approximation of Functions]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1977. 184 p. (in Russian).
3. Sendov B. Approximation of functions with algebraic completeness with respect to a Hausdorff type metric. Annuaire de l'Université de Sofia. Faculté des sciences physiques et mathematiques. Sofia, Nauka i izkustvo, 1962, vol. 55, pp. 1-39 (in Bulgarian).
4. Dolzhenko E. P., Sevast'yanov E. A. Approximations of functions in the Hausdorff metric by piecewise monotonic (in particular, rational) functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1976, vol. 30, iss. 4, pp. 449-477. https://doi.org/10.1070/SM1976v030n04ABEH002283
5. Veselinov V. M. Approximation of functions by means of trigonometric polynomials with respect to a metric of Hausdorff type. Mathematica (Cluj), 1967, vol. 9, iss. 1, pp. 185-199 (in Russian).
6. Dolzhenko E. P., Sevast'yanov E. A. On the dependence of properties of functions on their degree of approximation by polynomials. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1978, vol. 12, iss. 2, pp. 255-288. https://doi.org/10.1070/IM1978v012n02ABEH001853
7. Sendov B. Kh., Popov V. A. The exact asymptotic behavior of the best approximation by algebraic and trigonometric polynomials in the Hausdorff metric. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1972, vol. 18, iss. 1, pp. 139-149. https://doi.org/10.1070/SM1972v018n01ABEH 001621
8. Sendov B. Kh., Popov V. A. On a generalization of Jackson's theorem for best approximation. Journal of Approximation Theory, 1973, vol. 9, iss. 2, pp. 102-111. https://doi.org/10. 1016/0021-9045(73)90098-1
9. Boyanov T. P. The exact asymptotics of the best Hausdorff approximation of classes of functions with a given modulus of continuity. Serdika Bulgarian Mathematical Journal, 1980, vol. 6, pp. 84-97 (in Russian).
Поступила в редакцию / Received 01.04.2022 Принята к публикации / Accepted 16.11.2022 Опубликована / Published 31.05.2023
