О преодолении фундаментальных и барьерных ограничений в теории потенциальной помехоустойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

2

Приборостроение, метрология и информационно-измерительные приборы и системы

УДК 519.237.8: 539.18 В. Н. Данилов

О преодолении фундаментальных и барьерных ограничений в теории потенциальной помехоустойчивости

Ключевые слова: банахово пространство, регулярная и сингулярная составляющие, конструктивный анализ, математическая огибающая конструктивного спектра, барьерные ограничения.

Keywords: Banach space, regular and singular function, constructive analysis, mathematical envelope of the constructive spectrum, barrier restrictions.

Среди рассмотренных в наших работах ограничений на прием и распознавание сигналов в практическом плане наиболее жесткими являются ограничения, связанные с обнаружением сигналов от разнородных объектов. В статье предлагается путь решения этой задачи на основе конструктивного подхода и применения нового класса метрик, базирующихся на банаховом пространстве функций. Основанием этого подхода являются использование математической огибающей, а также повторное усреднение на интервале между двумя соседними экстремальными точками. Предлагаемые методы конструктивного детектирования снимают фундаментальные ограничения, обусловленные недостатками пространства Гильберта (подавление слабого сигнала и затруднение идентификации). Обозначена тема преодоления барьерных ограничений по длительности сигнала и верхней граничной частоте, требующая дальнейшего прикладного развития.

Введение

Важнейшей проблемой обеспечения безопасности человека является измерение параметров окружающей среды, включающее обнаружение и идентификацию сигналов от объектов различной физической природы. Это основная прикладная задача теории потенциальной помехоустойчивости.

Как и любая другая теория, теория потенциальной помехоустойчивости содержит две группы ограничений:

1) фундаментальные ограничения, обусловленные выбором метрики для пространства объектов (прообразов);

2) барьерные ограничения, наложенные наблюдателем на область существования прообразов.

В современной теории помехоустойчивого приема сигналов фундаментальная система решений

проблемы обнаружения сигналов определена выбором базиса гильбертова пространства. В этом пространстве в качестве критерия верности, на основе которого оценивается уклонение выходного сигнала s(t) от принятого сообщения х^), применяется критерий квадратичного уклонения.

Для непрерывных функций, заданных на интервале (а, Ь), квадратичное уклонение выражается соотношением

Ь

е2 =|[х(0 - s(t)]2 dt, (1)

а

что соответствует норме гильбертова пространства:

ии (2)

С точки зрения геометрических представлений уклонение есть не что иное, как расстояние а (х, s), а выбор критерия — это выбор метрики пространства сообщений.

Проблема заключается в том, что для решения поставленной задачи выбор критерия квадратичного уклонения отнюдь не является оптимальным. Несовершенство этого процесса может быть подтверждено следующими установленными фактами.

1. Если норму пространства Гильберта (2) ввести в совокупность всех непрерывных функций на конечном интервале а < t < Ь, то хотя все аксиомы линейного пространства и нормы выполнены, но такое пространство не будет полным, так как предел функций может быть разрывной функцией, что влечет за собой существенные трудности при получении состоятельных оценок статистических характеристик при статистическом анализе.

2. Из множества статистических характеристик исключают все нечетные моменты, что существенно сокращает и обедняет информационное поле. Так, все детерминированные процессы, имеющие одинаковый амплитудный спектр (модуль) и различные фазовые спектры, обладают одинаковыми временными, корреляционными функциями и энергети-

ческими спектрами, что существенно затрудняет обнаружение целей и их идентификацию, особенно в случае их прикрытия средствами имитации и при помехах типа ангел-эхо.

3. При слабом (относительно помехи) сигнале в квадратичном и линейном детекторах имеет место подавление сигнала. Анализ показывает, что это свойство присуще детекторам и с любыми другими вольт-амперными характеристиками. Данное обстоятельство накладывает существенное ограничение на увеличение дальности действия всех без исключения радиоэлектронных средств наблюдения и связи.

Альтернативный подход

Все перечисленные выше недостатки есть следствие неоптимально выбранного критерия, на основе которого принимается решение о правильности приема сигналов. В то же время нет решительно никаких общих оснований для предпочтения одного критерия другому. Критерий квадратичного уклонения особенно часто применяется только потому, что при пользовании этим критерием получаются, как правило, сравнительно простые выкладки.

Однако с момента создания теории потенциальной помехоустойчивости В. А. Котельникова прошло уже более 70 лет. За это время математика как наука и вычислительная техника получили существенное развитие в работах С. Банаха, Дж. Дуба, А. Н. Колмогорова и др., что позволило решать задачи оптимального приема на основе всего известного множества критериев. Каждому из этих критериев соответствует некоторое пространство функций, заданных на интервале [а, Ъ] и обладающих определенными свойствами. Так, множеству радикально-интегральных критериев, для которых уклонение функций определяется в соответствии с выражением

b

¿R = J |f(t)| Pdt,

(3)

соответствует пространство Lp [a, b] — пространство функций x = f(t), определенных на [a, b] с нормой

fb Л1/p

JI f W|J

dt

(4)

Однако этот вид пространств обладает тем же комплексом недостатков, что и пространство Гильберта. Если учесть, что качество приема, как правило, определяется отношением сигнал/помеха на выходе приемника, т. е. отношением приращения постоянной составляющей, обусловленного наличием сигнала, к среднеквадратическому отклонению флуктуации на выходе приемника или на входе решающего устройства, тогда наибольший интерес

должны представлять пространства, обеспечивающие максимум этого приращения при минимуме флуктуации на выходе приемника.

С этой точки зрения наибольший интерес представляют пространства, основанные на использовании критерия наибольшего уклонения:

smax = max x(t) - s(t) .

a <t < b

(5)

Множество таких пространств является множеством линейных нормированных полных пространств, которые принято называть банаховыми пространствами:

1) пространство С [а, Ъ] функций, заданных и непрерывных при а < £ < Ъ, с нормой

f = max f(t) ;

a <t <b

(6)

2) пространство С [а, Ъ] функций, заданных и непрерывных при а < £ < Ъ вместе со своей производной, с нормой

f = max f(t) + max f '(t) ;

a <t < b a <t < b

(7)

3) пространство C2 [a, b] функций, заданных и непрерывных при a < t < b вместе со своими первой и второй производными, с нормой

If I = max If(t)| + max If'(t)| + max If"(t)| (8)

a <t <b a <t <b a <t <b

и т. д.

Например, пространство Cn [a, b] — пространство функций, заданных и непрерывных при a < t < b вместе со своими производными, с нормой

llf II = X

i=1

max

a <t < b

f (t)

(9)

В качестве нормы в Сп [а, Ъ] можно взять также не сумму, а наибольшее из слагаемых, стоящих в правой части. Это множество критериев относится к множеству модульно-дифференциальных экстремальных критериев.

Количество слагаемых в уравнении (9), т. е. число п, следует определять в концепции наилучшего приближения. С этой точки зрения и сигналы, и помехи являются некоторым множеством колебательных движений и, как для всякого другого вида движения, для их полной характеристики необходимо знать скорость и ускорение, т. е. первую и вторую производные на участке пути [а, Ъ]. Таким образом, и сигналы, и помехи могут быть описаны в функциональном пространстве С2 [а, Ъ] с нормой (8).

Пространство С2 [а, Ъ] является линейным нормированным полным пространством, коротко называемым банаховым пространством. Одним из преимуществ такого пространства является возможность решения задач обнаружения, распознавания

a

x =

образов и измерения координат на виртуальном уровне, т. е. на уровне бесконечно малых приращений, тенденций и возможных направлений развития процесса.

Учитывая случайный характер сигналов, помех и их смеси, наиболее полной в вероятностном смысле их характеристикой является функция распределения, которая может быть однозначно представлена в виде суммы [1]:

Дх) = а^(х) + а2 *2(х) + аз ^(х), (10)

где а1, а2, аз — неотрицательные числа, сумма которых равна единице, а ^2, Fз — функции распределения, такие что Fl(х) абсолютно непрерывна:

х

F1(х) =| Щ^х; (11)

—ТО

F2(х) — ступенчатая функция

F2(х) = X ри, (12)

хь < х

где х^ — точки скачков F2(х), а Р^ > 0 пропорциональны размеру этих скачков; Fз(х) — сингулярная компонента, производная которой почти всюду равна нулю.

Очевидно, что в классической теории потенциальной помехоустойчивости значению функций F2(х) и Fз(х) внимание не уделяется. Между тем понятие сингулярной (главной) части ряда Лорана было введено для обозначения части ряда Лорана с отрицательными степенями. А. Н. Колмогоров (1942) доказал, что любой стационарный процесс может быть представлен в виде суммы регулярной (правильной) и сингулярной (главной) составляющих. Далее Дж. Дуб доказал, что и регулярный стационарный случайный процесс может быть однозначно разложен на регулярную и сингулярную составляющие. При этом под сингулярным процессом понимается вполне детерминированный процесс, параметры которого неизвестны. Однако, зная прошлое такого процесса, можно экстраполировать его значения на любой момент будущего с вероятностью единица.

Следует отметить, что еще в 1926 г. Е. Е. Слуцким была доказана предельная синусоидальная теорема, согласно которой под воздействием множества случайных причин при весьма общих условиях возникают вполне детерминированные синусоидальные процессы. Эту теорему следует считать фундаментальной при развитии теории самоорганизации. Несколько позднее В. Романовский доказал сложную предельную синусоидальную теорему, согласно которой под воздействием случайных причин могут возникать вполне детерминированные процессы любой степени сложности. Зная отрезок прошлого этих процессов, можно экстраполировать их значения на любой момент прошлого или будущего с вероятностью единица.

Математическая модель смеси сигнал + помеха

Рассмотрим в качестве математической модели смеси сигнал + помеха сумму стационарного центрированного гауссовского процесса и гармонического сигнала [2]:

X(t) = X(t) + U cos (ro0t), (13)

где X(t) — центрированный стационарный гаус-совский процесс; U и Юо — некоторые постоянные величины.

Этот случай нередко встречается на практике, в частности в радиолокации и радиосвязи, когда Ucos (Ю0 t) представляет регулярный сигнал,

а X(t) — флуктуационный шум. Заметим, что X(t) — нестационарный процесс, так как его математическое ожидание зависит от времени.

В связи с последним замечанием возникает вопрос о погрешностях, к которым приводит предположение о том, что смесь на входе приемника представляет собой стационарный гауссовский эр-годический процесс. В соответствии с концепцией Пуанкаре такое допущение может привести к абсолютно неправильным выводам, что и подтверждается практическими исследованиями, когда увеличение длительности сигнала и времени накопления не приводит к решению задачи обнаружения слабых сигналов (т. е. таких сигналов, для которых отношение сигнал/помеха существенно меньше единицы).

Анализируя подобную ситуацию, А. А. Харке-вич пишет, что «для получения осмысленных результатов нужно после усреднения по множеству прибегать к повторному усреднению по времени», иначе говоря, в современной трактовке необходимо переходить к скользящему групповому накоплению.

Для того чтобы реализовать накопление по множеству, следует рассматривать процесс, действующий на входе приемной системы, как единый колебательный процесс, который с физической точки зрения можно трактовать как последовательность (множество, ансамбль) колебательных циклов, т. е. переходы из одной точки устойчивого равновесия (точки минимума потенциальной энергии) в другую точку минимума. В этом случае с точки зрения актуальной бесконечности в качестве интервала [a, b] на временной оси может быть задан интервал 2я, т. е. интервал между двумя соседними точками минимума.

Отметим, что все функции, составляющие функциональное пространство, должны быть заданы на одном и том же интервале. В противном случае их нельзя было бы складывать друг с другом. При этом число n в норме (9) определяется порядком дифференциального уравнения, описывающего этот вид колебательного движения. Современные ис-

следования показывают, что уже в первом приближении колебательное движение лампового генератора описывается уравнением Ван-дер-Поля вида

d2 y/dt2 + a2y + tf ydy/dt) = 0, (14)

где m — малая постоянная, так как последний член представляет малое нелинейное возмущение.

Решение уравнения (14) ищут в виде

Y = r (t) cos 9(t). (15)

Очевидно, что чем выше требования к точности измерений (чем меньше отношение сигнал/помеха), тем выше должен быть порядок приближения. Так, уже на уровне второго приближения необходимо учитывать инерционную и ступенчатую нелинейности. Таким образом, гипотеза об аддитивности смеси сигнал + помеха также имеет определенную область применения и не является достоверной при обнаружении слабых сигналов или при проведении высокоточных измерений.

Известно, что квадратичный закон детектирования не препятствует воспроизведению формы прямоугольных импульсов. Иначе обстоит дело при квадратичном детектировании колебаний, огибающая которых является непрерывной функцией времени, как это имеет место, например, при передаче речи, музыки и других сигналов сложной формы, содержащих большое число частот, гармоники и комбинационные частоты. Тогда гильбертова огибающая существенным образом отличается от математической огибающей, что очень сильно влияет на разборчивость и тембр сигнала и делает применение квадратичного детектирования нецелесообразным в тех случаях, когда требуется неискаженное воспроизведение сигналов (речи, музыки и т. д.). Альтернативой гильбертовой огибающей является математическая огибающая, под которой понимается касательная процесса в его экстремальных точках. Так как задача обнаружения сигнала, по существу, сводится к задаче измерения конечных приращений, то математическим фундаментом этих измерений является теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа), согласно которой: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна такая точка c, a < c < b, что

f (b) - f (a) = f '(c)(b - a). (16)

Отметим непосредственную связь приращения функции, производной и касательной на интервале [a, b].

Теорема Лагранжа позволяет реализовать цифровые приемные системы не на основе интегрального исчисления, а на основе исчисления конечных разностей, одним из важных достоинств которого с точки зрения борьбы с помехами является исчисление конечных разностей вперед (т. е. в бу-

дущее), или экстраполяция, и исчисление назад (в прошлое), или ретрополяция.

С точки зрения общей теории колебаний основная разница между помехой и сигналом состоит в том, что помеха существует постоянно, а сигнал появляется эпизодически. Тогда, используя теорию о сингулярности и методы исчисления конечных разностей, помеху можно изучить с необходимой степенью достоверности и прогнозировать ее значение на текущий момент времени, обеспечивая наилучшие условия приема сигналов.

В функциональном пространстве С2 [а, Ъ] целесообразность и полезность конструктивного подхода достаточно хорошо обоснованы в литературных источниках [3—6], и нет необходимости останавливаться на этом вопросе подробно. Изложим только краткие основы предлагаемого нами адаптивного статистического конструктивного анализа и вытекающие из него особенности конструктивного детектирования.

Информационно-физическая модель и конструктивный анализ одноуровневых моделей

Рассмотрим приемно-излучающую систему как систему некоторого множества агрегатов, объединенных в общую систему по некоторому информационному признаку. Предположим, что каждый из этих агрегатов описывается нелинейными уравнениями Ван-дер-Поля. Модель сигнала сложной формы следует представить как линейную композицию нелинейных элементов, т. е.

N

з(г) = Х С фсов и (г). (17)

ь=1

Учитывая, что в такой системе присутствует все множество шумов (дробовых, тепловых, фликкер-ных, измерительных и т. д.), следует считать количество уровней огибающих в смеси сигнал + помеха теоретически ничем не ограниченным, так как всякий колебательный процесс имеет свою касательную в экстремальных точках. Однако в соответствии с нормой функционального пространства С2 [а, Ъ] в большинстве случаев можно ограничиться двумя уровнями огибающих, т. е. первой и второй производными.

Конструктивный анализ одноуровневых моделей. Для примера рассмотрим конструктивный анализ одноуровневых моделей1. Ключевым элементом конструктивного анализа является выделение сингулярных составляющих (скрытых перио-

1 Известно, что проекционно-сеточные методы допускают и подпространства, в которых отдельные базисные фракции могут и не иметь локального носителя, что может быть вызвано стремлением приблизить сингулярную часть решения. В связи с изложенным конструктивный анализ может рассматриваться как вариант метода конечных элементов.

дичностей). При этом под реализацией понимается изменение параметра между двумя точками устойчивого равновесия (точками минимума).

В основе конструктивного анализа лежит метод временной свертки первого порядка. Конструктивный характер временной свертки определяется тем, что дополнительно к операциям сдвига и статистического усреднения вводится операция селекции выборочных функций по параметру или их совокупности. В простейшей модели случайного процесса х(Г) конструктивная временная свертка может проводиться по параметру Т, для чего весь диапазон изменения параметра разбивается на к поддиапазонов, включающих значения параметра Т в промежутках:

Т Т2], [Т2, Тз], ..., [Тк, Тк+1 ], (18)

что, по существу, определяет базис конструктивного анализа. Поддиапазоны определяются как расстояния между экстремумами смеси сигнал + помеха или ее огибающих различных порядков. При этом минимальное значение параметра Т

Тт1п = 1/(2/в),

(19)

где /в — верхняя часть спектра сигналов.

За величину Тт^п следует принять минимальное расстояние между экстремумами сигнала.

В соответствии с условием (18) операцией сдвига по оси t формируется к амплитудно-фазовых случайных процессов:

(20)

хк (т) = {х1 (т)}, 1 = 1,

где входящие в него случайные процессы Хк(т) удовлетворяют условию (18).

Совокупность случайных процессов, образованных на основе одной бесконечно длинной реализации, называется амплитудно-фазовым случайным процессом.

Если для каждого случайного процесса (20) определить математическое ожидание или его оценку, т. е. зависимость вида

Мк [Х1(т)] = X тк(т--Тк),

к=1

(21)

то его можно рассматривать как конструктивное математическое ожидание случайного процесса х(Г), а по аналогии с классическими методами анализа — трактовать как конструктивный спектр, базисом или элементами которого являются функции Шк(т), где отображена информация о законах изменения мгновенных значений случайного процесса х(Г). В последовательности Т1, Т2, ..., Тп отображена информация о фазовом спектре случайного процесса х(Г), а в математической огибающей конструктивного спектра — информация об энергетическом вкладе каждого элемента конструктивного спектра. Таким образом, даже в простейшем случае конструктивного анализа конструктивный спектр содержит несоизмеримо больший объем информа-

ции о случайном процессе, чем аналогичные теоретико-множественные виды анализа. Это позволяет на качественно новом уровне решать весь комплекс задач, связанных с обнаружением и приемом сигналов, распознаванием образов и определением координат целей.

О преодолении барьерных ограничений

Теорема Котельникова гласит: любую функцию ¥(1), состоящую из частот от 0 до fв, можно непрерывно представить с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2fв) с. Но в современной трактовке любую функцию ¥(1), состоящую из частот от 0 до f.в периодов в секунду, можно представить рядом

к=-п Юв(* - кДГ)

(22)

где ¥(кДГ) — мгновенные значения функции ¥(1), отсчитанные в моменты времени t = кДЬ с верхней граничной частотой юв = 2л^в.

Интервал ДГ связан с верхней граничной частотой соотношением

ДГ =п / юв = 1/(24).

(23)

При конечной длительности сигнала ряд (22) вырождается в конечную сумму, число членов п равно числу отсчетных точек, умещающихся на интервале Т$:

п

Та

ТГ = .

ДГ

(24)

Эта величина представляет размерность пространства сигналов, и в теории связи ее называют базой сигнала.

Между тем, если рассматривать передаваемую функцию как случайный процесс, каковым она в действительности является, то предположение о строгой ограниченности спектра эквивалентно предположению, что случайный процесс сингулярный. Это значит, что параметры процесса могут быть предсказаны с любой точностью на любое время вперед и, следовательно, приемная система, в которой спектр помех ограничен, не имеет ограничений по помехоустойчивости, так как помеха полностью определена на любой момент времени.

Известно также, что количество информации в принятом сигнале У(Г) относительно переданного сигнала Х(Г) стремится к нулю при исчезающе малом влиянии помех N(1), т. е. по мере осведомленности наблюдателя о свойствах помехи. Этот вывод следует непосредственно из формулы

1(У, X) = 1(Х, У) = 11сЯ2 2

1 +

X _2

aN

(25)

устанавливающей связь между количеством информации в принятом сигнале и количеством инфор-

2 2

мации в переданном сигнале. Здесь ах и aN — дисперсии переданного и принятого сигналов соответственно.

Таким образом, и теория оптимального приема Котельникова, и информационная теория приема сигналов показывают, что методы борьбы с помехой должны быть сосредоточены на пути ее познания, ибо чем больше сведений о помехе у наблюдателя, тем легче исключить ее влияние на условия приема.

Теоретической основой такого подхода являются работы Колмогорова, Дж. Дуба, Слуцкого, Романовского и ряда других авторов, направленные на изучение свойств сингулярных составляющих в случайных процессах.

С другой стороны, ограничения по длительности сигнала не накладывают никаких ограничений на длительность помехи и на ее верхнюю граничную частоту. А следовательно, чем выше частота дискретизации помехи, тем выше осведомленность наблюдателя о ее свойствах.

При частоте дискретизации /д >> /в появляется возможность создания к-го числа некоррелированных каналов, и тогда помехоустойчивость приемной системы будет определена базисом

Использование метрики наибольшего уклонения позволяет ввести в анализ колебательных процессов и корреляционную функцию первого порядка

пк = ^к = 2/вТяк, ДЬ

(26)

где к, например, порядок ряда Эрланга.

Следует отметить, что /в может в широких пределах изменяться на основе различного рода нелинейных преобразований, связанных с операциями сжатия и расширения спектра сигнала. Особый интерес в этом смысле представляют радиотехнические системы фильтрации с возвратным гетеро-динированием, в которых в каждом фильтрационном канале могут быть созданы дополнительные некоррелированные потоки Эрланга, полученные из исходного потока некоррелированных отсчетов путем исключения, например, всех четных отсчетов. Эта операция может повториться относительно всех последующих временных рядов, образовав таким образом систему некоррелированных каналов в каждом полосовом фильтре, верхняя граничная частота которого может изменяться операцией ге-теродинирования. Следовательно, преодолевается базовое ограничение потенциальной помехоустойчивости и расширяются возможности схем компенсации помех на основе использования новых метрик банаховых пространств, например метрики [6]

р = тах х(г) ,

геТ

(27)

обеспечивающей равномерную сходимость аппроксимирующей функции к прообразу в каждой точке в отличие от среднеквадратичного критерия Гильберта, который хоть и гарантирует сходимость в среднеквадратичном уклонении, но допускает существенные отклонения аппроксимирующей функции в каждой точке.

к(т) = тах х(£) - у(г - т) ,

(28)

что в конечном итоге существенно меняет и расширяет информационную составляющую в процессе анализа, так как допускает использование информации не только в четных моментах, но и во всех нечетных моментах, в частности в моментах 1-го порядка, которые несут информацию о законе изменения мгновенных значений.

Заключение

Следует отметить, что предлагаемые методы конструктивного детектирования позволяют получить выигрыш в помехоустойчивости на основе критерия Неймана—Пирсона не менее чем на 6 дБ и ничем его не ограничивают.

С другой стороны, методы конструктивного детектирования и анализа не отвергают и не опровергают ничего из уже достигнутого в современной теории потенциальной помехоустойчивости, но расширяют и дополняют возможность ее использования. Однако становится совершенно ясной нецелесообразность финансирования тех работ по совершенствованию и модернизации современных радиоэлектронных средств, которые не позволяют преодолеть указанные в данной работе фундаментальные ограничения.

Литература

1. Данилов В. Н. Конструктивная концепция обработки сигналов различной физической природы: дис. ... д-ра техн. наук. МУФО ЧЗ. СПб., 2015.

2. Данилов В. Н., Нестеров М. М. Актуальные проблемы глобальной модернизации радиоэлектронных средств обнаружения // Науч. приборостроение. 2010. Т. 20, № 3. С. 56-63.

3 О философии научных исследований в физике / В. С. Гер-шанский, В. Н. Данилов, И. А. Ланцев [и др.]. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2005. С. 167-207.

4. Нестеров М. М., Трифонов В. Н., Данилов В. Н. Нестандартный анализ данных с использованием самоорганизующихся технологий // Науч. приборостроение. 2000. Т. 10, № 1. С. 35-43.

5. Данилов В. Н., Леонов И. Е., Нестеров М. М. Выявление скрытых параметров в шумоподобных процессах / Международ. конгресс «Слабые и сверхслабые поля и измерения в биологии и медицине»: тез. СПб., 2006. С. 3.

6. Об одном подходе к решению задач сверхпомехоустойчивого приема сигналов / В. Н. Данилов, М. М. Нестеров, В. И. Тарханов [и др.] // Науч. приборостроение. 2009. Т. 19, № 3. С. 28-34.

7. Данилов В. Н., Прошин А. П. Современные требования к информационным технологиям // Сб. науч. тр. № 4. СПб.: Науч.-образоват. центр «Технологии товароведческой, таможенной и криминалистической экеспертизы», 2013. С. 141.

8. Данилов В. Н., Прошин А. П. К вопросу о выборе пространства измерений в теории колебаний // Сб. науч. тр. № 4. СПб.: Науч.-образоват. центр «Технологии товароведческой, таможенной и криминалистической экспертизы», 2013. С. 144.