CC BY
12
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2 Email: Shmoylov697@scientifictext.ru
'Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич — ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: показано, что комплексные числа могут представляться не только осциллирующими относительно нуля вещественными последовательностями, но и бесконечными осциллирующими последовательностями с положительными элементами. Сформулирован R/q>(+)-алгоритм, позволяющий по элементам бесконечной вещественной знакоположительной последовательности, расходящейся в классическом смысле, установить комплексное значение этой последовательности. Приводятся примеры восстановления комплексных чисел по вещественным последовательностям положительных элементов. Даются записи комплексных чисел периодическими непрерывными дробями с вещественными звеньями.
Рассмотрение знакоположительных вещественных последовательностей, представляющих комплексные числа, позволяет скорректировать критерии сходимости вещественных бесконечных последовательностей.
Ключевые слова: непрерывные дроби, комплексные числа, вещественные последовательности, R/^-алгоритм.
ON THE REPRESENTATION OF COMPLEX NUMBERS BY INFINITE REAL SEQUENCES WITH POSITIVE ELEMENTS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
'Shmoilov Vladimir Ilyich — Senior Researcher, 2Korovin Yakov Sergeevich — leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: is shown that complex numbers can be represented not only by real sequences oscillating with respect to zero, but also by infinite oscillating sequences with positive elements. We formulate an R/q>(+)-algorithm that allows us to determine the complex value of this sequence from the elements of an infinite real sign-positive sequence that diverges in the classical sense. Examples of reconstructing complex numbers from real sequences of positive elements are given. We give entries of complex numbers by periodic continuous fractions with real links.
Consideration of sign-positive real sequences representing complex numbers allows us to adjust the convergence criteria for real infinite sequences.
Keywords: continuous fractions, complex numbers, oscillating sequences, R/^-algorithm.
УДК 517.524
1.Введение
В публикациях [1 - 5] было показано, что бесконечные вещественные последовательности могут иметь комплексные значения. В [6] условия сходимости непрерывных дробей определялись следующим образом:
Непрерывная дробь с вещественными элементами
0 ^+62+...+ „ + ...
сходится и имеет в общем случае комплексное значение пределы
r0=li m^ пЩ1ЖШ,
\ю0\ = 7Г Ит —, п-> П
, если существуют
(1) (2)
где: Pn/Qn - значение -й подходящей дроби,
kn - число подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n подходящих дробей.
В г/з-алгоритме находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные подходящие непрерывных дробей. Для суммирования других бесконечных вещественных последовательностей в [7] было предложено обобщение г/з-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как R/y-алгоритм, имеет такую формулировку:
Бесконечная вещественная последовательность {fn}n = ь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число , если существуют пределы
г0 = limy ПП=Ш (3)
k
\ ю 0 | = 7г l i т—, (4)
п-> П
где: fn - значение n-го элемента последовательности,
кп - число элементов fn, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей n элементов .
В [8] даны отличные от канонических [9 - 13] определения необходимых и достаточных условий сходимости вещественных последовательностей.
Следует подчеркнуть, что как в г/з-алгоритме, так в R/з-алгоритме, комплексные значения вещественных последовательностей определяется при условии, что часть элементов последовательности имеет отрицательные значения. Формулы (2) и (4), устанавливающие аргумент комплексных чисел по элементам вещественных последовательностей, прямо указывают на то, что аргумент отличен от нуля, если в бесконечной вещественной последовательности будет некая фиксированная часть элементов с отрицательными значениями.
Оказалось, однако, что комплексные числа z = r0elf° могут представляться не только осциллирующими относительно нуля вещественными последовательностями, то есть последовательностями, содержащими как положительные, так и отрицательные элементы, но и представляться осциллирующими знакоположительными вещественными
последовательностями. Под осциллирующими знакоположительными последовательностями понимаются последовательности, элементы которых изменяются, оставаясь при этом элементами, имеющими положительные значения. Таким образом, не только знакопеременные вещественные последовательности могут «расшифровываться» как комплексные числа, но как комплексные числа могут «расшифровываться» и знакоположительные осциллирующие последовательности.
Это обстоятельство имеет значительный теоретический интерес, так как позволяет по-новому взглянуть на вопросы сходимости бесконечных вещественных последовательностей, являющиеся одними из центральных в математическом анализе.
2. Представление комплексных чисел непрерывными дробями
Корень квадратного уравнения
х2 — рх — q = 0 (5)
может быть записан непрерывной дробью:
q q q
х = р+—; х = р-\--х = р-\--=—;....
Х P+f
Р+х
Таким образом, корень квадратного уравнения (5) представляется непрерывной дробью: х = р + ч- О- q- . (6)
р + р _|-----|_р +...
Непрерывная дробь (6) сходящаяся, если корень действительный, и очевидно, расходящаяся, если корень комплексный.
Если корни квадратного уравнения комплексные
х1= a + ib, х2 = a — ib,
то квадратное уравнение имеет вид:
х2 - 2ах + (а2 + Ь2) = 0.
, .. _ а2+Ъ2 а2+Ъ2 а2+Ъ2
х = a + i b = 2 а--- - , (7)
2а — 2а ----- 2а — ... v '
., , ¡2 а2+Ъ2 а2+Ъ2 а2+Ь2 ,„ч ib = be 2 = a----- . (8)
2 a — 2 a ----- 2 a ----
ib .TZ = be1' = 1 l+b2 2 ■ l+b2 — 2 --- 1+fi2 . — 2 -
ib .TZ = be1' = 2 4+fi2 4 4+й2 — 4 --- 4+й2 ___ 4
ib .TZ = be1- = 3 9+b2 6 9+й2 — 6 — . 9+й2 ___ 6
Из непрерывной дроби (8), при фиксированных значениях а, можно записать непрерывные дроби с действительными элементами, представляющими мнимое число £ Ь. Например:
(9)
(10) (11)
При Ь = 1 имеем непрерывные дроби для мнимой единицы:
/—т . - I- а2 +1 а2 +1 а2+1
V - 1 = £ = 1 е 2 = а--- - , (12)
2а — 2а-----2а — ...
V—1 = £ = 1 е£2 = 1 — 2 - - , (13)
2—2-----2----' у '
V—1 = £ = 1 е£2 = 2 — - - - , (14)
4—4-----4----
I—7 ■ 1 I- о 10 10 10 /1 с\
Л/—1 = £ = 1е 2=3— Т — т_____Т—(15)
Представление мнимой единицы непрерывной дробью (13) нецелесообразно с практической точки зрения, так как среди подходящих дробей периодически встречаются пары со значениями «0» и « ».
Используя приведенные дроби, запишем непрерывные дроби для мнимого числа й: м 5 5 5
¿2 = 2е2 = 1 — - - - ,
2-2-----2----
М 8 8 8
¿2 = 2е2 = 2 — — - - ,
4-4-----4----
М 13 13 13 ¿2 = 2е2 =3 —— — — .
6 — 6-----6----
Комплексные числа могут быть записаны в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:
а + £ Ь (16)
_ V а 2 + Ь 2 е£аг с£Ч (17)
V а 2 + Ь 2( со б (агс£д Ь/а) + £5 £п (агс£д Ь/а) ) . (18)
Используя приведенные представления мнимых чисел непрерывными дробями с вещественными элементами, комплексные числа (16) - (18) могут быть записаны выражениями, включающими только вещественные числа. Например,
__ъ __а2 +(агЛз^)2 а2 + (агЛд^)2 а2 + (агЛд^)2
а + £ Ь = л/а 2+Ь 2 е£ агс = V а 2 + Ь 2 [ еа 2 а _ 2 а _. . . _ 2 а _. . .] . (19)
Следует обратить внимание, что комплексное число а + £ Ь , записанное в показательной форме (19), имеет все положительные вещественные аппроксиманты под которыми понимаются значения выражений:
Л = Vя2 + Ь2еа,
а2+(агсгд^)2
/2 = Va2 +Ь2[еа ^ /з = Va2 + b2[e
a2+(arctgа2+(агс£^)2
Если комплексное число а + ib представить непрерывной дробью
, .. _ а2+й2 а2+Ь2 а2+Ъ2
а + i b = 2 а--- - ,
2а — 2а —...— 2а —...
то это комплексное число записывается бесконечной вещественной последовательностью подходящих дробей {Рп/ Qn}, причем, аргумент комплексного числа, приведённого в показательной форме z = гое"? °, определяется формулой:
|ю0| = 7Г lim —,
п-> П
где fcn - число подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащих n подходящих дробей.
Используя непрерывную дробь (7), запишем:
2 + ( 3 = 4-— ^ Н .
4 — 4 — ... — 4 — ...
Если использовать представление мнимой единицы непрерывной дробью (14), то получим второй вариант записи комплексного числа в алгебраической форме непрерывной дробью с вещественными элементами:
2 + ( 3 = 2 + 3 (2-- - - ) .
V 4—4-----4----)
Можно предложить также два варианта представления комплексного числа в показательной форме:
3 3 3
4+(агс£д^)2 4+(агс£д^)2 4+(агс£д^)2
Vl3eiarc£fl2 = Vl3e 5 - Г
Vl3eiarc£fll = л/ТЗе^2- 4-4-----4_ ...)arc£flf ^
Используя формулу Эйлера, комплексное число 2 + i 3 можно записать VT3e£arctfll = Vl3^cos^arctfif^ + ^2--_-_ _-_ ) sin (arctfif^). Запишем непрерывную дробь для комплексного числа в показательной форме:
a + ib = ja2 + b2eiarctga.
Исходя из формулы Эйлера
е i<p + e-i<p cos <р =---,
показательная функция мнимого аргумента может быть представлена непрерывной дробью elf=2co s®--— . (20)
2 cos tp — 2 cos tp — ... — 2 cos tp — ...
Непрерывная дробь (20) может быть получена также из непрерывной дроби (7), если рассматривать квадратное уравнение
х2 —2 cos tpx + 1 = 0, имеющее корни x-l = elf и х 2 = е"l f.
Подходящие непрерывной дроби (20) определяются выражением:
Рп _ sinf n+ l)(/'
Qn sin п(р
При помощи r/^-алгоритма в [14] было установлено значение предела:
(21)
^ = (22) Бтгкр 7
Этот предел известен как предел Никипорца [15], названный по имени таганрогского математика А.З. Никипорца (1896 - 1972), впервые рассмотревшего этот предел. Используя предел Никипорца, можно записать:
е1 ""£^ = Итп^ ^ ; (23)
51П\jiarctg-j
Следовательно, показательная функция комплексного аргумента, может быть представлена следующим образом:
_ 5т((п+1)агс1а—)
_ „ ТТЧРЧпп--^ (24)
еа+1Ь _ еае1Ь _ е^!а2+Ь2ешгЛва _ эт(пагс1д-)
Формула (24) показывает, что комплексное число еяе1й, имеющее модуль ея и аргумент Ь, может быть представлено бесконечной вещественной последовательностью. Приведенная формула (19) также позволяет получать представления комплексных чисел а + £ Ь знакоположительной вещественной бесконечной последовательностью
Для представления комплексных чисел в [16 - 18] использовались осциллирующие относительно нуля бесконечные вещественные последовательности, элементы которых имели как положительные, так и отрицательные значения.
В табл. 1 приведены результаты определения значения непрерывной дроби (25), представляющей мнимую единицу.
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби 2—- - - =1 е£2 = £ (25)
4 — 4-----4--------4 '
Номер подходящих дробей, п Значения подходящих дробей, Pn/Qn Значения модуля, г„ Значения аргумента, Ы Погрешность £г = 11 — г„ 1 Погрешность £<е = к/2 -<р„\
1 2 2 0 1 1.5707963267
2 0.75 1.2247448713 0 0.224744871 1.5707963267
3 0.1818181818 0.6484993172 0 0.3515006827 1.5707963267
4 -0.291666666 0.5310725349 0.7853981633 0.4689274650 0.7853981633
8 1.5684523809 1.1446779145 1.1780972450 0.1446779140 0.3926990816
16 0.4654406117 0.9747846323 1.1780972450 0.0252153676 0.3926990816
8192 63.710364162 0.9998091838 1.5704128315 0.0001908161 0.0003834951
16384 31.847334064 0.9996251789 1.5704128315 0.0003748210 0.0003834951
32768 15.907967131 0.9998720468 1.5707004529 0.0001279531 0.0000958737
65536 7.9225527739 0.9999450466 1.5706525160 0.0000549533 0.0001438106
На рис. 1 показано распределение значений подходящих непрерывной дроби (25) на интервале и=1000-1200.
, 1,. 1...,,. 1... 1,. . 1, ., 1,.., , 1,. 1. . ,... ,... 1 . 1 . . , 1,... 1,.., ,.„. ,.. ,. 1,... .... и...
' 1 1 ' 1 1 ' 1 ] | и .| || , 1 1 ■ 1 1 ]
Рис. 1. Значения подходящих Pn/Qn непрерывной дроби (25)
На рис. 2 и рис. 3 показаны значения гп и ^>п, установленные г/^-алгоритмом по формулам (1) и (2).
, Z. Огги.Ч^ггил МииуЛл !п
Рис.
. Огги.Ч^ггиН (лрсум&п
Непрерывная дробь (25), как следует из табл. 1, имеет мнимое значение
2 5 5 5 л ¿— .
— - - - = 1 е 2 = £.
4 — 4 — ... — 4 — ...
В табл. 2 приведены результаты определения г/^-алгоритмом значения непрерывной дроби с вещественными элементами, представляющей мнимое число .
Таблица 2. Определение значения непрерывной дроби 3"7-7_ =2 е^ = 2 ' (26)
Номер подходящих дробей, п Значения подходящих дробей, Рп^п Значения модуля, г„ Значения аргумента, Ы Погрешность £г = |2-г„| Погрешность = \к/2-(рп\
1 3 2.9999999999 0 0.999999999 1.5707963267
2 0.8333333333 1.5811388300 0 0.4188611699 1.5707963267
3 -0.391304347 0.9927004696 1.0471975511 1.0072995303 0.5235987755
4 -1.983333333 1.1802189900 1.5707963267 0.8197810099 0
5 -9.786885245 1.8017684497 1.8849555921 0.1982315502 -0.314159265
8 0.0167366946 1.0985360853 1.1780972450 0.9014639146 0.3926990816
16 -119.4895396 1.9176212598 1.5707963267 0.0823787401 0
8192 1.7365415320 1.9981528849 1.5704128315 0.0018471150 0.0003834951
16384 -0.283443698 1.9990964019 1.5704128315 0.0009035980 0.0003834951
32768 6.9143531800 1.9998033865 1.5704128315 0.0001966134 0.0003834951
65536 3.1679232140 2.0001965670 1.5703648946 0.0001965671 0.0004314320
На рис. 4 показаны распределения значений подходящих непрерывной дроби (26) на интервале 1000-1200.
1 1.. 1.1, 1., 1.. и 1. 1, 1..
Г1 1 I 'I 1 11 1 111
1, , 1.. 1, ,.. 1. 1, 1 1. ,
1 ' II 1 11 1 .| ] 1
Рис. 4. Значения подходящих P,JQn непрерывной дроби (26)
Непрерывная дробь (26), как следует из табл. 2, имеет мнимое значение
, 13 13 13 _ ¡2
3--— — =2 е 2=2 (.
в — б—____б----
Как видно из рис. 1 и рис. 4, на которых показаны значения подходящих непрерывных
,7Г ,7Г
дробей (25) и (26), представляющих, соответственно, комплексные числа 1 е1~ и 2 е1~, число подходящих с отрицательными значениями составляет половину от общего числа подходящих, что следует из формулы (2) г/р-алгоритма, определяющего значения аргумента 0 комплексного числа г = г0е1 ^ 0 из анализа знаков подходящих.
Выше уже приводились формулы (19) и (24), показывающие, что существуют вещественные бесконечные последовательности, состоящие только из положительных элементов и, тем не менее, представляющие комплексные величины. Следует отметить, что ранее в публикациях, связанных с суммированием расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, представления комплексных чисел вещественными знакоположительными последовательностями не рассматривались. Это обуславливалось тем обстоятельством, что изучались задачи, где возникали непрерывные дроби, определяющие комплексные числа, которые имели знакопеременные вещественные подходящие. Также знакопеременные вещественные последовательности наблюдались при решении других задач с использованием К/р-алгоритма.
Рассмотрение знакоположительных вещественных последовательностей, представляющих комплексные числа, весьма важно, так как позволяет скорректировать критерии сходимости вещественных последовательностей.
3. Представление комплексных чисел вещественными последовательностями с положительными элементами
Рассмотрим показательную функцию, причем, в качестве степени используется
,£1 £2 ^п /1-7\
ев°+й1 + й2 + ...+йп+.... (27)
непрерывная дробь с вещественными элементами:
Аппроксиманты выражения (27) имеют вид:
Л = еЧ
ал
h = еЙ0Ч
Ol £2
/з = е 0 bi + b2.
Если непрерывная дробь
Ol £2 Oj,
/п = е00+ь1 + ь2 +■ ■ .+b„. (28)
, , dl a2 an
^0+7r_i_7Tj_____lTTJ________(29)
+ Ь2Л-----\-bn-\—
представляет комплексное число а + i Ь , то часть подходящих дробей (29) может иметь отрицательные значения, хотя все аппроксиманты (28) будут положительны. Таким образом, комплексное число
Qd + ib — QÜ gib
может быть представлена бесконечной вещественной последовательностью, причем, все элементы этой последовательности будут положительны. В [19 - 22] описывались приложения r/^-алгоритма и й/^-алгоритма, в которых по вещественным бесконечным последовательностям восстанавливались комплексные числа, «записанные» в этих последовательностях. Как в r/^-алгоритме, так и в й/^-алгоритме, аргумент комплексного числа устанавливался из анализа знаков элементов вещественных последовательностей, представляющих комплексные числа по формуле
|ю0| = 7Г lim —,
п-> П
где fcn - число элементов последовательности, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n элементов.
Рассмотрим способ определения комплексного числа ея+1Й по элементам бесконечной знакоположительной вещественной последовательности.
Запишем показательную функцию
gCOSX+i sinx _ gCOSXgi sinx
Число ec 0 +lslnj: имеет модуль r0 = ec 0 и аргумент 0 = s i nx.
Ранее приводилась непрерывная дробь с вещественными элементами для представления показательной функции мнимого аргумента:
ix п 11 1
elx = 2 cosx — ■
2 eos* — 2 eos л: — ... — 2 eos* — ... Pn _ sin(n+1) y = |jm sin(n+ !) V
Qn sin nep n~> sin nep
Таким образом, можно записать
sin(n+l)<p gn" sinnep = gCosar+isinar
Запишем «подходящие дробив», или апроксиманты по последовательности которых можно «восстановить» комплексное число 6co s*+lsina;:
si n 2x sin 3x SÍ п(п+ I )X í1Ci\
f = 6 sin* t f = 6sin2x t жжж t f = 6 sinnx t жж, , (30)
Аналогично тому, как был определен модуль комплексного числа по подходящим в r/ф-алгоритме и йф-алгоритме, - формулы (1) и (3), примем, что модуль комплексного числа, устанавливаемый по аппроксимантам /^ равен r0, если существует предел:
r0 = i i mn ^ „VTÍIZ (31)
Так как модуль комплексного числа равен , то запишем:
Го = lim^ „ "VTUIZ = 6cos*. (32)
Из (32) следует, что
со5х = 1пг0 = "ЛШ/Й). (33)
Зная х, устанавливаем значения х:
X = агссоэ (соэх) = агссоэ (1 пг0) = агссоэ (1 п(1 \/ ,))• (34)
Определив значение х, запишем значения аргумента 0 комплексного числа гое1^, которое находится по знакоположительным аппроксимантам (30).
= еш ьхе'мп , то аргумент с 0 этого комплексного числа равен s i n х
Можно записать:
С0 = s i nx = s i n ( a rc со s ( 1 nr0) ) = s t n (a rc со s ( 1 n ( 1 i mn _>^ ^ЩГГЮ).
Таким образом, значение аргумента с 0 связано с модулем r0 через формулу r0 = Пример 1. Определим значение показательной функции комплексного аргумента
gcosl+isinl _ gcoslgisml
через бесконечную знакоположительную вещественную последовательность. Представим 1 + t 1 непрерывной дробью:
111
cos 1 + i sin 1 = е11 = 2 cos 1 — --- --- --- .
2 cos 1 — 2 cos 1-----2 cos 1----
Значения подходящих непрерывной дроби (37):
Рп sin(n + 1)
Qn sinn '
(35) x.
(36)
(37)
(38)
На рис. 5 показаны значения подходящих Р„/непрерывной дроби (37), представляющей е1
Рис. 5. Значения подходящих Р„/ <2„ непрерывной дроби (37)
Подставляя в показательную функцию (36) вместо комплексного числа со э 1 + £ э¡п 1 = е1 1 непрерывную дробь (37) с вещественными элементами, получим:
е^1+£ sin1=е2 1-12 1-12^1-,..-12^1-.... (39)
Для показательной функции (39) запишем последовательность аппроксимант, которые будем рассматривать как элементы осциллирующей знакоположительной вещественной последовательности, представляющей комплексное число
(40)
имеющее модуль г0 = есо s 1 = 1,716524 ... и аргумент | = 1 =
4147
Учитывая формулу (38), определяющую значения подходящих непрерывной дроби (37), можно записать «подходящие дроби» или аппроксиманты выражения (39):
Sin 2 Sin 3 Sin 4 Sin(» + 1)
/i = es¡ni, /2 = es¡n2 , /3 = es¡n3 , ..., /^ = e s¡ nn . (41)
Все аппроксиманты (41) имеют положительные значения, так как имеет место показательная функция.
На рис. 6 показаны значения аппроксимант /^ показательной функции (39).
- ■ ' ' ' _gCOSl+¡SÍlll
2 1-2 1-
Рис. 6. Значения аппроксимант /„ показательной функции (39) Результаты определения значения последовательности, включающей положительные элементы 1 е зтт ( , приведены в табл. 3 и табл. 4.
Таблица 3. Определение значения показательной функции ? 1 1 1 1 gCO sl+isinl = gZC° S1 2CO S1-2COS1_____2COsi____ = gCo slgisinl (42)
Номер, n Значения подходящих, Pn/Qn Значения аппроксимант, fn Значения модуля, Гп Значения In гп = cos хп Значения хп = arccos (cos хп) Значения аргумента, ipn = sinx„
1 1.0806046117 2.9464604772 2.9464604772 1.0806046117 - -
2 0.1551967528 1.1678877237 1.8550296547 0.6179006823 0.9047264514 0.7862561585
3 -5.362829167 0.0046876252 0.2526687506 -1.375675934 - -
4 1.2670733521 3.5504464359 0.4891976824 -0.714988612 2.3674041453 0.6991360982
8 0.4165513216 1.5167218400 0.6875122878 -0.374675576 1.9548431638 0.9271559806
16 3.3393067610 28.199570887 1.2202492630 0.1990551518 1.3704026428 0.9799882889
65536 -0.337364676 0.7136485413 1.7124021259 0.5378971368 1.0028556769 0.8430104804
131072 0.5048526902 1.6567414483 1.7075495576 0.5350593355 1.0062183461 0.8448144810
262144 10.509616937 36666.431335 1.7090490547 0.5359371074 1.0051789924 0.8442579089
524288 5.4894469791 242.12327060 1.7094819926 0.5361903963 1.0048789502 0.8440970671
1048576 2.9433397142 18.979125442 1.7094596031 0.5361772990 1.0048944666 0.8441053868
Во второй колонке табл. 3 приведены значения подходящих непрерывной дроби (37), которые определяются по формуле (38).
Как видно из рис. 5, подходящие Рп/ Qn имеют как положительные, так и отрицательные значения, причем, подходящих с положительными значениями больше половины, что следует из формулы (2) г/з-алгоритма. В третьей колонке помещены значения аппроксимант /П, определяемых по формуле
sin(n + l) l
/ = e sinn l . (43)
TT Pn si n(n+ 1 )<t>
Несмотря на то, что подходящие — = —--— имеют как положительные, так и
Qn sin пер
отрицательные значения, все аппроксиманты (43) положительные, так как (42) показательная функция. В четвертой колонке приведены значения модуля комплексного числа, восстанавливаемого по аппроксимантам (42):
Гп = И Шп_> с 1/ П n=l /П.
Учитывая, что
гп = eCosa:«, (44)
логарифмируя (44) получим последовательность значений , которые приведены в
пятой колонке табл. 3. В шестой колонке по значениям со sxn восстанавливаются значения хп, которые близки к единице. В седьмой колонке определяется аргумент искомого комплексного числа по формуле .
В табл. 4 приведены погрешности при определении комплексного значения осциллирующей знакоположительной вещественной последовательности, представляющей показательную функцию (42).
Таблица 4. Погрешности при определении значения показательной функции
1 1 1 1 1 еП»1+|!И1_ега,!1 2 С051_2С051_____2 СОЯ 1____= £ (45)
Номер, n Значения модуля, r Значения аргумента, <Рп Погрешность £r = |ecosl — г„\ Погрешность Ev = |sinl-<p„|
1 2.9464604772 - 1,229934778 -
2 1.8550296547 0.7862561585 0,138503955 0,055214826
3 0.2526687506 - 1,463856949 -
4 0.4891976824 0.6991360982 1,227328017 0,142334887
8 0.6875122878 0.9271559806 1,029013412 0,085684996
16 1.2202492630 0.9799882889 0,496276437 0,138517304
65536 1.7124021259 0.8430104804 0,004123574 0,001539496
131072 1.7075495576 0.8448144810 0,008976142 0,003343496
262144 1.7090490547 0.8442579089 0,007476645 0,002786924
524288 1.7094819926 0.8440970671 0,007043707 0,002626082
1048576 1.7094596031 0.8441053868 0,007066096 0,002634402
Пример 2. Определим значение показательной функции комплексного аргумента
через бесконечную знакоположительную вещественную последовательность. Представим 2 + £ э 1 п 2 непрерывной дробью
11 1
cos 2 + i sin 2 = еи = 2 cos 2 —
2 cos 2 — 2 cos 2-----2 cos 2 —
(46)
(47)
Значения подходящих непрерывной дроби (47): Рп _ эт[(п + 1)2] (¿п эт(п2) '
На рис. 7 показаны значения подходящих Р„/<3П непрерывной дроби (47), представляющей
(48)
Рис. 7. Значения подходящих Р„/ <2„ непрерывной дроби (47) Подставляя в показательную функцию (46) вместо комплексного числа с о э 2 + £ э 1 п 2 = е1 2
непрерывную дробь (47) с вещественными элементами, получим
2 cos 2- 1 1 1
2COS2 — 2COS2—----2COS2— .
(49)
Для показательной функции (49) запишем последовательность аппроксимант, которые будем рассматривать как элементы осциллирующей знакоположительной вещественной последовательности, представляющей комплексное число
gCos2+Ïsin2 _gCos2gïsin2 (50)
имеющее модуль r0 = eCo s2 = ,6595 3 . . . и аргумент 0 = 2 = ,9 9297... .
Учитывая формулу (48), определяющую значения подходящих непрерывной дроби (47), можно записать аппроксиманты выражения (49):
Sin-t Sine Sin 8 Sin[(?l + 1)2]
ft = esi n2, f2 = esin4 , f3 = esine ,..., fn = e sin(n2) . (M,)
На рис. 8 показаны значения аппроксимант показательной функции (45)
2
Рис. . Значения аппроксимант /П показательной функции (49)
Результаты определения значения последовательности, включающей положительные
С 51п[(|1 + 1)2]-,1048576
элементы I е 55' п <"2 ) } , приведены в табл. 5 и табл. 6.
Таблица 5. Определение значения показательной функции
эС05 2+£5т2 _
2СОЭ2 — 2СОЭ2—----2СОЭ2— ... = ^С052^151П2
(52)
Номер, п Значения подходящих, Р„/<?„ Значения аппроксимант /„ Значения модуля, Г Значения 1пг„ = соэх,, Значения хп = агссоэ соэ хп Значения аргумента, (р„ = этх,,
1 -0.832293673 0.4350502779 0.4350502779 -0.832293673 2.5540289518 0.5543349544
2 0.3692053077 1.4465845682 0.7933076442 -0.231544182 1.8044610296 0.9728243888
3 -3.540813780 0.0289897261 0.2632544961 -1.334634048 - -
4 -0.549872720 0.5770232487 0.3203171383 -1.138443716 - -
8 2.6084702860 13.578264096 0.6791077813 -0.386975428 1.9681455269 0.9220900268
16 0.9594796626 2.6103378638 0.6434837761 -0.440858464 2.0273512001 0.8975766343
65536 -0.454453854 0.6347945633 0.6582983544 -0.418097024 2.0021457744 0.9084023769
131072 1 2.7182818284 0.6600524654 -0.415435953 1.9992183465 0.9096224316
262144 4.9319217215 138.64569491 0.6596353173 -0.416068146 1.9999134618 0.9093334359
524288 2.1805864691 8.8514958658 0.6596472382 -0.416050074 1.9998935883 0.9093417045
1048576 0.7230155944 2.0606378987 0.6596376453 -0.416064616 1.9999095807 0.9093350507
Структура табл. 5 аналогична структуре табл. 3, поэтому отметим, что во второй колонке табл. 5 записаны значения подходящих непрерывной дроби (47), определяемых по формуле (48). В третьей колонке помещены значения аппроксимант /П, установленных по формулам (51). В четвёртой колонке приведены значения модуля гп комплексного числа, восстанавливаемого по аппроксимантам по формуле
Г = //ШТ/П (53)
Так как
гп = ес°5*», (54)
то логарифмируя (54), получим значения хп, приведенные в пятой колонке табл. 5. По значениям со б хп определим значения аргумента хп, которые помещены в шестой колонке табл. 5. Аргумент 0 комплексного числа, восстанавливаемого по аппроксимантам /П, находится по формуле 0 = б 1 пхп. Из данных седьмой колонки следует, что аргумент восстанавливаемого комплексного числа ес°52е15т2 равен 0,909335..., т.е. 0 = 5 ¿п2 .
В табл. 6 приведены погрешности при определении комплексного числа через
ЭШ{(Л + 1)2]
знакоположительные аппроксиманты /П = е 5 ' п <"2) .
Таблица 6. Погрешности при определении значения показательной функции
еС052 + ¡5Ш2 = е2с°52 _ 2 С1Э 2 — 2 СОЭ 2-----2С082----= еС^е^»^ (55)
Номер, Значения Значения Погрешность Погрешность
n модуля, Г аргумента, <р„ £r= |ecos2-rn| Ev = | sin 2 — <р„ I
1 0.4350502779 0.5543349544 0,2245331345 0,3549624724
2 0.7933076442 0.9728243888 0,1337242318 0,0635269620
3 0.2632544961 - 0,3963289163 -
4 0.3203171383 - 0,3392662741 -
8 0.6791077813 0.9220900268 0,0195243689 0,0127926000
16 0.6434837761 0.8975766343 0,0160996363 0,0117207925
65536 0.6582983544 0.9084023769 0,0012850580 0,0008950499
131072 0.6600524654 0.9096224316 0,0004690530 0,0003250048
262144 0.6596353173 0.9093334359 0,0000519049 0,0000360091
524288 0.6596472382 0.9093417045 0,0000638258 0,0000442777
1048576 0.6596376453 0.9093350507 0,0000542329 0,0000376239
Сформулируем алгоритм определения значения знакоположительных последовательностей
который обозначим как Шф(+)-алгоритм: Бесконечная вещественная знакоположительная последовательность {/^} "=1, для которой не выполняется критерий сходимости Коши, сходится к комплексному числу z = r0el v0, если существуют пределы:
Го = li „ "/ЩЦХ (56)
к
| <р о | = 7Г li m—, (57)
П~> СО И
где /^ - n-й элемент знакоположительной последовательности {/^} "=1, fcn - число элементов знакоположительной последовательности {/^} "=1, фиксирующих изменение характера последовательности (возрастающая - убывающая) из совокупности, содержащих n элементов последовательности. Заключение
Показано, что комплексные значения могут иметь бесконечные вещественные знакоположительные последовательности, которые не сходятся в классическом смысле, то есть для них не выполняется критерий сходимости Коши. Предложенный ранее R/^-алгоритм использовался для определения комплексных значений бесконечных вещественных последовательностей, включающих как положительные, так и отрицательные элементы, причем, значение аргумента комплексного числа определяется как раз «долей» отрицательных элементов в последовательности.
R/^-алгоритм и Я/р+^-алгориш могут быть использованы при решении так называемых расходящихся БСЛАУ, когда системы с вещественными матрицами имеют комплексные решения.
Возможность представления комплексных чисел бесконечными знакоположительными вещественными последовательностями обуславливает необходимость в уточнении классических необходимых и достаточных условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей.
Список литературы / References
1. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
2. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. 683 с.
3. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
4. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58), 2019. С. 10-23.
5. ШмойловВ.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
6. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: Изд-во НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.
7. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. №16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.
8. Шмойлов В. И. Определение значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей посредством маркера комплексности. // Вестник науки и образования. № 22 (76), 2019. С. 6-17.
9. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: Физматгиз, 1963. 342 с.
10. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1967. 704 с.
11. ШиловГ.Е. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1969. 528 с.
12. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики. М.: Наука, 1971. 656 с.
13. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби: Аналитическая теория и приложения. М.: Мир, 1985. 414 с.
14. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
15. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
16. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
18. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 18-30.
22. Шмойлов В.И. Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 18 (96). Ч. 1, 2020. С. 5-19.
