CC BY
38
Вестннк Санкт-Петербургского университета. Сер. 6, 2004, вып. 3
Я. А. Слинин
О ПРЕДМЕТЕ И ВОЗМОЖНОСТЯХ ЛОГИКИ
1
Логика — это базис, основа разума. Разум может действовать только в рамках законов и требований логики. Основные законы логики очерчивают границы, в пределах которых разум может быть эффективным. Сформированные еше в древние времена законы тождества, противоречия и исключенного третьего свидетельствуют о том, какими свойствами должны обладать предметы для того, чтобы логика, а стало быть, и разум в целом могли иметь с ними дело. Предметы, с которыми разум может иметь дело, должны быть самотождественными и непротиворечивыми; в противном случае они разуму недоступны. Иными словами, предметы, о которых мы мыслим, должны быть постоянными и неизменными, по крайней мере, пока мы о них мыслим. Если в течение этого времени предмет успевает измениться, то нам просто нельзя понять, что это такое было. Изменение, движение как таковые нам непонятны. Как только мы пробуем выразить движение в понятиях, то наталкиваемся на парадоксы и паралогизмы, самыми известными из которых являются знаменитые апории Зенона Элейского.
Могут возразить, что разного рода движения и изменения многократно и подробно описаны и выражены в соответствующих понятиях различными науками: физика описывает физические изменения, химия — химические, биология — биологические и т. д. Однако ясно, что описанию и измерению поддаются не сами изменения и движения как таковые, а лишь те следы, которые они оставляют после себя. Науки имеют дело лишь с «застывшими» движениями и изменениями, а не с ними самими. И классификация изменений и движений осуществляется лишь за счет тех постоянных и неизменных факторов, которые в каждой из их разновидностей имеются.
Например, если взять разного рода перемещения, то механика имеет дело лишь с траекториями, т. е. следами таких перемещений, а не с ними самими. Сравнивая друг с другом эти траектории и измеряя их параметры, можно выделить вращательное и поступательное, прямолинейное и криволинейное, равномерное и ускоренное движения, можно установить, каковы скорость и ускорение того или иного перемещения. Однако когда мы захотим ответить на вопрос, что собой представляет перемещение как таковое, т. е. понять, каким образом движущийся предмет перемещается из одной точки пространства в другую, мы сразу же наталкиваемся на апорию Зенона под названием «Стрела». И выясняется, что о летящей стреле мы можем сказать только то, что она находится и не находится в данной точке пространства, потому что если бы она просто находилась в ней, то не сдвинулась бы с места, а если бы просто не находилась, то не о чем было бы и говорить. Поэтому единственное, что мы можем тут сказать, это то, что перемещающееся тело нарушает законы тождества и противоречия в отношении места своего нахождения. На протяжении всего своего движения оно является самопротиворечивым и не самотождественным в отношении места своего нахождения. То же самое мы можем сказать по поводу любого изменения вообще: то, что изменяется, является самопротиворечивым и не самотождественным в отношении того параметра, который изменяется.
Итак, всякое движение, всякое изменение — это нечто самопротиворечивое и не
© Я. А. Слинин. 2004
подчиняющееся закону тождества. К сказанному больше ничего вразумительного добавить нельзя. И это означает, что мы исключаем изменение и движение как таковые из области того, что может быть познано логическим, рациональным путем. Не подчиняясь законам тождества, противоречия и исключенного третьего, движение и изменение оказываются недоступными рациональному познанию. Между тем чувственному восприятию они вполне доступны. Мы не испытываем никаких затруднений при восприятии разного рода движений и изменений: для нашего чувственного опыта изменяющиеся и перемещающиеся предметы столь же доступны и обычны, сколь и покоящиеся. А вот нашему уму сущность движения и изменения как таковых недоступна. Чувственно воспринять изменение и движение мы способны легко, а понять, что это такое, — не можем.
Таким образом, ясно, что рациональное познание имеет ограниченный характер. Ясно также, как основные законы логики очерчивают его границы.
2
В учебниках по логике обычно пишут, что она является наукой о законах и формах мышления. К этому нужно добавить, что она еще и наука об основных, самых общих свойствах тех предметов, о которых мы мыслим. В старину говорили о том, что есть логика суждения (апофантическая) и есть логика-онтология. Логика-онтология изучает предметы, о которых мы мыслим, их формальные и самые общие особенности. А логика суждения исследует те действия и операции, которые мы мысленно производим над этими предметами.
Замечено структурное сходство между логикой и математикой: ведь математика тоже двойственна. С одной стороны, она изучает свойства определенной предметной области, а с другой — те мыслительные операции и действия, которые носят название математических. Здесь уместно вспомнить высказывание Яна Лукасевича из его книги «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики»: «Логика имеет дело с мышлением не более, чем математика. Вы, конечно, должны думать, когда вам нужно сделать вывод или построить доказательство, так же как вы должны думать, когда вам надо решить математическую проблему. Но при этом законы логики к вашим мыслям имеют отношение не в большей мере, чем законы математики»'.
Так оно и есть. К тому же обнаруживается не только то, что между логикой и математикой имеется структурное сходство, но и то, что предметная область у них одна и та же. Это множества и их элементы. Притом элементами множеств, которые составляют предмет исследования логики и математики, могут быть отдельные вещи, но могут быть и отдельные мысли. Дело в том, что и логика, и математика изучают только общие свойства множеств и их элементов, а также лишь чисто формальные отношения, имеющие место в данной области. В чем же разница между двумя науками? В самом общем виде можно сказать, что логика анализирует указанную предметную область с качественной стороны, а математика изучает ту же самую область с количественной стороны.
Традиционно считается, что логика ведет свои исследования при помощи понятий. Не будем с этим спорить. Но что представляет собой объем понятия? некоторое множество элементов, к которым относится данное понятие. На логическом уровне мы не пересчитываем элементы множеств. Нас интересует лишь следующее: все или только некоторые элементы того или иного множества имеются в виду в каждом данном случае. Поэтому если считать, что точный результат — это результат, который выражен в числах, то логика не является точной наукой. Такой наукой является математика, которая как раз имеет дело с числами и с пересчетом элементов множеств. Но если посмотреть на дело с другой стороны, то математику можно охарактеризовать как специфическую часть логики. Данной точки зрения придерживаются представители логистического направления в современной математике. В таком случае логика
в определенном смысле слова тоже может быть причислена к точным наукам. На каком основании математику можно считать частью логики? Одним из оснований является следующее: математика — это наука о числах. А что представляют собой числа? С логической точки зрения они суть особого рода понятия.
Традиционная логика делит все общие понятия на разделительные и собирательные. Разделительные понятия — это те, которые относятся к любому элементу соответствующего множества. Примером разделительного понятия может служить понятие «дерево»: и данная осина, и данная береза, и данная ель, растущие в данном конкретном лесу, суть деревья. Собирательные же понятия характеризуют множества в целом и не относятся к отдельным элементам соответствующих множеств. Примером собирательного понятия может быть понятие «лес»: ни данная осина, ни данная береза, ни данная ель, растущие в данном конкретном лесу, не являются лесом. Элементы тех множеств, к которым относятся собирательные понятия, не суть отдельные единичные объекты. Элементами .такого рода множеств являются множества. Так, элементами множества, соответствующего понятию «лес», являются все леса, а не отдельные деревья этих лесов. Кроме понятия «лес» в качестве примеров собирательных понятий приводят обычно такие понятия, как «созвездие», «коллектив», «группа», «полк», «класс» и т. п. И понятие «множество» — тоже собирательное.
Собирательными понятиями являются и числа. Гак, число «два» относится к множеству всех множеств, имеющих соответствующее количество элементов; число «три» относится к множеству всех множеств, имеющих другое количество элементов, соответствующее уже этому числу; число «миллион» обозначает множество всех множеств с таким огромным количеством элементов. И так далее. Любое число обозначает какое-то множество множеств. У меня два глаза, два уха, две руки и две ноги. Я могу сказать о своем глазе, что он — часть моего организма, но не могу сказать о нем, что он — два; я могу сказать о своей руке, что она является частью моего тела, но не могу сказать о ней, что она является двумя. Точно так же я не могу сказать об угле треугольника, что он — три, или о стороне квадрата, что она является четырьмя. Ясно, что числа суть не что иное, как собирательные понятия.
Понятно, что они суть собирательные понятия особого рода: они позволяют производить над собой математические действия и операции. Мы можем складывать числа, производить над ними действие вычитания, умножать их, делить, возводить в степень, извлекать из них корни и т. п. Особенностью такого рода действий является то, что если произвести какое-либо из них над двумя или несколькими числами, то те числа, над которыми оно производится, «превращаются» в новое число. Так, если сложить два и три, то они «превращаются» в пять; если мы сложим два, три и четыре, то получим девять; если разделим шесть на три, то это даст два. И так далее, и тому подобное. Можно сказать, что математические операции состоят в том, чтобы из тех или иных первоначально взятых чисел получать новые.
В том, что математические действия от чего-то уже известного приводят к чему-то новому, они сходны с чисто логическими операциями, называемыми умозаключениями. Умозаключения на чисто формальных основаниях из уже известных истин позволяют получать новые истины. Необходимо лишь, чтобы умозаключение было правильно построено. Умозаключения имеют более широкий диапазон действия по сравнению с математическими операциями. Если последние можно производить только над числами, то первые касаются всего, чего угодно. Примером правильно построенного умозаключения может служить хотя бы модус Barbara категорического силлогизма. В аристотелевской формулировке он выглядит так: «Если А сказывается обо всех Б, а Б — обо всех В, то А необходимо сказывается обо всех В» (Аристотель. Первая аналитика, I, 4, 25Ь, 38). Здесь А, Б и В ■— логические переменные, вместо которых могут быть подставлены любые понятия.
Приведенное выше высказывание Яна Лукасевича сделано им для того, чтобы доказать,
что логика не является наукой о мышлении. Он обращает наше внимание на то, что она во всем подобна математике, будучи убежден в том, что математика-то уж точно не есть наука о мышлении. Вот что хочет доказать Лукасевич: «Однако неверно, что логика — наука о законах мышления. Исследовать, как мы действительно мыслим или как мы должны мыслить, — не предмет логики. Первая задача принадлежит психологии. Вторая относится к области практического искусства, наподобие мнемоники»2.
Между тем из того, что как для построения доказательства, так и для решения математической проблемы мы должны думать, на наш взгляд, следует, скорее, то, что и логика, и математика суть отчасти науки не о мышлении, но отчасти и науки о мышлении. Элементами множеств, с которыми имеют дело логика и математика, могут быть вещи, не находящиеся в мысли. В той мере, в какой логика и математика касаются вещей, существующих независимо от мышления, эти науки являются такими же науками об окружающей нас объективной реальности, каковы физика, химия, биология и др. Однако множества материальных вещей, существуя сами по себе, не производят над собой никаких действий и операций — ни логических, ни математических. Эти действия и операции мысленно производим над ними мы и только мы. Поэтому в той мере, в какой логика и математика касаются этих наших мыслительных действий и операций, эти науки суть науки о мышлении. И если допустить, что термин «психология» охватывает всю совокупность наук о душе, то как логика, так и математика, хотя и не полностью, но в той степени, в какой они имеют дело с мыслительными действиями и операциями, должны считаться частями психологии.
Summary
The article deals with the subject of logic, with the limits of its application, and with the connection of logic and mathematics.
1 Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М, 1959. С 48.
2Там же.
Статья поступила в редакцию 7 апреля 2004 г.
