CC BY
45
С. М. Ермаков, Е. А. Лебедев
О ПОВЫШЕНИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО В ЗАДАЧАХ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
1. Введение. Широкий класс моделей финансовой математики связан с системами стохастических дифференциальных уравнений (далее СДУ). Вычисление достаточно сложных функционалов на траекториях случайных процессов, определяемых этими уравнениями, в общем случае не может быть осуществлено аналитически. Как правило, в такой ситуации используются методы Монте-Карло (далее ММК). Этим объясняется большое число публикаций (в том числе монографий), посвященных ММК в задачах финансовой математики.
Как обычно, при использовании ММК важную роль играют методы понижения дисперсии. Применительно к упомянутым задачам, большинство таких методов подробно обсуждаются в литературе [1]. Однако такому универсальному методу, как метод ветвления и (американской) рулетки (далее ВР) не уделяется должного внимания.
ВР-метод состоит в том, что в некоторые промежутки времени траектории процесса расщепляются и, тем самым, с большей тщательностью можно рассматривать определенные области фазового пространства. Метод имеет много общего с методом существенной выборки, но при его реализации в ряде случаев проще использовать априорную информацию, имеющуюся у исследователя. К тому же достаточно просто осуществить предварительный численный эксперимент, позволяющий судить о «ценности» траектории по отношению к данному функционалу. Не последнюю роль также играет простота и универсальность алгоритма. Заметим, что он без особых изменений может применяться в моделях, использующих дробное броуновское движение.
Модели финансовой математики используют стохастические дифференциальные уравнения вида
дХ (г) = ^(Х (€))дЬ + а(Х (€))дШ (г)
или системы таких уравнений, здесь вектор X(£) есть изменение форвардной кривой, ц — вектор дрейфа, а — матрица волатильности, а ^ — стандартный процесс броуновского движения. Мы используем обозначения и определения, принятые в стандартных руководствах по финансовой математике (например, [3]).
Традиционный подход описания поведение кривой доходности с помощью факторных моделей состоит в построении правдоподобной модели краткосрочной процентной ставки и получении с ее помощью текущей кривой доходности и траектории, согласно которой она может развиваться в будущем. После этого параметры модели выбираются таким образом, чтобы она отражала рыночные данные насколько это возможно. Однако существуют и другие подходы, которые отталкиваются от рыночных данных, таких как текущая временная структура процентной ставки, считающихся заданными, и позволяют получать неарбитражную модель кривой доходности так, чтобы она полностью соответствовала данным. (Мы говорим, что модель является арбитражной, если при ее построении в явной форме используется условие отсутствия арбитража. Когда это условие при построении модели явно не используется, ее принято называть неарбитражной, хотя и в этом случае арбитраж также исключается.)
© С. М. Ермаков, Е. А. Лебедев, 2006
2. Структура ИЛМ модели. Существует класс моделей временной структуры, который получается посредством использования процессов Ито для моделирования изменений всей кривой форвардной ставки. Для дискретного времени Хо и Ли предложили модель, которая автоматически приспосабливается к исходной временной структуре. Хит, Джарроу и Мортон распространили ее на случай непрерывного времени. В ШМ-модели в качестве вектора состояния принимается вся кривая форвардной ставки и предполагается, что ее изменение вызывается конечным числом стандартных броуновских движений. Подробный теоретический анализ этой модели мы не будем проводить, его можно найти в ряде книг [4, 5]. Приведем лишь краткое описание ЩМ-модели. Отметим что, как правило устанавливаются ограничения на коэффициент сноса процессов форвардной ставки для гарантии того, чтобы не появилось никаких арбитражных возможностей. ЩМ-модель не требует оценок коэффициента сноса или ожидаемых изменений ставок. Вообще в рамках этой модели процесс краткосрочной ставки (мгновенной спот ставки), лежащий в основе цен облигаций, является зависимым вдоль траектории, и изменения краткосрочной ставки могут зависеть от всей ее истории. Это делает модель трудной для реализации на вычислительной машине.
3. Аналитическое описание модели. Рассмотрим сначала непрерывную версию, а затем перейдем к дискретной, используемой при моделировании. Пусть вектор-функция / (Ь, т) является мгновенной непрерывной форвардной ставкой от момента Ь до момента т, с 0 < Ь < т < Т* для некоторого конечного срока погашения Т*. Пусть В(Ь, т) есть цена облигации в момент Ь с выплатой 1$ в момент т. Тогда
тем самым, мгновенная ставка в момент Ь определяется как т(Ь) = /(Ь,Ь).
Метод ЩМ определяет изменение форвардной кривой [/(Ь, т), Ь < т < Т*] на интервале времени 0 < Ь < Т*. Для ^-факторной модели ^ является !-мерным стандартным процессом броуновского движения. В условиях отсутствия арбитража динамика форвардной кривой при нейтральной к риску мере имеет форму
где а(Ь,Т) — ! х ^-матрица для каждого Ь и т. Коэффициент сноса, указанный в (1), гарантирует, что дисконтированная цена облигации
есть мартингал в точке Ь, что является условием отсутствия арбитража.
Рассмотрим дискретный аналог изменения форвардной кривой — величину Г (і,і) на интервале [іАЬ, (і + 1)АЬ] со сроком заключения контракта в момент іДЬ:
и
$ (Ь,т )= \а(Ь,т)' а(Ь,п)йп
А + а(Ь, т)' дШг,
(1)
г
(2)
1 Аз+1)Аг
Р{і,з) = у д /(*Ді,м)<ім.
Алгоритм моделирования для форвардной кривой, основанный на дискретизации (1), имеет форму
где дискретный коэффициент сноса а^ выбран так, чтобы в модели не было условий для арбитража; —дискретный аналог волатильности а(ї,г) и ,■■■ являются
независимыми N (О,!) векторами, а именно
Этот выбор гарантирует, что дискретные дисконтированные цены облигации ВіВ(і,з) (дискретные аналоги (2)) — мартингалы в і, и тем самым после дискретизации модель сохраняет условие отсутствия арбитража.
Будем использовать начальные условия, описанные в работе [5], где рассматривалась трехфакторная модель и применялся метод существенной выборки и для оценивания дисконтированной стоимости облигаций, и для более сложных финансовых инструментов, и рассмотрим задачу о вычислении вероятности выхода нашей кривой за определенный уровень (задача «превышение уровня»). Подобного рода задачи очень часто возникают на практике.
Для простоты будем рассматривать только однофакторную модель, когда изменения форвардной ставки вызваны только одним броуновским движением. Задаем форвардную кривую в начальный момент следующим образом:
Случай ! = 1 значительно проще, чем ! = 3, рассматривавшийся в [5], но он вполне достаточен для иллюстрации предлагаемого численного метода. Имеем
Решение задачи о «превышении уровня» рассматривается с использованием алгоритма ветвления. Общую схему метода ветвления можно найти, например, в монографии [2].
4. Метод ветвления и рулетки. Для исследования нам необходим численный эксперимент как средство для получения априорной информации. Вопрос о планах имитационного эксперимента достаточно подробно освещен в цитируемой выше монографии. Для задач, связанных с моделированием цепей Маркова, вводится понятие процесса ветвления и рулетки. Известно, что ветвление может производиться по разным параметрам. В рассматриваемых ниже примерах ветвление траекторий производилось в
Р(і + 1,1) = Р(іл) + а^Аі + {к)гі+1 (к), і < j <Т, і = 0, 1,2, ...,
к=1
2
'з-і
21
(4)
к=1 \і=і
1=і
^(0,]) = ^(150 + 12])/100, з = 0,1,...
(5)
и
а]) = 0.12 + (]/81)[1 - (з/81)]4, з = 0,1, ■■■■
(6)
+ ацМ + л/АЇві^і+і, i<j<T, * = 0,1,2,...,
определенные моменты времени (еще называемыми барьерами), кратные шагу ДЬ на всем промежутке. Начиная с начального момента до срока погашения Т при достижении барьера траектория расщепляется на к новых траекторий, каждой образовавшейся траектории приписывается статистический вес р\ > 0, ^\ Р\ = 1. В каждой конкретной задаче моменты ветвления, количество барьеров, число к траекторий в моменты ветвления, и статистический вес р1 определяются согласно требованиям, поставленным в рассматриваемой задаче. Процедура рулетки подразумевает отбор «перспективных» траекторий и заключается в следующем. При достижении траекторией очередного барьера происходит проверка, удовлетворяет ли траектория некому заданному критерию.
Поскольку в рассматриваемой задаче оценивается функционал на марковских траекториях, описываемый СДУ, для них и применялась эта техника. Известно, что для СДУ дисперсия случайных величин, определяющих траекторию, растет пропорционально времени Ь. Поэтому можно высказать гипотезу о том, что техника ветвления траекторий, приводящая к увеличению числа ветвей траектории с ростом времени, может принести пользу даже без применения техники «рулетки».
Поскольку на моделирование траекторий требуется существенно больше времени, возникает вопрос о выигрыше в вычислительной работе при применении ветвления. Этот вопрос решался путем сравнения величин ~ш> И где -0®т
означают, соответственно, дисперсию с ветвлением и без него, а ,Кгт —работу, затраченную на процедуру с ветвлением и без.
Величины ,Огт были получены путем моделирования. В качестве меры сравнения работ была положена общая длина траектории, составленная из элементарных частей длиной 1. За элементарную часть был положен промежуток ДЬ.
Рассмотрим результаты, полученные при проведение экспериментов для процедуры ветвления без рулетки.
Для модели со сроком погашения Т = 8 лет, шагом ДЬ = 1 при различных уровнях выхода и с одним барьером (Ь = 4):
Уровень выхода \/ ^гт /1 К/', г /^гт среднее
Ь=0.02 1.192 1.5 1.94
Ь=0.06 1.41 1.5 0.60
Ь=0.1 1.52 1.5 0.04
Для модели со сроком погашения Т = 8 лет, Ь ДЬ м о г а ш = 1 при
выхода и с двумя барьерами (Ь = 3, 5):
Уровень выхода \/ ^гт /1 К/', г /^гт среднее
Ь=0.02 2.004 2.333 1.94
Ь=0.06 1.984 2.333 0.61
Ь=0.1 2.058 2.333 0.04
Для модели со сроком погашения Т =12 лет, шагом ДЬ = 1 при
выхода и с одним барьером (Ь = 6):
Уровень выхода \/ 11 К/; г /^гт среднее
Ь=0.02 1.419 1.5 4.41
Ь=0.06 1.403 1.5 1.92
Ь=0.1 1.440 1.5 0.34
Для модели со сроком погашения Т =12 лет, шагом ДЬ = 1 при
1 при различных уровнях
выхода и с четырьмя барьерами, расположенными равномерно по всему промежутку [0, Т] (ь = 3, 5, 7, 9):
Уровень выхода \/^гт/ ^Киг Iг/1' /т среднее
Ь=0.02 3.916 6.2 4.41
Ь=0.06 3.925 6.2 1.89
Ь=0.1 3.838 6.2 0.37
Для модели со сроком погашения Т =12 лет, шагом ДЬ = 1 при различных уровнях выхода и с четырьмя барьерами, первый из которых расположен на середине промежутка [0, Т] (Ь = 6, 8, 9,10):
У ровень выхода \/ ^гт / ^Киг I г /1' / т среднее
Ь=0.02 3.986 3.7 4.40
Ь=0.06 3.856 3.7 1.91
Ь=0.1 3.902 3.7 0.37
Решение задачи с помощью только процедуры ветвления при малых сроках погашения не показательно, так как дисперсия мало зависит от Н, но ее предварительное изучение позволило сделать ряд выводов о характере ветвления. А именно, для данной задачи с ростом времени необходимо увеличивать частоту ветвления траекторий (этот факт отражен в последних двух таблицах).
Опишем пример, в котором реализована процедура ветвления и рулетки для модели со сроком погашения Т = 20 годам и шагом ДЬ = 1. В связи с вышесказанным, отметим, что в данном конкретном примере целесообразно проводить более тщательное ветвление (задавать барьеры) в моменты времени, близкие к концу промежутка (моменту погашения).
В связи с этим замечанием процедура состоит в следующем. В начальный момент рассматривается одна траектория, первый барьер находится в точке Ь = 10, траектория расщепляется на две, статистический вес каждой из которых соответственно равен 1/2. Следующий барьер находится в точке Ь = 15; к данному моменту существует всего две траектории и никакого отбора на данном этапе не осуществляется. Каждая из пришедших траекторий делится на три, статистический вес каждой из образованных траекторий соответственно равен 1/6. Следующий и последний барьер находится в точке Ь = 18. На данном уровне проводится процедура отбора «перспективных» траекторий по следующему критерию: среди пришедших шести траекторий отбирается две, вносящие наиболее весомый вклад в среднее, каждая из которых в дальнейшем расщепляется на две новые с соответствующим статистическим весом, равным 1/12. Среди оставшихся четырех случайным образом производится розыгрыш и выбирается одна, которой приписывается суммарный вес всех — 2/3. Эта траектория также подвергается расщеплению на две новых; статистический вес образовавшихся траекторий — 1/3.
В результате описанной процедуры для данного примера были получены следующие результаты:
У ровень ВЫХОДа у ! Л т / ^ КИг 1 ‘ /И г / 1 ‘ гт
Ь=0.03 5.424 2.444
Ь=0.06 5.463 2.444
Ь=0.09 5.466 2.444
Результаты, приведённые в таблице, показывают, что применение ВР-метода в некоторых задачах финансовой математики может действительно оказаться эффективным.
S. M. Ermakov, E. A. Lebedev. On the increasing of efficiency of Monte Carlo methods in financial mathematics problems.
The branching — roulette method, which is a universal variance reduction technique, is considered for HJM model example.
Литература
1. Sergei M. Ermakov and Viatcheslav B. Melas. Design and Analysis of Simulation Experiments. London: Kluwer, 1995. 198 p.
2. Ермаков С.М. Статистическое моделирование. Ч. 2. СПб., 2004.
3. Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков. Ч. 1. Минск, 1999.
4. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure on interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. Vol. 60. N1. P. 77-105.
5. Glasserman P., Heidelberger P., Shahabuddin P. Importance Sampling in the Heath-Jarrow-Morton Framework // The Journal of Derivatives. 1999. P. 32-50.
Статья поступила в редакцию 16 февраля 2006 г.
