CC BY
12при t G
T
; T
VVmax + kR\^po + - kR\yо +
nAR nt , AR nt + —cos-,
nAR nt k n2M
9 ^ sm — + A/i ( — —
2T
T
5T 2
cos ■
irt
Программа вырабатывается нервной системой благодаря многократному повторению саккадического движения и его коррекции. Поэтому значения физиологических параметров, необходимых для реализации программы движения, определяются опытом и постоянно корректируются при каждом повторении саккады. В работе [8] о процессе выработки двигательных навыков сказано следующее: "... координация есть не какая-то особая точность или тонкость эффекторных нервных импульсов, а особая группа физиологических механизмов, создающих непрерывное организованное циклическое взаимодействие между рецепторным и эффекторным процессом".
Таким образом, мышечное управление для каждой саккады строится на основе опыта, приобретенного в прошлом, путем определения значений свободных параметров — амплитуды А и длительности Т. При этом информация от экстраокулярных механорецепторов не используется.
Такой способ построения закона управления может быть использован для математического моделирования программной динамики глазодвигательного аппарата при саккаде.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00809.
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Митькин А.А., Сергиенко Е.А., Ямщиков А.Н. Некоторые формы поведения в раннем онтогенезе человека // Системный анализ механизмов поведения. М.: Наука, 1978. 58-69.
2. Ciuffreda K.J.J., Kenyan R.V., Stark L. Abnormal saccadic substitution during small-amplitude pursuit tracking in amblyopic eyes // Invest. Ophtalmol. Vis. Sci. 1979. 18, N 5. 506-516.
3. Ran S., Rabinsan D.A., Skavenski A.A. Saccades and quick phase of nystagmus // Vis. Res. 1972. 12, N 12. 2015-2020.
4. Гуревич Б.Х. Движения глаз как основа пространственного зрения и как модель поведения. Л.: Наука, 1971.
5. Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления движениями. М.: Наука, 1979.
6. Egerstedt M., Martin C. A control theoretic model of the combined planar motion of the human head and eye // Appl. Math. and Comput. 1998. 60. 61-95.
7. Коренев Г.В. Введение в механику человека. М.: Наука, 1977.
8. Бернштейн Н.А. Биомеханика и физиология движений / Под ред. В. П. Зинченко. М.: Институт практической психологии; Воронеж: НПО "МОДЭК", 1997.
Поступила в редакцию 15.03.2010
УДК 539.3
О ПОСТРОЕНИИ ТЕНЗОРА ЭШЕЛБИ ДЛЯ СЛАБОАНИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
В. А. Березкин1
Представлен способ построения внутреннего тензора Эшелби для слабоанизотропной упругой среды.
Ключевые слова: тензор Эшелби, сферическое включение, слабая анизотропия.
A method of constructing the internal Eshelby tensor for a weak anisotropy elastic medium is proposed.
Key words: Eshelby tensor, spherical inclusion, weak anisotropy.
1 Березкин Василий Александрович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
В задаче [1,2] о деформации сферического включения О/ радиуса а, вложенного в сферический элемент объема О радиуса А, поле собственных деформаций (свободных деформаций) включения известно:
£* з (X) =
х е О/; 0, х е О/О/.
Стесненная деформация включения может быть найдена по формуле [3]
<4-(х) = ~е*тп J Ск1тп(Оым(х - у) + - у)) Й0У.
(1)
В случае изотропной среды Скг — тензор перемещений Кельвина. В терминах тензоров Эшелби соотношение (1) можно переписать так:
£г3(х) — Згры^ы, х е К ,
где
1 (
П
Тензоры Эшелби, как известно, бывают внутренними и внешними в зависимости от положения точки х:
Згрк1(
Б1]к1(х), х е О/;
х)
^Ы(х), х е К3/О/.
Для кристалла кубической системы тензор модулей упругости имеет вид [4]
Ск1тп — Л^к1^тп т т )+Х
р=1
(2)
где Л и ц — постоянные Ламе, а х — константа, обусловленная анизотропией. Тензор Грина в случае слабой анизотропии (х ^ Л, ц) следующий [4]:
- у) ^ 1в * . (3 - 4.) ^ + {Хк ~ " +
16пц(1 — V) г г3 2ц
4^ — 1 ({хк - Ук)2\ $кг
1
{Хк - Ук)2 + {Хг - Уг)2 \ (Хк~Ук)(Хг ~ Уг) 2г2 I г3
где г = л/ {Хг — у г) {х1 — Уг), а V — коэффициент Пуассона.
Решение простейших задач теории упругости для среды вида (2) показывает, что в состояние чистого сдвига третья константа по сравнению с изотропной средой изменений не вносит, зато связь между средним напряжением и дилатацией меняется и выглядит следующим образом:
а — (к + х/3)в,
где к — коэффициент объемного сжатия, а в — £кк — дилатация.
В результате громоздких выкладок отыскание тензора Эшелби сводится к вычислению интегралов типа I — ,/||у||<а f (х — у) йу (здесь речь идет о внутреннем тензоре Эшелби). Для данного вычисления система координат поворачивается так, чтобы точка х лежала на одной из осей:
у — щвг + Ни, ур — пгСц + Н
х
и
х х
— СуЦ-, с!^ — Уъ — [ 1 || || ] l^ljCJ'i.
(ег, ер) — 5гр, (ег, и) — 0,
Н
х
Далее интегрирование производится по дискам.
г
х
3
Перейдем в систему координат ui = r cos р, U2 = r sin p, при этом функция f будет иметь вид f (¿1,^2,d3) = g(di ,d2, d:i)/rk. Таким образом, исходный интеграл преобразуется к следующему:
а л/а2 —ti2- 2ж
f(di,d2 ,dз) dy = / f(di,d2 ,dз)rdpdrdh =
|<а
-а О a \/a2—ti2 2тт
Jg(di,d2, d3) díp^J dh,
-а О О d
rd = ^d\ + dl + d\ = Vr2 + (M-h)2,
(З)
где di могут быть найдены по формуле di = Xi(1 — Л,/||х||) — вцr cos р — C2ir sin р; вц и C2i - компоненты векторов ei и в2; вектор ei — любой единичный вектор, лежащий в плоскости xiyi + Х2У2 + x3y3 = 0, х = (x1 ,x2,Хз); e2 = [х х e1 ]/||х||. Пусть, например,
l
ei
xз О
;з xiy
Тогда
e2 =
x
VX1
Ciiki
-xix2 22
X2 + X2 = C2i ki.
з \ -X2Xз
В результате вычислений имеем всего четыре принципиально различные подынтегральные функции:
l
didj
didj dmdn
d3 dj dmdn
остальные получаются из них перестановкой и заменой одних индексов на другие. Вычисление производится по схеме, указанной в (3). Также заметим, что интегралы, в которых в числителе в качестве множителя присутствует cosk р sin' р, обратятся в нуль, если к или l нечетно, так как JQ п cosk р sin' р = 0 в том и только в том случае, когда к или l нечетно.
Ниже приведены результаты вычисления некоторых интегралов:
1 ( , (IMI — a
■ dÜv = -2тг 2 + In ^-
Ы1 + a
di dj !í~\ I 2 Xi Xj -é- rlü,, = 7Г —
5 " V 3 1Ы12 V3
+ ln
|x|| — a \x\\ + a
. 5 í ||x|I — a
+ U + ln i
3 V I|x|| + a
(Cii Cij + C2iC2j
Отметим, что геометрическая трактовка теории дислокаций в механике деформируемого твердого тела предложена в работе [5], проблема обращения тензора Эшелби подробно рассмотрена в [6].
Работа выполнена под руководством Д.В. Георгиевского.
l
l
з
5
7
9
r
r
r
r
d
d
d
d
2
r
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эшeлбu Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963.
2. rop6auee В.И., Мтайлов А.Л. Тензор концентрации напряжений для случая Ж-мерного упругого пространства со сферическим включением У У Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 78-83.
3. Sauer R.A., Gang Wang. The Eshelby tensors in a finite spherical domain. Part 1: Theoretical formulations У У ASME J. Appl. Mech. 2GG7. 74. 77G-772.
4. Лuфшuц И.М., Розeнцвeйг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упругоанизотропной среды ^ Журн. экспер. и теор. физ. 1947. 17. 783-789.
5. Победря Б.Е. О геометрической трактовке теории дислокаций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1964. № 1. 69-75.
6. Цвелодуб И.Ю. О тензоре Эшелби // Прикл. матем. и механ. 2010. Вып. 2. 346-351.
Поступила в редакцию 24.05.2010
Письмо в редакцию
В работе А. В. Влаховой, И. В. Новожилова, И. А. Смирнова "Математическое моделирование заноса автомобиля" (2007. №6) уравнения велосипедной модели автомобиля рассматривались для случая "закрепленного рулевого управления" в предположении малости отношения масс колеса и автомобиля. В связи с этим уравнение, задающее закон изменения угла поворота переднего колеса модели относительно корпуса, не выписывалось, а при формировании уравнений изменения кинетического момента автомобиля в целом не учитывались проекции кинетических моментов колес и изменение геометрии масс системы при их повороте.
А. В. Влахова, И. А. Смирнов
