CC BY
49
100
А. В. Сысоев
5. Князьков К. В., Ларченко А. В. Предметно-ориентированные технологии разработки приложений в распределенных средах // Там же. С. 36—43.
Константин Валерьевич Князьков
Сведения об авторе НИИ Наукоемких компьютерных технологий Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики; младший научный сотрудник; E-mail: [email protected]
Рекомендована НИИ НКТ
Поступила в редакцию 15.05.11 г.
УДК 519.853.4
А. В. Сысоев
О ПОСТРОЕНИИ СЕМЕЙСТВА МНОЖЕСТВЕННЫХ РАЗВЕРТОК НА ОСНОВЕ КРИВЫХ ПЕАНО ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЛОБАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО ПОИСКА
Предложена схема построения модифицированной множественной развертки на основе кривых Пеано. Схема позволяет многократно увеличить число используемых процессоров для параллельного решения задач глобально-оптимального поиска.
Ключевые слова: кривые Пеано, множественная развертка, параллельные вычисления, задачи глобальной оптимизации, модифицированная множественная развертка.
Отображения, называемые кривыми (развертками) Пеано, сопоставляют любой липши-цевой в гиперкубе Р = {у е : - 2-1 < у < 2-1, 1 < г < N} функции ф(у) одномерную функцию ф( у( х)), удовлетворяющую на отрезке [0, 1] равномерному условию Гельдера с показателем 1/N.
Алгоритм вычисления кривой Пеано с любой заданной точностью подробно описан, например, в работе [1]. Требуемая точность указывается целым числом М(номерразбиения), которое определяет допустимую максимальную погрешность оценки каждой координаты кривой у(х) для любого заданного значения аргумента х, равную 2-(М+1). Значения точек кривой сопоставляют равномерной с шагом 2-лМ сетке на отрезке [0, 1] равномерную с шагом 2-М сетку в гиперкубе Р.
Редукция многомерных задач глобальной оптимизации к одномерным с помощью разверток сохраняет непрерывность и равномерную ограниченность разностей при ограниченной вариации аргумента, однако теряет часть информации о близости точек в многомерном пространстве, поскольку у точки х на отрезке [0, 1] имеются две соседние точки, тогда как у соответствующей ей точки у(х) е Р — соседние по 2N направлениям.
Возможен следующий способ учета этой информации [2]. Вводится гиперкуб
Р0 ={у е RN : - 2-1 < у < 3 • 2-1, 1 < I < ^ (1)
с длиной ребра, равной двум, и семейство гиперкубов
Р ={у е RN : - 2-1 < у + 2-/ < 3 • 2-1, 1 < I < ^ ,1 < / < Ц (2)
где гиперкуб Р/+1 получается путем сдвига гиперкуба Р1 вдоль главной диагонали на шаг -2-/ по каждой координате, и для каждого гиперкуба Р/, 0 < / < Ц, вводится своя развертка у/(х)
О построении семейства множественных разверток на основе кривых Пеано
101
типа кривой Пеано, отображающая отрезок [0, 1] на этот гиперкуб. Приближенное построение развертки у/(х) для точности, соответствующей разбиению с номером М + 1, порождает в гиперкубе Р/ равномерную сетку с шагом 2-М по каждой координате.
Построенная множественная развертка позволяет естественным образом организовать параллельную схему поиска глобального оптимума, используя для расчетов с каждой из Ь разверток отдельный процессор. Однако масштабируемость в этом случае ограничена условием, которое накладывает приближенное построение каждой отдельной развертки, - Ь + 1 <= М. Это означает, что при точности построения развертки М = 10 возможно использование только десяти разверток, а значит, только десяти процессоров. Это ограничение существенно сужает возможности применения параллельных вычислений. Для его преодоления в настоящей работе предложена модификация исходной схемы, позволяющая строить семейство множественных разверток.
Рассмотрим двумерный случай. Левый нижний угол гиперкуба Р0 совпадает с левым нижним углом гиперкуба Р. Построим еще три множественные развертки, в каждой из которых положение базового гиперкуба Р0 выбирается так, чтобы у него с гиперкубом Р совпадал один из трех оставшихся углов. Нетрудно показать, что все четыре множественные развертки будут обладать одной, и только одной, общей разверткой, задаваемой в каждой из них гиперкубом
Р1 = {у е ЯЫ : -1 < у < 1, 1 < I < . (3)
Дадим общее описание правила построения каждой множественной развертки для произвольного N. Введем двоичную нумерацию множественных разверток, состоящую из N разрядов:
а = (а0,. ., «N-1), а =0,1. (4)
Пусть исходная множественная развертка имеет двоичный номер, в котором все разряды равны нулю. Для построения каждой множественной развертки достаточно задать описание базового гиперкуба Р0 и правила сдвига гиперкубов.
Базовый гиперкуб Р0 для множественной развертки с двоичным номером а будет задаваться как
Р0 ={у е^ : -2-1 -а,- <у + 2-/ <3• 2-1 -а,-, 1 <I <^, (5)
т. е. по тем разрядам, в которых в двоичном номере множественной развертки стоит единица, базовый гиперкуб будет иметь по соответствующим переменным границы (-3—1)-2-1, а по разрядам, равным нулю, границы по переменным будут (-1—3)-2-1.
Смещение остальных гиперкубов Р1, ..., РЬ в множественной развертке с номером а будет описываться вектором
р = (-2-/ •(-1)а0,...,-2-/ •(-^), (6)
т. е. по переменным, которым в двоичном номере множественной развертки соответствует единица, сдвиг будет выполняться на 2-/, а по остальным на -2-/.
Предложенная в работе модифицированная множественная развертка значительно повышает потенциал использования параллелизма в процессе поиска глобального оптимума. Так, уже для трехмерных задач при точности построения приближения развертки М = 10 общее число доступных разверток в семействе множественных разверток составит М • 2 - 1 = 79. В общем случае для задач размерности N при точности приближенного построения кривых Пеано М максимальное число разверток в семействе множественных разверток равно М • 2N - 1.
Работа выполнена в рамках ФЦП „Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2012 гг." и „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 гг.".
102
С. В. Мостаманди, Д. А. Насонов, А. А. Калюжная, А. В. Бухановский
список литературы
1. Стронгин Р. Г. Поиск глобального оптимума. М.: Знание, 1990.
2. Стронгин Р. Г. Параллельная многоэкстремальная оптимизация с использованием множества разверток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 8. С. 1173—1185.
Сведения об авторе
Александр Владимирович Сысоев — Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, кафедра математического обеспечения ЭВМ; ассистент; E-mail: [email protected]
Рекомендована НИИ НКТ Поступила в редакцию
15.05.11 г.
УДК 681.3.069, 681.324
С. В. Мостаманди, Д. А. Насонов, А. А. Калюжная, А. В. Бухановский
АНСАМБЛЕВЫЕ ПРОГНОЗЫ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СРЕДЕ СЬАУШЕ
Рассмотрены особенности применения среды СЬАУШЕ в задачах ансамблевого прогноза экстремальных гидрометеорологических явлений применительно к наводнениям в Санкт-Петербурге.
Ключевые слова: ансамблевый прогноз, ансамблевый фильтр Калмана, чувствительность прогнозов, распределенные вычисления, наводнения.
Оперативное прогнозирование гидрометеорологических процессов связано с проблемой учета неопределенности и неполноты исходных данных, что, в свою очередь, отрицательно сказывается на точности прогнозов и их заблаговременности. Применительно к экстремальным явлениям проблема усугубляется вследствие их редкой повторяемости, что не позволяет в полной мере воспользоваться ретроспективными данными для настройки прогностических моделей. Отчасти снизить влияние неопределенности можно с помощью процедуры оперативного усвоения данных наблюдений в моделях, однако качество усвоения зависит от того, насколько полно в данной процедуре используются априорные знания о поведении модели в различных ситуациях. Для получения этих знаний могут быть использованы разного рода адаптивные механизмы, основанные на уточнении процедуры усвоения по ходу поступления новой информации. Однако при прогнозировании экстремальных явлений (например, наводнений в Санкт-Петербурге [1]) для такой настройки требуется несколько лет оперативной эксплуатации. Другой подход заключается в использовании результатов непрерывных гидродинамических расчетов за несколько десятков лет. Его эффективность зависит от выбора климатического интервала; в частности, он применим только при стационарной межгодовой изменчивости моделируемого гидрометеорологического явления.
Альтернативой рассмотренным подходам является использование ансамблевых методов, в рамках которых влияние неопределенности на точность прогнозов исследуется непосредственно в оперативном режиме путем искусственного внесения стохастической изменчивости в исходные данные, граничные условия и параметры модели. Существуют различные варианты применения ансамблевых методов прогноза:
— интервальное оценивание прогнозов с заданной заблаговременностью для определения меры риска при принятии решений по прогностическим данным;
