CC BY
27
УДК 519.61+519.7
О ПОРЯДКЕ РОСТА ЧИСЛА ИНЪЕКТИВНЫХ И СВЕРХРАСТУЩИХ ВЕКТОРОВ И НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ СИЛЬНОГО МОДУЛЬНОГО УМНОЖЕНИЯ
Д. М. Мурин
В 1978 г. Р. Меркль и М. Хеллман [1] предложили знаменитую ранцевую криптосистему. В ее основе лежит преобразование сверхрастущего вектора A = (ai, a2,... , an)
(a Е N, i = 1,.. . , n) с помощью сильного модульного умножения относительно нату/ n n
рального модуля m Е ( ^2 ai, 2 ^2 ai и натурального множителя t Е (1, m) в инъек-
\i=1 i=1
тивный вектор B = (b1, b2, . . . , bn) (bi Е N, i = 1,... , n), который служит открытым ключом.
В настоящей работе рассматриваются вопросы о том, какую часть от множества всех возможных векторов размерности n составляют инъективные и сверхрастущие векторы, и о равномерности покрытия множества упорядоченных инъективных векторов размерности n векторами, полученными из сверхрастущих векторов с помощью операции сильного модульного умножения и процедуры сортировки элементов вектора по возрастанию. Определения понятий упорядоченного (возрастающего), инъективного и сверхрастущего вектора, сильного модульного умножения можно найти в монографии [2].
О порядке роста числа инъективных и сверхрастущих векторов
Обозначим через F1(n, M) число упорядоченных инъективных векторов размерности n, максимальный элемент которых равен M, а через F2 (n, M) —число сверхрастущих векторов размерности n, максимальный элемент которых равен M.
Число векторов с максимальным элементом M, имеющих размерность n, равно
n n(M — 1)n-1
У2 cn(M — 1)n-k, из чего можно заключить, что F1(n, M) ^ -----:--, т. е. F1(n, M)
k=1 n!
при фиксированном n ограничено сверху некоторым полиномом степени n — 1 от M.
Оказывается, что справедлива следующая
Теорема. При фиксированном n ^ 2 и M ^ 2n-1 выполняется неравенство
F1(n, M) ^ F2(n, M) ^ P(M), где P(M) —некоторый полином (n — 1)-й степени от M.
ч (M — 2n-1 + 1 w M — 2n-1 + 1 \n-2 1
Например, F2(n, M)^-------2^=2-------1Д------2™—-----/ при n^2 и M^2n 1.
Это позволяет заключить, что функции F1(n, M) и F2(n, M) ведут себя подобно поли, M F1(n,M) F2(n,M)
номам степени n — 1 от M, а пределы lim —-----------------, lim —---------------
M^ Е cn(m — 1)n-k £ cn(m — 1)n-k
k=1 k=1
при фиксированном n существуют, конечны и не равны 0.
Отметим, что F2(n, M) = 0 при фиксированном n ^ 2 и M < 2n-1.
О некоторых особенностях сильного модульного умножения
Рассмотрим множество сверхрастущих векторов размерности n, максимальный элемент которых строго меньше M. Операция сильного модульного умножения с модулем m ^ M с последующим применением процедуры сортировки элементов вектора по возрастанию отображает указанное множество во множество упорядоченных инъективных векторов размерности n, максимальный элемент которых строго меньше M.
Обозначим через F3(n, < M) число упорядоченных инъективных векторов размерности n, максимальный элемент которых строго меньше M (т. е. мощность множества упорядоченных потенциальных векторов шифрования).
Обозначим через F4(n,< M) число различных упорядоченных инъективных векторов размерности n, полученных с помощью сильного модульного умножения относительно модуля m и всех возможных множителей 1 < t < m из сверхрастущих векторов размерности n, максимальный элемент которых строго меньше M, при условии, что для каждого сверхрастущего вектора A = (ai,... , an) модуль m пробегает
n n
интервал (^ aj, min(2 a»,M)]. Таким образом, F4(n, < M) —мощность множества
i=1 i=1
упорядоченных действительных векторов шифрования.
Различные тройки (сверхрастущий вектор, модуль, множитель) могут определять один упорядоченный инъективный вектор. Число троек, определяющих один упорядоченный инъективный вектор, назовем числом представлений данного вектора.
Обозначим через F(n, < M) отношение F4(n, < M)/F3(n, < M).
Проведенные вычислительные эксперименты позволяют выдвинуть следующую гипотезу.
Гипотеза. При фиксированном n £ N значение F(n, < M) достигает 0,9 при значениях M, близких к 22n.
Так, при n = 3 и 4 значение F(n, < M) достигает 0,9 при M = 22n-2 + 2n — 1.
В ходе проведения компьютерных экспериментов установлено, что в результате применения к сверхрастущим векторам операции сильного модульного умножения (при выборе модуля и множителя описанным выше способом) с последующим применением процедуры сортировки элементов вектора по возрастанию чаще получаются векторы, имеющие малую евклидову длину. На рис. 1 приведены результаты одного из экспериментов для n = 3 и M = 34. Каждому натуральному числу на оси Ln соответствует упорядоченный инъективный вектор. Меньшим натуральным числам соответствуют векторы с меньшей евклидовой длиной. По оси Representation number отложено число представлений упорядоченного инъективного вектора.
Рис. 1. Число представлений упорядоченных инъективных векторов при п = 3, М = 34
ЛИТЕРАТУРА
1. Merkle R. C. and Hellman M. E. Hiding information and signatures in trap-door knapsacks // IEEE Trans. Inform. Theory. 1978. V. IT-24. P. 525-530.
2. Саломаа А. Криптография с открытым ключом. М.: Мир, 1995. 318 с.
УДК 512.542.74
ОПИСАНИЕ КЛАССА ПОДСТАНОВОК, ПРЕДСТАВИМЫХ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ПОДСТАНОВОК С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ МОБИЛЬНЫХ ТОЧЕК. II
А. Б. Пичкур
Пусть подстановка G Є Sn, T(G) С {1,... , N} — множество мобильных точек подстановки G, 2 ^ q ^ N, rN(q) = {G Є SN : |r(G)| = q} — множество всех подстановок степени N, имеющих ровно q мобильных точек.
В предшествующей работе (см. [1]) полностью описано строение множества rN (q) ■ ГN (q) при 4 ^ q ^ N/2 и N ^ 8.
В данной работе описано множество всех подстановок из Tn (q) ■ Tn (q +t) при t ^ 1. Этот результат имеет практические приложения в криптографии.
Сначала приведём результаты о строении множества Tn (q) ■ Tn (q + 1). Утверждение 1. Если N ^ 6, 2 ^ q1 < q2 < N, то имеет место включение
Tn(qi) ■ Tn(q2) С Tn(qi + 1) ■ Tn(q2 + 1).
Теорема 1. Пусть N ^ 8, 3 ^ q ^ N/2, G Є SN. Если 1 < |T(G)| ^ 2q — 1, то существуют подстановки H1 Є Tn (q), H2 Є Tn (q + 1), для которых выполняется равенство G = H1 ■ H2.
Далее рассмотрим, какие подстановки из множеств Tn(2q +1), Гn(2q) принадлежат произведению Tn(q) ■ Tn(q + 1).
Утверждение 2. Пусть N ^ 4, 2 ^ q < N/2, подстановка G Є Tn(2q + 1) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны m1 , ш2,... , шг,
r
E Ші = 2q + 1. Подстановка G принадлежит множеству Tn(q) ■ Tn(q + 1) в том и
i=1
только в том случае, когда существует такое подмножество {¿1,...,г^} С {1,... , r}, что Ші1 +-+ Шік = q.
Утверждение 3. Пусть N ^ 4, 2 ^ q ^ N/2, подстановка G Є Tn(2q) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны ш1 ,ш2, ... , mr,
Г
ші = 2q. Подстановка G принадлежит множеству Tn (q) ■ Tn (q + 1) в том и только
i=1
в том случае, когда выполнено условие: существует ¿0 Є {1,... , r} и существует такое подмножество {¿1,... , } С {1,... , r} \ {¿0}, что ші0 > 2 и q — ші1 + ші2 + ■ ■ ■ + mik Є
Є {2,... , Шіо — 1}.
Итак, в теореме 1 и утверждениях 2 и 3 полностью описано строение множества Tn(q) ■ Tn(q + 1) при 3 ^ q ^ N/2.
Наконец, приведем результаты о строении множества Tn (q) ■ Tn (q +1), t ^ 2.
Теорема 2. Пусть N> 10, 2 ^ t < N — 2, 2 ^ q< (N — t)/2 + 1, G Є SN. Если t ^ |T(G)| ^ 2q + t — 2, то существуют подстановки H1 Є Tn(q), H2 Є Tn(q + t), для которых выполняется равенство G = H1 ■ H2.
