О ПОРОГАХ КАВИТАЦИИ В ВЫСОКОВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.29:532.52

Асташкин Ю.С.

Россия, г. Тверь

0 ПОРОГАХ КАВИТАЦИИ В ВЫСОКОВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ

ЖИДКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ

Пороги кавитации в глицерине при воздействии на глицерин коротких прямоугольных, синусоидальных импульсов и их последовательностей рассчитывались по численному решению уравнения Флинна и аналитических приближений с применением дифференциального критерия коллапса пузырька.

Ключевые слова: порог кавитации, высоковязкая жидкость, короткие импульсы. Критерий коллапса пузырька, уравнение динамики пузырька Флинна.

Astashkin U.S.

THRESHOLDS OF CAVITATION IN HIGH VISCOUS NEWTONIAN LIQUIDS, CAUSED SHORT PULSES

The thresholds of cavitation in glycerol, caused short rectangular, sinusoidal and series of pulses were calculated by numerical solution of Flynn equation and analytical approximation with application of the differential criterion for a bubble collapse.

Key words: threshold of cavitation, high viscous liquids, short pulses, criterion of a bubble collapse, Flynn equation of bubble dynamic.

В предлагаемой работе порог кавитации в поле переменного давления определялся величиной дифференциального критерия коллапса пузырька -c = U(t)R(t)/8v, его обоснование и тестовый пример применения для случая однопузырьковой сонолюминесценции был дан в работе [1,2]. Дифференциальный критерий коллапса пузырька [1] и безразмерная величина Re = U(t)R(t)/v, где U(t) - скорость движения стенки пузырька м/сек, R(t) - текущее значение радиуса пузырька - м, v = ц/р -кинематическая вязкость, 77 - динамическая вязкость - Pac отличаются только постоянным коэффициентом - 8. Текущие значения указанных величин и пороговые давления для пузырьков с начальным радиусом R0 =

1 + Юмкм определялись по численному решению уравнения динамики кавитационного пузырька Флинна [3], а в отдельных случаях - уравнения Нолтинга-Непарайса [4].

Пороги пузырьковой кавитации при длительности коротких прямоугольных 30-50 мкс находятся в интервале умеренных для глицерина ультразвуковых полей (Р т < 20) бар. Величина у в умеренных звуковых полях может быть принята равной отношению теплоемкостей: у = cp/cv [5]. Давление насыщенных паров у глицерина очень низкое Ps = Ю-3 тора и влиянием испарения и конденсацией пара и в парогазовом пузырьке в

процессе сжатия при малых числах Маха можно пренебречь, приняв давление пара равным Pp = Ps. На основании этого при расширении пузырька принято 7 = 1, при сжатии у = 4/3.

Сдвиговая вязкость чистого глицерина сильно зависит от температуры, а его растворов и от концентрации. Эта зависимость для слабых растворов существенно проявляется при изменении концентрации всего на один процент даже при достаточно высокой степени концентрации растворов Ск > 95% (табл.1).

В работе [6] было получено аналитическое выражение для определения порога кавитации в высоковязкой жидкости на основании анализа уравнения Нолтинга - Непайраса для сферического пузырька [4,7-9]. Это уравнение было принято в виде [6]:

z0 = -1(Р0-рр- sm(vt)) , (2)

где t- время, R- текущий радиус пузырька, R0 - начальный радиус пузырька, а - поверхностное натяжение, P0 - гидростатическое давление, ш = 2nf - круговая частота, f - частота возбуждения.

Для случая воздействия прямоугольных импульсов растяжения и сжатия длительностью: T/2, где T=2n/w [6]:

Z0 = -1p(P0-Pp-Pm), (3)

при условии, что время расширения пузырька: т < Т/2.

По оценкам, проведенным в работе [6, 417 с], критическая длительность импульса тсг = pR2/n и соответственно частоты - fcr = ц/2 pR2 . где R - характерный размер радиуса пузырька при расширении пузырька [6]. Для глицерина при значениях R =500 мкм, fcr = 25 кГц, f < fcr и вязкий член больше инерционного [6].

Время расширения пузырька не будет превосходить T/2 при условии

[6]:

Pm>Po-Pp + 8r1fln?~ , (4)

но

где Pm - амплитуда давления.

Аналитическое выражение для порога кавитации в вязком режиме P^ примет вид [6]:

Pri = P0-Pp + 8r]fln^, (5)

Неравенство (4) будет справедливо и при значениях радиуса меньших характерного радиуса R , что справедливо и для максимального радиуса при расширении пузырька Rm. Используя условие (4) определим зависимость отношения Rm/R0 от амплитуды давления:

Pm = Po - Pp + 8]fln^ , (6)

И выражение для отношения:

Ят/Я0 = ехрр-^) (7)

В работе [6] не было приведено сопоставления результатов расчета порога по аналитическому выражению (5) с результатами численных расчетов уравнения Нолтинга - Непайраса. Поэтому практический интерес представляет сравнение значений порогов кавитации, полученных по выражению (5) и значений отношения Ят/Я0 (7) с соответствующими значениями, полученными при численных расчетах уравнения Нолтинга -Непайраса [4] и уравнения Флинна [3].

В уравнении Флинна для расчета пульсаций кавитационного пузырька, используется учет сжимаемости в первом приближении, при условии, что скорость движения жидкости вне пузырька - иг меньше скорости звука -с0: иг/с0 « 1.

В предлагаемой работе уравнение Флинна принято в виде:

И1-^)*™ <8>

Давление на бесконечности при синусоидальном давлении [7-9] Рт = Р0 — Рт5т(ш£). Давление на поверхности пузырька:

Р(Ю=Р И-И™ ,

4 ' 9 Я Я М

давление газа внутри пузырька с поправкой, следующей из закона Ван дер Ваальса [10-11 ]:

<9)

где, к = -0 , а=8,54 для воздуха и 8,86 для аргона [10-11].

Если обозначить правую часть уравнения (8) - Qd (инерционные

\ - /-> 4-п йЯ _ Qd ^

члены), а вязкий член - =--, то при значении их отношения цг = — >

0,5 как показано ниже, реализуется коллапс пузырька.

Как показывают расчеты, учет сжимаемости в уравнении Флинна [3] позволяет более точно определять числа Маха в жидкости при сжатии пузырька, чем уравнение Релея - Плессета, которое точно описывает поведение газа внутри пузырька [10,11].

Сопоставление численных решений уравнения Флинна [3] с результатами численных решений уравнения Кирквуда - Бете - Джилмора [7-9], проведенное в [12] показало совпадение результатов расчетов пульсаций пузырьков в вязкой жидкости для ряда моделированных функцией Хевисайда импульсов давления. Следует отметить, что в [12] второй член в правой части уравнения Флинна приведен со знаком «-» вместо знака «+».

Выражение для давления на бесконечности: Рт = Р0 - Р(£) в случае биполярных прямоугольных импульсов примет вид [12]:

Роо =Р0-Рт$Н , (10)

где БН = Н(€) — 2Н — + — Т) для биполярного импульса

Г 2,

[12], Н - функция Хевисайда. Как известно, функция Хевисайда относится к обобщенным функциям, дифференцируема и используется в моделировании сигналов различной физической природы [13]. Сопоставление результатов численных расчетов пульсаций пузырьков при воздействии импульсов, моделированных функцией Хевисайда, с численными расчетами и экспериментальными данными однопузырьковой сонолюминесценции приведено в тестовых примерах [12] .

Начальные условия при: ¿=0, = 0, Я(0) = Я0 (11).

Как видно из рис.1 а,Ь в обоих случаях пузырек расширяется за полпериода 1=Т/2 (25 мкс), но в фазе сжатия в случае биполярного импульса при 1=Т радиус пузырька Я(Т) < Я0, а под действием однополярного импульса при =Т, Р(Т) > Я0, и следовательно эффективность трансформации энергии, запасенной пузырьком за время его расширения, снижается за счет более длительной фазы сжатия ¿>772.

а Ь

Рис. 1аб. Расширение и сжатие кавитационного пузырька в глицерине (выделено голубым цветом). а) под действием биполярного и Ь) однополярного коротких импульсов (выделены красным цветом). У = 4/3

Проведенные расчеты с использованием численных решений для слабых ультразвуковых полей ^ 2 бар показало, что значения отношения Ят/Я0 < 2,5 в этом случае слишком малы для возникновения кавитации в глицерине и в его растворах (95^99%) (табл.1).

Таблица 1. Вязкость глицерина и зависимость отношения радиусов пузырька Пт/ п от вязкости Ч и концентрации глицерина в водном растворе

при амплитуде Р 2 бара, температуре 1 - 2°°с, ? - 20 кГц [14 ].

С,% к вес 100 99 98 97 96 95

Ч Ра с 1,49 1,194 0,971 0,802 0,659 0,543

р кг/м3 1261 1259 1257 1254 1252 1249

Кт/^О 1,62 1,76 1,91 2,0 2,34 2,54

На рис.2а,Ь приведены результаты расчета значений отношения К-т/К0 и порогов кавитации в глицерине, полученных по аналитическому выражению (7) и численных решений уравнения (8). Значения свойств: П=1,49, а"=5,49-10-2 Н/м, у=1. Как видно из рисунка 2 а,Ь значения

отношения Пт/ п°, определенных по формуле (7) и полученных при численном решении уравнений (1,8) для случая чистого глицерина Ч-1,49 Ра-с и прямоугольных импульсов

а

Ь

Рис.2а,Ь а). Зависимость отношения - Пт/п от амплитуды давления -

Рт ~10 бар. Сплошная кривая рассчитана по формуле (7). Квадратами обозначены результаты численного расчета уравнения Нолтинга -Непайраса и уравнения Флинна для прямоугольных импульсов, многоугольниками - для случая синусоидальных импульсов.

п

Ь) Зависимость максимального радиуса - т от амплитуды давления -

Рт по выражению (7) - кривые 1, 2, 3 при величине п -1, 4,5, 10 мкм соответственно.

в интервале умеренных ультразвуковых полей 2-10 бар совпадают с с точностью графического выполнения рис.2а. Для случая синусоидальных импульсов расхождения нарастают при превышении

амплитуды

Р > 4

бар, а при амплитуде

Р. > 1°

бар величина

К / П°

меньше в

три раза. чем для случая прямоугольных импульсов (рис.2Ь). Это означает, что выражение (7) применимо только для случая прямоугольных импульсов.

Для определения порога кавитации в работе [6] использовалась характерная величина 1 - - - - мкм, имеющая смысл критического радиуса.

Значение критического радиуса можно уточнить, если использовать известное из литературы выражение для критического радиуса пузырька, расширяющегося в высоковязкой жидкости:

Ясг

( 3у ) Ро

-1 + /1 +

24у^2Ро

(3у-1)2ст2р

(12)

Для глицерина при значениях параметров (табл.1) Ясг = 265 мкм. Выражение для порога кавитации, полученное с учетом поправки (9),

в данной работе имеет вид :

8 / ез^з \У

Р, = Ро-Рр+-3лГ1п(-^) .

(13)

В фазе расширения пузырька при у=1, в выражении (13) Д = Я

сг-

а

Ь

Рис.3 Пороги кавитации в глицерине для случая прямоугольных импульсов.

a) Кривые -1, 2 рассчитаны выражению (13), кривая 1- при значении вязкости 7 = 1,49, кривая 2 при вязкости 77 =Ра • с, результаты численных расчетов по уравнению (5) при У = 1 обозначены квадратами.

b) зависимость порогов кавитации от начального радиуса в пределах

0,5 -5 мкм, рассчитанные по выражению (13) кривая 1 77 = 149 кривая 2 77 = 1.194 Ра • с.

Анализ результатов (Рис. 3 а,Ь) показывает, что при снижении концентрации глицерина в водном растворе всего на 1% относительно исходной величины вязкости падение величины порога кавитации может составить 20-25%.

Величина порога кавитации также сильно падает с ростом начального

радиуса пузырька (Рис. 3Ь). При увеличении значения начального радиуса на порядок падение величины порога кавитации составляет « 25%.

Дифференциальный критерий коллапса пузырька в вязкой ньютоновской жидкости был получен при аналитическом решении модифицированного уравнение Релея в форме [1]:

д й2Й 3 Сйй\2 ^йЙ _ И —т:т +— I —г ) т ~--г — 0 ,

М2 2\йМ Я М '

с безразмерными переменными

Г.

(14)

тт

к

Во

рКР о

а =--1

1-.

(15)

при начальных условиях [1]: Условие коллапса кавитационного

Иг

пузырька

\

для случая

гидростатического давления [1]: ' 8 и вязкого демпфирования ' 8 ,

Для поля переменного давления коллапс пузырька определяется

критическими значениями дифференциального критерия [1]:

_ <*Щ) рЩ)

^ -)-

Ж 8 п ^ (16)5

с текущими значениями в фазе сжатия пузырька '

и рЩ)

и расширения

_ .__г.. ""Ш

Текущие значения критерия ' и величины ^ ;

изменяются в соответствии с пульсациями пузырька и зависят от давления, начального радиуса пузырька и вязкости, как параметров, а при фиксированном значении вязкости и начального радиуса определяются

амплитудой давления т [1]. Их компоненты, соотношение и размерность находятся в том же соответствии, что и в гидродинамическом числе

Рейнольдса - R — где и и I характерные величины скорости и размера

потока соответственно. Закон подобия

Рейнольдса в вязкой несжимаемой жидкости определяет подобие течений, обтекающих геометрически подобные тела в отсутствии свободных поверхностей [15]. Текущие значения величин Ле^) и с(^) позволяют оценивать динамику отдельного пузырька и сравнивать динамику пузырьков разного радиуса в процессе их расширения и сжатия в вязкой ньютоновской жидкости. В связи с этим последовательность чисел этих величин, характеризующая динамику пузырька, можно назвать текущими значениями чисел Рейнольдса Ле^) для случая динамики пузырьков.

Величина дифференциального критерия может быть рассчитана при известной амплитуде давления - Рт при численном решении уравнения динамики пузырька [1]. Задача данной работы - определение амплитуды

8

1

порогового давления Ртк = Р^ при условии с(£) >1 и с^) < —1 для ряда значений начального радиуса Д0. С этой целью использовался метод моделирования функцией Хевисайда последовательности прямоугольных импульсов с изменяющейся амплитудой [12]. Ниже будет показано, что при определении порога кавитации можно ограничиться положительным значением величины: = 1. Импульсы давления должны быть

разнесены по оси времени. (Термин ортогональные сигналы или импульсы не используется, поскольку в рассматриваемых случаях их последовательность не обязательно организует линейное метрическое пространство [12,13]). Выражение для последовательности биполярных

т = Т/2

прямоугольных импульсов давления с паузами между ними р и

нарастанием амплитуды давления, задаваемой рациональной аналитической функцией, в данном случае по экспоненте [12]:

п+1

РХ<) = РА ^ ж #)

- (17),

где ^ = -Т + Т2) -2Н(-Т1 + Тз)+-Т1 + Т4), п- число коротких импульсов в последовательности импульсов, Т =г(Т + Тр), г -текущий индекс,

т Т

Т -длительность короткого импульса, р -величина паузы между короткими

Т = Т + т т=т+Т Т=Т+Т к = ехр^/6) 6-импульсами, 2 р, 3 2 р. 4 3 р. к ехр('6) 6 величина,

задающая степень нарастания амплитуды импульсов. В конкретном случае

(рис. 4а,Ь) Т =50 мкс, Тр =05Т, 6 =0001. Выражение для давления на

бесконечности для этого случая: Р» =Р -. Рис. 4-5 иллюстрируют принцип использования предлагаемого метода на основе численного решения уравнения Флинна (8).

Р

Рис.4 а,b.c. Определение порога кавитации 11 по критерию ' при

^ _ т j 2 ТЛ 1

длительности импульса Т = 50 мкс и паузе Гр ~ , ^ ~ мкм а) зависимость давления Р от времени, Ь) зависимость критерия ' от времени, с)

зависимость отношения Qr " Qd ^- от времени.

В момент максимального расширения пузырька на втором импульсе при давлении Ртк = Р^ = 13,3 бара, величина отношения Qr = 0,5 ,

дифференциальный критерий принимает значение с =1. В момент максимального сжатия значение = -1,2 рис. 4 а,Ь,с Такие

соотношения, как правило, соблюдается при определении порога Р^ в рассматриваемом интервале Г=0.5-50 мкс.

Рис 5 a,b,c. a) Зависимость отношения значений радиусов ^R от

времени. b) зависимость отношения R для 2-ого импульса, с)

определение минимального радиуса Rmin _

Использование критерия c(t) и величины Re позволяет получить зависимость величины - Р^ от длительности импульса T при численных расчетах уравнения (8). Величина порога кавитации в жидкости растет с уменьшением длительности импульса при воздействии коротких импульсов [16]. Результаты расчетов, проведенных в предлагаемой работе для глицерина, показали увеличение порога кавитации на порядок при сокращении длительности прямоугольного импульса от T=50 мкс до значения 5 мкс.

При разрушении жидкости зависимость порогового давления от длительности импульса [16] : РаТ = const, (18)

для глицерина [16]: РТ = const

Выражение (19) соответствует экспериментальным данным для микросекундного диапазона [16].

Аналитическое выражение Prj(T), в интервале 30-50 мкс для прямо угольных биполярных импульсов, примет вид:

^ 0 р 3 Т (R^-h3) v '

Следует отметить, что согласно выражению (20) при фиксированных значениях вязкости п и длительности T порог Р^ уменьшается с увеличением начального радиуса R0.

Анализ и сопоставление результатов численных расчетов по уравнению Флинна и аналитическому выражению (19) - показывает удовлетворительное соответствие результатов при значениях длительности импульсов в интервале 30-50 мкс, что определяется допущениями работы

[6]. Наибольшие расхождения приходятся на интервал 0,5-2 мкс.

В этой связи практический интерес представляют упрощенные оценки порога кавитации Р^ в более широких пределах 0,5-50 мкс при сокращении количества численных вычислений уравнения динамики пузырька. Модифицированное аналитическое выражение на основе (19) имеет вид:

Рц = Р5 (7)* (20)

где 1 - длительность импульса, Р5 - величина порогового давления при значении 1=1 мкс, к5 =1 мкс (для соблюдения размерности) , п - для уточнения зависимости порога Р^ от начального радиуса Я0 . и формы импульса.

Ниже приведены примеры оценок порога Р^ по выражению (20) для случая прямоугольных и синусоидальных импульсов при значениях радиуса Я0 = 1, 10 мкм и Д0=1, 5 мкм соответственно. Для прямоугольных импульсов рис. 8а:

Д0 = 1 мкм, Р5 = 440 бар, п = 0,9; Д0 = 10 мкм, Р5 = 180 бар, п = 0,78;

Для синусоидальных импульсов рис.8Ь;

Д0 = 1 мкм, Р3 = 665 бар, п = 0.87; Д0 = 5 мкм, Р3 = 382 бар, п = 0.81;

р

Рис. 6. Зависимость порога кавитации п от длительности импульса 1, в пределах 0,5-50 мкс, кривые - результаты расчета по аналитическому выражению (20), точками обозначены результаты численного решения. а) прямоугольные импульсы, кривая 1:

Я0 = 1 мкм, кривая 2 - 10 мкм Ь) синусоидальные импульсы, кривая 1: Я0 = 1, кривая 2: -5 мкм. с) пороги кавитации длительности 1 в пределах 0,5-5 мкс: кривая 1 - синусоидальные короткие импульсы, кривая 2 -прямоугольные.

Выражение для последовательности коротких синусоидальных импульсов с паузами тр = Т/2 (при тр = 4Т ке положительно) имеет вид [12]:

п

ш = У )

(21),

ограничимся простым случаем п = 4:Ж ^+ ^ + 8Нз + ^, где

= -ке( Н (Г -7 ) - Н (Г -7 ))8ш(®Г)

БН2 = кв(Н (Г - 7) - Н (Г - т4)) бШИ ) Ж3 =-ке(Н (Г-т5) - Н (Г -7 ))8ш(®Г) Ж4 = ке(Н (Г -т7) - Н (Г - 7))) ^(«Г) 7 =Гр = Т/2, г2 =7! + Т, 7 = 7 + тр, 7 = 7 + Т далее аналогично.

Рис. 7. Определение порога кавитации по критерию - и величине при длительности синусоидальных импульсов Т = 50 мкс и Тр = Т /2 а)

1-.

Зависимость амплитуды давления от времени Ь) зависимость критерия ' от

времени с) зависимость отношения от времени. (На рис.7Ь

обозначение с - с1).

Величина порога для синусоидальных импульсов в данном случае при значении с =1 (на третьем импульсе) составляет Р^ =22,5 бара, это больше порога кавитации для прямоугольных импульсов в 1,7 раза. Величина паузы должна увеличиваться с сокращением длительности импульса рис.8. На рис. 8 а,с величина паузы - тр = 4Т , порог кавитации Р^ = 665 бар при значении с = 1 на первом импульсе.

Рис. 8 Определение порога кавитации при воздействии короткого синусоидального импульса длительностью ¿=1 мкс.

Рис 9 а,Ь,с. а) Зависимость давления от времени в коротком импульсе из четырех колебаний без паузы при 7=1 мкс, Ь) Затухание колебаний -падение величины с) зависимость дифференциального критерия

коллапса от времени.

Падение амплитуды колебаний - величины максимального радиуса пузырька - Ят при постоянной амплитуде переменного давления и фиксированных величин 7=1 мкс, Я0 = 1 мкм можно объяснить тем, что система в отсутствии пауз между колебаниями не успевает возвратиться в равновесное состояние. А поскольку движущая сила продолжает действовать, то сдвиговые явления в вязкой жидкости могут нарастать, и падение амплитуды уже со второго импульса при указанных фиксированных параметрах и свойствах полностью определяется вязкостью. Подобное явление было предсказано и объяснено исходя из гидродинамики в работе [17].

При сравнении результатов данной работы с результатами ряда экспериментальных и теоретических работ [18-22] применительно к вязким жидкостям и в частности к глицерину, необходимо учитывать, что определение порога кавитации по дифференциальному критерию коллапса предполагает наличие в ограниченном объеме вязкой жидкости микроскопических пузырьков. а экспериментальное измерение давления разрыва жидкости в большинстве работ предполагает идеально однородную жидкость. В такой жидкости при экспериментальном измерении критических растягивающих давлений (напряжений) жидкости - ТБ наиболее часто предполагается гомогенное зарождение новой фазы в виде сферических зародышей, либо по механизму откола в твердом теле в виде поры [18-22]. С учетом этого следует ограничиться только сопоставлением порядка величин пороговых давлений и рассматривать эти сопоставления, как качественные оценки.

Величина измеренной датчиком величины ТБ в глицерине при расчетном интервале радиуса возникших из зародышей и растущих по

вязкому закону пузырьков (0,01-10) мкм составила 250 бар [19]. В данной работе порог кавитации для пузырьков R0 = 10 мкм случае прямоугольных импульсов составлял 300 бар, а в случае синусоидальных 440 бар при длительности импульса T=0,5 мкс.

При снижении температуры глицерина от 350° K до 220°K под действием импульсов 0,1-0,4 мкс величина TS однородно изменялось от

0.34.до 2,5 кбара, а при температуре ниже 220° K разрушение глицерина предположительно происходило по механизму откола (crack) [20]. Если принять линейную зависимость давления разрыва от температуры в указанном интервале, то при 293° K величина TS=1190 бар, а порог кавитации при радиусе R0 = 1 мкм в случае синусоидальных импульсов 1200 бар - прямоугольных импульсов 840 бар. Эти оценки следует рассматривать как оценки на качественном уровне.

С увеличением объема жидкости возрастает вероятность гетерогенного образования кавитационных зародышей, поэтому в ряде экспериментальных работ измерение TS производят в пленках и микроканалах (microfluidics) [23]. Динамический разрыв глицерина и D.I. воды в микроканалах (dynamic rupture in microfluidics), реализованный при воздействии короткого импульса длительностью 7 наносекунд от мощного IK лазера, происходил с расширением возникшего сферического пузырька в интервале 30-50 мкм и распространением сферических ударных волн с давлением до 3500 бар. При этом у пузырька сохранялась сферическая форма вплоть до встречи с отраженной от свободной поверхности волной. Величина напряжения разрыва для глицерина составила - TS = 617 бар (61,7 мПа) [23].

Использованные источники:

1. Bogoyavlenskiy V.A. Differential criterion of a bubble collapse in viscous liquids.// Physical Review E, 60, 1, 1999 -504-508 p

2. Barber B.P. Putterman S.J. Light scattering measurement of the repetive supersonic implosion of a sonoluminescing bubble. // Phys. Rev. Letters, v.69, 26, 1992 -3839-3842 p.

3. Flynn H.G. //J.Acoust. Soc.Am. v.57, 1975 -1379, v.58, -1160 p. 4.

4.Noltingk B.E. Neppiras E.A. Cavitation produced by Ultrasonics. //Proc. Phys.Soc. v.63, 1950 - 674 p.

5.Маргулис М.А. Сонолюменесценция.// УФН, т.170, 3, 2000 -263с

6. Богуславский Ю.Я., Корец В.Л. К вопросу о пороге кавитации и его зависимости от частоты. Акустический журн. Т. 1966 г.

7 Перник А.Д. Проблемы кавитации. //Л. Судостроение.1966 -310 с.

8 Акуличев В.А. Пульсации кавитационных полостей.// Мощные ультразвуковые поля. М. Наука. 1968 -131-166 с.

9. Флинн Х.Г. Физика акустической кавитации в жидкостях. В кн. Физическая акустика, т.1Б, Мир, 1967 /Flynn F.G. Physic of acoustic cavitation in liquids. // In "Physical Acoustic", v.1b, Edit. W. Mason. N.Y 1964.

10. Hingelfeldt S. Brenner M.P. Grossmann S. and Lohse D. Analysis of Rayleigh - Plesset dynamics for Sonoluminescing Bubbles. //J. Fluid Mech. v. 365, 1998

-171-204 p.

11. Brenner M.P., Hingelfeldt S., and Lohse D. Single-bubbles Sonolumenscene //Reviews of modern Physics, v 74, April, -2002, -25-82.

12. Асташкин Ю.С. Метод численного моделирования импульсного воздействия на кавитационный пузырек в высоковязкой жидкости. //Электронный журнал. //Теория и практика современной науки. (математика, информатика, инженерия). №9, -1917.

13. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. // М. Высшая школа. 2000 -462 c.

14. Краткий справочник физико-химических величин. Изд.8-ое. Под ред. А.А. Равделя и М.А. Пономарева. //СПБ. Химия. 2003 -112-113с

15. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. //М. Инлит.1956 -515 с.

16. Груздков А.А, Петров Ю.В. Кавитационное разрушение жидкости с большой и малой вязкостью. // ЖТФ, т.78, 3 , 2008 -6-9.

17. Сен-дин-ю. рост пузыря, вызываемый кратковременным импульсом // Теоретические основы инженерных расчетов, №4, 1970 -121-124.

18. Уткин А.В., Сосиков А.А., Богач А.А. Импульсное растяжение гексана и глицерина при ударно-волновом воздействии. // ПМТФ, т.44, №2, 2003.

19. Erlich D.C. Wooten D.C. Crewdson R.C. Dynamic tensile failure of glycerol. // J. Appl. Phys. v.42, N13, 1971 -5495-5502 p.

20. Carlson C.A. Levine H.S. Dynamic tensile strength of glycerol. J. Appl. Phys. v. 46, N4, 1975 -1594-1601 p. Internet: https//doi.org/ 10 1063/1321761

21. Crewdson R.C. Dynamic tensile of glycerol. // J, Appl. Phys.v.48, №4, 1975 -1954-1601 p.

22. Shneidman V.A. Time dependent cavitation in viscous fluid. // Phys. Rew. E., 94, 062101, Dec., 2016. Internet: https// doi.org/ Phys. Rew. E94. 062101.

23. Li Z.G. Ando K. Zhang J.B. Liu A.Q. and Ohl C.D. A study of Liquid dynamic rupture in microfluidics. // School of Electric. and Electronic Eng. Nanyang University Singapore.