О полных тестах относительно вытесняющих неисправностей входов схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718

О ПОЛНЫХ ТЕСТАХ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫТЕСНЯЮЩИХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ ВХОДОВ СХЕМ

Е. В. Морозов1

Рассматриваются неисправности входов схем, при которых выходное значение неисправной схемы определяется только исправными входами. Показано, что функция Шеннона длины проверяющего теста для данных неисправностей равна 2п—log2 n+0(log2 log2 п), а функция Шеннона длины диагностического теста асимптотически равна 2™.

Ключевые слова: булева функция, функция Шеннона, тесты.

The paper is focused on faults of circuit inputs such that the output value of fault circuits depends only on correct inputs. It is shown that the Shannon function of the length of the detecting test for such faults is equal to 2n — log2 n + 0(log2 log2 n) and the Shannon function of the length of the diagnostic test is asymptotically equal to 2™.

Key words: Boolean function, Shannon function, tests.

Определим понятие вытесняющих неисправностей. Пусть f(x\,..., хп) — булева функция, формально зависящая от п переменных. Будем считать, что среди переменных х\,... ,хп есть некоторое количество вытесняемых переменных. Все остальные переменные назовем вытесняющими. Пусть i\,...,in — произвольная перестановка множества чисел {1,... ,п}. Предположим, что переменные х^,..., Xik являются вытесняемыми. Тогда вместо f(x\,..., хп) реализуется функция неисправности д(х\,..., хп), получающаяся из f(x 1,... ,хп) подстановкой вместо каждой вытесняемой переменной ж^., 1 ^ j ^ к, произвольной булевой функции ф^(хгк+1,... ,Хгп) от вытесняющих переменных. Под вытесняющими неисправностями входов схемы будем понимать наличие вытесняемых переменных у функции, реализуемой схемой. Функции (f)j(xik+1,..., Xin) будем называть функциями подстановки. Заметим, что вытесняемые переменные являются фиктивными в получившихся функциях неисправности. Множество всех функций неисправности, получающихся из f(x\,... ,хп) при любом выборе множества вытесняемых переменных и функций подстановки, будем обозначать через Ф/. Проверяющим (диагностическим) т ест ом относительно неисправностей переменных для функции f(x\,..., хп) будем называть множество булевых n-мерных наборов, такое, что для любой функции g € Ф/, <7 ф / (соответственно для любых функций g\,g2 € Ф/U/,g\ ф g2), в данном множестве существует набор а, на котором функции / и g (соответственно д\ и $2) принимают разные значения. Под длиной теста будем понимать число наборов в нем. Тест наименьшей длины будем называть минимальным тестом. Традиционным образом введем функцию Шеннона длины проверяющего (диагностического) теста Ldetect(n) (Ldiagn(n)) как максимум по всем булевым функциям п переменных длины минимального проверяющего (диагностического) теста относительно вытесняющих неисправностей.

Ранее рядом авторов изучались задачи, близкие к рассматриваемым в настоящей работе. В статьях В. Н. Носкова [1,2] установлено точное значение функции Шеннона длины проверяющего теста и получены нетривиальные оценки функции Шеннона длины диагностического теста относительно константных неисправностей входов схем. Г. Р. Погосяном [3] найдены функции Шеннона длин проверяющих тестов относительно слипаний и инверсий входов. В работах И. А. Кузнецова, Д. С. Романова [4] и Д. С. Романова [5] установлены асимптотики функций Шеннона длин проверяющего и диагностического тестов относительно локальных слипаний переменных в булевых функциях.

Основными результатами работы являются асимптотическая оценка высокой степени точности функции Шеннона длины проверяющего теста относительно вытесняющих неисправностей и асимптотическая оценка функции Шеннона длины диагностического теста относительно вытесняющих неисправностей.

Далее следуют определения и леммы, необходимые для получения верхней оценки длины проверяющего теста. Частично будет использоваться терминология, введенная в [1].

Два набора, отличающиеся лишь в г-й компоненте, называются ребром, i-го направления (или ребром, направления Xi). Если при этом f(x\,..., хп) принимает разные значения на данном ребре, то оно называется правильным, для f(x 1,..., хп). Триадой направлений, г, j для, f(x 1,..., хп) будем называть три булевых набора, в которых содержатся правильные ребра г-го и j-то направлений для f(x\,... ,хп). Триады направлений i,j и k, m для f(x 1,... ,хп) называются ортогональными, если i,j,k,m — попарно различные

1 Морозов Евгений Валерьевич — асп. каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: morozov_msuQmail.ru.

числа. Совокупность ¿ попарно ортогональных триад для /(х\,..., хп) называется 1-системой триад. Будем называть ¿-систему триад насыщенной, если невозможно добавить к ней еще одну триаду так, чтобы получилась (¿ + 1)-система триад.

Тест,ом существенности для ¡'(х\,..., хп) будем называть множество наборов, в котором для каждой существенной переменной Xi функции /(х\,... ,хп) имеется правильное ребро г-го направления.

Лемма 1. Множество наборов Т является проверяющим т ест ом для схемы, реализующей функцию ¡(х\,...,хп), относительно вытесняющих неисправностей входов схемы тогда и только тогда, когда Т — тест существенности для /(жь ... ,хп).

Доказательство. Пусть Т — тест существенности для /(х\,..., хп). Если вытесняются только фиктивные переменные, то реализуется функция, неотличимая от исходной. Если же вытесняется существенная переменная XI, то в функции неисправности д(х\,... ,хп) она фиктивна. Следовательно, на одном из наборов правильного ребра г-го направления д(х\,..., хп) будет отличаться от /(х\,..., хп).

Пусть теперь Т = {( ... , СК^), (ск^, . . . , О^), . . . , (О. . . , СК?г) } Проверяющий тест ДЛЯ /(ж... , Х'п), не являющийся тестом существенности. Без ограничения общности будем считать, что Х\ — существенная переменная /(х\,..., хп), для которой в Т нет правильного ребра. Пусть ф(х2,..., хп) — булева функция, равная а\ на каждом наборе (а■ ■ ■, агп), 1 ^ г ^ р, и принимающая произвольные значения на остальных наборах. Тогда если х\ — единственная вытесняемая переменная и вместо нее подставляется ф(х2,..., хп), то данная неисправность не может быть обнаружена на множестве наборов Т. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть хг,х3, г ф 8, — существенные переменные функции к(х\,... ,хп), причем х3 является фиктивной для к(х\,... 2 ОС г—1 ; 0, ОС у-5 ... 5 ОС'!7-) или к(х\, . . . ) хг—1,1, хг+1, • • •) Хп). Тогда, существует триада направлений г, в для, к(х\,..., хп).

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что г = 1, в = 2 и Х2 фиктивна для Ь(0, Х2, ■ ■ ■ ,хп). Выберем правильное ребро направления 2 для к{х\,х2, ■ ■ ■ ,хп). Поскольку Х2 фиктивна для /г(0, Х2, ■ ■ ■, хп), то выбранное ребро состоит из наборов вида (1,0, скз, - - -, ап), (1,1, скз, -.., ап). В свою очередь на наборах (0, 0, аз,..., ап), (0,1, скз,..., ап) функция к(х\,..., хп) принимает одинаковые значения. Отсюда следует, что либо (1,0, скз? - - - ? (0,0, скз,..., ап), либо (1,1, скз,..., ап), (0,1, скз,..., ап) — правильное ребро направления 1. Предположим, что это (1, 0, аз,..., ап), (0, 0, аз,..., ап). Тогда искомая триада состоит из наборов (1,0, аз,..., ап), {1,1, аз,..., ап), (0,0, аз,..., ап). Лемма доказана.

Следующие определения будут даны в предположении, что для /(х\,..., хп) существует насыщенная ¿-система триад направлений 1,2,..., 21.

Пусть г\,... ,121 — некоторая перестановка из элементов множества {1,2,..., 2¿} ш — множество переменных хя+ъ х21+2, ■ ■ ■, хп. Обозначим через подфункцию функции /(жь ..., хп), полу-

ченную подстановкой констант а, а¿2,... вместо переменных ..., хсоответственно.

Определим П(г1,..., ¿2Ь Я) как последовательность функций /Д1. ,/¿¿'^ , • • •,/«¿^"'¿ "'^"г > гДе кон~

1 ' 2 1' 2' ' 21

станты а\,...,а21 индуктивно определяются следующим образом. Положим а= 1, если зависит существенно от большего числа переменных из Я: чем /д1. В противном случае положим а= 0. Положим щ, = 1, если /а'"'гка1'гк 1 зависит существенно от большего числа переменных из Я, чем ¡г^!'"'гк~ъ%к 0В противном случае положим = 0.

Если существенно зависит от меньшего числа переменных из Я, чем , то

1' ' & —1 ' ' к — 1

переменную х^ будем называть сильной переменной в П(г1, ■■ - ,%21, Я)- В работе [1] доказана следующая лемма.

Лемма 3. Пусть для ¡'(х\,..., хп) построена насыщенная, 1-система триад направлений 1,2,... ,21. Тогда, 2я ^ где д — число сильных переменных в П(г1, ■ ■ ■ ,%21,Я)-

Все переменные из множества {хгк+1,..., х¿п }, которые являются существенными для /а^'.'^а^ , но фиктивными для будем называть спутниками переменной х^к.

Теорема 1. Имеет место нера венет во ^ 2п — + 0{ 1).

Доказательство. В силу леммы 1 достаточно найти верхнюю оценку длины минимального теста существенности. Поскольку для фиктивных переменных нет ребер, входящих в тест существенности, будем предполагать, что все переменные функции /(х\,... ,хп) существенны.

Пусть для /(х\,... ,хп) построена насыщенная ¿-система триад. Без ограничения общности будем считать, что множества направлений триад есть {1,2,..., 2¿}.

Выберем наименьшее натуральное р, такое, что 2Р ^ п — 2р.

Если I ^ р, то множество наборов, состоящее из данной ¿-системы триад и правильных ребер направлений 21 1,21 2,... ,п, будет иметь мощность не более 2п — р. Доказательство завершено, поскольку Р = 1°ё2 п + 0{1).

Пусть теперь I < р. Покажем, что в этом случае для /(х\,..., хп) существует некоторая система триад, мощность которой асимптотически не меньше \ogri.

Построим последовательность П(г1, ■■■,12и О)- Через </ обозначим число сильных переменных в данной последовательности. По лемме 3 получаем 29 ^ п — 21. Из определения числа р следует, что 2Р_1 < п - 2{р - 1). Поскольку I < р, то 2Р_1 < п - 2(1 - 1) = п - 21 + 2. Тогда 2д + 2 > 2Р~1 ^ \(п - 2р). Следовательно, </ ^ 1с^2(п) + 0( 1). У каждой сильной переменной есть свой спутник среди переменных из <5- Пусть х3 — спутник сильной переменной Хгк. Тогда можно применить лемму 2, взяв в качестве к функцию • Получаем, что существует триада направлений для ¡(х\,... ,хп). Значит, для

каждой сильной переменной и ее спутника существует триада соответствующих направлений. Всякая переменная из <5 может быть спутником не более чем одной сильной переменной. Отсюда следует, что существует ^-система триад для ¡'(х\,..., хп).

Пусть — направления, соответствующие данной ^-системе триад. Множество наборов,

состоящее из выбранной ^-системы триад и одного правильного ребра для каждого направления из {1,..., п} \ {^1,..., ]2о}, имеет мощность не более 2п—д и является тестом существенности для /(х\,..., хп). Это завершает доказательство, поскольку q~^\ogn + 0( 1). Теорема доказана.

Теперь перейдем к нижней оценке.

Расстоянием Хэмминга р(о,/3) между булевыми наборами о и /3 называется число разрядов, в которых эти наборы различаются. Шаром радиуса г будем называть множество наборов, находящихся на расстоянии Хэмминга не более г от некоторого набора 7.

Далее воспользуемся некоторыми сведениями из теории кодирования. Все использованные определения и свойства кодов можно найти в [6].

Пусть а\...аг некоторое двоичное слово, а а\... агг}\... г]3 — его расширение до слова в равномерном двоичном коде, исправляющем одну ошибку. Данный код также называется кодом Хэмминга. Слово (Т\... (Тг соответствует информационным разрядам, а щ ... т]3 — проверочным. Известно, что можно построить код Хэмминга, в котором в — это наименьшее число, такое, что 2я ^ г + в + 1. Выберем именно такой способ кодирования, тогда в ^ Г1с>ё2 + 1- И3 свойств самокорректирующихся кодов следует, что расстояние между двумя кодовыми словами не меньше трех.

Для указанных о\,..., аг, щ,..., г]3 определим функцию Л.<ть...,<тг(<г1,..., г3) = г^г^2 ... г3". Данная функция будет использоваться в следующей теореме.

Теорема 2. Имеет место нера венет во ЬА^есЛ(п) >2 п — 1с^2 п — 21с^2 1с^2 п + 0(1).

Доказательство. Аналогично первой теореме будем оценивать длину минимального теста существенности Т. Сначала отметим, что в работе [1] говорилось о существовании функции, для которой длина теста существенности будет не менее 2п — 1с^2п — 0(1с^21с^2 п), однако доказательство данного факта приведено не было. Заявленная в теореме оценка не противоречит данному значению.

Для краткости обозначим г = |~1с^2п], 8 = |~1с^21с^2п] +1, £ = п — |~1с^2п] — |~1с^21с^2п] — 1. Назовем у\,..., уг адресными переменными, ..., х3 хеш-переменными, а Х\,..., Хг информационными

т— 1

переменными. Через 2/(0:1,..., ат) обозначим ^ ^2г. Тогда каждому булеву набору (о..., ат) взаимно

¿=о

однозначно соответствует число 2/(0:1,..., ат) из множества {0,1,..., 2т — 1}.

Определим функцию

д(у1,...,уг,г1,...,г3,х1,...,х^ = \/ у^1 ... УггКъ...:(Тг{г1,..., г3)хи{а1^^г).

<Т1,...,<гг-:ь'(<Т1,...,<тг-)<4

Ясно, что в Т найдется подмножество ¿>, содержащее хотя бы одно правильное ребро для каждого направления, соответствующего адресным и информационным переменным функции д. Очевидно, что |Т| ^ |5|. Найдем нижнюю оценку мощности множества ¿>.

Всякий набор может входить в правильное ребро не более чем одной информационной переменной. Действительно, пусть (о,/?) — правильное ребро направления XI, а (о',/?') — правильное ребро направления ху. Поскольку у данных наборов разные значения разрядов, соответствующих адресным переменным, никакие два из них не могут совпадать.

Далее, будем говорить, что множество наборов обладает свойством А>, 0 ^ ] ^ г, если оно содержит правильные ребра для всех информационных переменных и адресных переменных Множество,

обладающее свойством А0, может не содержать правильные ребра адресных переменных. Пусть б*-7 — некоторое минимальное по мощности множество, обладающее свойством А3. Покажем, что в множестве Б3 нет правильного ребра для 2/7+1. В силу минимальности Б3 может содержать правильное ребро для 2/7+1, если только каждый набор данного ребра принадлежит одному из правильных ребер для х\,..., х^ У1, ■ ■ ■, у у.

Пусть (а,/3) — правильное ребро направления причем д(а) = 0, а д(/3) = 1. Предположим, что оба набора содержатся в множестве Б3. Тогда существует набор а1, соседний с й по одной из переменных Х\,..., х^ 2/1, ■ ■ ■, У], причем д(а') = 1. Адресные разряды наборов (3 и а1 находятся на расстоянии не более чем 2. Тогда из свойств кода Хэмминга следует, что значения хеш-переменных в наборах (3 и а1 отличаются. В то же время наборы й, /3 являются соседними по адресной переменной, а наборы й, а' — по адресной или информационной. Следовательно, у всех трех наборов значения разрядов, соответствующих хеш-переменным, совпадают. Получаем противоречие. Значит, для переменной 2/7+1 нет правильного ребра в б*-7 .

Пусть ¿>°, б*1,..., 5"" — некоторые минимальные по мощности множества, обладающие свойствами АР, А1,..., Аг соответственно. Ясно, что ¿г^1 обладает свойством АК Но минимальное множество со свойством Аз не может содержать правильное ребро направления ,7 + 1. Следовательно, |5':'+1| > [б*-7!, откуда получаем 2£ = [б*0! < (б*1) < ... < |5'г| ^ 15*1, из чего следует, что 15*1 ^ 2£ + г. Это завершает доказательство.

В заключение отметим, что для данной функции нетрудно построить тест существенности, на котором достигается нижняя оценка. Теорема доказана.

Объединением доказанных теорем является

Теорема 3. Имеет место ра венет во ЬЛеХ,есХ,(п) = 2 п — 1с^2 п + 0{ 1с^2 1с^2 п).

Лемма 4. Пусть вершины п-мерного булева куба покрашены в черный и белый цвет,а так, что все вершины, находящиеся на, расстоянии 1 и 2 от белой вершины, покрашены в черный цвет,. Тогда, число черных вершин асимптотически равно 2п.

Доказательство. Выберем любые две различные белые вершины и рассмотрим шары радиуса 1 с центрами в данных вершинах. Выбранные шары не пересекаются, потому что их центры не могут находиться на расстояниях 1 и 2. Тогда шаров с центрами в белых вершинах не более ¿ру. А следовательно, и белых вершин не более Это означает, что число черных вершин асимптотически равно 2п. Лемма доказана.

Теорема 4. Имеет место асимптотическое равенство ЬЛшт(п) ~ 2п.

Доказательство. Сначала заметим, что для линейной функции 1{х\,... функ-

циями неисправности являются всевозможные функции, имеющие хотя бы одну фиктивную переменную. Покажем, как получить функцию д(х^,..., х^к), к < п. Пусть 7 = {х\,..., хп} \ {х^,..., Xjk}. Подставим в 1(х 1,..., хп) вместо одной из переменных множества Z функцию ..., х^к) ф х^ ф х^2 ф ... ф

а вместо остальных переменных множества 7, нули. Тогда будет реализовываться требуемая функция g(xj1,..., х^к).

Рангом элементарной конъюнкции назовем число букв в ней. Рассмотрим всевозможные конъюнкции ранга п — 1, составленные из переменных х\,... ,хп. Каждая из них равна единице на каком-то одном ребре булева куба, при этом всякому ребру соответствует конъюнкция. Если для какого-то ребра оба его набора не войдут в тест, то соответствующая конъюнкция не будет отличаться от тождественного нуля. Следовательно, из каждых двух соседних наборов куба хотя бы один должен войти в тест. А значит, если некоторый набор не входит в тест, то все наборы, находящиеся на расстоянии 1 от него, должны войти в тест.

Предположим теперь, что набор а вошел в тест, а соседние с ним наборы а' и а" не вошли. Но тогда конъюнкция К\, равная единице на ребре {а, а'), и конъюнкция Кравная единице на ребре (а, а"), не будут отличаться на наборах теста. Отсюда следует, что набор, вошедший в тест, может иметь только один соседний набор, который не вошел в тест.

Объединяя эти два наблюдения, получаем, что если набор (3 не входит в тест, то все наборы, находящиеся на расстоянии 1 и 2 от него, обязаны войти в тест. Действительно, пусть два набора, находящиеся на расстоянии 2, не входят в тест. Тогда их общий соседний набор входит в тест и при этом имеет два соседних набора, не вошедшие в тест, что невозможно. Раскрасим булев куб так, что все вершины, вошедшие в тест, имеют черный цвет, а не вошедшие — белый. Тогда по лемме 4 получаем, что число наборов теста асимптотически равно 2п. Теорема доказана.

Автор приносит благодарность доценту В.Н. Потапову за полезные советы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12Ч)Ю0964-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Носков В.Н. О сложности тестов, контролирующих работу входов логических схем // Дискрет, анализ. 1975. 27.

23-51.

2. Носков В.Н. Диагностические тесты для входов для логических устройств // Дискрет, анализ. 1974. 2. 72-83.

3. Погосян P.P. О проверяющих тестах для входов логических устройств. Препринт ВЦ АН СССР. М., 1982.

4. Кузнецов И. А., Романов Д. С. О полных проверяющих тестах относительно локальных слипаний переменных в булевых функциях // Уч. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физико-матем. науки. 2009. 151, кн. 2. 90-97.

5. Romanov D.S. Diagnostic tests for local coalescences of variables in Boolean functions // Comput. math, and model. 2012. 23, N 1. 72-78.

6. Питерсон ¥., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.

Поступила в редакцию 12.12.2013

УДК 511.36

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ЭЙЛЕРА

В. Г. Чирский1

В работе доказана оценка снизу для р-адического нормирования задаваемого рядом Эйлера числа Ер = J^^Li n- G Qp Для бесконечного множества простых чисел р.

Ключевые слова: ряд Эйлера, р-адическое нормирование.

The paper presents a lower bound valid for infinitely many primes p of the p-adic valuation of the number Ep = J^^Lin- e Qp which is an Euler-type series.

Key words: Euler-type series, p-adic valuation.

Цель работы — дать новую оценку снизу р-адического нормирования числа Ер = ^^LquI € Qp, справедливую для бесконечного множества простых чисел р.

Из работ [1, 2] следует более общее утверждение о том, что для любого ненулевого многочлена Р(х) € Ъ\х\ существует бесконечное множество простых чисел р, для которых имеется положительная оценка снизу \Р(Ер)\ .

В настоящей работе используется другой подход, основанный на построении аппроксимаций Паде обобщенных гипергеометрических функций [3], что позволило в рассматриваемом случае упростить рассуждения и получить более точные оценки, чем в [2].

Обозначим (а)0 = 1, (а)„ = а(а + 1)... (а + n - 1), n € N; F(a,fi,z) = о (а)^)п zn. Введем обозначения:

ш = f; n\zn = f; = F{ î, î, z), (î)

n=0 n=0

m = ¿(n + l)lzn = £ = F(2,1, zy, (2)

n=0 n=0

ai = 1, a2 = 1, u0(z) = fo(z), m(z) = fi(z). (3)

Отметим, что при z = 1 в любом поле Qp сходятся оба ряда /о(1) и /i(l) и имеет место равенство

ЕР = Ш-

Пусть so € N выбрано так, что при s ^ Sq выполняется неравенство

lns ! > (2s + 1)Vins + s In2;

можно выбрать so = 1068.

Теорема. Если s ^ so, то в интервале + lj есть простое число р, такое, что

\EP\>2-S((s + 1)\)-1. (4)

1 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: VgchirskiiQyandex.ru.