О пограничном слое ньютоновской жидкости, обтекающей шероховатую поверхность и проходящей через перфорированную преграду Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 93-104.

О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ, ОБТЕКАЮЩЕЙ ШЕРОХОВАТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ И ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ПЕРФОРИРОВАННУЮ

ПРЕГРАДУ

А.Ю. ЛИНКЕВИЧ, С.В. СПИРИДОНОВ, Г.А. ЧЕЧКИН

Аннотация. В статье изучается поведение неоднородной электропроводящей жидкости, протекающей сквозь пористую преграду и обтекающей шероховатую поверхность. Рассматривается семейство краевых задач с малым параметром, в которых микронеоднородности сосредоточены на границе области (исходный профиль скоростей зависит от малого параметра и поверхность, вдоль которой рассматривается пограничный слой, является быстро осциллирующей). Получена усредненная задача и доказана сходимость решения исходной задачи к решениям усредненной. Таким образом, описывается эффективное поведение этой микронеоднородной жидкости.

Ключевые слова:пограничный слой Прандтля, осциллирующая граница, усреднение, асимптотика, магнитогидродинамическая жидкость.

Введение

В этой работе мы рассматриваем поведение пограничного слоя Прандтля при обтекании шероховатой поверхности при условии, что погранслой формируется при протекании через пористую преграду. История применения этой теории начинается в начале XX века, когда Прандтль опубликовал работу, посвященную теории пограничного слоя. Он показал, что при некоторых условиях поток жидкости при обтекании твердого тела может быть разделен на внешний, движение жидкости в котором можно считать невязким, и приграничный к поверхности тела, где вязкость оказывает значительное влияние (пограничный слой). Он вывел систему уравнений для первого приближения скорости в пограничном слое (система уравнений пограничного слоя). На границе между пограничным слоем и основным потоком ставятся естественные условия сопряжения.

В работе мы будем ссылаться на монографию [6], в которой наиболее полно отражена теория пограничного слоя Прандтля, авторы выводят систему уравнений Прандтля для вязкой жидкости, доказывают теоремы существования для ряда моделей, а также приводят основные методы, используемые при решении задач движения жидкости. Также в монографии рассмотрены методы усреднения для некоторых моделей с малым параметром.

Методы теории пограничного слоя используются для описания приграничного движения различных жидкостей, включая неньютоновские (дилатантные и псевдопластиче-ские), а также электропроводные, в том числе плазму. Некоторые применения методов в

A.Yu. Linkevitch, S.V. Spiridonov, G.A. Chechkin, On Boundary Layer of Newtonian Fluid, Flowing on a Rough Surface and Percolating Through a Perforated Obstacle.

©ЛинкЕвич А.Ю., Спиридонов С.В., Чечкин Г.А. 2011 .

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00353).

Поступила 25 августа 2011 г.

теории пограничного слоя неньютоновской жидкости (модифицированной жидкости Ладыженской О.А.) см. в [1], [2], [3]. Задачи с малыми параметрами в теории пограничного слоя возникают довольно естественно. Например, в [4] для изучения течения несжимаемой жидкости, проходящей сквозь малое отверстие, была использована теория усреднения. В [5] было рассмотрено воздействие гармонического осциллятора с быстро меняющимися параметрами на пограничном слое при обтекании пластины.

В данной статье изучается поведение пограничного слоя неоднородной магнитной жидкости, проходящей сквозь перфорированную преграду, изготовленную из микропористого материала, при обтекании шероховатой пластины. Вводится малый параметр, характеризующий микронеоднородную структуру преграды, жидкости, а также шероховатости обтекаемой пластины.

С математической точки зрения изучается асимптотическое поведение решения системы уравнений Прандтля для потока жидкости в окрестности шероховатой пластины (т.е. в области с быстро осциллирующей границей). В качестве малого параметра выступают:

• размеры микронеоднородностей в материале преграды;

• расстояние между однородными слоями потока жидкости;

• размеры микронеоднородностей (шероховатости) на обтекаемой поверхности.

Выводится предельная задача при стремлении малого параметра к нулю и доказывается теорема усреднения. Для этого рассматривается задача о продолжении пограничного слоя для жидкости, проходящей сквозь пористую микронеоднородную преграду Р£ (рис. 1). Результаты частично опубликованы в [7, 8, 9].

Рис. 1. Физическая модель

В последнее время появились работы, где выводятся оценки скорости сходимости для решений задач теории пограничного слоя с малым параметром к решению соответствующих усреднённых (см., например, [10]). Выведение оценок скорости сходимости при стремлении малого параметра к нулю для пограничного слоя жидкости, проходящей через перфорированную преграду и обтекающей шероховатую поверхность, является целью наших дальнейших исследований. В настоящей работе мы ограничиваемся только доказательством самого факта сходимости.

1. Постановка задачи и формулировка основного результата

В этом разделе мы описываем шероховатость границы, определяем начальный профиль скоростей жидкости, проходящей через перфорированную преграду, и формулируем основные результаты.

1.1. Описание области и граничные условия. Обозначим через £ малый параметр. Пусть функция и£(у) задаёт скорость жидкости после прохождения преграды, т.е. является начальным профилем скоростей. На функцию и£(у) накладываются естественные ограничения.

Допустим, что:

• и£ > 0 при у > 0;

• имеет место сходимость

и£ -— и сильно в Ь2(Ш); (1)

• семейство функций и£ равномерно ограничено на К.

Предположим, что поверхность, вдоль которой течет жидкость, имеет неровную шероховатую структуру, причем размер шероховатостей мал по сравнению с толщиной пограничного слоя.

Поверхность пластинки пусть определяется равенством у = Р£(х), где семейство Г£ равномерно сходится к нулю при £ — 0 и ^£(0) = 0.

Рис. 2. Магнитогидродинамический пограничный слой жидкости, проходящей через пористую преграду и обтекающий шероховатую поверхность

Таким образом, возникает семейство задач о продолжении плоского пограничного слоя магнитной жидкости

д2 и ди ди вП ^

^ - * ж =-лх у)(и °° х- - и “ ^

ди£ дь£

—1 +-----1 = 0

дх ду

в области Б£ = {0 < х < Х0, Г£(х) < у < ж} с граничными условиями

иД0,у) = П^у), и£(х,Р£(х)) = 0,^ (х,Р£(х)) = V (х), и£(х, у) ^ иж(х) при у ^ ж,

(2)

а{х,у)В2(х)

где d(x, y) =------------ > U, а — магнитная проводимость жидкости, В — ортогональная

Р

к поверхности обтекаемой пластины компонента вектора магнитной индукции, р = 1 — плотность жидкости, (ue(x,y), ve(x,y)) — поле скоростей потока жидкости (параллельная и ортогональная пластине, соответственно), (U£(y), 0) — начальная скорость потока, (0, V(х)) — скорость на нижней границе рассматриваемой области, (U^(х), 0) — скорость на верхней границе (скорость основного потока жидкости) (рис. 2).

Ниже мы покажем, что следующая задача о продолжении пограничного слоя будет усреднённой для семейства (2) — (3) при є ^ 0:

д2и du du dU

vdu - - vdU = -d(x, y)(U“(x) - u) - U“

OC

d

oc

dy2 dx dy ’ dx ’

du dv -o

dx + dy '

в области D = {0 < x < X0, 0 < y < то} с граничными условиями

u{0,y) = U{y), u{x, 0) = 0, v(x, 0) = V{x), u{x,y) ^ Urx{x) при y ^ TO.

1.2. Задача в переменных фон Мизеса. Рассмотрим вспомогательную задачу. Имеем уравнение

d2U_ dU_ dU_ dUж

VW-иdx -uiy = -d{x-y){U™x-u_)-U“-¿г

dU_ du_ ()

dx + dy

в области D = {0 < x < X0, 0 < y < то} и граничные условия

u_{0,y) = U_{y),

u_{x, 0) = 0,v_{x, 0) = V(x), (7)

u_{x,y) ^ Urx{x) при y ^ то.

Сделаем следующую замену переменных Мизеса для задач (6), (7) и (4)-(5)

{x,y) ^ {x^):

ф = ф{x,y), (8)

где

дф и=w

v - V = -(9)

dx’

ф{x, 0) = 0,

и, v решения соответствующей задачи, V — вертикальная компонента скорости на нижней границе области. В качестве новой неизвестной функции выступает

w{x, ф) = u2{x, y).

Область D переходит в область Q = {0 <x<Xo, 0 < ф < то}.

Задача (6) — (7) в переменных Мизеса ставится следующим образом:

d2w dw dw dU

L_(w_) = vVW_dW_ - dW_ - Vd-W_ = -2dVMM){U- -VW_) - 2U-dU^ (10)

в области П с граничными условиями

w_{x, 0) = 0, w_ {0,ф) = W_ {ф), (11)

w_ (x,ip) ^ {U Ю)2{x) при ф ^ то,

где

г У

W_ ( I U_{v)dv) = U_{y),

o

d_ M{x^{xy) = d {x,y).

Имеет место следующее условие согласования:

^л/WsW” + 2U™{0)U™{0) - V{0)W'£ + 2dVM{0^){UЮ{0) - ^) = 0{ф) (13)

при ф ^ 0.

Обобщённым решением задачи (10) — (13) назовём функцию w_ {x/ф) со свойствами: w_

w

непрерывна, ограничена и положительна при ф > 0^ ограничена в П; w _ > кф при

ф

0 < ф < фі, к = const > 0; w удовлетворяет граничному условию (11) при ф = 0 и ф ^ то, а также интегральному тождеству:

dw_ С>Ф . 0 н- С>Ф . от, н- С>Ф r\ivM j ,

- + 2'/w_ai + 2V'/w_^- 2d_ ф+

ч Ж (14)

2Uю idUю \ \ Г ,

yd-+ dVM) ^-x-ф + 2 j л/щф{0,ф№ф = 0

12)

o

для любой функции ф(х,ф) Е равной нулю при х = Х0,ф = 0 и для достаточно

больших ф.

Эквивалентность постановок показана в [6, глава 10].

Для задачи (4) — (5) форма Мизеса следующая:

д2т дт дт г!!!“

и,,,)= - дх - у% = -”* х фнг° -V*) -2и ^ (15)

в области П с граничными условиями

т(х, 0) = 0, т(0,ф) = W (ф), (16)

т(х,ф) ^ (и“)2(х) при ф ^ то,

где

^£ и= и2(у), (17)

и условием согласования

V/Ww'' + 2и™(0)и™(0) - V(0^! + 2Г1*(0,ф)(и“(0) - /йГ) = О(ф) (18)

при ф ^ 0. Здесь Г1*(х,ф(х,у)) = Г(х,у).

1.3. Формулировка основных результатов. В этом разделе мы формулируем результаты о существовании и сходимости решений.

Теорема 1 (О существовании). Пусть Г£ — непрерывно дифференцируемая на М функция, Г£ (0) = 0

Решение п£(х,у), у£(х,у) задачи (2),(3) существует тогда и только тогда, когда существуют функции и£(х,у) и и£(х,у), являющиеся в области О решением системы уравнений Прандтля (6) с условиями (7). При этом

Г£ (х,у) = Г(х,у + Е£ (х)).

В этом случае

п£(х,у) = п1£(х,у - Г£(х)),

у£(х,у) = и£(х,у - Е£(х)) - Е'е(х) ■ и£(х,у - Е£(х)).

Теорема 2. Предположим, что

• и (у) > 0 при у > 0,и (0) = 0, и'(0) > 0, и (у) и “(0) = 0 при у то;

• и£(у) > 0 при у > 0, и£(0) = 0, и£(0) > 0, и£(у) — и“(0) = 0 ав у — то;

аи “

• ——, V(х) бесконечно дифференцируемы на [0,Х0];

• Г(х,у) бесконечно дифференцируема в О;

• и (у), и '(у), и "(у) ограничены при 0 < у < то и удовлетворяют условию Гёльдера;

• и£(у), и'(у), и£'(у) ограничены при 0 < у < то и удовлетворяют условию Гёльдера;

аи“

• —-— > 0 при 0 < х < X;

ах

• и£(у) < и“(0),и(у) < и“(0) для любых у > 0,£ > 0.

Тогда существуют такие X < Х0 и £0 > 0, что

• для любого £ < £0 существует единственное обобщённое решение (10) — (13) и единственное обобщённое решение задачи (15) — (18) в П;

• семейство решений задачи (10) — (13) сходится к решению задачи (15) — (18) при £ - 0 так, что

т£ ^ т

равномерно в П^ = {0 < х < X, 0 < ф < N} для любого N > 0, и

т£ ^ т

слабо в W2(ПN).

2. Доказательство теоремы 1 Доказательство. Введем новые независимые переменные:

С = x, П = у - р£(х)-

) _ д

дх д£ дц* £ ^ ^ ду дп

Поскольку д д дРЦх), д д, систему (6) можно переписать:

^ дх д ап ‘ аи ап ‘ о \ ) г

19)

П£ (п£ ? - Р£п£ п) + П£ п У£ = vп£ пп + и “и “' + Г(С, п + Р£ (С ))(и “ - П£ ),

П£ £ - Е£п£ п + У£ п = 0.

Обозначим

и£ := У£ - Г'п£, п£ := щ, Г£(С, п) := Г(С, п + Р£(С)) (20

и перепишем (19) в виде

и£и£ + и£пь£ = ииПп + и™и™' + ¿£(£, п)(и™ — и£),

ир + и£ = 0.

(21)

На границе выполняются условия

и£ |i=Q = и£ |i=Q = U£ (п + F£ (0)) = U£ (п),

' £ \

U1 n=Q = U£ (^> F£ (€)) = 0 UUo = v£ U=Q _ F£(€ )u£ U=Q = V (€),

U£(€,п)_- U”>(£).

Условия согласования, требуемые в классической теореме существования (теоремы 9.1.1 из [6]), выполняются по построению.

Теорема полностью доказана. □

Замечание 1. Далее, доказательство существования и единственности решений проводится аналогично доказательству теоремы 9.1.1 (о существовании и единственности решений системы уравнений Прандтля для магнитной однородной жидкости) (см. [6, Chapter 9, §9.1]), поэтому мы его здесь не приводим.

3. Вспомогательные результаты Рассмотрим задачу о продолжении двумерного немагнитного пограничного слоя:

д2и ди ди 1 dp и <х> dUж

ду2 дх ду pdx dx ’ ^)

и v дх + ду

в области D с граничными условиями

и(0,у) = U(у),и(х, 0) = 0,v(x, 0) = V(х),

и(х,у) — Uж(х) при у — с.

Для доказательства теоремы 2 нам понадобится следующее утверждение, доказанное в [6, 2.1] (Теорема 2.1.1):

Теорема 3. Предположим, что

• U(у) > 0 при у > 0; U(0) = 0, U'(0) > 0, U(у) Uж(0) = 0 при у ос;

dp

• — и V(х) непрерывны и дифференцируемы на [0,XQ];

• U(у), U'(у), U"(у) ограничены при 0 < у < с и удовлетворяют условию Гёльдера;

• имеет место условие согласования

¿Ыф_ _ ф(0) _ V(0) Лиу = оу) (24)

dy2 Лх Лу

для малых у.

Тогда существует такое X < XQ, что существует (и(х, у), v(х, у)) — решение (22), удовлетворяющее условиями (23) и обладающее следующими свойствами:

• и(х,у) непрерывна и ограничена в D;

• и > 0 при у > 0;

и

• — > m > 0 при 0 < у < yQ для каких-то m и yQ;

у

и 2и

• — и —— непрерывны и ограничены в D;

у у2

• — ,v,— непрерывны и ограничены в любом ограниченном подмножестве D;

х у

и v

• если IU'(у)1 < m 1 exp (_т2у),т1,m2 = const > 0, то —— и — ограничены в D.

х у

(23)

Гр Гр

Если — < 0 и V(х) < 0 или — < 0, то такое решение (22),(23) существует в О для ах ах

любых 0 < X < Х0.

Рассмотрим следующую задачу:

г < I— д2*£ дт£ ,гдт£ пТТОоаи“ , л

Ь£м = ^^ш-£1ф2 - -дх - Удф = -2и -х, <25)

0 < £ < £0, с условиями

т£(х, 0) = 0, т£(0,ф) = W£(ф), т£(х,ф) — (и“)2(х) при ф — то, (26)

а также задачу:

д2 т дт дт Си“

им , ^ ^ = -2и“ гих <27>

с условиями

т(х, 0) = 0, т(0,ф) = W(ф), т(х,ф) — (и“)2(х) при ф — то. (28)

Следующая лемма о сходимости необходима для доказательства теоремы 2.

Лемма 1 (О сходимости). Пусть и“(х), и, и£(у), V(х) удовлетворяют условиям теоремы 3 для любого 0 < £ < £0.

Тогда обобщённые решения задачи (25), (26) сходятся к обобщённому решению задачи

(27), (28) при £ — 0 так, что т£ ^ т равномерно в ПN для любого N > 0 и т£ ^ т слабо

в W21(ПN).

Доказательство. В [9] было доказано, что существует т0 и такая последовательность {£к}к^ (£к — 0 при к — то), что

т£к ^ т0 равномерно в ПN для любого N > 0, (29)

т£к ^ т0 слабо в W21(ПN) для любого N > 0. (30)

Для т£к выполнено

[ ( дт£к дф 2 ^дФ + 2у (х) ^дФ + 2и“ Си“ Л

УД-и^фдф - 2^дх +2V(х)^дф + СхСф+

“ _______ (31)

+2 ф(0,ф)Гф = 0,

о

для ф(х, ф) Е W1(П), равного нулю при х = X0,ф = 0 и достаточно больших ф. Далее для доказательства нам потребуется следующее утверждение.

Предложение 1. Имеет место следующее соотношение:

“ “

Ипо ^ \|W£(ф)ф(ф)Гф = J ^JW(ф)ф(ф)Гф (32)

00 для любой функции ф(ф) Е W21 (П), равной нулю при ф = 0 и достаточно больших ф.

Доказательство. Сначала докажем утверждение для индикаторной функции ф(ф) = 1[0}л](ф). Введём обозначения для переменных Мизеса:

у

ф(у) = и (п)dп,

у

фе(v) = J и£(rq)drq. о

Через Y£ обозначим такую величину, что

/ Ue (v)dv = A-

о

Через Y обозначим, соответственно, такую величину, что

/ U (v)dv = A-

о

Из (1) следует, что Ye — Y. Из равномерной ограниченности U £ следует сходимость

U 2 — U2 сильно в L2(R).

Тогда

сю A У£

lim [ \]We(ф)ф(ф)dф = lim [ \]We(ф)dt^ = lim f Ue(v^£(v)dv =

£—0 J £—0 J £—>0 J

0 0 0

YE Y Y Y

= £—0 / u2(v)dv = j U 2(v)dv = j U (vW(v)dv = J /W ^(v)W Wv =

0 0 0 0

A о

= J Vw(Ф)dф = J y/W(ф)ф(ф^ф.

00

Таким образом, утверждение верно для индикаторных функций, и следовательно, верно и для простых.

Зафиксируем 5 > 0. Выберем такую простую функцию f, что

сю

[\f(ф) - п(ф)№ф < 5

3и “(0)'

0

Мы это можем сделать, поскольку п имеет ограниченный носитель. Тогда

“ “

[ ф(ф)Гф - [ f (ф)аф <

00 о сю

ТОО /

< I /w.(ф)\ф(ф) - f (фш < ию(0) i \ф(ф) - f (ф)\аф < 5.

00

Аналогично,

СО сю

f /wwww - i т/Шf MO# < 500 Выберем такое є0 > 0, что для всякого є < є0

О О

I/w£W)f(ф)іф - J JWW)f(ф)іф < 5.

0 0

Тогда для любого £ < £0, мы получаем

Ю “

^ ^JW£(ф)ф(ф)Гф - [ .^ф)ф(ф)Гф

<

<

+

+

\JW£(ф)ф(ф)Гф -у ^JW£(ф) f (ф)Гф 0

[ ф(ф)Гф -1 f (ф)Гф

0 “

л/иг£(ф)f(ф)Гф - ( vw(ф)Гф

+

+

< 6.

Предложение доказано.

Из лемм 3.1 [9] и 1 следует, что, переходя к пределу при к — то в (31), мы получаем

[ ( дт0 дф 2 тдф + 2л, ( ^ тдф + 2и“ аи“ ф\ ссф +

УД-''^дф - 2'/Ш0вх: + № ~£Гф) СхСф+

“

+2 [ ф(0,ф)Гф = 0.

□

(33)

Таким образом, т0 является обобщённым решением задачи (27), (28), откуда следует утверждение леммы. □

4. Доказательство теоремы 2

Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 2.1 из [7] для задачи (10)-(13) и используя лемму 1, мы выводим следующие равномерные по £ оценки:

д2т 2

П2(ф)СхСф < М1

дт

2

дх

П (ф)СхГф < М2

(34)

(35)

для любого п(ф) Е “(К+).

Далее, аналогично лемме 1, существуют такие т0 и последовательность т к (£к — 0 при к — то), что

т£к ^ т0 равномерно в ПN для любого N > 0, (36)

т£к ^ т0 слабо в W1(QN) для любого N > 0. (37)

Для т к выполнено

2и“ аи“

\/т V ах

к

\ “

+ ф\схСф + 2 [ ^кф(0,ф)Гф = 0

(38)

для любой функции ф(х,ф) Е W2,(П), равной нулю при х = X0,ф = 0 и для достаточно больших ф. Повторяя доказательство леммы 3.1 [9], переходим к пределу в (38) при к — то.

п

2

п

+

Сходимость членов с С£М легко устанавливается, используя обратную замену переменных Мизеса:

Ф

и = 1т, у = [ — ф . (39)

У у/т(х,ф)

В результате, получаем, что

dw0 дф , о гттдф , от т гттдф

п

— —+ 2V— 2d ф+

дф дф дх дф

\

пи ж / dU ^ \ \ Р

+—( — -+ dvM ) ф I dxdф + 2 VWф(0, ф)йф = 0

\Wq\ dx J J

(40)

\WQ \ Лх J I

QQ

для любой функции ф(х,ф) Е W21 (П), Таким образом, wQ является решением обобщённой задачи. В силу единственности решения, такая предельная функция единственна. Теорема доказана. □

5. Заключительные замечания

Осталось заметить, что при замене (20) исходная задача переходит в задачу (6), (7), решение которой при е — 0 стремится к решению усреднённой задачи (4), (5). Таким образом, нами доказана сходимость решения исходной задачи (2), (3) к решению усреднённой задачи (4), (5).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самохин В.Н., Фадеева Г.М., Чечкин Г.А. Модификация О.А. Ладыженской уравнений Навье-Стокса и теория пограничного слоя // Вестник МГУП им. Ивана Федорова. Т. 5. 2009. С. 127-143.

2. Самохин В.Н., Фадеева Г.М., Чечкин Г.А. О непрерывной зависимости решения уравнений пограничного слоя от профиля начальных скоростей // Вестник МГУП им. Ивана Федорова. Т. 4. 2010. С. 64-71.

3. Самохин В.Н., Фадеева Г.М., Чечкин Г.А. Асимптотика решений уравнений пограничного слоя обобщённо ньютоновской среды при внешнем течении, близком к симметричному // Проблемы математического анализа. Т. 59. 2011. С. 123-128.

4. Conca. C. On the application of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics. // J. Math. Pures Appl. V. 64, № 1. 1985. P. 31-75.

5. Рыжов О.С., Савенков И.В.Пространственные возмущения, вносимые гармоническим осциллятором в пограничный слой на пластинке. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. Т. 28, № 4. 1988. С. 591-602.

6. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997.- 512 с.

7. Спиридонов С.В. О теореме усреднения для стратифицированной магнитной жидкости с микронеоднородными магнитным полем и граничным условием. // Проблемы Мат. Анализа. Т. 44. 2010. С. 133-143;

8. Спиридонов С.В., Чечкин Г.А. Просачивание пограничного слоя ньютоновской жидкости через перфорированную преграду // Проблемы Мат. Анализа. Т. 45. 2010. С. 93-102.

9. Линкевич А.Ю., Спиридонов С.В. и Чечкин Г.А. Об асимптотическом поведении решений системы уравнений Прандтля для стратифицированной магнитной жидкости. In: Book of Abstracts of the International Conference “Differential Equations and Related Topics” dedicated to the 110-th Anniversary of prominent mathematician Ivan G. Petrovskii (XXIII Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society) (May 30- June 4, 2011, Moscow, Russia), 256-257, Moscow: Moscow University Press & “INTUIT.RU”, 2011. [Международная конференция, посвященная 110 годовщине выдающегося математика И.Г.Петровскому (XXIII сессия

совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2011.- 424 с.]

10. Романов М.С., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. О скорости сходимости решений уравнений Прандтля в быстро осциллирующем магнитном поле // Доклады РАН. Т. 426, № 4. 2009. С. 450-456.

Анна Юрьевна Линкевич,

Университетский колледж Нарвика,

■Лодве Лангес гате, 2,

8505, г. Нарвик, Норвегия E-mail: anna.linkevitch@gmail.com

Сергей Викторович Спиридонов,

Кафедра дифференциальных уравнений,

Механико-математический факультет,

Московский Государственный университет им. М.В.Ломоносова,

Ленинские Горы, 1,

119991, г. Москва, Россия E-mail: spiridonov.s.v@gmail.com

Григорий Александрович Чечкин,

Кафедра дифференциальных уравнений,

Механико-математический факультет,

Московский Государственный университет им. М.В.Ломоносова,

Ленинские Горы, 1,

119991, г. Москва, Россия &

Университетский колледж Нарвика,

Лодве Лангес гате, 2,

8505, г. Нарвик, Норвегия E-mail: chechkin@mech.math.msu.ru