CC BY
9
УДК 517.925.6
В. И. Мататов, доцент (БГУ); Е. Я. Кричавец, ассистент (БГТУ); Т. А. Любецкая, ассистент (БГТУ); Н. В. Рабчун, ассистент (БГЭУ)
О ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ГАМИЛЬТОНА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
This article is about fourth degree Hamilton's autonomous systems, as
dxL
dt dyL
dt
dH dH
dx,
where
— =--, i = 1,2,
a1 x +a2 y1 +a0
Ф2 =
Ylx2 +Y2 У2 +Yo
H = F (q^, q2 ), F - holomorphic function of q2, q1 =
Pix1 + P2yi + P0 ' " S1x2 +82^2 +8o
It was shown if even one determination A1 = a1P2 - P1a2 or A2 = y182 - 81y2 differ from zero solution of the system has the second degree branching points as moving critical points. If all of the foregoing determinations are equal to zero, the solution has no critical points.
Введение. Многие задачи естествознания и техники моделируются с помощью систем дифференциальных уравнений Гамильтона [1-7]. Часто они оказываются автономными, т. е. их гамильтонианы явно не зависят от времени. Исследование характера подвижных особых точек решений нелинейных однородных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений является одной из основных задач аналитической теории дифференциальных уравнений [8-17].
В статьях [13, 14] исследованы системы двух дифференциальных уравнений «перекрестного типа». Найдены условия однозначности подвижных особых точек решений указанных систем. В работе [15] изучены автономные системы Гамильтона вида
х' = Ну (х, у), у' = -Нх (х, у),
Р ( х, у )
H (x, y) =
Q (x, y )
где Р, Q - взаимно простые полиномы.
Показано, что решения таких систем могут иметь в плоскости независимой переменной С только алгебраические подвижные особые точки.
Статья [16] посвящена исследованию подвижных особенностей системы
dx dz
dy dz
P (z, x, y)
Q(
A
z, x
x, y y
S (z, x, y)
= F,
= G,
где Р, Q, Я, 5 - полиномы не выше второй степени относительно х, у с голоморфными по г коэффициентами. Правые части системы удовлетворяют условию
дF дО п
— + — = 0.
дх ду
В работе [17] исследованы подвижные особые точки решений неавтономной системы Гамильтона вида
т=Рз<
dz
t=Q3 (z,
z, x, y),
y )
где Р3, Q3 - полиномы третьей степени относительно х, у с голоморфными по г коэффициентами.
Основная часть. Предположим, что гамильтониан Н = F (ф1, ф2), где
Ф =
a1 x1 +а2 y1 +а0
F ФЬ
Pixi +Р2 У +Po - голоморфная
Ф2 =
Yi x2 +Y2 y 2 +Yo
Ф2,
§1 х2 +62 у 2 +5о
функция относительно
t е С, х1, х2, у1, у2 е С и {да} . Соответствующая система Гамильтона будет иметь следующий вид:
дН = дF дф1
дФ1 ду1 ' дН = дF дф2
д^2 дФ2 д^2 ' дН = дF дф1 дх.
(1)
(2)
y =-
у 2 =■
dH
dx2
дф dx1 dF дф2 дФ2 dx2
(3)
(4)
Теорема 1. Если хотя бы один из опреде-
„ а1а2 У1У 2 лителей , не равен нулю, то ре-
Р1Р2 5А
шения системы (1)-(4) в качестве подвижных особых точек имеют точки ветвления второго порядка.
Доказательство. Систему (1)-(4) можно записать так
&Х1 дЕ -А1 Х1 +а2Р0 -а0Р2
& дФ1 (Р1Х1 +Р2 у +Ро )2
¿Х2 = дЕ А2Х2 +§0У2 -Уо52
& дф2 (81Х2 +52У2 +§0 )2
4у_ = _дЕ А1У1 +а0Р1 -«100 & дФ1 (Р1Х1 +Р2 у +Р0 )2' ЛУ2 = дЕ А 2 У 2 + У051 -50 У1 & дф2 (§1Х2 +§2У2 +§0 )
где А1 =«102 - в1а2, А2 = УА - §И2-
Рассмотрим следующие случаи:
(5) (6 ) (7 ) (8)
1) 2) 3)
а1 а 2 * 0, У1 У 2
Р1 Р2 §1 §2
а1 а 2 = 0, У1 У 2
Р1 Р2 §1 §2
а1 а 2 * 0, У1 У 2
Р1 Р2 §1 §2
* 0;
* 0;
= 0.
Пусть имеет место первый случай, а именно: А1 = ^а2 - а^ * 0, А2 = §1у2 - у^ * 0. Сделаем в системе (5)-(8) замену
Х1 = Х1 + а, Х2 = Х2 + Ь, у1 = У1 + с, у2 = Г2 + Л,
где а, Ь, с, Л удовлетворяют следующим системам:
Га1а + а2с + а0 = 0, Гу1Л + у2Ь + у0 = 0, [Р1а + Р2 с + Р0 = 0; + §2Ь + §0 =0. Тогда получим:
ф = а1 Х1 + ^ ф = 71Х2 + У 2¥2
ф1 р1 X + р2Г1 ' ф2 §1X2 + §272 ■ А система (5)-(8) преобразуется к виду
дЕ дф1 = дЕ А1Х1
Х =
(9)
(10) (11) (12)
дф2 д^2 дф2 ( Х2 +52Y2 )2
Из уравнений (9) и (11) имеем, что
Х1 _ С ■ = —. Откуда —- = С1, где С1 - произволь-
дф1 д^ дф1 (Р1Х1 +Р2^ )2'
дЕ дф2 дЕ А2Х2
дф2 д^2 дф2 (§1Х2 +52Y2 )2,
дЕ дф1 дЕ А1^
дф1 дХ1 дф1 (Х1 +Р2^ )2,
дЕ дф2 дЕ А2Y2
ЛХ1 Х1
ная постоянная.
Используя дифференциальное уравнение (ДУ) (9), будем иметь
ЛХ1
= Ф1 (С1, С2)
А1
(Р1 + Р2С1 )2 Х1
где Ф1 (С1, С2) =
дЕ
дф1
РА+Р2
_УдС2 +У2
Это позволяет записать ДУ (9) так:
А1Ф1 (C1, С2 К
Х1ЛХ1 =
(Р1 + Р2С1 )2
После интегрирования последнего уравнения получим:
Хз! А1Ф1 (С1, С2) (Р1 + Р2С1 )2
2
( - Сз),
где С3 - произвольная постоянная. Откуда
А1Ф1 (С,, С2) 1
Х1 = 2 1 и " 2/ ( -С3), а Y1 = — Х1.
1 Ч (Р1 + Р2С1) ъ) 1 С1 1
Аналогично из (10) и (12) следует
где С2 - произвольная постоянная. Имеем:
Х
Y^
= С2
ЛХ 2
ж
= Ф2 (С1, С2 )
(§1 +§2С2 ) Х2
где Ф 2(С1, С2) =
дЕ
дф 2
_а1С1 +а2 +Р2
= ЦС2 +У2 §1С2 +§2
Тогда решения системы (9)-(12) примут следующий вид:
А2 Ф2 (С, С2) 1
Х2 = 2 2 П " 2' ( - С4); Y2 =— Х2,
2 V (§1 + § 2С2) ^ 2 С2 2
где С4 - произвольная постоянная.
Рассмотрим второй случай (третий случай исследуется аналогично):
А1 = Р1а2 - а1Р2 =0, А2 = §1у2 - у1§2 * 0.
Решения Х2, Y2 системы (5)-(8) в качестве подвижных особых точек имеют точки ветвления второго порядка (очевидно из доказательства, проведенного выше).
Поскольку А1 =
Р1 Р2
= 0, то а = ^ = к. То-Р1 Р2
гда ф1 = Р1Х1 + Р2 у1 и уравнения (5), (7) преобразуются к следующему виду:
дЕ дерх _ дЕ р дФ1 ¿У дер1 2'
дЕ дф, дЕ „
У: ^
др дх1 дер
(14)
Из уравнений (13) и (14) имеем следующее:
йК ^Л, т. е.
йх Р2' ' '
Р2У1 +Р1Х1 _ С1, (15)
где С1 - произвольная постоянная.
Используя уравнение (13), получим:
йх
^ =ф1 ( С )Р2,
где Ф1(С1, С2) _
дЕ
дер1
р _У1С2 + У2
ер 2--
5^02+62
Интегрируя данное ДУ и пользуясь равенством (15), имеем:
Х _Ф1 (С1, С2 )Р2 (X-Сз ),
У1 Ф1 (С1, С2 )Р2 (-Сз ) + в01.
в2 в2
Следовательно, х1 и у1 не имеют в С никаких подвижных особых точек.
Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2. Если все определители
Р1Р2
У1У 2 515 2
равны нулю, то решения системы (5)-(8) не
имеют в С никаких подвижных особых точек.
Заключение. В статье рассмотрены автономные системы Гамильтона четвертого порядка вида
йх1 _ дН й дyi ' йуг _ дН й дх,. '
г _ 1, 2,
где Н _ Е (р1, р2), Е - голоморфная функция относительно р1, р2, где
_а1 Х1 +а2 У1 +а0 _У1 Х2 +У2 У 2 +Ус
_ п Г) Г) , т 2
в1 Х1 +Р2 У1 +Ро 51Х2 + 52 У 2 +50 Показано, что если хотя бы один из опреде-
лителей
а 1 а 2 У1У 2
Р1Р2 ? 515 2
не равен нулю, то реше-
ния рассматриваемой системы в качестве подвижных особых точек имеют точки ветвления
второго порядка. Если же каждый из вышеуказанных определителей равен нулю, то ее решения не имеют никаких подвижных особых точек.
Литература
1. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики / Н. А. Кильчевский. - М.: Наука, 1977. -Т. 2. - С. 543.
2. Мышкис, А. Д. Математика. Специальные курсы / А. Д. Мышкис. - М.: Наука, 1971. - С. 632.
3. Айзерман, М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. - М.: Наука, 1974. - С. 367.
4. Дубошин, Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г. Н. Дубошин. - М.: Наука, 1968. - С. 799.
5. Гребеников, Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е. А. Гребеников. - М.: Наука, 1986. - С. 255.
6. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики / А. А. Яблонский. - М.: Высшая школа, 1971. - Т. 2. - С. 487.
7. Петкевич, В. В. Теоретическая механика / В. В. Петкевич. - М.: Наука, 1981. - С. 496.
8. Айнс, Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э. Л. Айнс. - Харьков: ГНТИУ, 1939. - С. 718.
9. Голубев, В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В. В. Голубев. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. - С. 436.
10. Еругин, Н. П. Проблема Римана / Н. П. Еру-гин. - Минск: Наука и техника, 1982. - С. 336.
11. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еру-гин. - Минск: Наука и техника, 1972. - С. 664.
12. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, Х. Сигур. - М.: Мир, 1987.- С. 480.
13. Яблонский, А. И. Об одной системе дифференциальных уравнений без подвижных критических особых точек / А. И. Яблонский // Дифференциальные уравнения. - 1966. - Т. 2, № 6.- С. 752-762.
14. Яблонский, А. И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны / А. И. Яблонский // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, № 3.- С. 468-478.
15. Мататов, В. И. О характере подвижных особых точек некоторых систем Гамильтона / В. И. Мататов // Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17, № 8. - С. 1502-1503.
16. Мататов, В. И. Об условиях однозначности подвижных особых точек у одной системы дифференциальных уравнений / В. И. Мата-тов // Дифференциальные уравнения. - 1973. -Т. 9, № 11. - С. 2092-2094.
17. Мататов, В. И. Исследование подвижных особенностей неавтономных систем Гамильтона с кубическими нелинейностями / В. И. Мататов, Л. В. Сабынич // Вестник БГУ. Сер. 1. - 1993. - № 2. - С. 59-63.
^х 1 а 2
