О ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ГРАНИЦ АНОМАЛЬНЫХ ПО ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ ОБЪЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

_ДОКЛАДЫ АН ВШ РФ_

2015_июль-сентябрь_3(28)

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 550.837:517.958

О ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ГРАНИЦ АНОМАЛЬНЫХ ПО ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ ОБЪЕКТОВ

М.Г. Персова, О.С. Трубачева

Новосибирский государственный технический университет

Представлены метод и вычислительная схема для решения задачи восстановления границ аномальных по поляризуемости трехмерных структур и параметров поляризации в них по измеренному на дневной поверхности полю вызванной поляризации. Значения параметров среды определяются путем минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений поля вызванной поляризации от теоретических. Параметры среды восстанавливаются в трехмерной области под профилем съемки. На начальном этапе аномально поляризующаяся часть данной области разбивается на несколько крупных подобластей одинакового размера, каждой дается некоторое значение начальной поляризуемости. В процессе решения задачи ищутся положения границ подобластей, а также значения поляризуемости в них, в соответствии с требованием минимальности отклонения практического значения поля вызванной поляризации от рассчитанного теоретически. В данной работе рассмотрен поиск геометрического положения границ подобластей по одному из пространственных измерений. Приведены результаты работы на примере синтетических данных, полученных с помощью конечноэлементного моделирования трехмерного поля вызванной поляризации, которые подтверждают работоспособность предлагаемого подхода и вычислительной схемы и возможность их использования в программных системах обработки данных электроразведки методом вызванной поляризации.

Ключевые слова: обратная задача, вызванная поляризация, поляризуемость, границы аномальных структур.

Б01: 10.17212/1727-2769-2015-3-88-98

Введение

Одной из основных задач электроразведки является исследование структуры земной коры для обнаружения залежей полезных ископаемых. Задача поиска полезных ископаемых с помощью методов электроразведки сводится к решению двух основных задач: разработке способа моделирования реальных физических процессов, протекающих в Земле (прямая задача), и разработке способа интерпретации данных, полученных в результате полевых измерений (обратная задача) [1].

Одним из перспективных методов электроразведки является метод вызванной поляризации (ВП), основанный на изучении вторичных электрических полей, возникающих в Земле при пропускании электрического тока [2]. Для метода ВП разработано несколько вычислительных схем решения прямых задач, которые проверены на практических данных и дают хорошие результаты [3, 4].

Решение обратной задачи ВП подразумевает восстановление параметров среды по измеренным на поверхности Земли сигналам. Эффективное решение обратной задачи является серьезной проблемой из-за сложности структуры строения Земли. Существующие на сегодняшний день методы решения обратных задач ВП,

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - докторов наук (№ гранта МД-7244.2015.5).

© 2015 М.Г. Персова, О.С. Трубачева

основанные на одномерной и двумерной инверсии, применимы на практике только для сред простой структуры (например, для горизонтально-слоистых сред, содержащих протяженные по одной из координат объекты) [5, 6]. Если исследуемая область является трехмерной геологической структурой (сложный трехмерный рельеф, трехмерное изменение проводимости и поляризуемости), то требуется использование трехмерной инверсии, однако огромная вычислительная сложность соответствующих алгоритмов препятствует использованию трехмерной инверсии на практике.

Метод моделирования поля ВП, предложенный в работе [7] и используемый в дальнейшем в работах [3, 8], открывает перспективы для разработки эффективных подходов к решению трехмерных задач ВП. Здесь мы рассмотрим вычислительную схему для решения трехмерной обратной задачи ВП, основанную на методе [7]. Будем восстанавливать границы аномальных по поляризуемости трехмерных структур и параметры поляризации в них по измеренному на дневной поверхности полю ВП.

1. Математическая модель

Пусть электромагнитное поле в трехмерной горизонтально-слоистой среде с объектами возбуждается токовой линией AB с заземленными электродами A и B . Считаем, что трехмерное распределение проводимости и параметры спада ВП известны. При решении обратной задачи аномально поляризующуюся область разобьем на начальном этапе на относительно небольшое число подобластей (крупных ячеек) одинакового размера (M - общее количество ячеек). Вне этой области считаем значения параметров поляризации известными. Каждая из рассматриваемых ячеек будет характеризоваться начальной поляризуемостью am = const, параметром спада Pm = Pm (t) и своими геометрическими размерами.

Попробуем восстановить значения а в каждой ячейке и найти геометрические размеры этих ячеек (в данной работе рассматривается поиск размера ячейки по одному из пространственных измерений - по оси X).

Пусть b = {aj,..., ам, Axj,..., Ахм_i} - вектор искомых параметров, где aj,...,aM - значения начальной поляризуемости в каждой ячейке начального разбиения; Axj,...,Ахм_i - смещение границ ячеек начального разбиения по оси X; JVnp - измеренные «практические» значения поля ВП на поверхности;

V - теоретические значения поля ВП при определенном наборе bm (m = 1...2M _ 1); уm - коэффициенты регуляризации; N - количество точек измерения (i = 1...N). Будем искать нужный нам набор параметров bm путем минимизации суммы квадратов отклонений Vinp от Vi с регуляризацией:

N , 2M_1 . ,2

_ V ) + Z уm {bm _ b°m ) ^ ШШ. (1)

i=1 m=1 bm

Преобразуем выражение (1). Обозначим 8(Vi) = Vinp _ Vi, тогда, если линеаризовать 8(V) по b в окрестности b°, подставить в (1), затем взять производную от (1) и приравнять к нулю, то получим, что минимизация (1) сводится к решению СЛАУ вида Ab = F , где элементы матрицы A и вектора F выглядят следующим образом:

N д5(У-) 55(V) ф . ---— , г ф )

5Ьг дЬ}

N (

= Е

1=1

д5(¥,)

Л2

V дЬг у

+ Уг

/■ N 5( (Ьо) + ьО

Л = -л5(( (Ь )))—+УА ■ ,■-1 дьг

д5(У,)

где г = 1...2М -1, у = 1...2М -1, а производную-— можно определить как

дЬт

д5(¥г) = 5^ (Ь0 + йЬт ))-5(^(Ь0))

дЬт

с1Ьт

"т т

Согласно [7] поле, описывающее процесс ВП, может быть представлено в виде

м

VВИ = ^РкС)Щ , к=1

где функции Wk удовлетворяют краевой задаче для уравнения -&у(ст • grad Щ) = -div(5k ст • grad У0).

(2)

V) - потенциал поляризующего поля; ст - удельная проводимость; 5к - индикатор ячейки, к = 1..М .

Т Ь { } дЪ(У-)

Тогда для Ьт е{а1,....,ам } производная-принимает вид

дЬт

д5(У)

дЬт

= -Щ Рк С).

Для Ьт е {Лхь..., Ахм-1} производная д5(^) =- ——ак+1)ЩРк(?). Щ - это

дЬт

С Лхк

"т к

решение задачи (2) для смещения к -й границы (между к -й и к + 1-й ячейками). Матрица А и вектор ^ имеют блочную структуру:

А =

(А1 А2л Г ^1

, ^ =

А А4 у ^2 V У

123412 123412

где элементы ар5, арс, а^, ак, Др, Д блоков А , А , А , А , ^ , ^ соответственно можно найти по следующим формулам:

N

аР =£ЩрЩ$2(Г), р Ф 5, 1=1

1 N 2 2

а1рр =Е (Щр )2 Р2(?) + У р, 1=1

а

гг

/р = Е (( - V- (Ь0))(')+урЬ°р ,

рр,

г=1

//2=: ( - V- (ь0) ))+±1 щ Р(.)+у/Ь/°,

-■1 и ДХу

г=1

N

0

р = 1..М , 5 = 1..М , с = 1..М -1, I = 1..М -1.

2. Результаты численного моделирования

Рассмотрим работу представленной выше вычислительной схемы на двух сериях тестов. В качестве вмещающей среды будем рассматривать однородное полупространство с параметрами стср = 0,01 См/м, аср = 0,001, в которое на глубине 100 м помещен слой со следующими параметрами: стсл = 0,05 См/м, асл = 0,05, ксл = 100 м (ст - удельная проводимость; а - поляризуемость; к -толщина). Поместим в этот слой объект с отличной от слоя проводимостью и поляризуемостью. Далее выберем произвольную область, которая полностью или частично перекрывает объект. Попробуем в данной области восстановить значения параметра поляризуемости и границы подобластей, отличных по значению параметра поляризуемости. Затем изменим размеры объекта и вновь попытаемся восстановить параметры среды в выбранной ранее области. В первой серии тестов выберем в качестве области восстановления параметров среды «узкую» по оси У область с размерами 600 х100 х100 м3 (рис. 1, а). Разобьем эту область на три ячейки, как показано на рис. 1, б (границы между ячейками обозначены штрих-пунктирной линией). Для каждой ячейки будем находить значение параметра поляризуемости и определять положения границ между ячейками, которые можно будет считать границами объекта.

Проведем вычисления для четырех вариантов размера поискового (аномального по поляризуемости) объекта с характеристиками стоб = 1 См/м, аоб = 0,15. Размеры объекта для каждого варианта приведены в табл. 1. Положение поискового объекта относительно области восстановления параметров приведено на рис. 2. В качестве практических данных будем использовать данные, полученные в результате моделирования трехмерного поля ВП методом, описанным в [7]. Параметр спада вычисляется по формуле Р(/) = 1 - ехр (-^ / Т0 1п2), вычисления проводятся при п = 3 , Т) = 0,02 . Практические данные моделируются вдоль од-

ного профиля, его расположение показано пунктирной линией на рис. 1, б. Длина приемных линий MjNj 50 м.

а б

Рис. 1 - «Узкая» область восстановления параметров (а), разбиение области

на ячейки (б)

Fig. 1 - The «narrow» area of the parameters recovery (a), the division of the area

into cells (b)

Таблица 1 / Table 1

Размеры объекта The size of the object

Номер варианта Размер по оси X , м Размер по оси Y , м Размер по оси Z , м

1 200 100 100

2 200 200 100

3 200 300 100

4 200 400 100

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Рис. 2 - Положение поискового объекта относительно области восстановления

параметров

Fig. 2 - The position of the search object relative to the parameters recovery area

В табл. 2 приведены восстановленные параметры среды для ячеек «узкой» области, начальные и конечные значения функционала невязки

Ф(Ь) = JX ((Р _ V) . В табл. 3 приведено сравнение истинных (хист , аист) и Vi=i

восстановленных (хвосст, авосст) значений координаты X границ поискового объекта и его поляризуемости.

Таблица 2 / Table 2

Восстановленные параметры среды для ячеек «узкой» области Recovered environment parameters for the cells of the «narrow» area

Номер варианта Номер ячейки Левая граница по оси X, м Правая граница по оси X, м Поляризуемость Начальный функционал невязки Конечный функционал невязки

1 1 4700 4950 0,05

2 4950 5150 0,15 1,70E-004 1,46E-014

3 5150 5300 0,05

2 1 4700 4950 0,05

2 4950 5150 0,23 1,60E-004 6,26E-006

3 5150 5300 0,05

3 1 4700 4950 0,05

2 4950 5150 0,26 1,68E-004 9,33E-006

3 5150 5300 0,07

4 1 4700 4960 0,06

2 4960 5140 0,29 1,91E-004 2,87E-005

3 5140 5300 0,09

Таблица 3 / Table 3

Сравнение истинных и восстановленных границ объекта и его поляризуемости Comparison of proper and recovered objects boundaries and its polarizability

Номер варианта Левая граница по оси X , м Правая граница по оси X , м Поляризуемость

^восст хист ^восст хист а восст а ^ист

1 4950 4950 5150 5150 0,15 0,15

2 4950 4950 5150 5150 0,23 0,15

3 4950 4950 5150 5150 0,26 0,15

4 4960 4950 5140 5150 0,29 0,15

По данным табл. 3 видно, что в том случае, когда границы объекта по оси У совпадают с границами области восстановления параметров, удается найти и правильное положение границ объекта по оси X, и значения поляризуемости во всей области восстановления параметров (вариант 1). При увеличении размера поискового объекта по оси У положение границ объекта по оси X восстанавливается практически правильно, но значение поляризуемости во всей области восстановления параметров завышается, хотя в целом восстанавливается вполне корректно.

На рис. 3, 4 показано отклонение значений потенциала поля ВП, деленного на потенциал поляризующего поля (в приемных линиях М1Ы1) от истинного значения поля ВП, деленного на потенциал поляризующего поля. На рис. 3 показаны значения поля ВП среды без поискового объекта (итерация 1) и значения полей

ВП сред, получаемых в ходе итерационного процесса. Данные на рис. 3 приведены для варианта 1. На рис. 4 показаны значения поля ВП среды без поискового объекта и значения поля ВП восстановленной среды. На рис. 4, а данные приведены для варианта 2, на рис. 4, б - для варианта 3, на рис. 4, в - для варианта 4.

. I . I . I . I 0.0 20. 40. 60. 80. N

Рис. 3 - Поле ВП для варианта 1 (индекс кривой -номер итерации)

Fig. 3 - IP field for variant 1 (the curve index is number of iteration)

o.o 20. 40. 60. 80. N 0.0 20. 40. 60. 80. N 0.0 20. 40. 60. 80. N

а б в

Рис. 4 - Поле ВП для варианта 2 (а); для варианта 3 (б); для варианта 4 (в):

1 - кривая поля ВП среды без поискового объекта; 2 - кривая поля ВП восстановленной среды Fig. 4 - IP field for variant 2 (a); for variant 3 (b); for variant 4 (c): 1 - no-object environment IP field curve; 2 - recovery environment IP field curve

Теперь рассмотрим обратную ситуацию. В качестве области восстановления параметров среды выберем «широкую» область с размерами 600 х 400 х 100 м3 (рис. 5, а). Разобьем эту область на три подобласти, как показано на рис. 5, б (границы между ячейками обозначены штрихпунктирной линией). Как и в первом случае, для каждой подобласти найдем значение поляризуемости и определим положение границ между ячейками по оси X.

Вычисления будем проводить для вариантов поискового объекта с теми же параметрами, что и в первой серии тестов. Положение объекта относительно «широкой» области восстановления параметров приведено на рис. 6.

Рис. 5 - «Широкая» область восстановления параметров среды (а), разбиение

области на ячейки (б)

Fig. 5 - The «wide» area of the parameters recovery (a), the division of the area into

cells (b)

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

--— — - ----- — — — i — — —

Рис. 6 - Положение поискового объекта относительно области восстановления

параметров

Fig. 6 - The position of the search object relative to the parameters recovery area

Восстановленные параметры среды для ячеек «широкой» области приведены в табл. 4. В табл. 5 приведено сравнение истинных (хист , аист) и восстановленных

(хвосст , авосст) значений координаты X границ поискового объекта по оси X и его поляризуемости.

По данным табл. 5 видно, что во второй серии тестов также удается абсолютно точно определить границы объекта по оси X и значения поляризуемости во всей области восстановления параметров для той ситуации, когда границы объекта по оси У совпадают с границами области восстановления параметров (вариант 4), в остальных случаях границы и поляризуемость восстанавливаются хотя и не точно, но корректно. При уменьшении объекта по оси У восстанавливается более «узкий» по оси X объект.

Таблица 4 / Table 4 Восстановленные параметры среды для ячеек «широкой» области

Recovered environment parameters for the cells of the «wide» area

Номер варианта Номер ячейки Левая граница Правая граница Поляризуемость Начальный функционал Конечный функционал

по оси X, м по оси X, м невязки невязки

1 1 4700 5040 0,05

2 5040 5070 0,30 1,70E-004 4,26E-005

3 5070 5300 0,04

2 1 4700 5040 0,05

2 5040 5130 0,15 1,60E-004 4,2E-005

3 5130 5300 0,04

3 1 4700 5020 0,05

2 5020 5070 0,34 1,68E-004 1,81E-005

3 5070 5300 0,05

4 1 4700 4950 0,05

2 4950 5150 0,15 1,91E-004 5,04E-014

3 5150 5300 0,05

Таблица 5 / Table 5

Сравнение истинных и восстановленных границ объекта и его поляризуемости Comparison of proper and recovered objects boundaries and its polarizability

Номер объекта Левая граница по оси Х, м Правая граница по оси Х, м Поляризуемость

^восст ^ист ■*восст ^ист п восст п ^ист

1 5040 4950 5070 5150 0,30 0,15

2 5040 4950 5130 5150 0,15 0,15

3 5020 4950 5070 5150 0,34 0,15

4 4950 4950 5150 5150 0,15 0,15

Заключение

Разработаны метод и вычислительная схема для решения задачи определения границ аномальных по поляризуемости трехмерных структур и значений поляризуемости в них по измеренному на поверхности Земли полю вызванной поляризации. На примере синтетических данных, полученных с использованием 3Б-моделирования, подтверждена работоспособность разработанной вычислительной схемы и возможность ее использования в программных системах обработки данных электроразведки методом вызванной поляризации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жданов М.С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике / пер. с англ. С.А. Варенцовой и Е.Ю. Соколовой. - М.: Научный мир, 2007. - 712 с.

2. Комаров В.А. Электроразведка методом вызванной поляризации. - 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Недра, Ленинградское отделение, 1980. - 390 с.

3. Конечноэлементное моделирование электрического и магнитного поля вызванной поляризации в трехмерной среде / Ю.Г. Соловейчик, М.Г. Персова, М.В. Абрамов, М.Г. Токарева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2011. - Т. 14, № 3. -С. 112-124.

4. Zhdanov M. Generalized effective-medium theory of induced polarization // Geophysics. -2008. - Vol. 73, N 5. - P. F197-F211. - doi: 10.1190/1.2973462.

5. Loke M.H., Chambers J.E., Ogilvy R.D. Inversion of 2D spectral induced polarization imaging data // Geophysical Prospecting. - 2006. - Vol. 54, iss. 3. - P. 287-301. - doi: 10.1111/ j.1365-2478.2006.00537.x.

6. Li Ya., Oldenburg D.W. 3-D inversion of induced polarization data // Geophysics. - 2000. -Vol. 65, N 6. - P. 1931-1945. - doi: 10.1190/1.1444877.

7. Моисеев В. С., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации в сложных средах для токовой линии с заземленными электродами // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1999. - Т. 2, № 1. - С. 79-93.

8. Methods and algorithms for reconstructing three-dimensional distributions of electric conductivity and polarization in the medium by finite-element 3D modeling using the data of electromagnetic sounding / M.G. Persova, Y.G. Soloveichik, G.M. Trigubovich, M.G. Tokareva // Izvestiya, Physics of the Solid Earth. - 2013. - Vol. 49, iss. 3. - P. 329-343. - doi: 10.1134/ S1069351313030117.

ON AN APPROACH TO SOLVING INDUCED POLARIZATION INVERSE PROBLEMS UNDER RECOVERY OF BOUNDARIES OF AN OBJECT WITN ANOMALOUS POLARIZABILITY

Persova M.G., Trubacheva O.S.

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation

This paper presents the method and the computational scheme to determine for the boundaries of three-dimensional structures with anomalous polarizabilities and the polarization parameter values in them. The boundaries of structures and the polarization parameter values are recovered from the measured induced polarization field values on the surface. These environment parameters are recovered in the three-dimensional area. First, this area is divided into several large sub-areas. Each of the sub-areas is characterized by its own arbitrary initial polarizability. In the process of solving the problem, we determine a new geometric position of the cell boundaries and the polarizability value in them. The environment parameters are found by minimizing the sum of squared differences between the measured and theoretical induced polarization field values. This paper considers the search for geometrical positions of cell boundaries by one of the spatial dimensions. The efficiency of the proposed computational scheme is validated for synthetic data obtained by three-dimensional finite element modeling of the induced polarization field.

Keywords: inverse problem, induced polarization, polarizability, boundaries of anomalous structures.

DOI: 10.17212/1727-2769-2015-3-88-98

REFERENCES

1. Zhdanov M.S. Teoriya obratnykh zadach i regulyarizatsii v geofizike. Amsterdam [et al.], Elsevier, 2002. 628 p. (Russ. ed.: Zhdanov M.S. Teoriia obratnykh zadach i reguliarizatsii v geofizike. Translated from English S.A. Varentsova, E.Yu. Sokolova. Moscow, Nauchnyi mir Publ., 2007. 712 p.).

2. Komarov V.A. Elektrorazvedka metodom vyzvannoipolyarizatsii [Geophysical prospecting by method of induced polarization]. 2nd ed., rev. and enl. Leningrad, Nedra Publ., Leningrad branch, 1980. 390 p.

3. Soloveichik Iu.G., Persova M.G., Abramov M.V., Tokareva M.G. Konechnoelementnoe mo-delirovanie elektricheskogo i magnitnogo polia vyzvannoi poliarizatsii v trekhmernoi srede [Finite-element modeling of electric and magnetic fields of induced polarization in a three-dimensional medium]. Sibirskii zhurnal industrial'noi matematiki - Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2011, vol. 14, iss. 3, pp. 112-124. (In Russian)

4. Zhdanov M. Generalized effective-medium theory of induced polarization. Geophysics, 2008, vol. 73, no. 5, pp. F197-F211. doi: 10.1190/1.2973462

5. Loke M.H., Chambers J.E., Ogilvy R.D. Inversion of 2D spectral induced polarization imaging data. Geophysical Prospecting, 2006, vol. 54, iss. 3, pp. 287-301. doi: 10.1111/j.1365-2478.2006.00537.x

6. Li Ya., Oldenburg D.W. 3-D inversion of induced polarization data. Geophysics, 2000, vol. 65, no. 6, pp. 1931-1945. doi: 10.1190/1.1444877

7. Moiseev V.S., Royak M.E., Soloveichik Y.G. Matematicheskoe modelirovanie protsessov vyzvannoi poliarizatsii v slozhnykh sredakh dlia tokovoi linii s zazemlennymi elektrodami [Mathematical simulation of summoned polarization processes in complex media for current line with earthed electrodes]. Sibirskii zhurnal industrial'noi matematihi - Journal of Applied and Industrial Mathematics, 1999, vol. 2, iss. 1, pp. 79-93. (In Russian)

8. Persova M.G., Soloveichik Y.G., Trigubovich G.M., Tokareva M.G. Methods and algorithms for reconstructing three-dimensional distributions of electric conductivity and polarization in the medium by finite-element 3D modeling using the data of electromagnetic sounding. Izvestiya, Physics ofthe Solid Earth, 2013, vol. 49, iss. 3, pp. 329-343. doi: 10.1134/ S1069351313030117

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Персова Марина Геннадьевна - родилась в 1978 году, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: конечноэлементное моделирование электромагнитных полей в задачах геоэлектрики и электромеханики. Опубликовано 100 научных работ. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20. Email: [email protected]).

Persova Marina Gennad'evna (b. 1978) - Doctor of Science (Eng.), Professor, Professor at the Applied Mathematics Department in Novosibirsk State Technical University. Her research interests are currently focused on the finite element simulation of electromagnetic fields in problems geoelectric and electromechanics. She is author of 100 scientific papers. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russian Federation. Email: [email protected]).

Трубачева Ольга Сергеевна - родилась в 1986 году, окончила Новосибирский государственный технический университет, с 2013 года аспирант кафедры прикладной математики НГТУ. Область научных интересов: решение обратных задач вызванной поляризации. (Адрес: 630073, Россия, Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20).

Trubacheva Olga Sergeevna (b. 1986) - graduated from the Novosibirsk State Technical University, Post-graduate Student at the Applied Mathematics Department in NSTU. Area of research: inverse problems of induced polarization. (Address: 20, Karl Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russian Federation).

Статья поступила 10 июля 2015 г.

Received July 10, 2015

To Reference:

Persova M.G., Trubacheva O.S. O podkhode k resheniyu obratnoi zadachi vyzvannoi polyarizatsii pri vosstanovlenii granits anomal'nykh po polyarizuemosti ob"ektov [On an approach to solving induced polarization inverse problems under recovery of boundaries of an object witn anomalous polarizability]. Doklady Akademii nauk vysshei shkoly Rossiiskoi Federatsii — Proceedings of the Russian higher school Academy of sciences, 2015, no. 3 (28), pp. 88-98. doi: 10.17212/1727-27692015-3-88-98