CC BY
3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
Научная статья УДК 514.76
doi: 10.18522/1026-2237-2023-1-4-10
О ПОЧТИ КВАЗИСАСАКИЕВЫХ ПАРАКОНТАКТНЫХ СТРУКТУРАХ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ СУБРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Сергей Васильевич Галаев
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия sgalaev@mail. ru
Аннотация. Вводится понятие почти квазисасакиевой параконтактной структуры. В отличие от квазисасакиевой параконтактной структуры введенная структура не обладает свойством нормальности. Исследуются инварианты внутренней геометрии почти квазисасакиевой параконтактной структуры. Под внутренней геометрией почти параконтактного метрического многообразия понимаются те его геометрические свойства, которые зависят только от параллельного перенесения, определяемого внутренней связностью. В частности, доказывается, что из обращения в нуль тензора Схоутена следует, что структурное векторное поле является киллинговым. Приводится пример почти квазисасакиевой параконтактной структуры, которая естественным образом возникает на распределениях субри-мановых многообразий. На неинволютивном распределении D субриманова многообразия М контактного типа определяется почти параконтактная метрическая структура, названная в работе продолженной. Доказывается, что на распределении нулевой кривизны продолженная структура является почти квазисасакиевой параконтактной. Характеристическим свойством распределения нулевой кривизны является обращение в нуль тензора кривизны Схоутена. Проводится анализ известной классификации продолженных структур, основанный на свойствах фундаментального, ассоциированного с продолженной структурой тензора F типа (0, 3). В соответствии с указанной классификацией имеется 212 классов почти параконтактной метрической структуры, среди которых - 12 базисных. Найден класс, содержащий продолженную почти квазисасакиеву параконтактную структуру.
Ключевые слова: субриманово многообразие контактного типа, внутренняя геометрия субриманова многообразия, продолженная почти параконтактная метрическая структура, распределение нулевой кривизны субриманова многообразия, почти квазисасакиева параконтактная структура
Для цитирования: Галаев С.В. О почти квазисасакиевых параконтактных структурах на распределениях субримановых многообразий // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2023. № 1. С. 4-10.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
© Галаев С.В, 2023
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Original article
ON ALMOST QUASI-SASAKIAN PARACONTACT STRUCTURES ON DISTRIBUTIONS OF SUB-RIEMANNIAN MANIFOLDS
Sergei V. Galaev
Saratov State University, Saratov, Russia sgalaev@mail.ru
Abstract. The concept of an almost quasi-Sasakian paracontact structure is introduced. In contrast to the quasi-Sasakian paracontact structure, the introduced structure does not have the normality property. The invariants of the intrinsic geometry of an almost quasi-Sasakian paracontact structure are studied. The intrinsic geometry of an almost paracontact metric manifold is understood to mean those of its geometric properties that depend only on the parallel translation determined by the intrinsic connection. In particular, it is proved that the vanishing of the Schouten tensor implies that the structure vector field is a Killing vecto r field. An example of an almost quasi-Sasakian paracontact structure is given. Almost quasi-Sasakian paracontact structures arise naturally on distributions of sub-Riemannian manifolds. On a non-involutive distribution D of a sub-Riemannian manifold M of contact type, an almost paracontact metric structure is defined, which is called an extended structure. It is proved that on a distribution of zero curvature, the extended structure is an almost quasi-Sasakian paracontact structure. A characteristic property of a distribution of zero curvature is the vanishing of the Schouten curvature tensor. The well-known classification ofextended structures is analyzed based on the properties of the fundamental tensor F of type (0, 3) associated to the extended structure. In accordance with this classification, there are 212 classes of almost paracontact metric structure, among which there are 12 basic ones. A class containing an extended almost quasi-Sasakian paracontact structure is found.
Keywords: sub-Riemannian manifold of contact type, intrinsic geometry of a sub-Riemannian manifold, extended almost paracontact metric structure, distribution of zero curvature of a sub-Riemannian manifold, almost quasi-Sasakian paracontact structure
For citation: Galaev S.V. On Almost Quasi-Sasakian Paracontact Structures on Distributions of Sub-Riemannian Manifolds. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(1):4-10. (In Russ.)
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Почти параконтактная структура определена в работе [1]. Подробному исследованию геометрии почти параконтактных метрических многообразий посвящена работа [2]. В настоящей работе вводится понятие почти квазисасакиева параконтактного многообразия (AQSP-многообра-зия). AQSP-многообразие является параконтактным аналогом почти контактного кэлерова многообразия [3].
Под субримановым многообразием контактного типа понимается гладкое многообразие М размерности п = 2т + 1 с заданной на нем субримановой структурой (М, д, D), где D = ker(^); D1 = span( £); д - риманова метрика на многообразии М, относительно которой распределения D и D1 взаимно ортогональны. Идея продолжения почти контактных структур тесно связана с развитием аппарата связностей над распределением и теории продолженных связностей [4-6]. В настоящей работе показано, что AQSP-структуры естественным образом возникают на распределениях нулевой кривизны субримановых многообразий. Если размерность субриманова многообразия М равна п = 2т + 1, то размерность его распределения D как тотального пространства векторного расслоения равна п = 4 т + 1.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
В работах [7, 8] введено понятие внутренней геометрии субриманова многообразия контактного типа М. К ее основным инвариантам относятся: тензор кривизны Схоутена; 1-форма rç, порождающая распределение D; производная Ли L^g метрического тензора g вдоль векторного поля тензорное поле Р, компоненты которого в адаптированных координатах выражаются с помощью равенства = . Показано, что из обращения в нуль тензора Схоутена следует равенство нулю инвариантов L^g, Р. В настоящей работе проводится анализ известной классификации продолженных структур, основанный на свойствах фундаментального, ассоциированного с продолженной структурой тензора F типа (0, 3). В соответствии с указанной классификацией имеется 212 классов почти параконтактной метрической структуры, среди которых - 12 базисных [9].
О геометрии почти квазисасакиевых параконтактных многообразий
Пусть M - псевдориманово многообразие размерности п = 2т + 1 с заданной на нем почти параконтактной метрической структурой (M, rç, g, ф, D), где rç и % - 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и D1; ф - структурный эндоморфизм. При этом выполняются следующие условия: = 0, ф2=1--п®%, л°ф = 0, = 1, Л(Х) = g(X,Ç),
g(cpX,cpY) = -g(X,Y) + v&)v(Y).
Дополнительно потребуем, чтобы drçtfr) = 0. Форма П, определяемая равенством П(Х, Y) = = g(X, pY), называется фундаментальной.
Многообразие M с заданной на нем почти параконтактной метрической структурой называется почти параконтактным метрическим многообразием. Многообразие M называется нормальным почти параконтактным метрическим многообразием, если выполняется равенство
Njp1 = N(p-2dv®Ç = 0, где N(p(X, Y) = [(рХ, (pY] + (р2 [X, Y] — (р[(рХ, Y] — (р[Х, (pY] - тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Часто выделяют следующие основные классы почти параконтактных метрических многообразий [2, 10]:
1) параконтактное метрическое многообразие - П = drç;
2) квазисасакиевы параконтактные многообразия - dû = 0, N^ = 0;
3) парасасакиево метрическое многообразие - нормальное параконтактное метрическое многообразие;
4) почти паракосимплектическое метрическое многообразие - drç = 0 и dû = 0.
В настоящей работе вводится новый класс почти параконтактных метрических многообразий -почти квазисасакиевы параконтактные многообразия. Назовем почти параконтактное метрическое многообразие почти квазисасакиевым параконтактным многообразием (AgSP-многообра-зием), если выполняются следующие условия: dû = 0, N^ = N^ — ® % = 0.
Пусть V - внутренняя линейная связность на субримановом многообразии контактного типа [11].
Карту k(xl) (i,j, к = 1,... ,п; а,Ь,с = 1, ...,п— 1; !,], К = 1,... ,2п — 1 ) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если dn = Пусть Р: ТМ ^ D - проектор, определяемый разложением ТМ = D&D1, и к(х1) - адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — Гадп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D = span(ea). Условие = 0 эквивалентно справедливо-
сти равенства дпГа = 0.
Легко установить, что производные дпГаС являются компонентами допустимого тензорного поля [3].
Пусть V - связность Леви-Чивиты и ГД. - ее коэффициенты. В результате непосредственных вычислений, основанных на применении равенства
2Щ = gkm(egjk + ejgik — ek9ij + alkjgu + П1к1дц) + (ПпаЬ = 2шЬа, ПЪп = дпГ£), убеждаемся в справедливости следующего предложения.
Предложение 1. Ненулевые коэффициенты Щ связности Леви-Чивиты почти параконтактных метрических многообразий в адаптированных координатах имеют вид Г= Г£ь,
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
= vba - Cab, ГЦ.П = = + К, где Г§с = 1gad(ebgcd + ecgbd - edgbc), тр% = дЬсШас,
Cab = landab, Са=9ЬсСас. Здесь эндоморфизм ф:ТМ^ТМ определяется из равенства dy(X,Y) = tä(X,Y) = gtyX,Y). Выполняются также следующие соотношения: С(Х, Y) = 1 (L^g)(X, Y), д(СХ, Y) = С(Х, Y). Как видно из последних равенств, символом С в зависимости от контекста обозначаются тензоры разных валентностей.
Под внутренней геометрией почти параконтактного метрического многообразия М будем понимать те геометрические свойства М, которые зависят только от параллельного перенесения, определяемого внутренней связностью, и от оснащения D1. К основным инвариантам внутренней геометрии почти параконтактного метрического многообразия мы относим тензор кривизны Схоутена ( R(X, Y)Z) = VXVYZ - VYVXZ - VP[XY]Z - P[Q [X, Y], Z], Q = l-P.
Компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах имеют вид R^bc = 2е[аГщс +
+ 2Г\а1е1ГЬ]с.
К другим инвариантам внутренней геометрии относятся: дифференциальная форма ш = dц, производная Ли С = метрического тензора д вдоль векторного поля £ и тензорное поле Р, компоненты которого в адаптированных координатах представлены в виде Р^а = .
Пусть М - субриманово многообразие контактного типа [7]. Наиболее просто устроены суб-римановы многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена. Многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена подробно изучались в случае контактного метрического многообразия в работах [6, 8].
Пусть V - внутренняя метрическая связность: Zg(X,Y) = g(V ZX,Y) + g(X,V ZY) = 0, X,Y,Z e r(D). Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем 2шеадпдЬс - gdcReab - dba^eac = 0. Учитывая неинвулятивность распределения D, заключаем, что равенство R^ac = 0 влечет равенство dngbc = 0, откуда следует обращение в нуль тензора Р. Заметим, что для отдельных классов многообразий одновременно выполняются следующие условия: dngbc Ф 0, P£d = dnT^id = 0 [12].
В заключение раздела приведем пример AgSP-многообразия.
Пусть М = {(х, у, z,u,v) e R5:y Ф 0} - гладкое многообразие размерности 5, оснащенное почти параконтактной метрической структурой (М, £,^,^,g,D). Здесь: 1) D =< е1е2е3е4 >, где е1 = д1- уд^ е2 = = д-з,е4 = (9i,d2,d3,d4,d5) - естественный базис пр°странства R5; 2) £ = д5; 3) ц = dz + ydx; 4) <ре1 = е3, <ре2 = е4, <ре3 = е1, фе4 = е2, cpt, = 0; 5) базис (е1е2 е3 е4 £)) состоит из ортонормированных векторов. Непосредственно проверяется, что почти параконтактное метрическое многообразие М не является нормальным, но является почти нормальным многообразием. Действительно, N^^e-j^, е2) = ф2[е1, е2] + [е3, е4] - ф[е3, е2] - ^[е1, е4] --2di^(e1,e2)£ = -<р2£ + = С другой стороны, N(p(e1,e2) = -2di^(e3,e4)£ = 0. Таким
образом, М - почти квазисасакиево параконтактное многообразие.
Продолженные почти параконтактные метрические структуры
Пусть М - гладкое многообразие нечетной размерности п — 2т + 1, т > 1, с заданной на нем почти параконтактной структурой (М, ц, ф, И). Тензорное поле
где V - связность Леви-Чивиты, введено и названо в работе [9] фундаментальным тензорным полем, ассоциированным со структурой почти параконтактного метрического многообразия. В зависимости от строения поля F выделяют 12 базисных классов почти параконтактных структур.
Покажем, какое имеют строение фундаментальные тензорные поля, ассоциированные со структурой почти параконтактного метрического многообразия, соответствующие двум наиболее интересным для нас классам Р8 и Fg. Полный список базисных классов содержится в [9].
Р(Х, Y, г) — -1г1(Х){Р(<р2Х, (р2г, $) + Р((рХ, <рЪ, $) - Р(<р2Ъ, <р2Х, $) - Р(<рЪ, <рХ, +
+ 1^(Т){Р((р2Х,(р2У, $) + Р((рХ, фУ, $)-Р((р2\,(р2Х, $)-Р((р\, (рХ, £)}-
4
2т
W)g(cpX, <pZ) - 4(Z)g(<pX, <pY)};
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
F9: F(X, Y, Z) = -1^(Y){F(^2X, Ч>21, Ю) + ^(cpX, ц>Ъ, £) - Р(ц>2Ъ, <р2Х, £) - Р(ц>Ъ, (рХ, +
+ 1v((ï))[F(q>2X, <p2Y, Ю) + F(<pX, <pY, Ю) - F(<p2Y, ф2Х, £) - F(cpY, cpX, £)}.
Пусть теперь D - распределение субриманова многообразия контактного типа. Адаптированной карте к(х1^ многообразия M поставим в соответствие адаптированную карту к(х'), (х') = (х1,хп+а). Если р е Dx, то к:р ^ (х1,хп+а), где р = хп+аеа.
Векторные поля (еа = да- Т£дп - Yftcxn+cdn+b, дп,дп+а) = (А,) определяют [13] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dxa, Qn = dxa + V£dxa, Qn+a = dxn+a + Vj^cxn+Cdxb) - соответствующее поле коба-зисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения: fc^ ^ft] = 2шЬа.дп + xU+dRbaddn+c, [£а, дп] = хП дп^аадп+с? [£a,^n+b] = ^ab^n+c, где Rfcad - компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах.
Предложение 2 [3, 13, 14]. Пусть V - внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(X, Y)ï. Тогда для всех X,Y е T(D) и р е D имеют место следующие равенства: [Xh,Yh] р = [X,Y]h - [R(X,Y) p}v, [Xh, ^ = [X, £]h + [P(X,p)}v,
[Xh,Yv] = (VXY)V, [Xv, £h] = [X, £]v, Xh = Xa£a, Xv = Хадп+а, если X = Xaea.
Определим на многообразии D почти параконтактную структуру (D, J,u,A = ij° n^,D), полагая JXh = XV,JXV = Xh. Здесь n: D ^ M - естественная проекция. Определим далее на многообразии M метрику g, подчиняющуюся равенствам
g(Xh,Yh) = -g(Xv,Yv) = g(X,Y), g(Xh,Yv) = g(Xh,u) = g(Xv,u) = 0. Имеют место следующие предложения.
Предложение 3. Структура (D, J, и = дп,А = ц on^,(j,D) является почти параконтактной метрической структурой.
Доказательство. В соответствии с определением тензоров J, g получаем
1) g(]Xh,]Yh) = g(Xv, Yv) = -g(X,Y) = -g(Xh,Yh);
2) g(JXv,JYv) = g(Xh,Yh) = g(X,Y) = -g(Xv,Yv).
Пусть F(X, Y, ï) - фундаментальное тензорное поле, ассоциированное с продолженной структурой. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие значения F(X,Y,Ï) для базисных векторов:
Р(£а, ч, £с) = Р(£а, д-n+b, д-п+с) = 1 (^baoc - Robac), Р(дп+а,£Ь,дп+с) = -Р(дп+а,дп+с,£Ь) = — lRoabc, Р(£а,£Ь,дп) = -F(£a,dn,£b) = ^пУаоЗеЬ, F(£a,dn+b,dn) = -F(£a,dn,dn+b) = Cab + шаЬ, F(^n+a,£b,^n) = -F(dn+a,dn,£b) = Cab,
1
Р(дп,£ь,£с) = Р(дп,дп+ь,дп+с) = -i(dnrcogeb + дnГ¡;0gec),
1
2
Р(.дт£шдп+Ь) = -Р(дп,дп+Ь,£а) = шаЬ.
Здесь использованы следующие обозначения: = РааьхП+й > = ,
Rba.dc = ^Ьайдес ■
Пусть теперь М - субриманово многообразие с нулевым тензором Схоутена. В этом случае тензор Р(Х, Y, 2) имеет 4 ненулевые компоненты:
Р(£а,дп+ь,дп) = Р(дп,дп+ь,£а) = шЬш
Р(£а,дп,дп+Ь) = Р(дп,£а,дп+Ь) = шаЬ.
Теорема 1. Пусть М - субриманово многообразие с нулевым тензором Схоутена. Тогда продолженная почти параконтактная метрическая структура (Р), ],и = дп, X = ц ° п*, д,й) является почти квазисасакиевой параконтактной структурой.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Доказательство. Докажем, что фундаментальная форма П(Х, У) — д(Х,]У) замкнута. Действительно, полагая, например, X — £а, У — £ь, Ъ — дп+с, получаем
ЗйО.(£ш £ьдп+с) — £а £ь,дп+с) + £ь^( дn+c, £ь) + дп+с^&ш £ь) - ^^ £b], дп+с) -
-П([ £ь, дп+с], £а) - 0.([дп+с, £а], £ь) — £адЬс - £ъ9са + д(ГЬс£а, дп+а) - З^асдп+й, дп+Ь) — 0 Теорема 2. Пусть М - субриманово многообразие с нулевым тензором Схоутена. Тогда продолженная почти квазисасакиева параконтактная структура (Г), ],и — дп,А — ц ° п^,д,0) принадлежит классу Р8 ф Fg.
Доказательство. Для случая продолженных структур ^ ф Р9: Р(Х, У, Ъ) — -17](У){Р(ф2Х, ц>2Ъ, $) + Р(<рХ, ц>Ъ, $) - Р(ц>2Ъ, ц>2Х, $) - Р((рЪ, (рХ, $)} +
+1^(г)[р((р2х,(р2у, $) + р((рх, <ру, $)-р((р2у,(р2х, $)-р((рУ, <рх, $)}.
Подставляя в левую часть последнего равенства поочередно Р(£а,дп+Ь,дп), Р(£а,дп,дп+Ь), убеждаемся в справедливости теоремы.
Список источников
1. Kaneyuki S., Willams F.L. Almost paracontact and parahodge structures on manifolds // Nagoya Math. J. 1985. № 99. P. 173-187.
2. Zamkovoy S. Canonical connections on paracontact manifolds // Ann. Glob. Anal. Geom. 2009. № 36. P. 37-60.
3. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31, № 1. P. 35-46.
4. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // ДГМФ. 2015. № 46. С. 58-62.
5. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Изв. вузов. Математика. 2017. № 3. С. 15-23.
6. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, № 3. С. 263-272.
7. Галаев С.В. Классификация продолженных биметрических структур на распределениях ненулевой кривизны субримановых многообразий // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, № 3. С. 263-273.
8. Галаев С.В. О классификации продолженных биметрических структур на субримановых многообразиях с нулевым тензором кривизны Схоутена // Вестн. Башкирского ун-та. 2017. Т. 22, № 4. С. 936-939.
9. Nakova G., Zamkovoy S. Eleven classes of almost paracontact manifolds with semi-Riemannian metric of (n + 1; n) // Recent Progress in Diffrential Geometry and its Related Fields. Adachi T., Hashimoto H., Hristov M., еds. Singapore: World Scientific Publ., 2012. P. 119-136.
10. Welyczko J. On Legendre Curves in 3-Dimensional Normal Almost Paracontact Metric Manifolds // Result. Math. 2009. № 54. P. 377-387.
11. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. Р. 13-22.
12. Букушева А.В. Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 64. С. 5-14.
13. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // СМЖ. 2016. Т. 57, № 3. С. 632-640.
14. Galaev S.V. Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures // Lobachevskii J. of Mathematics. 2018. Vol. 39, № 1. P. 71-76.
References
1. Kaneyuki S., Willams F.L. Almost paracontact and parahodge structures on manifolds. Nagoya Math. J. 1985;(99):173-187.
2. Zamkovoy S. Canonical connections on paracontact manifolds. Ann. Glob. Anal. Geom. 2009;(36):37-60.
3. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015;31(1):35-46.
4. Bukusheva A.V. Nonlinear connections and intrinsic semi-spray on distribution with generalized lagran-gian metric. DGMF = Differential Geometry of Manifolds of Figures. 2015;(46):58-62. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
5. Galaev S.V. N-extended symplectic connections in almost contact metric spaces. Russian Mathematics. 2017;61(3):12-19.
6. Galaev S.V. Admissible hypercomplex structures on distributions of Sasakian manifolds. Izvestiya Sara-tovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya. Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2016;16(3):263-272. (In Russ.).
7. Galaev S.V. lassification of prolonged Bimetric structures on distributions of non-zero curvature of sub-Riemannian manifolds. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya. Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2018;18(3):263-273. (In Russ.).
8. Galaev S.V. On classification of continuous Bimetric structures on sub-iemannian manifolds with zero Schouten tensor. Vestnik Bashkirskogo universiteta = Bulletin of Bashkir University. 2017;22(4):936-939. (In Russ.).
9. Nakova G., Zamkovoy S. Eleven classes of almost paracontact manifolds with semi-Riemannian metric of (n+1; n). Adachi T., Hashimoto H., Hristov M. (Eds.). Recent Progress in Differential Geometry and its Related Fields. Singapore: World Scientific Publ.; 2012:119-136.
10. Welyczko J. On Legendre Curves in 3-Dimensional Normal Almost Paracontact Metric Manifolds. Result. Math. 2009;(54):377-387.
11. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution.
Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011;4(2):13-22.
12. Bukusheva A.V. Kenmotsu manifolds with a zero curvature distribution. Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Matematika i mekhanika = Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2020;(64):5-14. (In Russ.).
13. Galaev S.V. Geometric interpretation of the Wagner curvature tensor in the case of a manifold with contact metric structure. Siberian Mathematical Journal. 2016;57(3):498-504, doi: 10.1134/S0037446616030101.
14. Galaev S.V. Admissible Hyper-Complex Pseudo-Hermitian Structures. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018;39(1):71-76.
Информация об авторе
С.В. Галаев - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой геометрии. Information about the author
S. V. Galaev - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of the Department of Geometry.
Статья поступила в редакцию 26.09.2022; одобрена после рецензирования 24.10.2022; принята к публикации 02.03.2023. The article was submitted 26.09.2022; approved after reviewing 24.10.2022; accepted for publication 02.03.2023.
