О почти контактных метрических гиперповерхностях с малыми типовыми числами в w4-многообразиях Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Для произвольного /л € Л4 по лемме найдется такое ¿1 > 0, что для любого и: \и—¡л\ < ¿1 и любого £ ^ 0 выполнено неравенство \\А(и, ¿) — ц)\\ <5, а следовательно, /х)) ^ /х)) +е. Таким образом, функция /л —>■ Хд(А(-, /л)) является полунепрерывной сверху в каждой точке множества М. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы и теоремы Бэра о функциях первого класса получаем Следствие. Пусть Л4 — произвольное открытое множество в простора,пет,ее Ст и п € М, а отображение (2) аполитично по /л при каждом фиксированном, Тогда для каждого д € {1,...,п} функции (3) и (4) в типичной по Бэру точке пространства Л4 непрерывны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16, № 8. 1408-1416.

2. Ветохин А.Н. К задаче о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2013. 49, № 7. 950-952.

3. Миллионщиков В.М. О мажорантах и минорантах экстраординарных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. 31,№ 9. 1601.

4. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

Поступила в редакцию 20.05.2015

УДК 514.76

О ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ С МАЛЫМИ ТИПОВЫМИ ЧИСЛАМИ В ^-МНОГООБРАЗИЯХ

М. Б. Банару1

Дорогому

Вадиму Фёдоровичу Кириченко к его 70-летию

Доказано, что в И^-многообразии почти контактные метрические структуры на гиперповерхности с типовым числом 1 и на гиперповерхности с типовым числом 0 являются идентичными.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, типовое число, гиперповерхность, И^-многообразпе.

It is proved that in a W4-manifold, the almost contact metric structures on a hypersurface with type number 1 and on a hypersurface with type number 0 are identical.

Key words: almost contact metric structure, type number, hypersurface, HVmanifold.

1. Один из самых важных классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий — класс W4 — часто называют классом локально конформных келеровых многообразий. Это не совсем корректно: на самом деле класс W4 содержит локально конформные келеровы (locally conformai Kâhlerian, LCK-) многообразия, а совпадает с классом LCK-многообразий лишь для размерности не ниже шести [1]. И^-многообразия глубоко изучались с разных точек зрения такими известными математиками, как И. Вайсман, А. Грей, С. Драгомир, Т. Кашивада, В.Ф. Кириченко, Л. Орнеа и Ф. Тричерри.

Известно [2], что на всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия индуцируется почти контактная метрическая структура. В работе автора [3] было доказано, что если

1 Банару Михаил Борисович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики и информатики Смолен, гос. ун-та, e-maïl: mihaïl.banaru®yahoo.com.

почти эрмитово многообразие является келеровым, а типовое число гиперповерхности равно нулю или единице, то почти контактная метрическая структура на такой гиперповерхности будет ко-симплектической. В [4] аналогичный результат получен для почти контактной метрической структуры на гиперповерхности приближенно келерова многообразия (или ^-многообразия, согласно терминологии Грея-Хервеллы). Доказано, что почти контактные метрические структуры на 0- и на 1-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия тоже идентичны (являются слабо косим-плектическими структурами). В настоящей работе будет показано, что на 0- и 1-гиперповерхностях И^-многообразия индуцируются также одинаковые почти контактные метрические структуры.

2. Как известно [1], почти эрмитовой (almost Hermitian, АН-) структурой на четномерном многообразии М2п называется пара {J, д = (•, •)}, где J — почти комплексная структура, <? = (•,•) — риманова метрика на этом многообразии. При этом J и д = (•, •) должны быть согласованы условием

(JX, JY) = (X, Y), X,Y £ ЩМ2п).

Здесь ^(М2га) — модуль гладких (класса С°°) векторных полей на многообразии М2п. Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (АН-) многообразием. С каждой АН-структурой {J, д = (•,•)} на многообразии связано поле дважды ко-вариантного кососимметрического тензора (2-формы), определяемого равенством

F{X, Y) = {X, JY), X, Y € ЩМ2п)

и называемого фундаментальной (или келеровой) формой структуры.

Пусть (М2га, {J, д = (•, •)}) — почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку р € М2п. Пусть Тр(М2п) — пространство, касательное к многообразию М2п в точке р; {Jp, др = (•, •)} — почти эрмитова структура, порожденная парой {J, д = (•, •)}. Реперы, адаптированные к почти эрмитовой структуре (или А-реперы), устроены следующим образом:

(р, £\,... ,£п,

где £а — собственные векторы оператора почти комплексной структуры в комплексификации касательного пространства, отвечающие собственному значению оператора г = 1, а £~а — собственные векторы, отвечающие собственному значению —г . Здесь индекс а принимает значения от 1 до щ а = а + п. Конструкция А-репера и его применение для исследования почти эрмитовых структур разработаны В.Ф. Кириченко в [5].

Почти эрмитова структура принадлежит классу W4, если

VX{ F ){Y,Z) = - 2 { (X, Y) 5 F (Z) — (X, Z) 5 F (Y) —

— {X, JY) 5 F (JZ) + {X, JZ) 5 F (JY)} , X,Y,Z еЦМ2п),

где 5 — оператор кодифференцирования, а V — риманова связность метрики д = (■, •) [1]. Почти эрмитово многообразие называется эрмитовым, если индуцируемая на нем почти комплексная структура интегрируема, и келеровым, если к тому же V-F = 0 .

Напомним, что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система тензорных полей {Ф, г], д} на этом многообразии, для которой выполняются следующие условия [1]:

Г](0 = 1, Ф(0 = о, Г] О Ф = 0, Ф2 = -id + £ сх) Г],

(ФХ, ФУ) = {X, Y) - r](X)r](Y), X,Y £ H(N).

(Здесь Ф — поле тензора типа (1, 1), £ — векторное поле, г? — ковекторное поле, д = (■, ■) — риманова метрика, — модуль гладких векторных полей на многообразии N.)

Хорошо известно, что многообразие, допускающее почти контактную метрическую структуру, нечетномерно и ориентируемо. Примерами почти контактной метрической структуры являются упомянутые выше косимплектическая и слабо косимплектические структуры, а также структуры Сасаки и Кенмоцу. Их интенсивно изучают как с точки зрения дифференциальной геометрии, так и с точки зрения теоретической физики.

Почти контактная метрическая структура индуцируется на всякой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия. Многие специалисты отмечают, что именно этот факт определяет глубокую связь между контактной и эрмитовой геометриями. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий исследовались и исследуются многими геометрами. Классическими считаются работы С. Сасаки, С. Голдберга, Д. Блэра, И. Ишиха-ры, М. Окумуры, X. Янамото и К. Яно. Наконец, напомним, что типовым числом гиперповерхности риманова многообразия называют ранг ее второй квадратичной формы.

3. Воспользуемся записанными в А-репере структурными уравнениями Картана почти контактной метрической структуры на ориентируемои гиперповерхности в И^-многообразии

М2п

[6, 7]:

(1ша = А с/ + А изр + ^

сЬа = А юр + А с/ +

'/3 + 1(7 (:

с/ /\Ш +

1

1

гаа/3 } Юр Аш,

где В

(ко =

аЬ _ _! га .

~ 2 о,с'

эпа

ЛЗ

2Вап - %аар Ли,

- 2 г<7|) с/ Л ша + (В™р + шпр) [вп/ - га^ и Л Шр,

р>с _ г та аЪ ~ 2 Ь,с"

Здесь {ша}, {ша\ — компоненты форм смещения (шп = со), {м^} — компоненты форм римано-вой связности; через обозначены компоненты V-/. Отметим, что системы функций и

{В^} служат компонентами виртуальных тензоров Кириченко [8] почти эрмитовой структуры на многообразии М2п. Здесь и далее а, ¡3,7 = 1,..., п — 1; а,Ь,с = 1,..., щ а = а + п ; а — вторая квадратичная форма погружения гиперповерхности Л^2га_1 в И^-многообразие М2п.

Равенство нулю или единице типового числа гиперповерхности приводит к тому, что матрица ее второй квадратичной формы принимает следующий вид [2, 9]:

/

(арз) =

V

0 0 о

V/ 0 V/

0...0 0...0

0 0 о

V/ 0 V/

\

,Р,8 = 1,..., 2п - 1,

/

причем если типовое число равно нулю, то матрица, очевидно, будет нулевой. Поэтому мы можем переписать структурные уравнения Картана следующим образом:

<1ша = шар Л с/ + В^ш"' Л юр + л/2В^п ш13 Л и + шр Л и,

йиоа = -ш? Л Шр + Л и? + л/2 В%п шр Л ш + ( ~А=Кр

ш13 Л со,

(1)

(ко =

та

ш^АшЛ В£рш Ли?+ и Л сор.

Уравнения (1) зависят только от тензоров Кириченко, т.е. только от АН-структуры на многообразии М2п, и никак не зависят от того, обращается ли в нуль или нет апп. Иначе говоря, почти контактная метрическая структура на 1-гиперповерхности в И/^-многообразии будет идентична почти контактной метрической структуре на вполне геодезической гиперповерхности в М2п. Таким образом, доказана

Теорема. В Ш^-ммогообразии почти контактные метрические структуры па гиперповерхности с типовым числом 0 и па гиперповерхности с типовым числом 1 являются идентичным,и.

Принимая во внимание, что класс И/4 почти эрмитовых многообразий содержит все ЬСК-многообразия, мы получаем такое следствие.

Следствие. В локально конформном келеровом многообразии почти контактные метрические структуры на гиперповерхности с типовым числом 0 и на гиперповерхности с типовым числом 1 являются идентичным,и.

4. Разумеется, геометрические свойства вполне геодезических гиперповерхностей в М2п не могут быть тождественны свойствам 1-гиперповерхностей. Например, вполне геодезические гиперповерхности минимальны, а 1-гиперповерхности — нет (в [2] показано, что необходимым и достаточным условием минимальности почти контактной метрической гиперповерхности в М2п является четность ее типового числа). Обратим внимание на не имевший внятного истолкования результат из [6]: было доказано, что если через каждую точку И^-многообразия проходит 0- или 1-гиперповерхность с косимплектической структурой (в привычной терминологии: если И^-многообразие удовлетворяет аксиоме косимплектических 0- или 1-гиперповерхностей), то такое многообразие является келеро-вым. Этот факт теперь легко объясняется: поскольку почти контактные метрические структуры на вполне геодезической и на 1-гиперповерхности И^-многообразия идентичны, то и влияние так называемых аксиом 0- и 1-гиперповерхностей на почти эрмитову структуру многообразия М2п иден-'РН'СЩО.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса: Печатный дом, 2013.

2. Кириченко В.Ф., Банару М.Б. Почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 127. М.: ВИНИТИ, 2014. 5-40.

3. Банару М.Б. О почти контактных метрических 1-гиперповерхностях келеровых многообразий // Сиб. матем. журн. 2014. 55, № 4. 719-723.

4. Банару М.Б. Почти контактные метрические гиперповерхности с типовым числом 1 или 0 в приближенно келеровых многообразиях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 3. 60-62.

5. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 18. М.: ВИНИТИ, 1986. 25-71.

6. Банару М.Б. И^-многообразия и аксиома косимплектических гиперповерхностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 5. 34-37.

7. Степанова Л.В. Квазисасакиева структура на гиперповерхностях эрмитовых многообразий // Научные труды МПГУ им. В. И. Ленина. М., 1995. 187-191.

8. Abu-Saleem A., Bañara М. Some applications of Kirichenko tensors // An. Univ. Oradea, Fasc. Mat. 2010. 17, N 2. 201-208.

9. Банару М.Б. О сасакиевых гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2003. 194, № 8. 13-24.

Поступила в редакцию 05.10.2016