О плоском листе Мебиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М.А. Чешкова

О плоском листе Мебиуса

М.А. Cheshkova

The Plane Moebius Strip

Выведена формула для определения плоских листов Мебиуса. Построены примеры таких поверхностей, используя математический пакет.

Ключевые слова: лист Мебиуса, плоский лист Мебиуса, 27г-периодическая функция, 27г-антипериодическая функция. БО! 10.14258^3811(2013)1.2-09

We derive formula for the defining the flat Mebius bands. The examples up such surfaces are constructed using the matematical package.

Key words: Mobius strip, the plane Moebius strip, 27r-periodic function, 27r-antiperiodic function,

Впервые уравнение неориентируемой поверхности, открытой Мебиусом, было получено Машке [1]. Если гауссова кривизна листа Мебиуса равна нулю, то он называется плоским. Библиография работ на эту тему дана в [2]. В [3-5] строятся пересекающиеся листы Мебиуса, указано разрезание бутылки Клейна на два листа Мебиуса.

Рассмотрим линейчатую поверхность М [6, с. 102]:

г{и, у) = в (у) + и1{г>), (1)

где в = в(у) - 27г-периодическая, а I = 1(у) - 2тт-антипериодическая вектор- функции.

Когда точка кривой в = в (у) завершит полный оборот, то прямая Ь = (в(у), 1(у)) сменит направление на противоположное.

Рассмотрим вектор нормали п = ]У(г>),/(г*)] вдоль линии в = в(у). Если п ф 0, то п = п{у) сменит направление на противоположное, когда точка кривой в = в (у) завершит полный оборот. Поверхность М в этом случае есть односторонняя.

Формула (1) при V € [0, 2-к],и € [—1,1] задает лист Мебиуса, а кривая в = в (у) есть средняя линия листа Мебиуса.

Линейчатая поверхность (1) имеет нулевую гауссову кривизну, если [6, с. 103].

ЫУ)>,1(У), 1(У)>) = 0, (2)

где (,,) - смешанное произведение трех векторов.

Поверхность в этом случае либо плоскость, либо образующие параллельны некоторой прямой и поверхность есть цилиндрическая, либо образующие проходят через неподвижную точку и поверхность является конической, либо образована ка-сательнами к пространственной кривой — ребру возврата. В последнем случае поверхность называется торсом, а точки ребра возврата — фокальными точками.

Плоский лист Мебиуса не может быть ни конусом, ни цилиндром [2]. Лист Мебиуса с краем называют также лентой Мебиуса.

Определим фокальную кривую и торс, на котором расположена лента Мебиуса.

Так как [в'(г>), /(г*)] ф 0, то из (2) имеем

1'(у) = /(у)в'(у)+^у)1(у), (3)

где $(у) - 2-7Г- антипериодическая функция, а - 27г-периодическая функция.

Пусть ^(г>) = в(г>) + £(г>)/(г>) — точка образующей.

Имеем

= *»(1 +*М/И) + (*» + 1(у)^У))1(У).

(4)

Требуем, чтобы ^"(г>)||/(г>), т.е. поверхность образована касательными к кривой = Р(у).

Получим = -уфу-

Тогда фокальная линия

ВД = - т^М (5)

л»

есть ребро возврата торса.

Так как /(у), (у^у)' + 7^7/¿Н - 2тг-антипе-риодические функции, то имеет место следующее утверждение. Фокальная кривая листа Мебиуса имеет асимптоты и особые точки.

Наиболее простые листы Мебиуса получаются, если средняя линия расположена на цилиндре в (у) = (сов(у), вгп(у), д(у)), где д(у) - 2-к-периодическая функция, а

1<(У) = /(УУ(У). (6)

Имеем

Р>(у) = 3>(у)--±-1>(у)-(-±-У1(у). (7)

Формула (7) примет вид *» = -(

(8)

Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. В качестве примера исследуем фокальную кривую плоского листа Мебиуса, рассмотренного И.Х. Сабитовым в работе [2]. Для этой поверхности

и

в(-у) = (сов(у), вт(у), /(у) = вт(-).

2(9)

Для определения вектора /(г>) = (^("у), /з(-у)) имеем систему

V V

= —вт( —)вт(г>), ¿2(г>) = вгп( — )сов(у),

Запишем уравнения, определяющие фокальную кривую, и построим ее (рис. 2).

х = со,{у) - - агпф),

г = 81п(г))соз(г)) —

1 Д . 3-у. 1 . 5-у .. ,

(-С08(-)--С08(-)). (13)

вт(-|)4 3

Запишем уравнение торса, образованного касательными к фокальной кривой (рис. 2). Имеем

ж = сов(у) + (и- ^^)фш(у) - втф),

ф) = 81П( — )СОЗ(2У). Решая эту систему, получим

I . Зу , V V 1 Зг; 1{у) = (^««-(у) - ^гп{-),со8{-) - -сов( —),

1 . Зг;. 1 . 5у .. ,

зС05(Т)_ 5С05(Т)}- (10)

Уравнения плоского листа примут вид

х = С0в(у) + и{^8т(Щ) - Ц^)),

у = вт(у) + и(сов(- ^сов(у)),

1 Зг; 1

г = 81п(г))соз(г)) +м( — сов( —)--сов( —)).

3 2 5 2

Используя математический пакет, построим эту поверхность (рис. 1), полагая V £ [0,27г],м £ [—5,5]. Обозначим его: лента Мебиуса 1.

Плоская лента Мебиуса расположена на торсе [2]. Исследуем ребро возврата этого торса. Для плоской ленты 1 линия

1

ад = - —7-А*»)

(П)

у = ат{у) + (и - ч)(соаф - )),

! 1

вгщ-

(и —

г = 81п(г))соз(г))+

1 ,Д , 3-у ч 1 , 5у ч ч , )(о соз( — )--соз( — )). (14)

зт(Ц

Торс будем строить на промежутках V £ [1/10, 2тг - 1/10], и € [-2,2]; V £ [тг/4, тг — тг/4,и £ [0,2]; V £ [7г/4,7г — 7г/4, и £ [0,2] и совмещать с лентой Мебиуса (рис. 2, 3).

Пример 2. Рассмотрим плоский

лист Мебиуса с линией центров в (-у) = (сов(у), вт(у), 2-у)), что у ленты Мебиуса 1 и функцией /(г;) = «го(у), где к - нечетное число /г > 3.

Вектор /(г>) = (¿1 (-и), /г(г;), /з(^)) определится из системы

^(г;)' = — вгп(у )вгп(г>), = зт( — )соз(у),

1з(у)' = вт(у )сов(2г;).

Решение этой системы имеет вид

*1И = 2(

1,-вгп((| - 1» вт((§ + 1»),

- 1

+ 1

есть фокальная линия торса. Имеем

ВД' = -(-

1

вт(-|)

(12)

Кривая ^(г;) = в(-у) — „ ^ ¿(г>) на промежутке [0, 27т] имеет асимптоты при г; = 0, -у = 2-7Г.

Так как Р{у)' = 0 при V = тг, то на этом промежутке при V = 7г гладкость кривой нарушается.

Поэтому будем рассматривать кривую, полагая V £ (0, 2п).

1 -со8{{% + 1)у)

Ш = 2 -—

= 1(-М(| + 2» ^ ; 2 Й+2

сов((| - 1)г

* - 1

2 ±

сов((| -2)г

к _ ^

2 ^

Построим плоский лист Мебиуса при к = 3 с теми же параметрами V £ [0,27г],м £ [—5,5], что у ленты Мебиуса 1. Обозначим его: лента Мебиуса 2 (рис. 4). Определим фокальную кривую Р(у) = в(-у) — . *з„./(г>) для ленты Мебиуса 2 на промежутке [0,2-7г]. Она имеет асимптоты при

Рис. 1. Лента Мебиуса 1 и средняя линия ленты Мубиуса 1 на цилиндре

Рис. 2. Фокальная кривая ленты Мебиуса 1 и торс V £ [1/Ю, '2тт — 1/10]

V = 0,г> = 2тг/3,1> = 47г/3,г> = 2п и три особые ТОЧКИ V = 71"/3, 71, 57Г/3.

Уравнения фокальной кривой для ленты Мебиуса 2 имеют вид

, , 1 1 -ащ((^-1Н ж = со8(1')---Тз7То(-

згп(^) 2( §-1 ат((| + 1Н)

з+1 2

1 1 -сов((| + 1)

у = зтМ--н--(

у у > 8ъп{^)2У

2 1

+ 1

^ = 81п(1')соз(г')--о-^

1 1,-сов((§+ 2)г>)

■2^

3 — 9 >'

2

Уравнения торса для ленты Мебиуса 2 имеют вид:

1 1 -вт((|-1)г>)

ж = созМ + (и--5—) —(

, ат((| + 1Н).

2 -Г 1

- 1

у = вгп(г') + (и--

сов((| - 1)г>)

2 - 1 2 ±

. , , , 1 1 —соз((^ + 2)у)

г = вгп(V) сой (■ г') + (■ и - _, ^ / Згм ) - (-

ят(Щ-)'2к |+2 со8(С1~2)У),

3 — 9 ^

2

Построим фокальную кривую (рис. 4)на промежутке г' = [тт/3 — 1/Ю, 7г/3+1/10], и торс (рис. 5, 6 ) на промежутках I' € [1/3, 2я"/3 —1/3], г> £ 27г/3+ 1/3, 47г/3 — 1/3], V £ [4тг/3+1/3, 2тг — 1/3], г/. = [0,3].

Пример 3. Рассмотрим плоский лист Мебиуса с линией центров в(г>) = (сов(г>), вт(г>), ^вт(3г>)) и функцией /(г>) = вт(^), что у листа 1, с параметрами V £ [0, 2-к], и £ [—

Вектор/(г') = (Ь^'), /2(^)1 ¿з(г')) определится из системы

Ы1')' = —вт( — )вт(1'),

V

/2(г>)' = 8т{-)соз(г'),

1з(г>У = 81п( — )соз( Зг'). Решение этой системы имеет вид

1 / \ . ,г> 1 . , Зг' и и' = —вгщ — Н—вт — , IV > Ч 3 2

Рис. 3. Лента Мебиуса 1 и торс v £ [7г/4, тт — 7г/4], v £ [ж + 7г/4, 2тт — 7г/4]

Рис. 4. Лента Мебиуса 2 и фокальная кривая, v £ [7г/3 — 1/10,7г/3 + 1/10]

l2(v) = cos(^) -

i í \ 1 í7v\ 1 t5l\

Построим плоский лист Мебиуса и среднюю линию. Обозначим: лента Мебиуса 3. Лента Мебиуса 3 и ее средняя линия 3 имеют вид (рис. 6). Для рассматриваемой поверхности линия

F(v) = s(v) -

sttl(-)

есть фокальная линия торса. Имеем

(15)

F(v)> = -(-

1

>l(v).

(16)

z = —sin('iv) —

1 ,1 1 , 5г>..

(-cos(-) - -cos( —)). (17)

sm(§)47

Запишем уравнение торса, образованного касательными к фокальной кривой.

Имеем

= cos(v) + (и - —+

Кривая -Р(г') = в(г>) — ^щжу^(г') на промежутке [0, 2тг] имеет асимптоты при V = 0, V = 2тт.

Так как Р(г>)' = 0 при V = 7г, то на этом промежутке при V = ж гладкость кривой нарушается.

Запишем уравнения, определяющие фокальную кривую.

у = sin(v) + (и - —^ту)(совф - ^cos(^-)),

z = —sin(3v)-\-

х = cos(v) —

1 (

-ып(-) - h3sw(T

1 1 t N

sin(%) г ■(cos(9) — cosí — 3 V 2 7

ч Л ,7vч 1 ,5vч ч ,

-)(jCos(-)--cos(-)). (18)

Рис. 5. Торс. Лента Мебиуса 2 и торс V = [7г/3, 27г/3 — 1/3]

Рис. 6. Средняя линия ленты Мебиуса 3 на цилиндре. Лента Мебиуса 3

Л.

Рис. 7. Торс V € [1,7Г - 1], и. е [0, 2] ,у € [тг, тг + 2], и € [0, 2]

Рис. 8. Лента Мебиуса 3 и торс V € [1,7Г - 1], и € [0, 2], V € [7Г,7Г + 2], и € [0, 2]

Построим торс для ленты Мебиуса 3 на интер- Совместим торс с лентой Мебиуса 3 (рис. 8).

валах V € (1,7г — 1),м € (0,2), V € (эт, 7г + 2),и € Замечаем, что лента Мебиуса 3 есть перекру-

[0,2] (рис. 7). ченный плоский лист Мебиуса.

Библиографический список

1. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Sos., 1:1(1900).

2. Сабитов И.Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мебиуса в эвклидовы пространства // Известия РАН. - 2007. - Т. 71, №5.

3. Чешкова М.А. О листе Мебиуса // Вестник Барнаульского государственного педагогического университета. - 2006. - Вып. 6.

4. Чешкова М.А. Самопересечение листа Мебиуса // Математическое образование в регионах России: тр. междунар. науч.-практ. конф. - Барнаул, 2007.

5. Чешкова М.А. О бутылке Клейна стия АлтГУ. - 2012. - №1/1.

Изве-

6. Норден А.П. Теория поверхностей. - М., 1956.