CC BY
11
КАДРЯКОВА М. Р., ШАМАНАЕВ П. А., ЛОГИНОВ Б. В.
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В РЕЗОНАНСНОМ СЛУЧАЕ
Аннотация. Методами теории ветвления найдены периодические решения одного класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром в резонансном случае. Построены графики периодических траекторий возмущенной и невозмущенных систем при различных значениях резонансного параметра.
Ключевые слова: линейные неоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, малый параметр, методы теории ветвления, периодические решения, резонансный случай.
KADRYAKOVA M. R., SHAMANAEV P. A., LOGINOV B. V.
ON PERIODIC SOLUTIONS FOR A CLASS OF LINEAR INHOMOGENEOUS SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SMALL PARAMETER IN RESONANCE CASE
Abstract. By methods of branching theory, the authors find periodic solutions for a class of linear inhomogeneous systems of ordinary differential equations with a small parameter in the resonance case. Graphs of periodic trajectories of perturbed and unperturbed systems for different values of the resonance parameter are constructed.
Keywords: linear inhomogeneous systems of ordinary differential equations, small parameter, methods of branching theory, periodic solutions, resonance case.
В работах [1-3] рассмотрена задача о ветвлении периодических решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого. В работе [4] приведен пример одной линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым линейным возмущением, для которой справедливы результаты работы [3]. Расширим класс линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых справедливы результаты работы [3].
Для этого рассмотрим класс возмущенных линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
шл х:Н(0 -X)
(1)
где XI Е Я, е - малый вещественный параметр, а, Ъ, а, ш Е Я - фиксированные параметры,
для которого параметры а и ш связаны соотношениями а — к ш, к — 2,3,.....
В обозначениях работы [3] найдем
0 ^ „ (1 0\ о (2 0\ е.* [а5т(ш^\
(2)
В0—(-а а)- % *1=(0 ^ м*™)
и, следовательно, /( 0 - периодическая вектор-функция с периодом Т — —. Найдем собственные значения матрицы В0:
Ь0(А) = В0-АА — йеИ0(Х) = А2 + а2 = 0, Л1-2 — ±Ьа.
Следовательно, имеется только одна пара чисто мнимых собственных значений матрицы В0 и ей соответствует пара периодических решений с периодом Т0 — линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
% = вау, (3)
где у Е Я2.
Так как собственные значения Л12 матрицы Во и период Т функции /(I) связаны соотношениями
2пк
Ли — ±1—,
то для линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
йг
ш = во2-т, (4)
где г Е Я2, согласно [5], имеет место резонансный случай.
Ставится задача [3; 6]: при достаточно малых вещественных е найти все Т-периодические решения х(1,е) уравнения (1), удовлетворяющих условию х(1,0) — г(1), где г(^ - Т-периодические решения уравнения (4).
Для решения поставленной задачи применим методы теории ветвления, основанные на построении обобщенных жордановых наборов и исследовании разрешающих систем Ляпунова-Шмидта в корневом подпространстве [1-3; 6].
Найдем элементы В1-жордановой цепочки оператора Ъ0
Ъо<Рк
1
й]
0, Ъ0 = В0-АШ —
(0 а\_(1
(- а 0) (0 V йг
(5)
Будем искать р^1 в виде р1 — еш. Подставляя в уравнение (5) получим
р(1 — а1(.) еш, где а1 Е С. (6)
Найдем ^ как решение уравнения
Во?? =
где 51 и В0 определяются по формуле (2) и (5) соответственно. Имеем
<р12) = а1(. а? 2)^2 е С. (7)
V ш? + «/
Так как уравнение Во?(3) = не имеет решений, то длина 51-жордановой
цепочки оператора В0 равна рх = 2.
Аналогично, найдем 51- жорданову цепочку оператора
во^о+л-1=(Л а)—(1 0)! (8)
= С1 (1) е1а{, ^(2) = с1 ( ^ 2) е10*, с1, с2 е С. (9)
Найдем элементы е £"2,п и у(° е £1<п согласно работы [1] 2(1) = 51?(2) = 2а1 ( . а2 2) е1<й, г(2) = 51?(1) = 2а1
у(1) = 51^(2) = 2с1 ( . С2 2) е1а*, г(_2) = = 2с1 | е1
2
(10)
Коэффициенты а^, с^ (1 = 1, г) подбираем из условий биортогональности [3].
Вычислим
«<р(1),Г(1)»=4а1^
а
« ф(1),г(2) »= 0;
«Ф(2),Г(1)»=4а^
а
2
а2 + С2 --
2 2 а
а
где
«г11),^(1)»=4а1'11
«г11),^(2)»=4а^
а
а
2
а2 + С2 --
2 2 а
« г12),^(1) »= 0;
«2(2),^(2)»=4а^; 1 1 а
«/,д »
Получим систему уравнений
_ 1 с
= Т)о
< /, д > ^
4а1с11
а
=1
4а1с11
а
2
а2+^2—-
= 0.
(11)
Представим вектор функции 1) в экспоненциальной форме
¡({)—1{еШ(7)+е-,°"0)
и вычислим
2п
«р^ »—Ш[ш </,р® > йг
2п -'О
сг(а + ъ ( - 1)-Ё2(а—ъ1(е-12п(.к+1) — =
4л(к - 1) 4л(к + 1)
(12)
Аналогично вычислим
2п
« р™ »—Ш[ш </, Р® >йг — 2п ¿0
— с1(С2кш(а + Ъ)- Ш) ( -2П(к-1) - . с1(с^кш(а -Ъ) + Ш) ( Пп(к+Л) - ^ (13) 4лкш(к-1) ( 1 4лкш(к + 1) ( 1
— 0.
Учитывая (12) и (13), найдем
1 - 2 1
*11 — —— « г'к11»— -¿¡[<К М™ » +£ « »] — 0,
и, следовательно, — 0.
Тогда согласно работы [3] система (1) имеет аналитическое по е единственное Т-периодическое решение
11
ха, е)——е [^А1 + ЪифкР] [$11Рк2 + $и(к2)] + У(0 — У(0, (14)
где
у(Ъ — [I - гГоВ^Гот. (15)
Здесь Г--1 — В0, В0 = В0+<^,у(1) » г((1)+ «•.у^ » г[1). Преобразовывая уравнение (15), получим
В0У — £В1У + Г(1). (16)
Решение уравнения (16) ищем в виде
Кй2/
где й.1 Е С, / — 1,2.
Подставив у( ) в уравнение (1 6), получим
[(-0а а)-'ш-<0 -2)](й2^)е1Ш'+«е1Ш'{й1^),Ук}»гк^+ (17)
у(0 — е™* (й^ + е-1^ (й1),
0
-(1) .. -(1)
[(Л (0 ЛЩ)
7(1)
я
+« е~1Ш1 \/ ),гГ » ?к1)+« е[¿),?(1) » 2к
(1) _
е-ш1 +
2,
2/
. „ /-аЬ\ . „ /аЬ\
I | I „-1Ш ( |
\ ь ) + е \Ъ)
Приравнивая коэффициенты при е1шг и е 1ш1 в левой и правой частях уравнения (17), получим следующую систему уравнений:
'2 ° (¿Л
Л) 2 \ Ъ
1Са а0) + >«-<20 -°2)]
(18)
(1) ■ (0)
Выделяя вещественную и мнимую часть йу = а^ + Ьа^ , получим следующую
систему уравнений:
-2е а ш 0
-а 2е 0 ш
-ш 0 -2е а
0 -ш - а 2е
\4о);
0
I ъ \
0 а
\7)
(19)
Так как при е < —■^(к2 — !) , то определитель матрицы системы (19)
Д = 16е4 - 8е2к2ш2 + 8е2ш2 - 0к2ш4 + к4ш8 Ф 0, И, следовательно, система (19) имеет единственное решение. Решая ее при а = кш получим:
1 со(а + кЬ)
й =
2 4е2 - ш2(к2 - 1)
еь
4 2 - ш2(к2 - 1)
Еа
4 2 - ш2(к2 - 1)
1 ш(ка + Ь)
(20)
[2 4е2 — ш2(к2 - 1)]
Следовательно, Г-периодическое решение системы (1) имеет вид
/
х(1,е) =
/х1(1,еу КХ2(г, Е).
оо
2еЪ „. , .. ш(а + кЬ) Г , ..
2(к2 -1)- 482 Б1П(Ш^ - Ш2(к2 -1)- 4,2 СОЗМ
еа
\о>2$к-+) -482 - Ш2(к2 Г1) - 4£2
\Ш2(К2 - 1) - 4Е2 ' Ш2
Учитывая, что при е = 0 уравнения (1) и (4) совпадают, находим, что их однопараметрическое семейство вещественных Г-периодических решений представимы в виде [3]
х(1,0) = г^) = + р^] + Т0[,
где с Е И .
или
Найдем и — Г0/&) . Представим это уравнение в виде
В0и — /(€),
В0и+« и,у(1 » г^Ч « и, » г[1) — /.
Представляя решение в виде
и —
О
и подставляя в систему (21) получим
Ъ
й —
(
2кш 1
1
а
\ 2кш )
Следовательно,
( )—
'хх(1,0)'
КХ2^,0)/
— с[р1»+р?] +
а
Бт(ш1) — 2кш Со5(шЬ)
Параметр а1 в формуле (6) подберем из условия, что 1
удовлетворяет а1 — . Следовательно,
. (22) 1. Этому условию
(23)
Подставляя (23) в (22) получим, что однопараметрическое семейство вещественных Т-периодических решений системы (1) при е — 0 имеет вид
Ъ
— с^Г^) + ( - Со
\Б1п(кш)) \ БЫ(ш1) Соз(ш1)
(24)
Построим графики компонент решений систем (1) и (4).
Рис. 1. Графики компонент х1(Ь, е) и %2(Ь, г) решения системы (1) при различных £ и компонент г1(Ь) и г2(Ь) решения системы (4) при с = 4.
На рисунке 2 представлены графики г( 1) при разных значениях с.
Рис. 2. Графики компонент г1(Ь) и г2(Ь) решения системы (4) при различных с.
[г1((},зг(0,с = 2] - [х1(дЕ)=х!(дЕ),г=0.1]
|--1(0,_--](?);с = ал]-¡-,(0, с = 0.5 |
Рис. 3. к — 1: графики периодических траекторий системы (1) при £ — 0,1 и системы (4)
при различных с.
4 - [х1(^.Е)=1!(£.Е), £=0.1]
аЛ\
Рис. 4. к — 2: графики периодических траекторий системы (1) при £ — 0,1 и системы (4)
при различных .
Таким образом, для класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1) с малым линейным возмущением построены периодические решения в резонансном случае. Показано, что в случае, когда малый параметр равен нулю, появляется однопараметрическое семейство периодических решений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задачам о возмущениях линейного уравнения малым линейным слагаемым и спектральных характеристик фредгольмого оператора // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15, № 3. - С. 100-107.
2. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задаче о ветвлении периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях с вырожденным оператором при производной // Журнал Средневолжского математического общества. - 2014. - Т. 16, № 4. - С. 33-40.
3. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О ветвлении периодических решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого // Журнал Средневолжского математического общества. -2016. - Т. 18, № 1. - С. 45-53.
4. Шаманаев П. А., Логинов Б. В., Кадрякова М. Р. О периодическом решении одной линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости с малым параметром // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: материалы XI Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2016. - С. 3-7.
5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1996. - 532 с.
6. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1964. - 524 с.
