О перераспределении напряжений в ортотропной вязкоупругой пластинке в окрестности круглого включения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 593.376

А.Ю. Горохов, Н.А. Труфанов

Пермский государственный технический университет

О ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ОРТОТРОПНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНКЕ В ОКРЕСТНОСТИ КРУГЛОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

Рассматривается равновесие ортотропной вязкоупругой пластинки с круглым включением под воздействием постоянных растягивающих усилий. Задача рассмотрена в рамках линейной теории анизотропной вязкоупругости при различных гипотезах учета вязкоупругих свойств материала и различных вариантах включений. Продемонстрирована существенная разница в результатах при использовании той или иной гипотезы. Показано наличие значительных перераспределений напряжений возле кромки включения.

Ключевые слова: Вязкоупругость, ортотропия, композиционные материалы, метод конечных элементов, многооператорная задача.

Рассматривается задача о растяжении постоянными распределёнными силами ортотропной пластинки с круглым включением радиусом Я. Включение расположено в центре пластинки, растягивающие силы направлены вдоль одного из направлений симметрии вязкоупругих свойств (рис. 1) или под углом 45°. Возможны три вида включений: 1) отверстие (включение отсутствует); 2) абсолютно жёсткое включение; 3) упругое включение.

Пусть материал пластинки занимает в пространстве область V11, а включение область V1. Тогда постановка соответствующей задачи теории упругости в случае отсутствия включения и для абсолютно жёсткого включения имеет вид:

уравнения равновесия

^ (х, у) + ^ (х, у ) = 0, ^ (х, у) + ^ (х, у ) = 0, (х, у) е V11; (1) дх У ’ -у У ; дхУ ’ -у V ' У ’

геометрические соотношения

8 хх(х, у) = дх(х’ у),8 уу(х’ у) = (х’ у) ’

д (2) Уху (х>у) = -у (х>у)^_дхт(х’у)’(х’у)е V11;

У

ь

©

Е

ь

Рис. 1. Схема нагружения пластинки: I - материал включения;

II - материал пластинки

физические соотношения в условиях плоского напряжённого состояния (ПНС) пластинки

« (X, у) - -1 (аXX (X, у)^ауу (х, у)) ,8уу (х, у) -Е1

Е-(ауу (Xу)“у2аXX (Xу)), Уху (Xу)--1 *ху (Xу), (Xу)є V11;

(3)

граничные условия

а хх1х-±ь

X)'

,.±ь - 0' а уу

у-±! Zxу

у-± ь

- 0,

пластинка с круговым отверстием, не содержащим включе-

нии

(а ттп т + т „п у) - 0, (т утп х +а , уп у)

\ хх x ху у / х2 + у2 — к2 V У УУ У )

2 , 2 п2

х + у —К

- 0;

пластинка с круговым отверстием, содержащим жёсткое

включение

- 0, и„

иЛх2 + у2 - К2 “'уїх2 + у2 -К2

- 0.

I

1

_ „.II I

— и. , и _ — и

ас II + ас II + х + у II >2 у х + у = >2

Для случая упругого включения на его границе должно выполняться условие

и]

где и1 - перемещения в материале включения, и11 - в материале пластинки. Кроме того, уравнения равновесия (1) и геометрические соотношения (2) записываются для (х, у)е V , где V = V1 и V11, а физические соотношения (3) дополняются уравнениями 2

(х, у ) = Е(ахх (х, у )-^ауу (х, у)), £уу (х, у) =

Е

22

(^ уу ( ^ у )^ 2а хх ( x, у )) , У ху ( ^ у ) = — х ху ( x, у ) , ( ^ у ) е V1-

(4)

Предполагается, что модули упругости включения в 2 раза меньше, чем пластинки, а также Я << X.

При постановке задачи в рамках теории линейной вязкоупругости физические соотношения (3) примут вид

£ хх = П хх а хх + П хуО уу , £ уу =П ху а хх +П уу О уу , у ху =П хуху х ху , (5)

* * * * где П хх , Пуу , П ху , П хуху - интегральные операторы вида

П*„/(г)= |пхх(I-х)Л/(х) = Пхх(0) /(г)+ |к„(г-х)/(х)Лх

V

г

П*у/(г)= !Пуу (I-х)а/(х) = Пуу (0) /(г)+ К (г-х)/(х)Лх

П;./(г)= |пху(г-х)Л/(х) = Пху(0) /(г)+ |КХу(г-х)/(х)Лх

П 'хуху/( г )= |П хуху ( г-х) Л/ (х) = П хуху ( 0 ) / ( г )+ | Кхуху (г-х) / (х) Л х

о V 0 у

Как видно из постановки, задача является многооператорной и её решение традиционными методами, ориентированными на наличие

0

0

г

в структуре решения одного оператора, невозможно, поэтому зачастую прибегают к некоторым упрощениям в самой постановке.

Из многолетней практики решения подобных многооператорных задач сложился ряд упрощающих гипотез. В их числе гипотезы: 1) вязкоупругие свойства проявляются только при сдвиге [1, 2, 3]; 2) ядра всех операторов могут быть выражены через одну функцию времени [4, 5]. Эти гипотезы приводят к изменению самой постановки задачи, однако позволяют перейти от задачи с несколькими операторами к задаче с одним оператором, что значительно упрощает процесс решения.

Решим рассмотренную задачу с применением каждой из гипотез, а также в общей многооператорной постановке.

Для описания вязкоупругих свойств пластинки воспользуемся работой [6], в которой приводятся данные об аппроксимации кривых ползучести для некоторых однонаправленных композиционных материалов. Аппроксимация кривых ползучести производилась выражением

+ |Кцш (I -*) Л'

£

(' ) =

ijkl

0

и • (6)

Функции ядер Kjkl (t) = фm приняты в виде суммы экспонент:

Фm (t)=^m XPim eXP (-Pimt) , (7)

3 i=1

где индекс m отвечает за номер ядра ползучести: K1111 = ф1, K2222 = ф2,

K1122 = ф3 , K1212 = ф4 •

В табл. 1 • приведены значения параметров функции (7), взятые из работы [6] для однонаправленного стеклопластика.

Таблица 1

Реологические характеристики однонаправленного стеклопластика

ф1 (t) ф2 (t) ф3 (t) ф4 (t)

I1111 ^1 P1i 12222 X 2 <N I1122 X 3 P3i 2I 211212 X 4 ■'t ca

•104 •104 •104 •103 •104 •104 •104 •104 •104 •103 •103 •104

1 0,29 1 0,28

2,02 0 1 1,16 1,87 1,33 0,68 0 1 1,98 4,80 1,29

1 3,73 1 3,37

Примечание. В таблице приняты измерения: Ijki, Xm - мм2/кгс, Рmi - 1/ч.

Также в работе [6] приводятся данные по аппроксимации всех ядер ползучести одной функцией. При этом аппроксимация кривых ползучести (6) записывается следующим выражением:

£а (t) = [Ik ™г(t)]°а>

где нормированная функция времени r(t) имеет вид

1 3

г( t )= - £[1 - exp (-Р t)]; 0 <Г( t )< 1. (8)

3 i =1

В табл. 2. приведены значения параметров функции (7).

Таблица 2

Реологические характеристики функции (7)

p1i -1О4, 1/ч Х1 -1О4, мм2/кгс X2 -1О3, мм2/кгс X 3 -1О4, мм2/кгс X 4 -1О3, мм2/кгс

О,35 О 1,83 О 4,63

1,25

3,99

Среднеквадратичная относительная погрешность аппроксимации всех ядер ползучести одной функцией (8) для рассмотренного однонаправленного стеклопластика составляет 1,2 % [6].

Для получения вязкоупругих свойств ортотропной пластинки с включениями будем считать, что пластинка состоит из слоев однонаправленного стеклопластика, чьи свойства нам известны и приведены выше. Слои чередуются: один слой с направлением армирования вдоль направления оси X, второй с направлением армирования вдоль направления оси У (см. рис. 1). При таком расположении получаем пакет, который можно рассматривать как ортогонально армированный материал. Зная вязкоупругие характеристики однонаправленного стеклопластика, известным образом можно получить характеристики ортогонально армированного стеклопластика.

Задачу о растяжении ортотропной вязкоупругой пластинки с включением будем решать по методу квазиконстантных операторов. Упругую задачу на каждом моменте времени будем решать методом конечных элементов. Используются треугольные элементы с линейной аппроксимацией. Дискретизация составляет 25 элементов на четверть

кромки включения. Результаты решения упругой задачи были сопоставлены с известным аналитическим решением, полученным в [7]. Относительная погрешность численного решения не превышает 3 %.

Приведем некоторые результаты решения поставленной задачи. Все изображенные ниже эпюры, по аналогии с [7], взяты по модулю с добавлением 1, что позволяет создать эффект круглого включения с радиусом 1. На эпюрах отображается отношение напряжений в материале пластинки у кромки круглых включений к внешнему растягивающему усилию а/p. Линии с маркерами в виде точек характеризуют величину а/p для достаточно большого момента времени t = 109 с, а без маркеров - для нулевого t = 0 с момента времени. Эпюры построены в полярной системе координат.

На рис. 2 приведены эпюры отношений окружных напряжений к внешнему усилию ае/p, полученных при растяжении пластинки

с круглым отверстием под углом 0° к одному из направлений упругости материала пластинки. Представлены результаты решения задачи при использовании всех независимых операторов (см. рис. 2, а), при использовании только одного оператора сдвига (см. рис. 2, б) и при аппроксимации всех операторов на основе одной функции (см. рис. 2, в). Рис. 2, г. содержит эпюры отношений ае/p, полученных при растяжении пластинки с круглым отверстием под углом 45° к одному из направлений упругости материала пластинки. Для получения окружных напряжений для отношений ае/p, изображенных на этом рисунке, решалась исходная многооператорная задача (5) в общем виде. Из рис. 2, г хорошо видно, что напряжения в материале с течением времени претерпевают не только значительные количественные, но и качественные изменения.

Для количественной оценки эволюции напряжений у кромки отверстия построим график изменения параметра а0/p во времени (рис. 3).

Линии 1, 2, 3 на рис. 3 соответствуют изменениям параметров ае/p,

эпюры которых изображены на рис. 2, а, б, в, при угле, равном 90° (угол, при котором наблюдаются наибольшие напряжения). Таким образом, линия 1 соответствует решению задачи с использованием всех независимых операторов, линия 2 - решению задачи с учетом только сдвигового оператора и линия 3 - решению задачи при аппроксимации

всех ядер операторов одной функцией. Значение ае/p = 2,8 соответствует упругому решению. Видно (см. рис. 3), что использование различных гипотез приводит к существенным количественным изменениям в результатах решений. Кроме того, можно говорить о большом росте напряжений во времени относительно упругого решения (до 40 %) (см. рис.3).

Рис. 2. Эпюры относительного напряжения ае/p для задачи с отверстием

Рис. 3. Изменение относительного напряжения сте/р с течением времени для задачи с отверстием

Приведем результаты решения поставленной задачи по растяжению пластинки с абсолютно жёстким включением. Аналогично рис. 2, на рис. 4, а, б и в изображены эпюры изменения параметра ае/р по

углу при растяжении пластинки под углом 0° к одному из направлений ортотропии свойств материала пластинки. Эпюры получены при решении задачи с использованием всех независимых операторов, с использованием только одного оператора сдвига и с аппроксимацией всех операторов на основе одной функции соответственно. На рис. 4, г представлена эпюра ае/р для задачи о растяжении под углом 45° при

учете всех независимых операторов.

На основании полученных картин (см. рис. 4) изменения отношения ае/р можно судить о наличии значительной эволюции напряжений в материале пластинки возле кромки жёсткого включения. Кроме количественных изменений напряжения претерпевают и значительные качественные изменения. В ходе работы выявлено, что окружные напряжения не только возрастают со временем, а еще и изменяют знак. Как и для задачи с круглым отверстием, различные гипотезы в постановке задачи приводят к расхождению в результатах решения.

Линии 1, 2 и 3 на рис. 5 соответствуют изменениям напряжений ае/р во времени, эпюры которых изображены на рис. 4, а, б, в, при

угле, составляющем примерно 61° (угол, при котором наблюдаются наибольшие напряжения). Линия 4 рис. 5 указывает на значение ае/р — 0,116, соответствующее упругому решению задачи. Наличие

точек графиков напряжений ае/р (см. рис. 5), лежащих ниже линии 4,

указывает на то, что напряжения с течением времени меняют свой знак. Рост напряжений относительно упругого значения для данной задачи составляет около 450 % (см. рис. 5).

Рис. 4. Эпюры относительного напряжения сте/р для задачи с жёстким включением

В отличие от задачи с отверстием, где на контуре отсутствует эффект перераспределения напряжений ( а г и т ге равны нулю), для задачи с жёстким включением этот эффект имеет место. На рис. 6 приведены эпюры изменения по углу отношения радиальных напряжений аг/р для задач на

растяжение пластинки под углом 0° (см. рис. 6, а) и 45° (см. рис. 6, б). Из рис. 6 видно, что при увеличении окружных напряжений (см. рис. 4, а, г) радиальные напряжения уменьшаются. Таким образом, в материале пластинки происходит перераспределение напряжений.

ае/ р

0.562 0.52Э

0.5

0.4

0.3 0.27В

0.2

0.1161 0.056'

0.03с

о

01 2345678Э10

Время t, с х 108

Рис. 5. Изменение относительного напряжения ае/р с течением времени

Рис. 6. Эпюры относительного напряжения аг/р для задачи с жёстким включением

Приведем результаты решения задачи о растяжении пластинки с упругим включением, физические соотношения для которого приведены в (4). На рис. 7 приведены эпюры для отношения ае/р аналогично рис. 2 и 4. Видно, что перераспределение окружных напряжений у кромки включения невелико. Однако из рис. 7, в, видно, что при решении задачи с упругим включением использование описания всех операторов на основе одной функции приводит к значительному уменьшению окружных напряжений. С другой стороны, подобное уменьшение не наблюдается при решении задачи с использованием всех операторов. Следовательно, для данной задачи попытка аппроксимировать все операторы на основе одного не даёт качественно верного решения. Рис. 7, г показывает наличие заметного качественного и количественного изменения окружных напряжений возле кромки включения при растяжении пластинки под углом 45°.

270 270

в г

Рис. 7. Эпюры относительного напряжения сте/р для задачи с упругим включением

Аналогично рис. 6 на рис. 8 изображены эпюры изменения по углу радиальных напряжений аг/р возле кромки упругого включения для

задач на растяжение пластинки под углом 0° (см. рис. 8, а) и 45° (см. рис. 8, б). Рис. 8. показывает, что при уменьшении окружных напряжений (см. рис. 7 а, г) радиальные напряжения растут.

Рис. 8. Эпюры относительного напряжения аг/ р для задачи с упругим включением

Таким образом, в рамках данной работы поставлена и решена задача линейной вязкоупругости для ортотропной пластинки с включением при различных гипотезах учета вязкоупругих свойств материала пластинки. Установлен эффект значительного перераспределения напряжений в материале пластинки возле кромки включений даже при постоянной внешней нагрузке. Попытка применения различных упрощающих гипотез при описании вязкоупругих свойств материала приводит к существенным отличиям от решений в общей постановке и даже к качественно неверным результатам.

Библиографический список

1. Брызгалин Г.И. К расчёту на ползучесть пластинок из стеклопластиков // Журнал прикладной механики и технической физики. -1963. - № 4. - С. 132-136.

2. Рикардс Р.Б., Тетерс Г. А. Устойчивость при ползучести стеклопластиковых цилиндрических оболочек под длительным действием внешнего давления // Механика полимеров. - 1970. - № 1. - С. 81-85.

3. Туник А. Л., Екельчик B.C. Напряжённо-деформированное состояние ортотропной оболочки из стеклопластика с учётом ползучести материалов // Механика полимеров. - 1970. - № 3. - C. 525-555.

4. Коминар В.А., Малинин Н.И. Об устойчивости прямоугольной пластинки из ортотропного стеклопластика с учётом ползучести // Вестник МГУ. Математика и механика. - 1968. - № 1. - C. 69-74.

5. Долина Н.Н., Розовский М.И. Деформация цилиндра из композитного материала при разноползучести // Теория механической переработки полимерных материалов: тезисы докл. всесоюзн. симпозиума. -Пермь, 1976. - C. 44-45.

6. Плуме Э.З. Сравнительный анализ ползучести однонаправленных композитов, армированных волокнами различного типа // Механика композиционных материалов. - 1985. - № 3. - С. 431-436.

7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела: моногр. -М.: Наука, 1977, С. 157-200.

Получено 21.03.2011