CC BY
23
УДК 514.765
А.А. Папин
О параболической аппроксимации одной модели двухфазной смеси
A.A. Papin
About Parabolic Approximation for the One Model of Two-Phase Mixture
Рассматривается параболическая аппроксимация модели взаимопроникающего движения двух вязких несжимаемых жидкостей. Доказано существование обобщенного решения на любом конечном интервале времени.
Ключевые слова: двухфазная смесь, параболическая аппроксимация, разрешимость.
The parabolic approximation for the model of interpenetrative motion of two viscous fluids is considered. The existence of the generalized solution for any finite time horizon is proved.
Key words: two-phase mixture, parabolic
approximation, solvability.
1. Постановка задачи.
В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа:
dPi Si . д ( О '
~^ + dXipi Si v<) - £~3Xr
0,
= 1,2, (1)
_s. dpi-
Ji (dvi . v §v±\__________^ ( 8щ \ _ __
pi Si V dt 1" Vi dx ) dx \ri Si dx ) ~ Si dx
+Vi + pi sig,
Yh=i si = 1, <£i = K(si)(v2 - vx) = -p2
Pi =Pc( si,0),
+
P2
,dd
д
2
Y,cipi ft+vi
(2)
(3)
(4)
решаемая в области (х,г) € Qт = О х (0,Т), О = (0,1), Бт = дП х (0,Т), при краевых начальных и дополнительном условиях (* = 1,2)
I _ I _ dti_ I _
Vi |^т dx dx |sT~
Vi |t=o= vix, Si jt=o=
pi(x,t)dx = 0,
стенками двухфазной смеси вязких жидкостей [1, 2]. В этом движении 'иг, рг - соответ-
ственно скорость, объемная концентрация и давление г-й фазы; в - абсолютная температура среды в = в2 = в); д - внешняя сила; постоянные р1 > 0, > 0, > 0 - соответствен-
но истинная плотность, коэффициент динамической вязкости и теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме; коэффициент взаимодействия фаз К в), коэффициент теплопроводности смеси хв) и разность давлений р^вх,в) - заданные функции. Искомыми являются функции (вДх, г), «Дх, Ь),Рг{X, г), в(х, £)).
Решение (вг(х,г), х,Ь), рг(х,г), в(х,г)) задачи (1)-(5) при е = 0 получается как
предел при е ^ +0 последовательностей
{«Кх,г)} Ы{х,г)} Ы{х,г)} вЧх,г)}•
Разрешимость задачи (1)-(5) при каждом
е>
ствах установлена в [3] и опирается на следующую вспомогательную задачу (в дальнейшем - задача Ле) для функций х,г) = х,г),
пе(х,г) = д^(х,г) - р2ю?2(х,г), в = рг/р, р = М1 + pHх,г), ве(х,г)-.
д
d2t
,
(6)
в0(х), в |^= в0(х).
(5)
Здесь е € [0,1] и при е = 0 данная начальнокраевая задача описывает одномерное движение между непроницаемыми теплоизолированными
* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы ” Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)” (код проекта № 2.2.2.4/4278), а также при поддержке федеральной целевой программы ’’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы.
+ V1
¥ - V£(№)&)+
bo(sE) u£(dsEy2 | ag(sE) ue
'HsE)a{sE) V dx ' ' ax +e(sE)
р^в, в), Xе) и их производные). Все эти свойства функций уточняются по ходу изложения.
Определение 1. Сильным решением задачи Ле называется совокупность функций х,г),ие(х,г),р\(х,г),ве(х,г)) из пространств
-a2(sf) и^+ £ и-Ц:+
- Ъ>0(sf))*£dd-
(7)
-a3(sf) (и£)2д!- + h(sf) go+
dpj, sE,eE)
' p° dx ,
dpf^Y'2 {d (u.sed^_ p0SE( vey2,
dx ~ Z^i=l 1 dx(PiSi dx pi Si\vi) ^
+£Pi vfdx-) - К pi sf vf) -
-£dx dx + pisfg} - (i -TLi Cipisf(dr + v!d£-) = £{xs)d£),
,e\dpj. sE,eE)
dx
(8)
(9)
vf = vt(sE,uf),
uf jsT= dx IsT= dx jsT= JpHx,t)dx = 0,
0
ue(x, 0) = u°(x), se(x, 0) = s0(x), в£( x,0) = e°(x).
(10)
Здесь использованы следующие обозначения:
s
s(l - s)
As) — А (1 - s) + P2S:
v = pp,p° = pt + p2>Vi = vpip2b(s)
a»( s) ap(s)’
,(s) — «i(l - s) + a2s, ai — , ^ — 1,2;
ai(s)
a(l - s)2 - a2s2
p
/ { \ dai h (s) = 17,
ds
a2(s) = b0(s)ai(s)+ a(s)
Ъо (s) bo(s)’
(se,ue,ef) e Lx(0,T;W.j(f!) )n L2(0,T; W|(fi)),
dsf duf def dpf L Q
{^,^t,^,dx] e l'2(Qt),
pf e l^o ,TLm),
удовлетворяющих уравнениям (6)-(9) почти всюду в Qt = О х (0, T) и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.
Определение 2. Классическим решением задачи Af называется совокупность функций (s^x,t),uE{x,t),pf(x,t),ee(x,t)), если они обладают непрерывными производными, входящими в уравнения (6)-(9), и удовлетворяют уравнениям, начальным и граничным условиям как непрерывные в Qt функции.
Af
удовлетворяют следующим условиям гладкости:
(s0,u0,e0) e W^n), g e L2(0,T;L2(n)),
0 < m < s°(x) < M0 < l,
0 < k— < e°(x) < ki < ж,
u u .
ме того K(s), pc(s, в), x(s) - непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, причем
K(s) = K0(s)(s(l - s)), в > 1,
K0(s) e [k-,k0],
0 < k0 = const < ж, K0(s) e C*[0,1];
dpd s,ev k
j<
dpds,e)v2 , hx(s)
ds s(l - s) ’
pc s, в < k
дв
1
-s
<
)e,
аз(в) = вЬов+а (^М4, до = (а -а2)д,
I Ьов
х(^^ с1Ргв + ^^1 - в), с0 = - С2Р2.
Следует отметить, что при в € [0,1] все эти функции являются ограниченными. В дальнейшем возникают различные комбинации функций, зависящих от в. Часть из них обладает указанными свойствами, а часть может иметь особенности при ^^ив = 1 (например, функции
k— (s(l - s))n < < ki(s(l - Ю)n,
n = const, = const >0.
Тогда при каждом £ > 0 существует един-
sf x, t uf x, t
p^x,t), ве(x,t)) задачи Af, которое обладает свойствами:
(sf,uf,вf) e Lx(0,T;Wj(n)) П L2(0,T;W|(n)),
a
a
a
I
a
дв£ ди£ дв£ др£ т ^ ,
р\ € тто(о ,ттт,
причем найдутся числа 0 < < 1,
о < тъ < мы < ж такие, что
О < т(1) < х,г) < М^ < 1,
О < т^ < в£(х,г) < М^ < ж, (х,г) € QT.
Если дополнительно
(в0, и, в0) € С2+“(П), д € Са’а/2 ^),
р^в, в) и Xе) _ дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, выполнены условия согласования первого порядка данных задачи, то в Qт существует единственное классическое решение задачи Л£, удовлетворяющее условиям
(в£, и£, в£) € С2+“Д+“/2фт), р£ € С+а'а/2^т),
< т < М <
О < т(4) < М(-4) < ж такие, что
О < т® < х,г) < М® < 1, о < т(4) < в£{х, г) < м(4) < ж, (х, г) € ят.
Существование сильного и классического решений задачи Л£ при каждом е > 0 и на достаточно малом промежутке времени доказывается с помощью теоремы Банаха о сжимающем операторе. Затем устанавливаются априорные оценки решений задачи Л£, зависящие только от е > Т
интервала времени, но не зависящие от промежутка существования локального решения. После этого локальное решение продолжается на ,Т
Ввиду сильной нелинейности уравнений системы (6)-(9) возникает необходимость использования дополнительного уравнения для производной концентрации 8£х. Удобным оказалось использование функции ЕЦх,г) = (р/а(ве))в% + Ь(ве)и£, удовлетворяющей уравнению
+
в(1 - ве) - вв Е дв£
а^( вЕ) К 8°)
ФЧ аК в£)
£ , 1г С
и +
др£(вв£, в£)
дх
Следствием (11) является уравнение
(рч х,г) = а(в£) т2) др£ д
т+ дх{иере) = Ы8е) х£д£ + еп£, (12)
дв
П£ = а'(в£)(К£)2 + 2^в£)Х дх .
дВ£
В настоящей работе изучаются свойства решений задачи Л£.
2. Априорные оценки. Компактность. Лемма 1. Для решений задачи Л£ справедливы следующие оценки:
О < т < в£(х,г) < М < 1, х € О,
О < т(1) < в£(х,г) < М^ < ж, х € О.
и £/ м.? цдв£ . . Л ,дв£, м
Нр(0 II +Н дх<>) 1|+/<Х^, I дх(х’^1+
о
дв£ д2в£
+11 1^{т) 1^И ТъгМ И*>Лт+
дв£ 2 ди£ 2 Г ди£ 'л
+ " ~х®и® ^11 +
£ 2
С д2и£
+ ( I~х-(х,г) 1йх)2)^ < С.
С т М т М данных задачи и не зависят от е; |Щ^ || - норма их, г) в Т2(П).
Доказательство. Оценки для в£, и£, в£ получены в [3]. Для оценки р£ уравнение (12) представим в виде
%+1<иу>+Л ^ (1з>
д-£ + и £д£ = -§ а"( в£) и£К£дХ +
где
(11) # = 2а(в£) (У + а(в£) | (Я£Н,
где
ТТ £_ .Л ..£Л ...£ Ь(,.£Л^ Р0ар(в£) В£ _ р д'2в£ и -а(в)и, Ц^^р—,^—^
£ /о о о 0\ ^в£) ди£
д1 — -(вЛ - вр2) ГЪ"и (“5
аД дх
а2 д2
-" — {П£)АЬ(.8£)и£ - 2Е£т^(о18£)Ь(.8£)и£)+
р
I
,а(8е) дВе ,, еч дв'
+ -о! (аЕ) Ь(ве) иеЕе(^^Ч^- + а’( 8е) Ве^~ )-
р /л дх дх
д
-а'( зе) Ъ(8е) иеВе — (а(8е) Ъ(зе) ие)+ р дх
д
+ -а’( 8е) (В?)2 — (а(в£) Ъ(8е) иеие). р дх
Используя равномерную по е ограниченность ие(х,Ь) и 8^х,Ь), получим
ди£ дВ£ ди£
1^0е1 < С В 1+В^- |+Ве|3+ т2| |+
ди£
+ т2 + В д0 | + |Ве — 0,
дх
дие
6
1 + 6
Полученные в лемме 1 равномерные оценки позволяют выделить подпоследовательности
{ие}е>0, {8£}е>0! {ве}е>о, ы }е>о, КЬхь 1 =
1, 2 такие, что
и? — и, 8е — 8, в£ — в, VI — VI
в норме Ь2(0,Т;Ь2(П));
2а(8е) 1де?Ве1 < С(ре+ В — К В1 + 1д0Ве1),
где постоянная С не зависит от е. Следовательно, Ге € Ьх^т).
Покажем, что справедливы равномерные по
е
1 г 1
11ре|!+^с1х + е ! I 1ре1^(№дВ)2 +
О 0 0
+ (ре)2)ЗхЗЬ < С(1 + !
О
е
+ ^~ V —рг-+
1 + 6 дЬ 1 + 6дх1 ^ ; 1 + Г дх
+ербА2 - е-д-р рх) + +е^|Р)2рй^ Гр6,
6
После интегрирования по х € [0,1] для третьего слагаемого левой части имеем
д8е д8 две дв
ре —Р1, —^ дх дх’ V дх дх ’
дие ди дvi
дх ¥ , дх дх ^ дх
слабо в С(0,Т; Ь ту,
дие ди дvе дv^ ; д8е д8
д ¥ дь , Т дЬ дЬ дЬ дЬ
две дв д2ве д2в
дЬ дЬ ’ дх2 ¥ дх2
слабо в Ь2(0, Т; Ь2(П)).
Предельные функции и, 8, рх принадлежат пространствам, указанным в определении 1. Используя уравнения (7) и (9), дополнительно получаем [3]:
ве -> в
в норме С(0, Т;С(П)), дие ди
дв
дх дх ’
две дх дх
1
[ р1+61 ^ ^х < 6(т ах На’ ^ |)+ ] дх х дх
о
1
+ —тах | а’’аЪи2 |) р1+6 Зх+ р х ]
+ е I |а_|р2^х + 2— тах Ца’^аи2) [ р1+6Зх.
2 У р ер о<х<1 1 ' ] '
О
6е
части (13), приходим к неравенству Гронуолла
1
для функции / р +6 Зх и тем самым к утвержде-0
нию леммы.
в норме Ь2(0,Т; Ь2(0)).
Полученные оценки на данном этапе позволяют перейти обычным образом (после умножения на пробную функцию и интегрирования по QT) к пределу в уравнениях (6), (8), (9) (соответственно для 8е, ре и ве). В уравнении (7) (для ие) предельный переход во всех слагаемых, кроме фе) (иедХу\ фе) = а3 >
проводится стандартно ввиду сильной сходим оСТИ 8е, Vе, ве, И ддх соответственно в
С(0,Т;С(П)), Ь2(0, Т Ь2(0)) и непрерывности
дК
дз
(8е, ве), (8е, ве). Для указанного слагае-
мого в силу свойств слабых пределов имеем, что
е
/д 8е Р д 8
с(8е)(ие—~)2гфЗхЗЬ > с(8)(и—)2'фЗхЗЬ.
дх I дх
Ят Ят
Тем самым для предельных функций можно получить неравенство [3]
[ ди ди 2 дидф
] (,‘тф + ф +
ее
8 —> 8, и —> и
+
ар 8
л1+^( 8)
Ъ0(8) д8 о
+Ф^а%( 8)а(8){идх) +
ди
а’ 8
+ иа2(8)и— - +
дх
ди д8 , ч 2 д8
+Ъ»(',»а^ + а'|(8)и ^ - -
ЪоМ дрс(8, в),
р
дх
-)ЗхЗЬ < О,
справедливое для любой неотрицательной функции ф € с(о,т; ^!(п)).
Ве
ном виде
(Ве)г + (и еВе)х = а’’ (8е) иере-
р
- — а’’ (8е) а(8е) Ъ(8е) (ие)2 Ве+ р
+а’ (8е) иехВе + еБ£х + д\.
Это уравнение умножим на функцию ф, удовлетворяющую условиям: ф|sт = 0, ф^^ = О,
фх,фг € Ь2^т). Посте интегрирования по х €
[0,1] и Ь € [0, Т приходим к равенству
J В'^ф^Зх - J (Вефг + иеВефх+
+ а’’( 8е) иере Ф-
(14)
Ят
+ т^а’’(8)ирф - ^а’’(8)а(8)Ъ(8)и2Вф+ (15)
т(т) € Б(П) _ пространство бесконечно дифференцируемых функций, 'ю(г) > 0, 8иррт С
(-1 , 1), J ,ш(г)Зг = 1, ад(-г) = "ш(г) для всех
г € В. Пусть Ь) = Н— ад( ь) ~ ядро усред-
нений по времени. Тогда усреднения функции их, Ь), продолженной нулем вне цилиндра Qт = О х (0, Т), по времени и пространственным переменным имеют вид рт
и^(х,Ь) = J и(х,т)т^(т - Ь)Зт, о
иа(х,Ь) = J и(у,Ь)та(у - х)Зу, а
Положим ф = а(8)ВНаф1(х,Ь), ф Ут = 0, ф (х, Т) = 0, ф > 0. После стандартных пре-
Н
+0 и а — +0 из (15) выводим
J Ва(8)ф |т Зх - ! (рф1 г + ирф1х+
О Ят
+ ма’’(.8)аВи(р - р)ф1+ (16)
где
-^ а’’{ 8е) а(8е) Ъ(8е) (ие)2 Ве ф+
+а’(8е)иехВеф + деф - еБефх)ЗхЗЬ.
Пусть 8х, В = а^З8^К^и - слабые пределы 8| и Ве в Ь2^т). После предельного перехода
е
J Вф тЗх - J (Вфг + иВфх+
+2д1а(8)Вф1)ЗхЗЬ,
2д1а(8)Вфх = (Ах + АРФ,
А1 = 2а(8)(р2р\ - р1р%)и~(их + рЪи'2) +
р
а
р
2Ки
+2а(8)р до- —Ь 2а(8)рсввх,
%
а
А2 = 2а(8) — (р'сз--р1р2)и' -
0\ 2 а в(1 - 8) - ^8\
р
Р %
+а’ (8)ихВф + дхф)ЗхЗЬ,
где р означает слабый предел ре в [С^т)]* _ пространство мер Бореля на Qт [4, с. 52, 373] (если ^ ^ множество из Вм, то
пространство мер Бореля М(0) отождествляется с двойственным к банахову пространству непрерывных функций С(^); пространство М(0) компактно вкладывается в негативное пространство Ш-к,р'№), кр > М, 1/р+ 1/р’ = 1).
Пусть ,ша(х) = ю(х) - ядро усреднений
по пространственным переменным х € О С В14,
ре
е ие х, Ь
8е х, Ь
|¥е|< с + +
+(Ве)2|<| + (Ве)2 + Веиех|), Се
НО, Ге € ЫЯт)-
Уравнение (12) умножим на фх и проинтегрируем по Qт. После предельного перехода при
е
/В2а(8)фтЗх + Ит / а?фЗхЗЬ =
е^+0 ]
О Ят
= [ {рфгг + ирфх+ ^17'1
Ят
+А^ Ар)Ф)ЗхЗЬ.
+ (А2 — — a" aRu)^i)dxdt.
В силу произвольности ф и свойства р > р слабых пределов выпуклых функций из последнего равенства следует, что р = р п.в. в QT-Следовательно, Re — R сильно в L2(Qt) [4-5], т.е. уравнение (7) выполняется в слабом смысле.
Qt
Библиографический список
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - М., 1987.
2. Rajagopal K.L., Тао L. Mechanics of mixtures.
- London,1995.
3. Papin A.A. Global solvability of the equations of one-dimensional nonisothermic motion of a two-phase mixture. 2. Results on solvability // Journal of Applied and Industrial
Mathematics.- 2008. - Vol. 2, №3.
4. Novotny A., Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. - Oxford, 2004.
5. Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Compressible Models. - Oxford, 1998. - Vol. 2.
Сравнивая (16) и (18), имеем
0 < lim / Ai dxdt
£^+o У e
Qt
(р — р)(ф. t + иф x+
