О новых возможностях метода эллипсометрии, обусловленных "нулевой" оптической схемой. Эллипсометрия реальных поверхностных структур. 9. О возможностях регулирования и стабилизации параметров фазового компенсатора эллипсометра Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2007, том 17, № 3, c. 54-64

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК535.5.511: 531.7

© А. И. Семененко, И. А. Семененко

О НОВЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ МЕТОДА ЭЛЛИПСОМЕТРИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ "НУЛЕВОЙ" ОПТИЧЕСКОЙ СХЕМОЙ. ЭЛЛИПСОМЕТРИЯ РЕАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ СТРУКТУР.

9. О ВОЗМОЖНОСТЯХ РЕГУЛИРОВАНИЯ И СТАБИЛИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ФАЗОВОГО КОМПЕНСАТОРА ЭЛЛИПСОМЕТРА

Работа посвящена изучению идеального фазового компенсатора с диагональной матрицей Джонса. Предложен процесс оптической юстировки, обеспечивающий при наличии механизма пространственной ориентации переход к идеальному компенсатору. Получены формулы для комплексного параметра р (действительных параметров 8 и /), определяющего матрицу Джонса идеального компенсатора. В связи с этим изучена четырехмерная матрица однородного анизотропного слоя для случая произвольной ориентации двух главных осей в плоскости падения светового луча. Рассмотрены методы регулирования основного фазового параметра 8 включая процессы температурной стабилизации и способы изменения величины этого параметра за счет изменения угла падения светового луча на пластину компенсатора.

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для "нулевой" эллипсометрии проблема достаточно точного определения параметров фазового компенсатора является очень важной. Данная проблема значительно усложняется в связи с тем, что свойства компенсатора определяются не только основным комплексным фазовым параметром р, представленным известными действительными величинами 8 » 90° и / »1 [1], но также и комплексными параметрами р1 и р2, представляющими недиагональные элементы матрицы Джонса компенсатора. Параметры р1 и р2 обусловлены нарушениями в установке и оптической юстировке компенсатора, а также его оптической активностью, если таковая присутствует. Определение всех трех комплексных параметров — это сложная задача. Она значительно упрощена в работе [2], в которой предложен метод прецизионного определения параметров р, р1, р2, основанный на совместном использовании юстировочной процедуры прибора и инвариантных соотношений эллип-сометрии анизотропных сред. Однако параметры р1 и р2 носят сопутствующий характер, они не являются необходимыми. Особенно они затрудняют исследование поверхностной анизотропии и анизотропных кристаллов. В этом случае переход к идеальному компенсатору, для которого

А = р2 = ^ (1)

позволяет использовать простейшие соотношения

"нулевой" эллипсометрии изотропных сред. Эти соотношения связаны с экспериментально измеряемыми положениями гашения оптических элементов прибора, их нарушение обусловлено наличием у исследуемых образцов анизотропии. Это очень важное обстоятельство, с которым нельзя не считаться. По этой причине создание идеального фазового компенсатора является исключительно важной задачей. Пластина идеального компенсатора, очевидно, не должна обладать оптической активностью; в связи с этим в первой работе настоящего цикла [3] ставится задача по созданию фазового компенсатора на основе монокристалла сапфира. Но реализация идеального компенсатора связана также и с более сложной, нежели это принято, процедурой юстировки прибора. Если идеальный компенсатор все же создан, то возникает еще одна серьезная проблема, связанная с температурной неустойчивостью комплексного параметра р (действительных параметров 8 и /). В работе [3] для уменьшения температурной неустойчивости 8 и / опять-таки предлагается использовать монокристалл сапфира. Однако и в этом случае для сведения температурной неустойчивости практически к нулю необходимо использовать новые конфигурации компенсаторов. В частности, в работе [4] для достижения температурной стабильности параметров 8 и / предлагается в качестве компенсатора использовать пластину одноосного кристалла с оптической осью, выведенной из плоскости пластины и расположенной, следовательно, под острым углом в к нормали

пластины. Но в работе [4] свойства такого компенсатора описаны приближенно, кроме того, рассмотрен случай нормального падения светового луча на пластину, исключающий использование дополнительных возможностей в регулировании параметров компенсатора. Для точного рассмотрения данной задачи, включающей в себя и случай произвольного угла падения светового пучка на пластину компенсатора, целесообразно использовать матричный метод. При этом интерес представляет наиболее общая предельная ситуация в расположении главных осей тензора диэлектрической проницаемости пластины компенсатора, характеризующаяся произвольной ориентацией двух главных осей в плоскости падения светового луча на пластину (третья ось, очевидно, перпендикулярна плоскости пластины).

В связи с вышеизложенным основные цели настоящей работы могут быть сформулированы следующим образом:

• изучение матрицы однородного анизотропного слоя для наиболее общего предельного случая в расположении главных осей тензора диэлектрической проницаемости;

• обсуждение процесса оптической юстировки, обеспечивающего переход к идеальному компенсатору;

• способы обеспечения температурной устойчивости параметров идеального компенсатора, точное решение задачи для пластины одноосного кристалла с произвольной ориентацией оптической оси в плоскости падения светового луча;

• о регулировании параметров фазового компенсатора.

1. МАТРИЦА ОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ

ОРИЕНТАЦИЕЙ ДВУХ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ В ПЛОСКОСТИ ПАДЕНИЯ СВЕТОВОГО ЛУЧА

Для изучения свойств идеального фазового компенсатора мы используем матричный метод, который является наиболее общим и в то же время наиболее простым способом описания любой многослойной системы с произвольной анизотропией однородных слоев [1, 5, 6]. Идеальный компенсатор — это довольно простая система, представляющая собой однородную пластину одноосного кристалла с оптической осью, произвольно расположенной в плоскости падения светового луча. Однако и здесь, сохраняя общность, мы используем матрицу однородного анизотропного слоя. Матрицу для интересующего нас случая можно получить из ее общего выражения, приведенного в работах [1, 5, 6]. Но учитывая, что нас интересует и поляризация плоских монохроматических волн, распространяющихся в пластине с указанной ори-

ентацией оптической оси, и выражения для волновых векторов этих волн, а также принимая во внимание громоздкость процедуры перехода (в общем выражении для матрицы) к предельным ситуациям в расположении главных осей однородного анизотропного слоя, мы проведем независимое и довольно простое рассмотрение. При этом будем иметь в виду двухосный кристалл. Следует отметить, что матрица для самых простых предельных ситуаций, в которых две главные оси перпендикулярны плоскости падения и поверхности слоя, рассмотрена в работе [6].

В настоящей работе нас интересует самая общая предельная ситуация в расположении главных осей анизотропного слоя, для которой характерна произвольная ориентация двух главных осей в плоскости падения светового луча и, следовательно, перпендикулярность третьей оси к плоскости падения. На рисунке, изображающем данную предельную ситуацию, основная координатная система х, у, г привязана к плоскости падения. Расположение системы главных осей X, Л, С относительно основной определяется углами Эйлера %, @, п , смысл которых подробно описан в работах [1, 5, 6].

Схематическое изображение однородного анизотропного слоя толщиной ё с произвольной ориентацией двух главных осей (£ и £) в плоскости падения луча X на поверхность П слоя

Углы Эйлера для рассматриваемой предельной ситуации имеют следующие значения:

С = 90°, 0 < в < 180°, V = 90° . (2)

В соответствии с условиями (2), главные оси X и £ на рисунке располагаются в плоскости падения, а третья ось ц перпендикулярна этой плоскости и направлена к нам (ось у — от нас). Условие (2) на угол в обеспечивает произвольное расположение осей X и £ в плоскости падения.

Электрическое поле в однородном анизотропном слое с диэлектрической проницаемостью ек удовлетворяет системе уравнений

3

У (к02е. - 8. к2 + кк )Е = 0, . = 1,2,3. (3)

^^ V 0 1Ш 1Ш I т * т ' '' V '

»13 =

к0е11 кг

к0е13 + к0 хк2

к0е13 + к0 хкг к0е 33 к0х

Уравнение (7) распадается на два:

К0е 22 к0х к2 0 ■

к2 + 2ак, - (к2е33 - ^)+ к^ = 0

где

е

а = к) х ^

е33

(9) (10)

(11)

Уравнения (9) и (10) преобразуем к более удобному для дальнейшего виду:

Используя формулы для элементов ек тензора диэлектрической проницаемости, приведенные в работах [1, 5] и определяющие е.к через главные

значения е(1), е(2), е(3) и углы Эйлера, запишем для рассматриваемой предельной ситуации:

,(1)

п(2)

8е 2

(3)

41 _ ° 1 8е1, е22~^ 1

8е1 = (е(3) - е(1)) 8т2 в, 8е2 = 0, 8е3 = -8е1 е13 = (е(3) -е(1))8твсоъв.

8е3

е12 = е 23 = 0'

(4)

С учетом соотношений (4) и условий на волновой вектор к

кх = к0х = кo^|e0sinjo, ку = к0 у = 0 к0 = -, (5)

(к02еп -к2)Ех + 0 • Еу + (К02е13 + к0хк2)Ег = 0,

0 • Ех + (к2е22 - ^ - к2)Еу + 0 • Е2 = 0, (^3 + к0хк2)Ех + 0 • Еу + (к2е33 - ^)Е, = 0.

(6)

Приравняв нулю определитель этой системы, получим уравнение Френеля, определяющее ,-со-ставляющие волновых векторов плоских волн, распространяющихся в анизотропном слое с особой ориентацией (2) главных осей:

(к2е 22 - С - к2) »13 = 0,

(7)

к2 - к2= 0:

(к, + а)2 - к2gра2 = 0

£ = е22 - е0§1п2 ^

= —(е33 -е0 sin2 %),

а 2 = 1 -

(12) (13)

е11е 33

(14)

где е0, (р0, к0 — диэлектрическая проницаемость внешней среды, угол падения светового пучка и волновое число падающей волны (см. рисунок), система уравнений (3) может быть представлена в виде

Уравнения Френеля (9) и (10) по своей структуре совпадают с уравнениями Френеля для обыкновенной и необыкновенной волн в одноосном кристалле (см. [6]) при е(1) = е(2) = е0 и

(3)

е = ее, где е0 и ее — диэлектрические проницаемости для обыкновенной и необыкновенной волн. По этой причине для корней к2 уравнений (9) и (10) сохраним такую же нумерацию, как и для соответствующих уравнений в случае одноосного кристалла. Учтем также условие на знаки корней кт2 (т = 1,...,4), принятое в работе [6].

В результате, используя преобразованные уравнения (12) и (13), получим

к1,22 =±К0g,,

к3,42 =-а * К0gpaр . (15)

Хорошо известно (см., например, [1]), что любая плоская волна, распространяющаяся в однородном анизотропном слое с ориентацией главных осей, определяемой условиями (2), линейно поляризована либо перпендикулярно плоскости падения (^-волна), либо в плоскости падения (р-волна). Исходя из системы линейных уравнений (6) и учи-

тывая уравнение Френеля (7), а также вытекающие из него уравнения (9) и (10), легко установить соответствие между типами плоских волн и волновыми векторами. Плоская волна с волновыми векторами к1 и к2 (к12 и к22), определенными из уравнения Френеля (12), является 5-волной, а волна с волновыми векторами к3 и к4 (к3г и к42), определенными из уравнения Френеля (13), является р-волной. Это означает (см. [1]), что если волна, падающая на границу анизотропного слоя с ориентацией главных осей (2), является 5-волной, то в данном анизотропном слое возбуждается только 5-волна, и то же самое для р-волны.

Последнее обстоятельство указывает на независимость р- и 5-волн, а отсюда следует, что матрица однородного анизотропного слоя М(^) в рассматриваемой ситуации, определяемой условиями (2), становится блочно-диагональной, причем, согласно принятому в работе [6] порядку расположения элементов в столбце из тангенциальных составляющих Е и Н, верхний блок отвечает р-волне, а нижний 5-волне. Таким образом, появляется возможность непосредственно перейти к построению матрицы данного анизотропного слоя. Опуская подробности, остановимся только на принципиальной схеме.

В общей предельной ситуации (2), определяющей особый тип ориентации главных осей однородного анизотропного слоя, система двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно Ех и Еу [1, 5], из которых находятся частные решения, распадается на два независимых уравнения, что соответствует независимости р- и 5-волн. Используя общий вид системы из работ [1, 5] и учитывая условия (2), запишем эти независимые уравнения:

д2 Е

д 22 д2 Ех д 22

у + к2g2Еу = 0 .

(16)

- 2ш

дЕх д2

-(к^Ра2р -а2)Ех = 0, (17)

шениями уравнений (16) и (17), если 1 выразить через корни уравнений Френеля (12) и (13). Учитывая (19), а также сделанные выше замечания относительно нумерации и знаков корней кт2, запишем частные решения уравнений (16) и (17). Ими будут следующие пары экспонент:

в^ = ехр(-1 къ2), в™ = ехр(-1 к2 ), (20)

(2)

вХ} = ехр(-/ к3 гг X

,(2) _

к1,4 2 > 0

к2,3г < 0.

= ехр(-1 к 4 ^), (21) (22)

Вся дальнейшая процедура проводится так же, как и в случае однородного изотропного слоя. Она подробно описана в монографии [1] и использована в предыдущей работе [6] при рассмотрении простых предельных ситуаций, связанных с особой ориентацией главных осей анизотропного слоя. В этом случае главные оси совпадают с осями основной координатной системы (х, у, ¿) (см. рисунок), и, следовательно, имеют место простейшие соотношения для элементов тензора е1к :

е12 = е13 = е 23 = 0,

,(1)

е = е (2)

22

(23)

Здесь мы рассматриваем общую предельную ситуацию (2), однако схема построения матрицы остается такой же. Стоит только отметить, что в граничных условиях необходимо использовать более сложную зависимость Н от Ех:

Н = ЬЕ + А

д Е

_х_

д 2 '

(24)

где А1 и А3 определяются известными выражениями (см. [1, 6]), которые приведем к удобному виду:

Р3 = I

К2е 33 к0 х

2 е33 = I—% (25)

2 g р

2 2 2

где величины а, gs, gp , а определяются выражениями (11) и (14).

Решения уравнений (16) и (17) ищем в виде

Е ( ) = в12.

X ( у )

(18)

Подставляя (18) в (16) и (17), приходим к уравнениям относительно 1, которые переходят в уравнения (12) и (13) при замене

1 = -1к2. (19)

Это означает, что функции (18) становятся ре-

А =

к0

-к е =

к2е - к 2 0х 13 0 33 Л0 х

к0

к 2е -к 2 33 п.^33 Л0 х

е 33 а = -1а А3.

(26)

Повторяя процедуру из работ [1, 6], приходим к следующей матрице однородного анизотропного слоя для случая, когда одна главная ось слоя перпендикулярна плоскости падения, а две другие произвольно ориентированы в плоскости падения (см. (2)):

М(Л) =

а ре11

а Ре11 ь

0 0

-1 ь

(27)

где

1к$ г^

аР = 2[в

а = 1[в1к2 ' 2

в1к4гЛ ] 1к1гй ]

Ь =- [в1к3гЛ - в1 р 2

'], (28)

],

Ъ =- [в1к2гЛ - в1к1гЛ ].

(29)

Матрица (27) позволяет описать любой предельный случай независимо от того, одноосный это кристалл или двухосный. Мы не будем рассматривать разные случаи, отметим лишь, что, сопоставляя величинам е(1), е(2), е(3) разные числа из принятого набора главных значений, а также фиксируя значения угла в из указанного в (2) интервала, можно описать любые предельные ситуации, в том числе и самые простые. В последнем случае углу в придаются значения в = 0 или в = 90° . Отметим также, что в простых предельных ситуациях

е13 = ^

а р = 1 *

(30)

оптических элементов являются конкретные показания Р0, А и К0 на их лимбах. При Р = Р0 и А = А направления пропускания поляризатора и анализатора совпадают с плоскостью падения. Что касается компенсатора, то определение его юсти-ровочного параметра К0 является гораздо более сложной процедурой.

Будем считать, что в общем случае направления светового луча и нормали к пластине компенсатора не совпадают, т. е. световой луч падает на поверхность пластины под отличным от нуля углом (р0к, причем обусловлено это не только сбоями в установке компенсатора, но в некоторых случаях сознательным использованием такой ориентации пластины относительно светового луча. Будем также исходить из того, что оптическая ось в какой-то степени выходит из плоскости пластины, образуя с нормалью угол в < 90°. При данных условиях, когда

()к > 0, в < 90°

(31)

плоскость падения светового луча на пластину компенсатора (будем называть ее локальной плоскостью падения) определяется однозначно. При этом в реальных условиях в процессе стандартной установки компенсатора его оптическая ось вообще-то не лежит в локальной плоскости падения, в принципе, она может значительно отклоняться от этой плоскости. Если матрицу Джонса компенсатора определить относительно локальной плоскости, то она, очевидно, в этом случае будет содержать недиагональные элементы

и матрица (27) переходит в матрицу, приведенную в работе [6].

Слои с особым расположением главных осей, в принципе, могут входить и в состав многослойных систем. Для этого случая соответствующие величины, определяющие матрицу (27), необходимо снабдить индексом /, нумерующим слои.

2. О ПРОЦЕССЕ ОПТИЧЕСКОЙ ЮСТИРОВКИ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕМ ПЕРЕХОД К ИДЕАЛЬНОМУ ФАЗОВОМУ КОМПЕНСАТОРУ

Для идеального фазового компенсатора выполняется соотношение (1), означающее, в первую очередь, отсутствие оптической активности у пластины компенсатора. В этом случае ненулевые значения параметров р1 и р2 обусловлены недостаточностью оптической юстировки. При юстировке оптических элементов прибора идет привязка к плоскости падения светового луча на образец. Показания на лимбах поляризатора, анализатора и компенсатора будем обозначать Р, А и К соответственно. Юстировочными параметрами этих

А Ф 0, р2 ф 0 .

(32)

Такую матрицу Джонса будем называть локальной. Кроме того, условимся считать, что ось узла компенсатора и световой луч совпадают по направлению. Если вращать узел компенсатора как целое, то при этом вращается и локальная плоскость падения, совпадая при некотором значении К с основной плоскостью падения. Локальная матрица Джонса при таком вращении, конечно, не меняется.

Интерес представляет матрица Джонса относительно основной плоскости падения (на образец), и она при К = К0 совпадет с локальной матрицей, т. е. будет содержать отличные от нуля недиагональные элементы, если юстировочному параметру К0 отвечает совпадение локальной и основной плоскостей падения. Но К0 определяется такими способами, которые при выполнении условия (32) практически исключают соответствие К0 такому совпадению локальной и основной плоскостей. Но и в этом случае матрица Джонса компенсатора,

приведенная к юстировочному параметру К0, т. е. основная матрица Джонса, будет содержать недиагональные элементы.

Все три оптических элемента прибора в процессе юстировки располагаются на одной оси, при этом направления пропускания поляризатора и анализатора приводятся в скрещенное (перпендикулярно друг другу) положение:

Р = Р0, А = А0 + 90° . (33)

Тогда при

К = К0 (34)

гашения светового пучка на выходе анализатора не произойдет. Это является следствием того, что имеют место неравенства (32). В то же время существует такое взаимное расположение поляризатора и компенсатора, при котором на выходе компенсатора свет будет линейно поляризован в плоскости падения, т. е. на выходе анализатора, положение которого не меняется (А = А0 + 90°), будет наблюдаться полное гашение и в случае (32). Но такое взаимное расположение в общем случае реализуется при

Р Ф Р0, К Ф К0. (35)

Данная ситуация подробно проанализирована и использована для определения параметров р1 и р2 в работе [2]. Здесь же нас интересует другое использование этой процедуры.

Условимся здесь и для дальнейшего определять К0 по минимуму интенсивности света на выходе анализатора в ситуации (33). Тогда с помощью указанной процедуры, подробно описанной в работе [2], можно выяснить, не является ли минимум интенсивности света на выходе анализатора при выполнении (33) и (34) самым глубоким, т. е. не являются ли условия (33) и (34) единственными, обеспечивающими наиболее полное гашение.

Если условия (33) и (34) обеспечивают наиболее полное гашение на выходе анализатора, то это означает, что выполняется условие идеальности компенсатора (1). А это может быть только в том случае, если оптическая ось лежит в локальной плоскости падения, т. е. реализуется общая предельная ситуация (2), для которой локальная матрица Джонса является диагональной. В этом случае параметру К0 отвечает совпадение основной и локальной плоскостей падения, и, следовательно, основная матрица совпадает с локальной и является идеальной, удовлетворяющей условию (1).

Проведенный анализ, по сути, определяет процесс оптической юстировки, обеспечивающий переход к идеальному компенсатору. В заключительной части данной работы мы обсудим сам

процесс перехода к идеальному компенсатору.

3. О ТЕМПЕРАТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ПАРАМЕТРОВ ИДЕАЛЬНОГО ФАЗОВОГО КОМПЕНСАТОРА

Обеспечение температурной устойчивости параметров фазового компенсатора — это очень серьезная проблема "нулевой" эллипсометрии, связанная с точностью измерения поляризационных углов отражающих сред [1]. Температурная неустойчивость параметров компенсатора обычного типа, у которого оптическая ось лежит в плоскости его пластины, обусловлена относительно большой толщиной этой пластины. На практике обычно используются значения толщин й ~ ~ 1500-2000 мкм. При такой толщине температурные колебания показателей преломления, проявляющиеся в шестом или седьмом знаке после запятой, а также температурные колебания толщины приводят к изменениям фазового параметра 8 , которые заметно сказываются на точности эллип-сометрических измерений. Однако ситуация коренным образом изменится, если в качестве компенсатора использовать пластину одноосного кристалла с оптической осью, расположенной под углом в < 90° к нормали пластины. Приближенное решение этой задачи, причем для случая нормального падения светового луча на пластину компенсатора, дано в работе[4].

Здесь мы рассмотрим более широкую задачу следующего плана. Идеальный фазовый компенсатор представляет собой пластину одноосного кристалла, на которую под углом ( 0к падает световой луч. Угол падения р0к изменяется в широких пределах

0 < р0к < 900. (36)

Оптическая ось лежит в плоскости падения (локальной плоскости падения), образуя угол в с нормалью к пластине, также изменяющийся в широких пределах. Если соотнести рисунок к рассматриваемому случаю, то на нем главная ось £ — это оптическая ось, а две другие главные оси X и ц эквивалентны и могут занимать любое отличающееся от указанного на рисунке положение в плоскости, перпендикулярной оптической оси. От такой свободы в положении главных осей X и ц элементы тензора е.к пластины не зависят. Таким образом, для одноосного кристалла фазового компенсатора реализуется предельная ситуация (2), в которой значение угла V уже не играет никакой роли. Учитывая такую постановку, а также пояснения, данные в работе [6], введем следующие обозначения:

е(1) = е(2) ° е

е(3) ° ее ф ео

(37) тора:

где оптической оси отвечает ее, а двум эквивалентным осям — ео. Индексы о и е соответствуют обыкновенной и необыкновенной волнам, распространяющимся в одноосном кристалле. С учетом (37) соотношения (4), определяющие элементы тензора ек в предельной ситуации (2), для одноосной пластины компенсатора примут следующий вид:

е11 = ео

8е,

е 22 е,

8е1 = (ее - ео^ш2 в,

,+ 8е 2, 8е 2 = 0,

е33 е е

8е3

8е 3 = -8е 1,

е = е = 0

12 23

е13 = (ее - е0 )sinв ео8в.

(38)

Ь

( Т 0 ^

рр

0

(39)

Матрица Ьк связывает значения столбца

О

( Ер ^

(40)

на входе (О0) и выходе (О1) пластины компенса-

О1 = Ьк О0. (41)

При К = К0 коэффициенты пропускания Трр и Т^ определяются относительно локальной плоскости падения и, что то же самое, относительно основной плоскости. Они комплексны и могут быть представлены в виде

Трр = |Трр| ехр(-. 8р), Тш = |ТШ|ехр(-. 8^). (42)

Сделав элементарное преобразование матрицы (39) и подставив в нее (42), получим

Приведенные выше для случая предельной ситуации (2) выражения для 2-составляющих волновых векторов плоских волн, распространяющихся в анизотропной пластине, очевидно, справедливы и для одноосной пластины компенсатора. Необходимо только учесть соотношения (38). Кроме того, в первой части настоящей работы сохранено полное соответствие со случаем одноосного кристалла. Поэтому можно сразу сказать, что обыкновенные волны в пластине компенсатора поляризованы перпендикулярно локальной плоскости падения, т. е. это — £-волны с волновыми векторами к1 и к2 ( к12 и к22), а необыкновенные волны поляризованы в плоскости падения — это р-волны с векторами к3 и к4 ( к32 и к42 ).

Юстировочному параметру К0 идеального фазового компенсатора отвечает совпадение (при К = К0) локальной плоскости падения с основной плоскостью (см. предыдущий раздел). При таком совпадении тип плоской волны не меняется при падении волны на поверхность пластины компенсатора. Волна £-типа возбуждает в пластине обыкновенные волны, а волна р-типа — необыкновенные волны. После прохождения пластины тип волны не меняется. Матрица Джонса Ьк идеального компенсатора определяется коэффициентами пропускания р- и £-волн через пластину компенсатора, т. е. величинами Т и ,

Ьк = Трр

= Тр

(1 0 ^ Т

0

Т

рр 0

(1 0

Т

0 \ ¿я

Т

V 1 рр

-ехр(-/ (8^ - 8р))

= Тр

(1 0 ^ 0р

р = ТУ = I ехр(- 8), I = ТН рр \Трр\

8 = 8 „ - 8 р

(43)

(44)

где 8 и I — это основной фазовый параметр идеального компенсатора и относительный коэффициент пропускания и р-волн через пластину компенсатора.

Необходимо отметить, что фаза волны зависит от типа волны только в пределах пластины и связано это с различием 2-составляющих волновых векторов обыкновенной и необыкновенной волн. В соответствие с этим параметры 8р и 8£ представляют собой изменения фазы р- и £-волн, причем разные в результате прохождения пластины. Разность этих изменений определяет основной фазовый параметр 8 компенсатора. По этой причине можно также сказать, что параметр 8 определяется разностью набегов фаз р- и £-волн в результате прохождения пластины. Параметру 8 обычно придается физически понятный смысл, согласно которому 8 определяет дополнительную разность фаз и р-волн, возникающую на выходе компенсатора.

Прежде чем переходить к определению коэффициентов Трр и Т^, проведем приближенное

рассмотрение. Определим фазовый параметр 8 , пренебрегая процессом многократных отражений внутри пластины. Падающая волна представляет собой совокупность и р-волн с нулевым сдвигом фаз между ними. Внутри пластины эти волны преобразуются соответственно в обыкновенную и не-

обыкновенную волны, которые в принятом приближении определяются следующими экспонентами:

es = exp(i wt - i k0xx - i k2zz), ep = exp(i wt - i k0xx - i k3zz).

(45)

Набег фазы на толщине Л пластины для обыкновенной и необыкновенной волн определяется величинами

(-k22d), (-k3;

(46)

d0 = ( k2zd) - (-k3zd) •

(47)

Дополнительная разность фаз 80 — это и есть фазовый параметр 8 в рассматриваемом приближении. Из (47) находим

S = до = ( k2г + k3z)d = (|k2 J - lk3.

(48)

Подставим в (48) выражения (15) для к2г и к3г и проделаем элементарные преобразования, в результате получим следующее выражение для 80 :

до =

2p d

~ЯГ

(no - Пе )F(в, jok

(49)

F (в, jok) = G

sin2 в + e 0 sin2 j0k

cos2e

+ sin jk (gs + apgp )

33

sin 2в

33

1 2 (eo - ee b_2

e,,e

+ 4.,

sin2 2в

G =

no + П

' + a

no = л/ e o ,

n„ = , e

(50)

(51)

Таким образом, получено более сложное, нежели в работе [4], выражение для 80. Для обычного компенсатора, у которого оптическая ось лежит в плоскости пластины (в = 90°), а направление нормали совпадает с направлением светового луча ((0к = 0), формула (49) приобретает хорошо известный вид:

« 2pd , . д0 (no - П ).

(52)

Имея в виду общий случай, перепишем формулу (49) в аналогичном виде:

8о = (по - пе), Лэф = ЛГ(в, (0к). (53)

Минимальное значение Лэф, обеспечивающее разность фаз 8 » 80 = я / 2, и минимальное значение функции ^(в, (0к), обеспечивающее при заданной толщине Л ту же самую разность фаз, находятся из (53):

Поскольку к2г и к3г имеют разные значения, то на выходе из пластины компенсатора между 5- и р-волнами возникает дополнительная разность фаз

(d ф) . =

V эф ' min

(F )min =

Я

4(n - П)

(dэф )min Я

(54)

d 4d (no - ne)

В работе [4] в качестве примера рассмотрена пластина одноосного кристалла с параметрами

d = 1570 мкм, (по - ne) » 0.01, Я = 0.6328 мкм .

Для случая нормального падения F = sin2 в и для указанных значений параметров имеем:

(sinв)min » 0.1, т.е. втШ » 5.5°, (d3rfj)min »15.7мкм .

Таким образом, в рассмотренном примере эффективная толщина dэф на два порядка меньше реальной толщины, а это означает, что температурные колебания фазового параметра д0 также снижаются на два порядка.

В общем случае минимальное значение функции F (в, j0k), определенное из (54), обеспечивается не только углом в , но также и углом падения j0k. В следующей заключительной части данной работы, посвященной регулированию параметров идеального фазового компенсатора, мы проанализируем выражение (49) для д0 , справедливое при любом угле падения j0k . При этом речь пойдет не только о температурной стабилизации фазового параметра д , но также и о возможностях регулирования этого параметра за счет изменения угла

%к .

Используя формулы (44), перейдем теперь к точному определению комплексного параметра р (действительных параметров д и f ) идеального компенсатора. Для этого используем выражения для коэффициентов пропускания Tpp и Tss,

полученные в работе [6] для случая анизотропных слоев на анизотропной подложке. Эти выражения в той же работе [6] преобразованы к случаю изотропной подложки. Этими преобразованными выражениями мы и воспользуемся здесь, учитывая, что изотропной подложкой в нашем случае будет внешняя среда с диэлектрической проницаемостью

е0 и углом преломления в эту среду, совпадающим с углом падения (р0к. Формулы для коэффициентов пропускания запишутся:

1

Трр =-ао-||Ьи Ь2, Нз-;,

Тж =—ао |Н!2 , Ь4, Е4

а о = 2^/ёО 008 (ок ехр(—/ко

Ж = 1Н(2) Н(—) Е Е II

" -"п ' А1-34 ' 1 2' 1 оз '

Н12) = Ц 008 (ок 2 ,

Н3—) = —Ь3 2 Ь008 (ок ,

^ щ ^

щ.

(/ = 1,...,4),

Е =

2

о

0

1

Л/ео 008 (ок.

(008 (ок Л

Е =

о3

—V е, о о

=—ао Дг

^31

Т„ =—ао

± 1-Х

А2 = Щ11 Щ12 , А4 = щ33 щ34

Щ21 щ22 Щ43 Щ44

р =

312

щ11008 (ок ^ео щ12 008 (ок Щ21 008(ок 22 л/ео"

Р =

234

щ33 2 щ34У]ео 008(ок 1

-щ43 2 Щ44 л/ео 008 (ок л/ео 008 (ок

(55)

(56)

После элементарных преобразований приходим к следующим выражениям для коэффициентов пропускания:

Трр = 4а о '**, Тж = 4ао ЩГе-/(—^*, (63)

р .

N =

2^ео 008 (ок 2 ео

где под знаком определителей стоят следующие элементы:

а Ре11

а ре11 2 ■—-008 (ок

(57)

008 (ок 2 ео х ехр(—2/'к"оа pgpd),

а ре11

аре11 2 „ ■—-008 (ок

(64)

N 2^ 2

—^008^ 2^ 2'

(58)

ехр^/ко^). (65)

Теперь, используя (63)-(65) и принимая во внимание (48), можем записать точное выражение для параметра р:

Т

р = = е

Т

рр

N п

= е(— к2z 2к3z ) 1 _р = е — 5о _р (66)

N '

N1

N..

Если сделать представление для комплексной величины

Здесь Ь (/ = 1,..., 4) — это /-й столбец четырехмерной матрицы анизотропного слоя. Для рассматриваемой одноосной пластины идеального компенсатора такая матрица описывается формулами (27)-(29). Блочно-диагональный вид данной матрицы, а также структура столбцов Е2 и Ео3 позволяют выразить определители 4-го порядка из (55) и (56) через определители второго порядка. В результате выражения для Трр и Т. примут вид:

^=

N ,, |N'

(67)

5" -Ч

то параметр р окончательно запишется

р = ¡е-/& = е—8—^ И

(59)

(60)

(61)

8 = 8о — dl, / =

Т .1 N

(68)

Т \NS

рр

Здесь 81 — добавка к 8о , которая получается в результате учета отражения от компенсатора и многократных отражений внутри него, а / — параметр, характеризующий относительную разность пропускания - и р-волн.

Для обычного компенсатора (в = 9о°, (ок = о) зависимости величин 81 и / от толщины 1 пластины

Ь

имеют характер резких, с очень небольшим периодом осцилляций. При этом основной фазовый параметр 8 представляет собой наложение резко осциллирующей функции 81 на линейную зависимость 80 . Все эти зависимости для обычного компенсатора подробно исследованы в монографии [1]. Что касается общего случая, когда углы в и ( 0к изменяются в широких пределах, то осцилляции величин 81 (8) и / сохраняются, однако характер этих осцилляций должен заметным образом зависеть от значений в и ( 0к . Этот вопрос, включая и температурную устойчивость добавки 81 к 80 , будет рассмотрен в отдельной работе, посвященной экспериментальному исследованию идеального компенсатора из сапфира.

4. О РЕГУЛИРОВАНИИ ПАРАМЕТРОВ ФАЗОВОГО КОМПЕНСАТОРА

Во втором разделе настоящей работы изложены основные принципы оптической юстировки, обеспечивающей процесс перехода к идеальному компенсатору. Этот процесс предполагает существование механизма контролируемого управления пространственной ориентацией пластины компенсатора и сводится он к следующему.

Все три оптических элемента располагаются на одной оси. На первом этапе при выполнении условий (33) по минимуму интенсивности светового пучка на выходе анализатора определяется первоначальное значение К01 юстировочного параметра компенсатора. Затем находится такое взаимное расположение поляризатора и компенсатора, при котором на выходе анализатора (А = А0 + 90°) наблюдается наиболее глубокий минимум. Для идеального прибора, у которого абсолютно точно определены Р0 и А0 , этому наиболее глубокому минимуму соответствует полное гашение. В этом случае на выходе компенсатора свет линейно поляризован в основной плоскости падения (на образец). Обозначим соответствующие положения поляризатора и компенсатора через Р1 и К1 , имея в виду, что в общем случае

р Ф ^ К1 Ф К01

(69)

рачивается вокруг нормали к ее поверхности на некоторый угол. Затем находятся новый юстиро-вочный параметр К02 и новые параметры Р2 и К2 взаимного расположения поляризатора и компенсатора, обеспечивающие наиболее глубокий минимум на выходе анализатора. Положение анализатора при проведении всей юстировочной процедуры остается неизменным (А = А0 + 90°). Угол поворота пластины компенсатора вокруг ее нормали должен подбираться так, чтобы обеспечивалась сходимость процесса. Применительно ко второму этапу это означает, что должно выполняться условие

К2 - К02

< К1 - К01

(70)

Аналогичное условие должно выполняться для каждого следующего этапа

Кп - К0

< Кп-1 - К0 пЛЬ

п = 3,4,...

(71)

На некотором п -м этапе, когда величина |Кп - К0п| сравнивается с погрешностью измерений и уже нет смысла различать интенсивности, окончательно определяется юстировочный параметр компенсатора

К0 = К0 п •

(72)

Очевидно, на этом этапе и для поляризатора практически, выполняется условие

Р = Р

п0

(73)

Это означает, что юстировочному параметру К01 , определенному на первом этапе, не отвечает совпадение локальной плоскости с основной плоскостью падения, т. е. соответствующая матрица Джонса не является диагональной.

На втором этапе путем соответствующего использования механизма управления пространственной ориентацией пластина компенсатора пово-

Определенному таким образом параметру юстировки К0 отвечает совпадение локальной и основной плоскостей падения. В этом случае оптическая ось лежит в локальной плоскости падения, т. е. реализуется общая предельная ситуация (2), для которой локальная матрица, а значит и основная матрица Джонса, является диагональной, а это и есть условие идеальности фазового компенсатора.

Изложенная процедура, фактически, относится к процессу регулирования свойств фазового компенсатора. В предыдущем разделе при обсуждении способов температурной стабилизации параметров идеального компенсатора обращено внимание на возможности подбора соответствующего минимального значения функции ^(в, (0к), обусловленные не только углом в , но и углом падения ( 0к . При изготовлении компенсатора угол в задается, и тогда величине (^ (в, (0к ))т1П отвечает строго определенное значение угла ( 0к . Но функцию Е (в, (0к) можно изменять и в целях изменения основного фазового параметра 8 уже готово-

го к использованию компенсатора. Это связано с тем, что угол падения (0к можно свободно варьировать в процессе измерений, используя механизм пространственной ориентации пластины компенсатора. Это очень важная проблема для спектральной эллипсометрии. Характер изменения величины Е как функции угла (0к зависит от выбранного значения угла в . Это легко понять, придавая углу в , например, следующие значения:

в = 0, 45, 60, 90°.

Особый интерес представляет значение в = 0 . В этом случае оптическая ось перпендикулярна поверхности пластины, и при нулевом угле падения ((0к = 0) такая пластина перестает быть компенсатором. Но при (0к > 0 свойства компенсатора восстанавливаются, и фазовый параметр 8 при заданной толщине Л пластины может принимать необходимые значения за счет определенного выбора угла ( 0к и при нулевом угле в .

Все эти вопросы будут рассмотрены в работе, посвященной экспериментальному исследованию фазового компенсатора из сапфира.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И. и др. Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1979. 422 с.

2. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2005. Т. 15, № 4. С. 74-82.

3. Семененко А.И. // Научное приборостроение. 2005. Т. 15, № 2. С. 88-94.

4. Семененко А.И., Бобро В.В. // Автометрия. 1997. № 1. С. 43-49.

5. Семененко А.И., Миронов Ф.С. // Оптика и спектроскопия. 1976. Т. 41, № 3. С. 456-462.

6. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2007. Т. 17, № 2. С. 20-34.

Институт прикладной физики НАН Украины, г. Сумы (Семененко А.И.)

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург (Семененко И.А.)

Материал поступил в редакцию 28.06.2007.

ON THE NEW POTENTIALS OF ELLIPSOMETRY ARISING FROM THE NULL OPTICAL CIRCUIT.

ELLIPSOMETRY OF REAL SURFACE STRUCTURES.

9. ON CONTROLLABILITY AND STABILIZABILITY OF THE ELLIPSOMETER PHASE COMPENSATOR PARAMETERS

A. I. Semenenko, I. A. Semenenko*

Institute of Applied Physics NAS, Ukraine, Sumy Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

The goal of the paper is to study an ideal phase compensator with the Jones diagonal matrix. We have proposed a method of optical alignment that ensures, if the mechanism of spatial orientation is available, a conversion into the ideal compensator. Equations for complex parameter p (real parameters S and f) that determines the ideal compensator Jones matrix have been derived. In this connection, a four-dimensional matrix of a homogeneous anisotropic layer for the case of arbitrary orientation of two main axes in the light ray plane of incidence has been analyzed. The paper considers methods for controlling the basic phase parameter S, including those for temperature stabilization and varying this parameter by changing the light ray angle of incidence onto the compensator plate.