О новых возможностях метода эллипсометрии, обусловленных "нулевой" оптической схемой. Эллипсометрия реальных поверхностных структур. 13. Обобщение теории инвариантов. О выборе измерительных конфигураций в эллипсометрии анизотропных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2008, том 18, № 3, c. 38-49

=ОБЗОРЫ, СИСТЕМАТИЗАЦИИ, ОБОБЩЕНИЯ

УДК535.5.511: 531.7

© А. И. Семененко, И. А. Семененко

О НОВЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ МЕТОДА ЭЛЛИПСОМЕТРИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ "НУЛЕВОЙ" ОПТИЧЕСКОЙ СХЕМОЙ.

ЭЛЛИПСОМЕТРИЯ РЕАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ СТРУКТУР.

13. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ.

О ВЫБОРЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ЭЛЛИПСОМЕТРИИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

В работе теория инвариантов эллипсометрии изотропных сред обобщена на случай произвольных измерительных конфигураций прибора. Исследованы основные свойства инвариантов, проявляющиеся при различных типах конфигураций. Разработан общий подход к выбору измерительных конфигураций прибора, обеспечивающих максимальный эффект в устранении особенностей в обобщенных зонных соотношениях эллипсометрии анизотропных сред. При этом (в принятом приближении) в полной мере использованы свойства инвариантов эллипсометрии изотропных сред. Проанализированы различные типы измерительных конфигураций. В то же время выявлен класс измерительных конфигураций, радикально отличающихся от классической конфигурации, но не устраняющих особенности.

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Использование в эллипсометрии анизотропных сред классической измерительной конфигурации, когда "быстрая" ось идеального фазового компенсатора в каждой измерительной зоне образует с плоскостью падения угол

=П4, т. е.

(1)

= ^m) -п/4 = 0, (m = 1,2,3,4),

приводит к существенным затруднениям в использовании обобщенных зонных соотношений, определяющих три пары поляризационных углов. В этом случае при значениях параметров идеального компенсатора

8 = ф, f = 1

обобщенные зонные соотношения содержат особенности типа 0/0 (см. [1]). При значениях же 5 и f , близких, но не равных я/2 и 1, эти соотношения определяют поляризационные углы через отношения малых, не равных нулю, величин, что может явиться источником больших ошибок.

В работе [1] показано, что отказ от классической измерительной конфигурации (1) снимает проблему особенностей в обобщенных зонных соотношениях. Однако проведенное в данной работе исследование носит, скорее, качественный характер. Детальный анализ показывает, что рассмот-

ренный в [1] тип измерительных конфигураций не всегда является достаточным. Это проявляется в том, что при некоторых свойствах образцов мы снова возвращаемся к особенностям в зонных соотношениях. И чтобы существенно ограничить область таких свойств, необходимо менять тип измерительных конфигураций. Иными словами, не существует одного типа измерительных конфигураций, пригодного для всех случаев. Ситуация здесь аналогична той, которая возникает при исследовании изотропных отражающих сред, хотя в "изотропном" случае это не связано с особенностями в простых зонных соотношениях. В "изотропном" случае речь идет о выборе измерительных конфигураций, обеспечивающих достаточную точность в определении положений гашения оптических элементов (см. [2]). Очевидно, такая же проблема существует и в эллипсометрии анизотропных сред. Кроме того, существует класс измерительных конфигураций, радикально отличающихся от классической конфигурации, но не устраняющих особенности. Таким образом, ситуация является достаточно сложной.

Большую роль при решении проблемы особенностей в методе обобщенных измерительных зон играют инварианты эллипсометрии изотропных сред, отвечающие случаю произвольных измерительных конфигураций. Нарушаясь при переходе к анизотропным средам, они тем не менее позволяют получить важные результаты, справедливые в основном и для анизотропных сред. В теории инвариантов произвольные измерительные конфи-

гурации впервые рассмотрены в кратком сообщении [3], но в той работе, за исключением одного частного случая, роль измерительных конфигураций не исследована.

В соответствии с изложенным, в настоящей работе решаются две задачи. Одна из них связана с обобщением теории инвариантов эллипсометрии изотропных сред на случай произвольных измерительных конфигураций. При этом исследуются основные свойства инвариантов, проявляющиеся при различных типах конфигураций прибора. Вторая задача посвящена выбору измерительных конфигураций прибора, обеспечивающих максимальный эффект в устранении особенностей в обобщенных зонных соотношениях эллипсометрии анизотропных сред.

1. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ ЭЛЛИПСОМЕТРИИ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД НА СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

В эллипсометрии существуют формулы, связывающие параметры фазового компенсатора с положениями гашения оптических элементов. Они могут быть названы инвариантами эллипсометрии, поскольку параметры компенсатора не должны зависеть от свойств отражающей среды. В настоящей работе на основе параметрического представления измерительных зон прибора, не связанного с конкретным положением ни одного из оптических элементов, строится общая теория инвариантов эллипсометрии изотропных сред.

1.1. Общие выражения для инвариантов

Смысл инвариантов, как известно, сводится к следующему [3, 4]. Записав уравнение гашения для каждой измерительной зоны, получим однородную систему линейных относительно комплексных коэффициентов отражения Яр и

уравнений. Для определения Яр и достаточны

два уравнения. Из имеющихся четырех уравнений можно составить шесть подсистем по два линейных однородных уравнения в каждой. Любая из этих подсистем, очевидно, имеет нетривиальное решение, т. е. ее определитель, составленный из коэффициентов при Яр и , равен нулю:

Wmn =

Z b , b, tg w(m)

~ m lm' 2m ora

ZAn, b2n tg^f

= 0, (m,n = 1,2,3,4), (2)

тельных конфигураций. Для удобства, имея в виду очевидное равенство

W = -W

mn nm '

(3)

будем исходить из условия т<п, которое устанавливает 6 независимых инвариантов

W = Z b b2 tgw(n)-Zb b2 tgw[m) = 0

mn m lm 2 n о r a ?n ln 2 m or a

(m)

(4)

(mn = 12,13,14, 23, 24,34).

Величины b1m и b2m определим выражениями из

работы [5], справедливыми для любой конфигурации (для любых значений параметра 0m):

b1m = [(1+ Р) - (1 -Р) sin 20m ] cos Yp +

+ П (1-Р) cos 20m sin Ym), (5)

b2m =[(1 +Р) + (1 -P)sin20m ]sin YP +

+ П (1 -P)cos20m cosrPm). (6)

Напомним, что Zm и nm — это единичные знакопеременные параметры, определяющие типы ориентации (положительную и отрицательную) анализатора и компенсатора, а в сочетании — измерительную зону с номером m (см., например, [6]):

Zm ( 1) , ^m

1, если m = 1, 2; -1, если m = 3, 4;

где индексы т и п нумеруют зоны.

Уравнения (2) — это и есть инварианты эллипсометрии изотропных сред, которые ниже будут рассмотрены для случая произвольных измери-

(m) (m)

Га и Yp — угловые положения гашения анализатора и поляризатора; 0m — углы, определяющие отклонение "быстрой" оси компенсатора от ее классического положения (см. (1)) и соответственно измерительные конфигурации прибора; Р — комплексный параметр фазового компенсатора (Р = f exp(-z¿)).

Преобразуем формулы (5) и (6) к более удобному для дальнейшего виду:

bm = [cos 0т - sin 0m + Пт sin ] +

+Р [cos 0га + sin 0 т ] [cos yp -1 -n sin y/C) ], (7)

b2 m =n{[cos0 + sin0][cosy^m) +n sin y^m) ]-

-Р [cos 0m - sin 0m ] [cos ) - nm sin yPm) ]}, (8)

(m) (m)

где величина ypc , совпадающая с величиной ypk из предыдущих работ, имеет вид

y(m) = y(m) -n 0 .

/ pc / p lm m

Преобразуем величину Wmn, представленную формулой (4). Для этого, используя выражения (5) и (6), преобразуем сначала величину Ъ1тЪ2п:

ЬЪ п = Пп {[<[ + в ) - 8Ш(в„ -в„ )]] +

+ 2р(-п 0(2))-

/ у тп 1т тп у

- р2 [оо8(^т + в)+8ш(в„ - в)]]}. (10)

В выражении (10) приняты следующие обозначения:

F(±) =

= cos(YT - nên„7Îc ) ± Пт sin(rP7 + nên„ïYc X (11) = sin(^ê + 6n )cos(Y(pf + wP?), (12)

ên V ê n' W pc tê m pc

Gê2n = cos(6>ê - On )sin(r(pê) - ПшУП ).

(13)

Выражение для Ъ1пЪ2т, очевидно, можно получить из формулы (10) путем замены индексов т ^ п, п ^ т . После элементарных преобразований оно приведется к виду, который отличается от (10) только некоторыми знаками (перед 8ш(вт -вп) и ОЦ) и переходом пп ^ Пт . Затем формулу (4) для Wmn запишем в виде

^п = СПп [(ПпЪ1тЪ2п ^ -

-^тп (ПтЪ1 пЪ2т № ], (14)

где

B'ên ZêZniê^ln '

c{l> = (tg^ê) -B n)),

ên ^ от a ~ ên о T a

ê = (tgvT +ê tg^n)).

Wên, а значит, и три группы инвариантов. Эти группы соответствуют условиям:

Ln =-1, ПП = 1, (ên = 12(21), 34(43)), (18) B =-1, ПгЛп =-1, (ên = 13(31), 24(42)), (19) B = 1, ПгЛп =-1, (ên = 14(41), 23(32)). (20)

Используя формулу (16), можно записать величины Wên для каждой группы инвариантов. Но при

этом, имея в виду интересы эллипсометрии анизотропных сред, будем учитывать одно важное обстоятельство. В символическом обозначении j -й обобщенной зоны эллипсометрии анизотропных сред S(kl индексы j, k, l, нумерующие простые измерительные зоны, задаются по следующему правилу. Для каждого j (j = 1, 2, 3, 4) сочетание ( jk) отвечает первой (зоны 1 и 2) или второй (зоны 3 и 4) парам измерительных зон, сочетание (kl) определяет пару четных или нечетных зон, а сочетание ( j l), следовательно, нумерует параметры ajt

и ßjj, являющиеся при определенных условиях на углы 6j и 6, носителями эффекта анизотропии [1,

4]. В соответствии с этим, указанные сочетания запишутся:

jk = 12, 21; 34, 43; (21)

kl = 24, 13; 42, 31; jl = 14, 23; 32, 41.

(22) (23)

(15)

Подставив в (14) величины Ъ1тЪ2п и Ъ1пЪ2т, определенные выражением (10) и аналогичным ему, окончательно получим

W = -С п х

тп ~ п 1т

х{Гс(1) 008(0 + в ) + с(2)8ш(в -в )]^ + +

II тп т п тп V т п J тп

+2р[с(1) в™ +п е(2)0(2) ] +

/ I тп тп 1т тп тп I

+р2 [-СШ 008(в +в) + Лшв -в)] ^ ^ }, (16)

г Г тп ^■"-'Ч т п> тп V т п J тп I' (16)

где

Сравнивая (21)—(23) с сочетаниями (тп), указанными в (18)—(20), видим, что сочетаниям (ук), (к!) и (у!) отвечают первая, вторая и третья группы величин Wmn. Здесь и в дальнейшем, используя набор индексов (у, к,!), будем иметь в виду указанные в (21)—(23) значения сочетаний этих индексов. А это означает, что три группы величин Wmn могут быть обозначены, как

WWW

nik' nkU r'jl-

(24)

Переписав для новых обозначений индексов соотношения (18)-(20)

(17)

Целесообразно выделить три группы величин

ç]k =-1, пп = ^ Çki =-1, пп =-1,

Bl = 1 пп=-1

(25)

(26) (27)

и сделав соответствующий переход к новым индексам в выражении (16), после элементарных преобразований придем к следующим выражениям для Ж^ , Жк1 и :

=-$к х

х{{+ 2Р\пС?к + #Щ] + } (28)

х{д+ 2р[с«¿к-> +ПкСк-Ч)УРрРк?ЯX}, (29)

Ж > = -П,х

х{#} + + С-] + р2р»г»} (зо) где

= эш^ + ± П С08(^ - /£); (31)

pmn = cos(rPf + Y ) ± nê sinCrPf - Ypc ),

(mn = kl, jl);

q(£) = c(+) cos(e + в ) ± c(sin(e - в ),

Jmn mn ^ m n' m^ V m n^'

(mn = jk, kl);

(32)

(33)

j) = c^sin^. -ei)± j)cos(e] + в) ; (34)

=sin(em+en )cos(rpm) ±Y£\ №=cos(em-en )sin(rpm ) ±гРпД c% = tg^m) ±tg^n),

(mn = jk, kl, jl).

(35)

Полученные для Wmn выражения (28)-(30) позволяют рассмотреть весь комплекс инвариантных соотношений (см. (2), а также (4)) эллипсометрии изотропных сред. Разделим в этих уравнениях действительную и мнимую части. После элементарных преобразований они запишутся:

j j = f2 j qy,

f cos S ajk q %> =-\_r1]c jk g %> +j j ] ; pkl qkl = -f pkl qkl ,

r(-) +n c(-)

hkl J;

f cosSpk - qkl =\ck+ gtf + nCl hk+) ] •

p (+) r (+) = f2 p ( - ) r ( - ) Pil 'jl - J Fil r,

jl 'jl '

(36)

(37)

(38)

типов измерительных конфигураций прибора.

1.2. Основные свойства инвариантов

Характер уравнений (36)-(38) в значительной степени определяется выбором измерительной конфигурации прибора. В частности, для определенных типов измерительных конфигураций из данных уравнений вытекают элементарные соотношения, которым удовлетворяют положения гашения оптических элементов. Эти элементарные соотношения играют большую роль в определении общих свойств исследуемой поверхности. Однако важны не только элементарные соотношения на положения гашения. В связи с некоторыми свойствами обобщенных зонных соотношений эллип-сометрии анизотропных сред особый интерес представляет исследование характера зависимости величин с(тП (mn = jk, kl, jl) от углов вт и вп,

определяющих тип измерительной конфигурации прибора. Для классической измерительной конфигурации (вш = 0) эти величины или равны нулю, или же малы, причем их малость определяется малостью параметров ( f -1) и cos S . Переход к анизотропным средам в силу малости эффектов анизотропии также не выводит величины сШП, отвечающие классической конфигурации, за пределы малых значений. Необходимо установить, при каких измерительных конфигурациях прибора хотя бы некоторые из величин сШП уже не являются

малыми. Поскольку влияние малых параметров ( f -1) и cos S, а также анизотропии при решении данной задачи не являются определяющими, достаточно провести соответствующий анализ, предполагая отсутствие анизотропии и идеальные значения параметров компенсатора:

f = 1, S = n/2.

(39)

Рассмотрим прежде всего измерительные конфигурации, определяемые условием

ез =вг. (40)

В этом случае результат, как увидим ниже, не зависит от значений / и 5, поэтому в привлечении ограничений (39) нет необходимости. При выполнении условия (40)

Yj )

/ pc

и( ± )

Y = Yj) +yP ),

(41)

rj/ =±c у cos 2в.,

j1 j1 j

(+) =sin(Ypj) + YP) ), (42)

jl

/ со*5 г^ ) +с(л> ].

В следующем подразделе будет проведено исследование уравнений (36)-(38) для некоторых

и уравнения (38) запишутся

Ajj = 0, nj) sin(Yp) +YP>) = jBjl, (43)

где

= (-1)N (1 + f2) + n, (1 - f 2)sln( Yc)Y Ф 0, (50)

A,, = (1 + f 2)cos(Y,J ) +Yp)) +

+n (l - f '»Y:)-YC)

(44)

(45)

bji=f cos Scos 2в, pji- gji.

При выполнении A,, Ф 0 первое из уравнений (43) дает решение

' (4б)

j) = 0;

а второе

Sln(Y/) + Yl)) = 0.

Запишем их в более удобной форме:

f, S,

который и является истинным, отличным от нуля, выражением для величины Лу1.

Таким образом, элементарные соотношения (48) имеют место для произвольной измерительной конфигурации типа (40) и произвольных значений параметров / и 5 компенсатора.

Рассмотрим теперь произвольные измерительные конфигурации, отвечающие у-й обобщенной зоне Sk!}. Они определяются следующими сочетаниями углов вт :

(47)

(в ,вк), в), в, в,).

(51)

УГ =Га , У? + Y = Яп, (N = 0,± 1,...). (48) Условие Лу! Ф 0 легко доказывается для начально-

J 1

го значения Л^, соответствующего классической

конфигурации и идеальной для параметров компенсатора ситуации (39). В этом случае второе из соотношений (48) легко устанавливается с использованием зонных выражений для поляризационного угла А, отвечающих у-й и !-й простым зонам, и

для начального значения функции Лу1 имеем

у = 2(-1)Я.

Условие Лу.! Ф 0 сохраняется и для произвольного случая

в} =вФ 0, / Ф1, 0085Ф 0.

Это связано с непрерывностью положений гашения ур) и у(р) как функций параметров

Очевидно, из этих трех сочетаний независимым является только одно. Остальные два, включая (по одному) углы 6ê из выбранного в качестве независимого сочетания, и оставшийся свободным третий угол уже не являются полностью независимыми. Вопрос об учете зависимости сочетаний (51) естественным образом возникнет в разделе, посвященном общему подходу к устранению особенностей в методе обобщенных измерительных зон. Здесь же, исследуя общие свойства инвариантов эллипсометрии изотропных сред, мы не будем рассматривать в явной форме зависимость сочетаний (51).

Произвольные измерительные конфигурации интересуют нас в основном в связи с выбором тех из них, для которых величины c^l уже не являются малыми. Как уже отмечалось выше, этот вопрос можно решить, используя идеальные значения (39) параметров компенсатора. С учетом (39) уравнения (36)-(38) запишутся

(49)

а значит, и с непрерывностью величины Ajl как функции тех же параметров и отличным от нуля начальным значением Aj/1. Любому сколь угодно малому сдвигу параметров (49) отвечает сколь угодно малый сдвиг функции Ajl. А поскольку

этот процесс начинается от значения Aj Ф 0, то при каждом таком сдвиге сохраняется условие Aj¡ Ф 0, а значит, сохраняются и решения (48). Сохранение решений (48) на каждом сдвиге возвращает функцию Aj¡ к одному и тому же виду

c^srniß,-вк )sln(YpC +YC ) +

jk

( i ) pc

,(k Ь

+ nj cos^. + вк )cos(Yf - /£) = 0,

(52)

c^cos^-вк )sln(rpc)-rk) +

jk

ck-) sln^k-вi )sm(r£-rpc ) +

( J )

pc

/k )ï pc

jk^m^j

в )cos(Y:)

( k ) pc

/ ¡ )л

pc

пСи )cos(вk +в¡ )cos(Y

( k )

-Ф = 0;

-YO = 0,

С(и -вi )sln(YkcJ + YC) +

( k ) pc

(53)

+ nA+ ^т(вк +в¡ )cos(Y-Y ) = 0;

( k )

A¡ h-i

Ai¡ =

су 008(0, +в, )оо8(грс +гр:) +

+ П/+ )8ш(в;-в, )8Ш(ГР^)-у%) = 0,

тривиальный вид:

(54)

, 8Ш(0, + в,)008(ГРС ) +

+ ) 008(в, -в,+ = 0.

^ к •

В этом случае из системы (52) следует:

грс) -г(рс = ^) -ур) = П 2+Нп,

с(* = -(-1)э1п2в,008(Г^С) + /£), N = 0, ± 1,...). Аналогичные результаты при условии

вк =в,

(55)

(56)

(57)

(58)

дает система (53):

У(к =гРк) +г?) =П 2 + Нп, (59)

ск- = -(-1)44+ )81п2вк со8(/£-у"), (N = 0, ± 1,...).

(60)

раций, определяемых условиями

вт +вп = 0, (тп = ]к, к1).

(61)

, = 0, ск- = 0.

(62)

Используя системы уравнений (52)-(54), рассмотрим сначала в качестве опорных наиболее характерные типы конфигураций. Один из этих типов (см. (40)) уже рассмотрен, причем для произвольных значений параметров / и 5. Для других типов в связи с поставленной задачей и отсутствием независимости от параметров / и 5 будем использовать условие (39).

Пусть первое из сочетаний (51) определяется условием

Перенесем условие вида (61) на третье из сочетаний (51):

в} +в1 = 0. (63)

В этом случае из системы (54) следует:

7%) +уТс = Нп, или уи) +у(1) = 2Л]в] + Нп,

(64)

(65)

(N = 0, ± 1,...).

Таким образом, выражение (65) для с(--1, отвечающее условию (63), и выражения (57) и (60) для си ск- , отвечающие условиям (55) и (58), имеют одинаковую структуру. Отметим также, что при переходе к реальным значениям параметров / и 5 в соотношениях (56) и (57), (59) и (60), а также (62), и (64), и (65) появляются добавки, определяемые малыми величинами (/ -1) и соэ5.

Обратимся теперь к произвольным измерительным конфигурациям. Используя вторые уравнения систем (52) и (53) и первое уравнение системы (54), запишем исходные выражения, опреде-

ляющие величины с

(-).

сУ =-Пс,к

(+ )81п(в, +вк ) С08(/Рс) +уРксУ)

С08(в, -вк )81П(ГР^) -/£)'

ск- =-пс+

Как показывают выражения (57) и (60), величины с- и с(к- могут достигать относительно больших

значений благодаря увеличению углов в,(к). Однако для полной ясности необходимо исследовать еще и функции соэ^) +у(ркР>) и С08(у(ркс> -у(рс) из

указанных выражений. Такой анализ будет сделан при переходе к общему случаю произвольных конфигураций.

Совсем другая и однозначная ситуация в отношении величин сЛ возникает для типов конфигу-

"к

81п(вк + в,) С08(у(рк1 -/£)

С08(вк -в)81п(у(с +/;))' 51п(в, -в,) 81п(Грс)

С]1 С08(в, +в, )С08(у(рс) + /£)'

„(-)

.,(+)

(66)

(67)

(68)

Для анализа этих выражений воспользуемся следующими формулами, справедливыми при выполнении условия (39) (см. [2]):

8т2Грт) =

-£т С08 Л

Со^урт =

д/1 - 81П2 Л Э1п22вт

(т) -С П э1п Л С0э2в

(т) _ ? т 1т_т

(69)

1

- э1п2 Лэ1п2 2в

Для данного типа соотношения (56) и (59) сохраняются, а выражения для с(- и с(к1> приобретают

где Л — поляризационный угол исследуемого образца.

Используя формулы (69), найдем выражение

для величины tg у

(m) .

tg ) =

sin2y£} 1 + cos2y("

Zm

cos A

Jl - sin2 A sin22# +Cmnm sin Acos2^m

\ m ~m tm m

. (70)

Поскольку неопределенность в положениях гашения y(m) типа ±п не сказывается на основных результатах, то эти положения можно отнести к интервалу

у^ е (-П2, П2)

и, следовательно, использовать формулы, одно-

• (m) (m)

значно определяющие sinурс' и cosурс' через tg y|,m) • Применив эти формулы, представим выражения (66)-(68) в виде

j =

(+)

sin(0,. + вк ) 1 - tgy^tgyk

j jk

cos(0, -в,) tgypc) - tg у

X к)

(71)

из формул (71)—(73), не зависят от того, какое из приведенных в соотношениях (74) и (75) условий на величину СтПт А выполняется.

Формулы (71)—(73) позволяют уточнить соотношения (57), (60) и (65), относящиеся к опорным типам конфигураций (55), (58) и (63). Подставляя в (71)—(73) величины , определенные для

опорных конфигураций, и учитывая при этом, что

С к = у , пк = пу , С! = Ск , п =-пк, Zl =-£у, п =-Пу,

можно найти для указанных конфигураций все величины сЦ (тп = у к, к!, у!). Проиллюстрируем

это на примере величины с(- . В этом случае с

учетом условия (55), а также соотношений (74), (75) и (79) в зависимости от условия на СтПт А

величины Х%у(у и 1%у(к запишутся:

(79)

tg уУ ) = j

р cos A

tgyY = j (80)

cos A

c(-) = -n c(+) sin(^k + в) 1 + tgYpc tgypc

°kl ~ ik kl

cos(6>k -в,) tgУС + tgy sin(0,. -в,) tgy(-c) - tg ypc

(l)

J-)

(+)

cji = -n,c,i

cos(e. + вI) 1 - tgyyc )tgY

,(l)

(72)

(73)

Величины уртС , входящие в выражения (71)-

(73), удобно представить в несколько другом виде. Это связано с тем, что в формуле (70) второе слагаемое в квадратных скобках может принимать любой знак, зависящий как от величин и пт, так и от величины 8т А . В соответствии с этим:

при стпт sina> 0 tgypm) =

при CmHm sin A<0 tgyPm) =

-Z

~ m

cos A

-z

~ m

cos A

R

(+)

R

(-)

где

Ri±) =

J1 - sin2 A sin22em ± Isin A cos 2вm

у m | | m

(74)

(75)

(76)

Величины Rm удовлетворяют следующим простым соотношениям:

или же

У j) = —<z—Rj-),

tg у = -- , -0/ --

pc cos A j D/pc cos A j

(k) = zj r( +)

tg у =

(81)

Затем, независимо от выбранного из (80) и (81) представления, из формулы (71) легко получаем

j =Znc j sin 2в.

cos A

4

1 - sin2 A sin2 2в,

(82)

Аналогично находятся величины ск! и су , отвечающие условиям (58) и (63). Формулы для них получаются из выражения (82) путем следующего перехода индексов:

j ^ k, k ^ l и j ^ j, k ^ l.

(83)

Формула (82) и аналогичные ей описывают (для опорных конфигураций) зависимость величин С-, с{к1 и с(-) от оптических свойств отражающей среды (от угла А) и углов вт, определяющих измерительные конфигурации. Чтобы яснее представить себе зависимость от углов А и вт , преобразуем подкоренное выражение и запишем формулу (82) в виде

= cos2 A, (77) j = Znj sin 2в

(Rm] )2 + cos2 A = 2^1 - sin2 Asin^m R^\ (78) Важно отметить, что результаты, вытекающие

cos A

.^cos2 A + sin2 A cos2 2в]

(84)

Подобным же образом представим и другие величины с(. Очевидно,

тп ^^ '

при А^ ± П2

c(-) jk

(S5)

Однако достаточно малые (нулевые при Л = ±П2) значения всех величин с(~П наблюдаются (при заданном вт) лишь в некотором ограниченном интервале для угла Л с центром в точке (±П 2). При

cos2 А » sin2 A cos2 20j зависимость от А практически исчезает:

cos А

jk

Z n c-k sin 2в j

'j 'j jk j

cos

А

а при

cos2 А « sin2 Аcos22вJ —

jk

Z^jéj^tg2в1 cos А.

(S7)

(SS) (S9)

чения c

(-) jk

c-) jk

c-) jl

конфигураций, необходимо помимо ситуации, связанной с углом Л , учитывать еще и поведение выражений из соответствующих формул:

этв +вк) 81п(вк +в) этв - вl) (92)

---,-к-— и ---, (92)

Соэв -вк) С0э(вк - в) С08(в, + в)

которые должны иметь достаточно большие значения. Соблюдая это условие, можно дать полный анализ зависимости от угла Л . Вообще говоря, он будет носить такой же характер, как и в случае опорных конфигураций.

Мы не будем подробно останавливаться на нарушениях соотношений (56), (59) и (64). Отметим только, что этим соотношениям отвечают равенства

tg Ypc )tgrpkc) =-1,

tg( Ypc) + Y?) = 0,

tgrVtg/2 = i,

(93)

Из формул (86)-(89) видно, что указанный интервал для угла Д уменьшается с увеличением угла 6j (уменьшением cos26j). Это особенно ясно видно из формулы (89). Стремительное возрастание (при 6j 4) величины t%2dj из этой

формулы подавляет эффект малых значений величины cos Д, приводя к существенному сужению интервала для Д, которому отвечают малые зна-

Наконец, обратимся к случаю произвольных конфигураций. В этом случае, используя соотношения (74)-(79), легко находим из формул (71)-(73) величины с(-), ск- и с-1. Выражения для

которые нарушаются при переходе к произвольным конфигурациям. Характер этих нарушений нетрудно проследить, используя приведенные выше формулы.

Перейдем теперь к выбору измерительных конфигураций в эллипсометрии анизотропных сред.

2. ОБЩИИ ПОДХОД К ВЫБОРУ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ЭЛЛИПСОМЕТРИИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

В эллипсометрии анизотропных сред выбор измерительных конфигураций должен обусловливать максимальный эффект в устранении особенностей в зонных соотношениях, определяющих три пары поляризационных углов

(^11, An), (^12, Д12), (^21, А21),

c У =

jk

z (+) srn^ +в)

= Z n c k--

jj jk cos^-в)

R(+) + R,

(+)

■ R(+) Rj) ■

cos2 А

-cos А,

,(-) _

= Znc(+)

'j 'j j,

R(+) j

' R(+)R+) j l

sln(0 - в, ) x

cos^, +в, )X

cos А.

R+)

cos2 А

(90)

(9l)

Что касается величины с(к1>, то выражение для нее

получится из (90) путем использования перехода индексов, указанного в (83).

При анализе величин с чающих случаю произвольных измерительных

c(-) c(-) "jk' vkl

первая из которых аналогична углам Т и Д для изотропной среды, а две другие связаны с анизотропией и исчезают при переходе к "изотропному" случаю или к особым ориентациям оптических осей [1]. В каждой из 4 обобщенных зон S(k31> определяются три комплексные величины

Р11 = tg Т„ exp(7AnX Р12 = tg Т12 ехрОДД

Р21 = tg Т 21 ехр0Д 21 >.

Они находятся из системы линейных относительно р11, р12 и р21 уравнений гашения, отвечающих простым зонам с номерами j , k , 1 , и определяются выражениями [1]

и cj-1, отве-jl

Pii =

D(i) jkl

Dñ

jkl

Pi2 =

d(2) jkl

jkl

P 2i =

D(3) jkl

jkl

(94)

где D(kl — определитель системы, имеющий вид

D(0) = jkl

Zfiy, ZPv, bl, tg^

ZAk, ZAk, ^tgVk)

Zlbll, Zb2l, К ïgY{a )

(95)

а D%

D

(2)

r(l )

Putgy )

Z, (^Л - WJ^Jk )

D.,klb2j ШУ

( j )

Pl2 =

Z

D

jki

x[bij tg - bik tg^ak)Wji+bu tw ],

^2i=

где

-l

D

\b2 Wkl + b2kWjt - b2lWjk ],

jkl

D = -Z D(U) =b W -b W

jkl hj^jkl ulf'kl ulknjl

-b W ulln jk '

W^ =

Z b tgVm),

Ъ m 1m о T a '

z„bi„ tg ^an),

wmn = Wm

-c(-)U ,

mn mn '

и = Z b b +Zb b2 .

mn Jm 1 m 2n ~n ln 2m

Представим Umn в виде

и =z b b2 t -Z b b2 t

mn ~ m l m 2 n n ~ n l n 2 mm

где

ук! и О(к! — определители, получающиеся из (95) путем замены соответственно 1-, 2-и 3-го столбцов на свободный столбец системы с элементами

t = l, t =-l.

(l02)

(l03)

(l04)

Ъ2 у ШУа , - Ъ2 к Уа ', - Ъ2! У

В работе [1] приведены выражения для величин р11, р12 и р21, легко получающиеся разложением

определителей О^ и О(^1)! по элементам первого столбца, а определителей О^ и В^) — по элементам 3-го и 2-го столбцов соответственно. Эти выражения очень удобны для анализа измерительных конфигураций, кроме того, они предпочтительнее на конечном этапе, особенно в той их части, которая касается числителей, поэтому приведем их здесь:

Формула (l03) по своей структуре аналогична формуле (4) для Wmn. Это означает, что выражения для величин Umn (mn = jk, kl, jl) могут быть получены из формул (28)-(30) (с учетом (3l)-(35)), если в них положить éêtj = -2, c^ = 0 .

Ниже мы воспользуемся этой возможностью.

Для упрощения анализа используем также выражения, основанные на разложении всех определителей по элементам строки с номером j . В этом случае определители запишутся:

D% =-ZjbljWkl-b2jblkbuckl>-Zjblj tyj)Vkl, (l05)

D% = b2j tg y/W + Zblj tg VA Alrt -

-zA, tg^ak)tg^al)Vkl, (l06)

(96)

Djkl = -bl j tg yj'Wkl + Z,b2 j tg y/a Xblfiï

- bl j ^Va )tg y %, (l07)

(97)

(98)

(99)

(mn = jk,kl, jl). (l00)

Величина РГтп отличается от инвариантной величины Wmn "изотропного" случая, определенной формулами (2) и (4), перестановкой 1% у(ат) и У^ . Между ними легко устанавливается следующая связь:

=САуЩ! -ЪуЪ^ск- +Z ^К, (108)

где

V =z Ъ Ъ2 -Z Ъ,Ъ2 , (тп = у к, к!, у!). (109)

тп Ът 1т 2 п Ъп 1п 2т' V V /

Величина Цгк! в формулах (105) и (106) дается выражением (101), в которое входит величина ик!, определяемая указанным выше способом. Подобным же образом определяется и величина Vk!.

Всюду ниже рассмотрение будет вестись для предельного случая (39), определяющего идеальные значения параметров компенсатора. Поэтому указанные величины запишем для условий (39) (для них р = -, р2 = -1):

Ukl =-4Z, [-iZ™ ], Vkl = 4Zn [Xkll - iX;

где

(l0l)

где

(2) ] kl ]'

Zkl = sin(^k-0l )sin(rpkc)-r^c), Zk2} = cos(6>k-0l )sin(rpkc) +y(D;

(ll0)

(lll)

Хк1 = С08(вк + в, )С08(Гркс)-

Хк2) = 81п(вк +в)С08(Грс -Грс ).

(к)

Урс X

(112)

Прежде всего покажем, что при использовании классической измерительной конфигурации (вт = 0) зонные соотношения (94), отвечающие условиям (39), содержат особенность типа 0/0 . Иначе говоря, в этом случае все определители обращаются в нуль. Это связано со следующим обстоятельством. При наличии анизотропии выполнение условий (39) обеспечивает (см. [4]) сохранение элементарных соотношений "изотропного" случая, но только для пары четных или нечетных зон

ск-) = 0, грс + /рс = г?) + Г? = П2 + Нп . (113)

С учетом (113), используя выражения (105)-(108), (101) и (110)—(112), а также уравнения (53), левые части которых определяют (с точностью до коэффициента) действительную и мнимую части величины Жк1, находим

Жк, = = 0, Ук, = 0

и, следовательно,

п(°) = г> (1) = п (2) = п(3) = 0

(114)

где

и,к = -4^ [ ку ], , = 4,. [X.к -/X.к];

=-4,. [ 2.1 -/2.2) ],

^ = 4^. [X. 1 -/X.2)], 2« = 8ш(0. -вк)81п(Грс) +ГркД

2$ = С08(в.. -вк)81п(Грс? -ур1); X(Ц = С08(в. +в )С08(Грс)-ф,

X(к = 81п(в..+вк )С05(г(^с+г(ркс);

(115)

(116)

2V = С08(в. +в1 )С08(ГрЛ + /£),

2.) = 81п(в..+в, )С08(г(рс -/рс); X. = 8ш(в,.-в1 )81п(Грс} -урс),

X<2) = С08(в. -в, )81п(Грс +/с ).

(117)

(118)

(119)

(120)

Сравнение (110)—(112) и (115)—(120) с системами уравнений (52)—(54) показывает, что эти системы могут быть записаны в следующем комплексном виде:

+ с^пУтп = 0, (тп = ]к, к1, .1), (121)

с(+ )

"тп тп ' ^тп' тп

Тем самым доказывается наличие особенностей в обобщенных зонных соотношениях для случая классической конфигурации. Учет реальных значений параметров компенсатора приведет лишь к отношению малых величин в зонных соотношениях, что также неприемлемо.

Перейдем теперь к произвольным измерительным конфигурациям, в первую очередь к рассмотренным выше опорным конфигурациям. Задача состоит в том, чтобы найти такую совокупность конфигураций для обобщенной зоны Б(к31), которая

обеспечивала бы достаточно большие значения знаменателя в зонных соотношениях, т. е. величины Г(к1. Как уже указывалось, эту задачу можно

решить, перейдя к более простой ситуации, когда выполняются условия (39) и отсутствует анизотропия. Последнее обстоятельство означает, что Ж = 0.

тп

Для дальнейшего кроме величины ик1, определенной выше, нам понадобятся также и величины и.к и и ■1. Ради общности определим еще

и величины У.к и У.1. Все они имеют следующий вид (см. также (110)—(112)):

откуда

V = си, с = с(-7с(+) .

тп —п —п' —п —п / тп

(122)

Из общих выражений для величин и—п и V—п находим

Ь Ь2 = -с (и + V ) = -си (1 + с ). (123)

1—2 п 2 ~ — ^ — п — п ' 2 — — п — п

Формула (123) может оказаться полезной при анализе произвольных конфигураций.

Рассмотрим опорную конфигурацию (вк, в1),

определенную соотношением (61) (вк +в1 = 0).

Учитывая имеющие место в этом случае соотношения (59) и (62) и используя форму записи (105) для знаменателя 0(1], легко устанавливаем, что

0) = 0. Это означает, что данная опорная конфигурация независимо от значений угла в. также не может быть использована в эксперименте.

Что касается опорной конфигурации (в., вк),

также определенной условием (61) (в. +вк = 0), то для нее имеют место аналогичные соотношения

(56) и (62), однако результат здесь не является столь однозначным. Мы не будем выходить за пределы изученного в первом разделе комплекса опорных конфигураций, поэтому для третьего угла в1 рассмотрим два возможных варианта. При

в1 = вj мы возвращаемся к предыдущей конфигурации (вк +вг = 0), т. е. данный вариант (в. +вк = 0, в, = в.) не может быть использован. Остановимся подробно на втором варианте в. + вк = 0, в1 = вк или в. +в1 = 0 . Для знаменателя О.к (для величины 0.к1) используем выражение (99), которое, учитывая формулу (101) и равенство Ж—п = 0, справедливые в рассматриваемом приближении, запишем в виде

D =-Z D(0) = Ujkl bj^jkl

= ь c(^>u - b c(~U/ + b c(~U/

~U1 JVklUkl u1kvjlujl^ u1lvjkujk-

(124)

Затем, привлекая соотношение (62), представим это выражение в виде

Dk = cj-) [b1jUkl - KU, J .

(125)

Преобразуем выражение (125), используя соотношения (56) и (64), а также формулу (7) для Ь1к,

формулы (110) и (111) для ик1, и (116), и (119) для

и.1. В результате получим следующее выражение

для г.к1:

Djkl = i(-1)"8Çh cy,

^jkl

j 1 j jl

(126)

Наконец, рассмотрим опорную конфигурацию (в., в,), определенную условием (40) (в. =в1).

Здесь новым является только вариант в. =вк =в1. Рассматривается он точно так же, как и вариант в. + вк = 0, в1 =вк . Окончательный результат следующий:

Djkl = i(-1)"8j j

(-) j 1 j jk

(127)

где с. определяется формулой (84), в которой

необходимо сделать указанную в (83) замену индексов. Формула (126), как ясно из проведенного в первом разделе анализа величины с), определяет достаточно большие значения знаменателя ..

Рассмотрим опорную конфигурацию (в., в1), определенную условием (63) (в. + в= 0). Возникающие здесь два варианта, связанные с поведением третьего угла вк , сводятся к двум предыдущим, один из которых не может быть использован, а второй определяется формулой (126).

где с- определяется формулой (84). Таким образом, и этот очень важный вариант является допустимым.

Несложные математические приемы, использованные в данной работе, позволяют рассмотреть и произвольные конфигурации. Особый интерес представляют те из них, которые двумя параметрами вт образуют основу из опорных конфигураций, а их третий параметр является свободным, обеспечивая дополнительные возможности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2007. Т. 17, № 2. С. 20-34.

2. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2008. Т. 18, № 2. С. 18-32.

3. Семененко А.И. // Оптика и спектроскопия. 1978. Т. 45. С. 387-388.

4. Ржанов А.В., Свиташев К.К., Семененко А.И. и др. Основы эллипсометрии. Новосибирск: Наука, 1979. 422 с.

5. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2007. Т. 17, № 4. С. 42-54.

6. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2005. Т. 15, № 4. С. 74-82.

Институт прикладной физики НАН Украины, г. Сумы (Семененко А.И.)

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург (Семененко И.А.)

Материал поступил в редакцию 15.07.2008.

ON THE NEW POTENTIALS OF ELLIPSOMETRY ARISING FROM THE NULL OPTICAL CIRCUIT. ELLIPSOMETRY OF REAL SURFACE STRUCTURES.

13. GENERALIZATION OF INVARIANT THEORY.

SELECTION OF MEASURING CONFIGURATIONS IN THE ELLIPSOMETRY OF ANISOTROPIC MEDIA

1 2 A. I. Semenenko , I. A. Semenenko

1 Institute of Applied Physics NAS, Ukraine, Sumy

2Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

The work generalizes isotrope media ellipsometry invariant theory in case of any measuring configurations of the device. The basic invariant properties appearing at various types of configurations are analyzed. General approach to selection of measuring configurations of the device providing peak effect in elimination of features in extended zone relations of ellipsometry of anisotropic media is developed. Thus (in the accepted approach) properties of invariant ellipsometry of isotropic media are used in full. Various types of measuring configurations are analyzed. At the same time the class of measuring configurations considerably differing from a classical configuration, but not eliminating features is found.