О новых примерах кривых Серре Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 2.

УДК 512.772, 517.583 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-266-274

О новых примерах кривых Серре1

А. Т. Липковский, Ф. Ю. Попел енский

Липковский Александр Трайкович — доктор физико-математических наук, профессор, математический факультет, Белградский университет (г. Белград, Сербия). e-mail: acal@matf.bg. ас.rs

Попеленский Федор Юрьевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: popelens@mech.math.msu.su

Аннотация

По теореме Абеля лемнискату Бернулли можно разделить циркулем и линейкой на п равных дуг, где п = 2кр1 .. .рт и pj — попарно различные простые числа Ферма. Важное свойство лемнискаты, используемое в доказательстве теоремы Абеля, состоит в том, что она допускает параметризацию рациональными функциями, в которой длина дуги выражается эллиптическим интегралом первого рода. Жозеф Альфред Серре предложил способ описывать все такие кривые в работе [1]. В работах [1, 2, 3] он нашел целые серии таких кривых и описал их важные свойства. С тех пор других примеров кривых с рациональной параметризацией и длиной дуги, выражающейся эллиптическим интегралом первого рода, известно не было. В данной заметке мы строим новый пример такой кривой.

Ключевые слова: кривая Серре, эллиптический интеграл, алгебраическая кривая

Библиография: 4 названия.

Для цитирования:

А. Т. Липковский, Ф. Ю. Попеленский. О новых примерах кривых Серре // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 266-274.

1Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие Научные Школы" (грант НШ-6399.2018.1, соглашение N 075-02-2018-867) и проекта № ОИ 174020 Министерства просвещения, науки и технологического развития Республики Сербии.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.

UDC 512.772, 517.583 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-266-274

About new examples of Serre curves

A. T. Lipkovski, Th. Yu. Popelenskv

Lipkovski Aleksandar — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Faculty of Mathematics, University of Belgrade (Belgrade, Serbia). e-mail: acal@matf.bg.ac.rs

Popelensky Theodore — candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor at the Department of Differential Geometry and Applications of the Faculty of Mechanics and Mathematics of M. V. Lomonosov MSU (Moscow). e-mail: popelens@mech.math.msu.su

Abstract

Abel's theorem claims that the Lemniscate can be divided into n equal arcs by ruler and compass iff n = 2kpi.. .pm, where pj are pairwise distinct Fermat primes. The proof is based on the fact that the lemniscate can be parametrised by rational functions and the arc length is a first type elliptic integral of the parameter. Joseph Alfred Serret proposed a method to describe all such curves in [1]. In papers [1, 2, 3] he found series of such curves and described its important properties. Since then no new examples of curves with rational parametrisation such that arc length is a first type elliptic integral of the parameter are known. In this note we describe new example of such a curve.

Keywords: Serret curve, elliptic integral, algebraic curve

Bibliography: 4 titles.

For citation:

A. T. Lipkovski, Th. Yu. Popelensky 2020, "About new examples of Serre curves" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 266-274.

Посвящается Анатолию Тимофеевичу Фоменко по случаю его семидесятипятилетия

1. Введение

Лемниската Бернулли помимо всего прочего известна тем, что ее дуги можно складывать циркулем и линейкой, т. е. если даны точки Ао,А\, А2 на лемнискате, то циркулем и линейкой можно построить точку такую что длина дуги А0А3 будет равна сумме длин дуг А0А1 и АоА2- Это свойство выводится из того, что в параметризации лемнискаты функциями

x(t) =

t -1 v® = г+1

длина дуги лемнискаты задается интегралом

Г V2dt J VT+¥'

t +13

^T (i)

для которого известна теорема сложения, открытая, по всей видимости, еще Эйлером.

Метод поиска кривых (х(Ь), у(Ь)), заданных параметрически рациональными функциями,

с длиной дуги, выражающейся эллиптическим интегралом С / —Ж=: где Ра{Ь) — многочлен

■\jPiit)

четвертой степени без кратных корней, был предложен Ж. А. Серре в цикле работ [1, 2, 3], некоторые упрощения и обобщения сделал Ж. Лиувилль в работе [4], см. также книгу [5]. В ряде случаев Серре удалось реализовать свой подход, в частности, он нашел бесконечные серии таких кривых. Мы опишем его результаты в следующем параграфе. В этой заметке мы

(1) покажем, что в одном классе кривых, естественным образом расширяющем результаты Серре, искомых кривых не существует;

(2) построим новые примеры кривых типа кривых Серре.

2. Предварительные сведения

Нас интересуют кривые х = х(Ь),у = у(Ь), где х(Ь),у(Ь) — вещественные рациональные функции, причем (1в2 = (1х2 + (1у2 = ^^), где Ра{Ь) — вещественный многочлен четвертой степени без кратных корней. Серре показал, что без ограничения общности можно считать, что Р.^) имеет вид (Ъ2 — а2)(12— а2), где а — комплексное число с отличными от 0 вещественной и мнимой частями. Тогда любое решение нашей задачи имеет вид

х(') + ш = / Ц Ш) * (2)

где многочлен второй степени р^) выбирается так, что Р.= р(Ь) р(Ь), взаимно прост с р(Ь), ц(Ь) делится на р(Ь), и кроме того, должны выполняться условия

ге* ^ = 0 (3)

*=ъ д(г) р(г)

для всех £ = являющихся корнями д(Ь).

Сам Серре подробно исследовал случай р(1) = (1 — а)(1 + а), ц({) = (1 — а)т+1(1 + а)п+1, где т,п — произвольные положительные целые числа. Он показал, предполагая без ограничения общности т ^ п, что в этом случае кривая

х(Я + гуН) = —^-Нгг 4

УК ' 7 (г — а)т+1(г + а)п+1 '

является алгебраической тогда и только тогда, когда число а с ненулевыми вещественной и мнимой частями является корнем уравнения

1 ^ лп

(п-т <Кт

С« — 1)т = 0,

(а + а)2

где £ = -=—, см. подробное обсуждение в [2, 41. Длина дуги такой кривой задается ин-

4 аа " *

тегралом [ — =. Например, для т = п = 1 параметр а должен удовлетворять

л/^2 — а2)(12 — о, )

уравнению а2 + а2 = 0.

Можно показать, что для этих т,п и а кривая, заданная уравнением (4), получается из лемнискаты (1) композицией гомотетии и движения плоскости.

В этой заметке мы рассмотрим два случая, не входящие в серии, найденные Серре. А именно, в разделе 3 мы покажем, что выбор ) = (1 — Ь)2(1 — а)2(1 + а)2 не дает новых кривых, а в разделе 4 покажем, что для д(Ь) = (Ь2 — Ь2)2(Ь — а)2(Ь + а)2 возникают новые кривые.

3. Случай = (£ - Ъ)2(Ъ - а)2(Ъ + а)2

Рассмотрим простейший случай, не входящий в число рассмотренных самим Серре, а именно = (Ь — Ь)2(Ь — а)2{Ь + а)2. В таком случае искомая кривая задается соотношением

«)+*')=/+£ *

при выполнении условий (3), которые состоят в обращении в 0 вычетов подынтегральной функции в точках t = Ь шt = ±а, что можно переписать в виде системы уравнений

d (t - b)2(t - a)(t + a)

dt (t - b)2(t + a)2 d (t - b)2(t - a)(t + a)

= 0,

t=a

dt (t - b)2(t - a)2 d (t - b)2(t - a)(t + a)

t=—a

dt (t - a)2(t + a)2

t=b

Эти уравнения зависимы, их сумма равна 0, поскольку в бесконечности вычет подынтегральной функции равен 0. Тем не менее, нам удобно рассматривать все три уравнения. При исследовании этой системы полезно иметь в виду, что нас интересуют комплексные а и Ь, причем Ь = ±а, ±а, а вещественные и мнимые части а и Ь отличны от 0. Элементарные вычисления с учетом этих соображений позволяют упростить уравнения этой системы:

'00 О О — О — Л о о— о —

а а — 3а аЬ + а аЪ + а ЬЬ + а + а Ь — 3а Ь + а ЬЬ = 0, а2а2 + 3а2~аЬ — а2аЬ + а2ЬЬ + а4 — а3Ь + 3а3Ь + а2ЬЬ = 0, (5)

а2 а2 — 2а2ЬЬ + а %2 + а2ЬЬ — 2аЧ2 + ЬЬ3 = 0.

Разности первого и третьего, а также второго и третьего уравнений дают равенства

(a - b)(a3 - 3 a2b + a2b + a2b - 2a2b + acb + bt) = 0, (6)

(a + b)(a3 + 3a2b - a2b - a2b + 2a2b + abb - bt) = 0. (7)

Как говорилось выше, b = ±a, поэтому вторые множители в обоих этих соотношениях должны быть равны 0. Их полусумма дает равенство

a3 + abb = 0,

откуда a2 = -bb. Теперь легко видеть, что Re aim a = 0, что противоречит исходным предпо-

a

4. Случай q(t) = (t2 - b2)2(t - a)2(t + a)2

Для многочлена вида q(t) = (t2 - b2)2(t - a)2(t + a)2, где b = ±a, искомая кривая задается соотношением

í (t - b¿)2(t - a)(t + a) , x(t) + iy(t) = -i--^-'- dt, 8

J (t2- h2)2(t-a)2(t + a)2

0

0

при выполнении условий (3), которые состоят в обращении в 0 вычетов подынтегральной функции в точках £ = ±Ь и Ь = ±а, что можно переписать в виде системы уравнений

й (г2 — ъ2)2(г — а)(г + а)

(г2 — Ь2)2(ь + а)2

Ь=а

й (г2 — ъ2)2(г — а)(г + а)

т2

(г2 — ь2)2(ь — а)2

1=—а

а (г2 — ъ2)2(г — а)(г + а)

м (Ь + Ь)2^ — а)2(г + а)2 = (I (г2 — Ъ2)2(Ъ — а)(Ъ + а)

м (г — ь)2(г — а)2(г + а)2 =_-ь

Эти уравнения зависимы, их сумма равна 0, поскольку в бесконечности вычет подынтеграль-

—

ходит во второе и наоборот. То же самое верно в отношении третьего и четвертого уравнений. Также нужно иметь в виду, что нас интересуют комплексные а и Ь, при чем Ь = ±а, ±а, а вещественные и мнимые части а и Ь отличны от 0. Отсюда получаем, что вышеприведенные условия на вычеты равносильны паре уравнений

I а2а4 + а6 — 5а2 а2Ь2 + 3а4Ь2 + 3а2а2Ь2 — Ъа4Ь2 + а2Ъ2Ъ2 + а2Ъ2Ъ2 = 0, 1 а2а2Ь2 + 3а2а2Ь2 — 5а2Ь2Ь2 + а2Ь2Ь2 + а2Ь4 — 5а2Ь4 + 3 Ь2Ь4 + Ь6 = 0.

Отметим, что уравнения однородны, поэтому вместе с решением (а, Ь) имеется решение ( Л а, ЛЪ) для любого вещественного Л.

Как видно, эти уравнения довольно похожи друг на друга, поэтому разумной выглядит идея рассмотреть разность уравнений. Нетрудно проверить, что эта разность разлагается на

множители:

(а — Ь)(а + Ь)(а2а2 + а4 — 6а2Ь2 + 3а2Ь2 + а2Ь2 — 4а2Ь2 + 3 Ь2Ь2 + Ь4) = 0

27,2 , о^2т,2 , „2Т2 Л^2Т2 , ог,2Т2 , т4л

Это позволяет получить на а и Ь уравнение более низкого порядка. Тем не менее, более перспективным оказался другой путь.

Положим а = г + г8,Ь = и + IV и разделим вещественные и мнимые части уравнений, результат нетрудно записать в виде

' 2(г — в)(г + з)(г4 — 6 г2в2 + в4 — 2г2и2 + 28 и + и4+

+32 г зиь + 2 г 2у2 — 2 з 2у2 + 2и2у2 + V4) —8г з( г4 — 2 г2 в2 + в4 — г2и2 + з2и2 + 16г 8Ш + Г2У2 — 82У2) 4(и — и)(и + у)(г4 + 2 г 2в2 + в4 — 2 г 2и2 + 2 в2и2 + и4+

+12 г зиь + 2 г 2у2 — 2 з 2у2 — 2и2у2 + V4) —4иу (г4 + 2 г 2в2 + з4 — 4 г2и2 + 4в 2и2 + 3и4+

+24 г иь + 4 г 2и2 — 4 в 2и2 — 2и2ь2 + 3ь4)

0, 0,

0

0

0

0

Нетрудно проверить, что если г = 8 или г = —8, то второе уравнение приводится к виду и = 0

уравнений

f г4 - 6r2s2 + s4 - 2г2и2 + 2s2и2 + и4+

+32rsuv + 2r2v2 - 2s2v2 + 2u2v2 + v4 = 0,

4 о 2 2 i 4 2 2,2 2,

r4 - 2r2s2 + s4 - r2u2 + s2u2+

+16rsuv + r2v2 - s2v2 = 0, r4 + 2r2s2 + s4 - 2r2u2 + 2s2u2 + u4+

+12rsuv + 2r2v2 - 2s2v2 - 2u2v2 + v4 = 0, r4 + 2r2s2 + s4 - 4r2u2 + 4s2u2 + 3u4+

+24rsuv + 4r2v2 - 4s2v2 - 2u2v2 + 3v4 = 0.

(W1)

(W 2)

(W 3)

(W 4)

Эти уравнения зависимы — разность первого и четвертого уравнений плюс удвоенная разность третьего и второго равна 0. Поэтому эта система равносильна системе состоящей из уравнений (Ш1) — (Ш3), (Ш1) — 2(Ш2), 3{Ш2) — 4(Ш3), которая легко приводится к виду

2r2s2 - 5rsuv - u2v2 = 0,

(г2 + s2 - и2 - v2)(r2 + s2 + и2 + V2) = 0,

- г4 - 14r2s2 - s4 + 5r2u2-

- 5s2u2 - 4u4 - 5r2v2 + 5s2v2 + 8u2v2 - 4v4 = 0.

(U1) (U 2)

(U 3)

Вторая скобка во втором уравнении (U2) не дает интересующих нас решений, поэтому мы ее отбросим. В силу однородности второе уравнение позволяет наложить дополнительное условие

г2 + s2 = и2 + V2 = 1.

Наши уравнения обладают большой группой симметрий. Если (г, s, и, v) — решение, то можно одновременно менять знак у четного числа переменных, т. е. так, чтобы не поменялся знак произведения rsuv, а также можно применить к переменным перестановку г о s, и о v. В силу г2 + s2 = и2 + V2 = 1 сделаем подстановку

г = sin 0,s = cos в, и = cos w,v = sin ш.

Тогда первое уравнение (U1) приводится к виду

2 sin2 20 — 5 sin 20 sin 2ш - sin2 2ш = 0,

откуда

sin 20 = М sin 2ш, где М =

5 ± ^^

4

(9)

С помощью соотношений г2 + s2 = и2 + v2 = 1 уравнение (U3) приводится к виду

6г4 + 3и2 - 8и4 + г'2(-11 + 10и2) = 0.

42

В силу указанной тригонометрической подстановки г2 = 2 чаем уравнение

2 _ 1 cos2 и и2 = 1 С°,2ш ^ 0ТКуда полу-

-4 - 4 cos2 2ш + 5 cos 2ш cos 20 + 3 cos2 20 = 0.

Перепишем его в виде

5 cos 2ш cos 20 = 4 + 4 cos2 2ш - 3 cos2 20,

(10)

возведем в квадрат, заменим квадраты косинусов с помощью основного тригонометрического тождества и используем соотношение (9):

25(1 - sin2 2ш)(1 - М2 sin2 2ш) = (4 + 4(1 - sin2 2ш) - 3(1 - М2 sin2 2ш))2

откуда получаем уравнение

sin2 2ш(15 - 55М2 + (16 - 9 М4 + 49М2) sin2 2ш) = 0

Заметим, что если sin2 2ш = 0, то гs = 0, что не дает решения нашей задачи. Отсюда

sin2 2ш =

15- 55М2

9 М4 - 49 М2 + 16

При М = 5 получаем

тем самым,

sin 2ш = \1 —— 1,

I íñ п I11V333 - 63 sin2w = ±WWy- 1, sin 2 в = М sin2w = —^-.

а при М = получаем уравнение

sin 2ш = — 1,

которое не имеет решений.

Итак, нам осталось найти решения уравнений

2uv = ±\¡\ I— - 1

2rs = ^

'пУЗЗЗ - 63 6

и + 2 = 1 2 + = 1 и

а =

\

1(3 - М (6 -V3-3)) И f> = J ^ -3 ,

6 ^ V V )) р у 6 - 2^18 - 3V33'

7 =

Л

¡(в -

=

\

1^л/33 - 63

12 - 2у/6^69-ШЩ

1

и,

, и, , ,

в квадрат уравнения (10), поэтому не все комбинации выборов соответствий и, V с а, @ и г, в с 5 реализуются. С учетом этого имеем 16 вариантов (и,ь,г,в):

(±а, ±р, ±-f, т$), (±а, ±р, Т1, ±$), (±а, тР, ±1, ±$), (та, ±Р, ±1, ±§),

(±Р, ±а, ±5, Tl), (±Р, ±а, тй ±l), (±Р, та, ±5, ±j), (ТР, ±&, ±ô, ±j).

Таким образом, для а = г + г^иб = и + т соотношение (8) з адает кривую (х(Ъ), у(Ъ)) с параметризацией рациональными функциями и длиной дуги, равной С — =.

] у (№ — а— а )

Одна из таких кривых показана на следующем рисунке, остальные получаются из нее движением.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. A. Serret Mémoire sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques and ultraelliptiques, Journal de mathématiques pures et appliquées, T. 10 (1845) p. 257^285

2. J. A. Serret Développements sur une classe d'équations relatives a la représentation géométrique des fonctions elliptiques, Journal de mathématiques pures et appliquées, T. 10 (1845) p. 351—363

3. J. A. Serret Note sur les courbes elliptiques de la première espèce, Journal de mathématiques pures et appliquées, T. 10 (1845) p. 121 120

4. J. Liouville Sur un Mémoire de M. Serret, relatif à la representation des fonctions elliptiques, Journal de mathématiques pures et appliquées, T. 10 (1845) p. 150 105

5. В. В. Прасолов, Ю. П. Соловьев Эллиптические функции и алгебраические уравнения, Москва, 2020

REFERENCES

1. Serret J. A., "Mémoire sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques and ultraelliptiques", Journal de mathématiques pures et appliquées, 10 (1845), 257^285.

2. Serret J. A., "Développements sur une classe d'équations relatives a la représentation géométrique des fonctions elliptiques", Journal de mathématiques pures et appliquées, 10 (1845), 35^—363.

3. Serret J. A., "Note sur les courbes elliptiques de la première espèce", Journal de mathématiques pures et appliquées, 10 (1845), 121 120.

4. Liouville J., "Sur un Mémoire de M. Serret, relatif à la representation des fonctions elliptiques", Journal de mathématiques pures et appliquées, 10 (1845), 150 105.

5. Prasolov V. V., Soloviev Y. P., "Elliptic Functions and Algebraic Equations", Moscow, 2020.

Получено 28.11.2019 г.

Принято в печать 11.03.2020 г.