CC BY
38
УДК 539.3, 539.8, 534-16
О новой модели влияния электронного газа на термоакустику проводников при лазерном воздействии
Н.Ф. Морозов1,2, К.Л. Муратиков1,3, Д.А. Индейцев1,2, Д.С. Вавилов1,4, Б.Н. Семенов1,2
1 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия
2 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 198504, Россия
3 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, 194021, Россия
4 Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, 197198, Россия
В настоящей статье рассмотрена новая модель динамического поведения проводящих материалов при лазерном воздействии, учитывающая давление электронного газа. Для описания и объяснения новых динамических термоупругих эффектов в проводниках предлагается двухкомпонентная модель, в соответствии с которой сплошная среда состоит из двух «взаимопроникающих континуумов», т.е. в каждой точке такой среды существуют частицы обеих сред, взаимодействующих между собой. Предлагаемая модель позволяет рассматривать электронный газ, состоящий не только из свободных электронов, но и связанных. Поведение свободных электронов описывается законами для идеальных металлов, в то время как связанные электроны подчиняются более сложным законам, для которых характерны процессы захвата на локализованных уровнях и перехода с одного уровня на другой — «прыжковая» диффузия и «прыжковая» проводимость. Впервые отмечается, что, в отличие от известной классической модели термоупругости, существенную роль в выражении для давления электронного газа играют разница температур решетки и электронного газа и изменение концентрации свободных электронов, вызванное переходом локализованных электронов в свободное состояние в соответствии с известным физическим явлением Мотта. Длительность акустических импульсов в решетке проводника принципиально зависит не только от времени действия лазерного воздействия, но также и от времени существования разности температур электронного газа и решетки. При этом наибольшая длительность акустического импульса достигается при определенной концентрации локализованных электронов. Полученные результаты моделирования сравниваются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: термоупругость, термоакустика, двухкомпонентная модель, динамическое поведение, лазерное воздействие, проводники, электронный газ
DOI 10.24411/1683-805X-2018-16004
A new model of the electron gas effect on the thermoacoustics of conductors
under laser irradiation
N.F. Morozov12, K.L. Muratikov3, D.A. Indeitsev12, D.S. Vavilov14, and B.N. Semenov12
1 Institute for Problems in Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia 2 Saint Petersburg State University, St. Petersburg, 199064, Russia 3 Ioffe Physical Technical Institute RAS, St. Petersburg, 194021, Russia 4 Mozhaisky Military Space Academy, St. Petersburg, 197198, Russia
This paper considers a new model of the dynamic behavior of conductive materials under laser irradiation, taking into account the electron gas pressure. It is proposed to describe and explain new dynamic thermoelastic effects in conductors using a two-component model, according to which a continuous medium consists of two interpenetrating continua, i.e., in every point of this medium there are particles of the both continua that interact with each other. The proposed model can be used to consider an electron gas consisting not only of free but also of bound electrons. The behavior of free electrons is described by laws for ideal metals, while bound electrons obey more complex laws characterized by trapping to localized levels and transition from one level to another, i.e., jump diffusion and hopping conductivity. It has been shown for the first time that, in contrast to the well-known classical model of thermoelasticity, an important role in the expression for the electron gas pressure is played, on the one hand, by the temperature difference between the lattice and the electron gas and, on the other, by the possible change in the concentration of free electrons caused by the transition of localized electrons to the free state in accordance with the known Mott's physical phenomenon. The duration of acoustic pulses in the conductor lattice essentially depends both on the laser irradiation time and on the duration of the temperature difference between the electron gas and the lattice. The maximum acoustic pulse duration is achieved at a certain concentration of localized electrons. The obtained simulation results were compared with known experiments.
Keywords: thermoelasticity, thermoacoustics, two-component model, dynamic behavior, laser impact, conductors, electron gas
© Морозов Н.Ф., Муратиков К.Л., Индейцев Д.А., Вавилов Д.С., Семенов Б.Н., 2018
1. Введение
В современных методах исследования теплофизи-ческих и упругих свойств объемных материалов, тонких пленок и тонкопленочных структур, неразрушающего контроля материалов широко используется динамическое воздействие лазерного излучения [1]. Исследования подобного рода позволяют проследить особенности динамического преобразования энергии лазерного излучения в тепловую форму и ее последующую трансформацию в энергию акустических колебаний или волн в различных материалах. В большинстве экспериментальных и теоретических работ этого направления генерация упругих деформаций и акустических волн осуществляется по термоупругому механизму. К числу первых теоретических работ, касающихся изучения генерации упругих деформаций и волн в твердых телах по термоупругому механизму, можно отнести работы В.И. Даниловской [2, 3]. В этих работах рассмотрена связанная задача термоупругости и в линейном приближении были получены решения, описывающие временное и пространственное развитие деформаций в твердотельных объектах при импульсном воздействии.
Тем не менее все известные теоретические подходы к изучению термоупругих процессов в металлах на первоначальной стадии лазерного воздействия не дают качественно близких результатов к известным экспериментальным данным [4, 5]. В этих работах было показано, что для проводников, какими и является большинство металлов, характерно значительное затягивание деформационных процессов во времени по сравнению с имеющимися теоретическими моделями, достаточно корректно описывающими акустические импульсы при термическом нагружении [4] в непроводящих средах.
Исследование динамических тепловых и упругих процессов в различных материалах и структурах от микро- и наносекундного до пикосекундного [6-8] и фемтосекундного диапазонов [9] требует применения новых эффективных моделей динамического поведения проводников в высокочастотной области внешних воздействий.
Основной целью данной работы является использование новой модели термоупругости, способной учесть динамическое влияние электронного газа в проводниках на существенное растягивание во времени акустических импульсов.
Успешная попытка объяснить это явление была предпринята авторами работы [5]. Ими предложена модель «теплового поршня», создаваемого движением электронного газа. Такая модель позволила качественно объяснить задержку термоупругого отклика в металле. Тем не менее природа явления остается неясной, а математическое описание недостаточно корректно, что затрудняет использование модели для изучения других процессов.
В данной работе для описания и объяснения новых динамических термоупругих эффектов в проводниках предлагается использовать двухкомпонентную модель [10-12], в соответствии с которой сплошная среда состоит из двух «взаимопроникающих континуумов», т.е. в каждой точке такой среды существуют частицы обеих сред, взаимодействующих между собой. Внутренние силы взаимодействия Qie и Qei равны между собой. Индексы i и е обозначают ионное и электронное содержание двухкомпонентной модели сплошной среды. Предлагаемая модель позволяет рассматривать электронный газ, состоящий из свободных и связанных электронов [13]. Поведение свободных электронов описывается законами для идеальных металлов, в то время как связанные электроны подчиняются более сложным законам, для которых характерны процессы захвата на локализованных уровнях и перехода с одного уровня на другой — «прыжковая» диффузия и «прыжковая» проводимость.
Последнему посвящены известные исследования Андерсона и Мотта [14]. Под действием внешних воздействий, в частности при воздействии импульсного лазерного излучения, часть электронов переходит из одного локализованного состояния в другое, время их релаксации существенно превышает время релаксации свободных электронов на уровне Ферми.
В результате можно ожидать, что и время длительности давления электронного газа на решетку металла станет существенно больше, чем классическое элект-ронно-фононное взаимодействие. Ранее ни в одной из известных авторам работ такое явление не описывалось.
2. Постановка задачи. Основные уравнения
Электронный газ (первая компонента), взаимодействующий с решеткой металла, представляет собой сплошную среду переменной плотности ре = тепе, где те — масса электрона; пе — плотность электронов (концентрация электронов в элементарном объеме).
Подвижная часть электронов весьма незначительна и располагается на энергетических уровнях выше уровня Ферми. Параметр концентрации ав равен (кв^е/[13] и при комнатной температуре весьма мал. Здесь и далее кв — коэффициент Больцмана; #е — температура электронного газа; ег- — энергия Ферми. Соответственно, другая часть свободных электронов (1 - ав) ре находится на более «глубоких» энергетических уровнях. Кинематика их среднего движения практически совпадает с кинематикой решетки.
Таким образом, справедливы следующие уравнения баланса числа свободных электронов: Эп
Эг (1)
дп -с -с 1 ю
-ГТ ^V) = — <
Эt т
Здесь ne = aene — концентрация электронов на уровне Ферми; — средняя скорость этих электронов; т — время релаксации (время пребывания этих электронов на уровне Ферми); — источник возбуждения
электронного газа, определяющий скорость «перевода» части свободных электронов с более глубоких энергетических уравнений на уровень Ферми; Jes — источник возбуждения связанных электронов, ««переводящий» их часть в локализованное состояние.
Следует заметить, что поток импульса qe = ne ve свободных электронов, где ve — некоторая средняя скорость, имеет вид
ne Ve = ne[(1 - «» )Vi + «в (2)
Общее число свободных электронов в идеальном кристалле имеет вид (Jes = 0)
ne = + С (3)
где nF = aene> ne* = (1 - ав)ne-
Появление связанных электронов за счет существования локализованных зон (дефекты, дислокации и т.д.) увеличивает число свободных электронов
(JeS * 0) *
ne = ПГ + n* + nes* (4)
Переход электронов nes из локализованного состояния в свободное приводит к существенному изменению давления электронного газа. Давление последнего, согласно представлению электронного газа как газа вырожденного [15], имеет вид
D 2 п2 (kBee ?
Pe =~ ne^F +-Т ne^F • (5)
5 6 ~
В соответствии с первым членом в этом выражении относительное изменение концентрации свободных электронов в металле порядка 10-3 может приводить к изменению давления на уровне 100 МПа. Важно заметить, что время существования такого давления в решетке металла может быть существенно больше, чем время действия скачка давления за счет изменения температуры, что обычно и описывается в известной модели термоупругости.
Число локализованных электронов пе. определяется из уравнения баланса
дп
-¡¡Г V.) = -е., (6)
где £8 — средняя скорость их перемещения между процессами локализации. Источник Уе8, описывающий процессы их переходов между свободными и связанными состояниями, выберем в виде
Je
= - (S - S0), Ts
(7)
где т. — время релаксации электрона между связанными и свободными состояниями; 51 — некоторый генерационный источник, стимулирующий переход электронов из связанного состояния в свободное. Согласно
результатам экспериментов по электропроводности раз-упорядоченных металлов можно считать, что процессы перехода электронов происходят в соответствии с законом Аррениуса [16]. Тогда для источника 51 можно использовать выражение
(
S = A exp
U
Л
¿b#Í
(8)
где А — некоторая константа; и — энергия активации. В первом приближении при условии и/(£ВФ;) < 1 выражение (8) может быть представлено в виде
« -«.с), (9)
S - So = AU
(
kBe2o
exp
U
Л
kBei0
где ei — температура решетки; ei0 — ее равновесное значение.
Таким образом, основные уравнения баланса числа свободных и связанных электронов имеют вид dn
-n- +Y-(ne Ve) = Jes,
dt
dnes dt
+ Y"(ne Ves) = -Je;
(10)
Т
К указанной системе уравнений (10) необходимо добавить уравнение баланса импульса для электронов, находящихся на уровне Ферми:
-± ^=Мй. (11)
те &
Уравнения (10) и (11), дополненные уравнениями теплопроводности для электронного газа, завершают постановку задачи. Главная трудность их решения — учет дивергентных слагаемых, а также влияние скорости частиц решетки на общий поток свободных электронов. Последнее, помимо температурных слагаемых и связи уравнений баланса импульса с указанными выше уравнениями, значительно усложняет задачу. Тем не менее некоторые упрощения позволяют получить аналитический результат. Главное, что отличает предложенную модель, это учет давления электронного газа, зависящего от кинематики электронов на уровне Ферми, а также учет изменения давления от перехода электронов из локализованного состояния в связанное. Последнее существенно изменяет первое слагаемое в давлении (5) и принципиально меняет временную зависимость реакции решетки.
3. Решение и сравнение полученных результатов с известными моделями термоупругости
Подробный анализ двухтемпературной модели дан в работах [17-19]. Достаточно корректные асимптотические выкладки предложены в работе [20]. Поэтому
здесь останавливаться на подробном изложении результатов решения уравнений теплопроводности не будем, а, используя гипотезу полусвязанности, воспользуемся готовыми результатами для температур Ф. и Фе.
Двухкомпонентная модель, учитывающая влияние динамики электронного газа на решетку проводника, является естественным обобщением классических моделей термоупругости. Действительно, неучет влияния кинематики электронов на уровне Ферми, что важно вследствие эффекта Черенкова [21] при Фе ^Ф., означает, что будет учитываться вклад в реакцию электронного газа на решетку только для электронов, находящихся на более глубоких уровнях. Их кинематика определяется кинематикой решетки, и основные уравнения двухкомпонентной модели имеют вид
^е = Qei,
э*. (12)
= Qie
где — тензор Коши, определяющий напряженное состояние в решетке металла с учетом закона Дюамеля-Неймана; р. = т. п. — массовая плотность числа частиц решетки. Влияние указанных выше электронов носит квазистатический характер, и система уравнений (12) может быть сведена к обычному виду:
Э V■
¥•(£1 - Ре!) = Qie + (13)
Здесь Е — единичный тензор. Принимая возмущения решетки и электронного газа достаточно малыми, из уравнения баланса числа свободных электронов получим после линеаризации
Пе =-«е0)Е1, (14)
т.к. = V.- Здесь е. — объемная деформация решетки; пе0) — исходное число свободных электронов.
Второе слагаемое в уравнении состояния (5) весьма мало, поэтому изменение давления Ре равно
5 2. 2 о
Ре = - ПеЕР =--Пе
(15)
Уравнение (13) отличается от известного присутствием члена с УРе, но его влияние сказывается толькочерез значения объемной деформации. При этом поправка носит характер малой величины порядка Е{ << 1
[15], где Е. — модуль Юнга решетки.
Таким образом, учет тепловых процессов, длительность которых существенно больше времени выравнивания температур в. и Фе, не оказывает принципиального влияния на характер акустических импульсов в проводнике.
В противном случае, когда Фе ^Ф., кинематика электронов на уровне Ферми может оказать влияние на количественное и качественное распределение акустических импульсов в решетке. Из основных уравнений двухтемпературной модели следует, что нагрев решетки осуществляется с задержкой т = р.с./ G, где с. — удель-
ная теплоемкость решетки; G — коэффициент, определяющий поток тепла от электронного газа к решетке [18]. В этом случае электроны на уровне Ферми могут иметь скорость больше скорости звука и, согласно эффекту Черенкова, отдают энергию решетке, переходя на более низкие энергетические уровни. Такая ситуация приводит к изменению числа электронов на величину
€ = —— /(Фе -Ф.)ехр(-(16)
Ретесе0 I Т )
где се — удельная теплоемкость электронного газа. Данное выражение получено из уравнения (1) в соответствии с представлением функции ^(Фе> в виде
^(Фе, $.) = G(Фe-Ф.)-Заметим, что (16) носит безусловно приближенный характер. В общем случае необходимо учитывать дивергентную часть, что приводит к сложному уравнению диффузионного типа.
Выражение (16) можно переписать, считая т весьма малым значением по сравнению с длительностью лазерного импульса: и От
С (Фе-Ф.). (17)
Ретесе
Обращая внимание на определение получим для изменения общей концентрации свободных электронов
пе =
От
■(Фе -Ф.) - пе0)а
_РетеСе
Изменение давления Р имеет вид
1
а
е «Ф
2От
■(Фе -Ф.) -пе0)а
(18)
(19)
_ 5РетеСе
После некоторых преобразований это выражение может быть сведено к виду
Ре = О (Фе -Ф.), (20)
где
О = От
РеСете«Ф0) '
аФ0) =
{квФе0)
Полученное значение совпадает с результатом работы [20], где приведено аналогичное выражение для давления, полученное с использованием результатов [21].
Асимптотика изменения акустических импульсов в решетке проводника позволяет получить значения растяжения волны деформации во времени. Тем не менее сравнение этих результатов с экспериментальными [4] дает расхождение по времени длительности импульсов более чем на два порядка. Формы и амплитуды импульсов, определяемых с учетом давления электронного газа (5), неплохо описывают напряженное состояние в тонких пленках [21, 22] при длительности лазерных импульсов, соизмеримых со временем выравнивания температур решетки и электронного газа.
Возвращаясь к исходным уравнениям баланса свободных и связанных электронов (10) и основываясь на
е
выводах работы [23], можно определить добавочное давление электронного газа на решетку, обусловленное переходом электронов из локализованного состояния в свободное. Рассмотрим во втором уравнении из системы (10) член с дивергенцией. При воздействии на металл лазерного импульса и образовании градиента температуры в нем генерируется электродвижущая сила Дембера [24]. Ее типичное значение составляет несколько микровольт на градус. Оценки показывают, что при таких полях перемещение связанных электронов за счет скорости дрейфа в течение времени релаксации будет значительно меньше других характерных параметров длины рассматриваемой задачи (длин распространения акустических и тепловых волн). Поэтому данное уравнение можно упростить и записать в виде
^ = -+ яф. - «(с)). (21)
дг т
Если в начальном состоянии концентрация локализованных электронов составляла то в последующие моменты времени она будет определяться выражением
Пе.(х, 0 = «ее -В[е"(К)/ТШх, 5)-в(С))(£ (22)
с
Уменьшение концентрации локализованных электронов при повышении температуры будет приводить к увеличению концентрации свободных электронов и увеличению их давления в соответствии с равенством (5) как за счет первого слагаемого, так и второго. При этом при температурах электронов Те < 2Ер/(п£в) основной вклад в давление будет давать первый член. Для реальных металлов это соотношение справедливо до температур Те = 10 К. Ограничиваясь этим диапазоном температур, изменение давления электронного газа за счет освобождения локализованных электронов будет определяться соотношением
Ре(х, г) = 2 £р«ев = 2 ЯФ(0, (23)
где г
ф (г) = | е"(г Vт («.(х, ^)
с
Зависимость данной функции от времени при т. = 10-6 с и длительности лазерного воздействия 10-8 с приведена на рис. 1.
Таким образом, изменение давления электронного газа в общем случае складывается из двух составляющих:
Ре = + 2£РВФ(г), (24)
первая из которых определяется в основном разностью температур электронного газа и решетки, а вторая — изменением числа свободных электронов. Первое слагаемое оказывает существенное влияние в течение времени близкого к существованию разности температур газа и решетки. Второе слагаемое существует в течение
Ф(0, Ю-12
Рис. 1. Зависимость давления от времени
времени, определяемого длительностью «прыжковой диффузии» — перехода электрона из локализованного состояния в свободное. Это время, как показывает решение задачи, соизмеримо с пробегом акустической волны по толщине образца. Сопоставление решения с результатами эксперимента [4] дает качественное совпадение (рис. 1). Это указывает на то, что при расчете напряженного состояния в проводниках при кратковременном лазерном воздействии необходимо учитывать дополнительное давление, связанное с явлением Мотта [23], т.е. использовать формулу (24).
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 15-19-00182).
Литература
1. Khafizov M., Pakarinen J., He L., Henderson H.B., Manuel M. V., Nelson A. T., Jaques B.J., Butt D.P., Hurley D.H. Subsurface imaging of grain microstructure using picosecond ultrasonics // Acta Mater. -2016. - V. 112. - P. 209-2015. - doi 10.1016/j.actamat.2016.04.003.
2. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие нагрева // ПММ. - 1952. -Т. XVI. - № 3. - C. 342-344.
3. Даниловская В.И. Температурное поле и температурные напряже-
ния, возникающие в упругом полупространстве вследствие потока лучистой энергии, падающей на границу полупространства // Изв. АН СССР. Мех. и машиностроение. - 1959. - № 3. - C. 129-132.
4. Вовненко Н.В., Зимин Б.А., Судъенков Ю.В. Экспериментальные исследования термоупругих напряжений в тепло- и нетеплопро-водящих твердых телах при субмикросекундных длительностях лазерного нагрева // ЖТФ. - 2011. - Т. 81. - № 6. - С. 57-62.
5. Sudenkov Yu.V., Zimin B.A. Effect of "the thermal piston" in a dynamic thermoelastic problem // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2015. -V. 85. - P. 781-786. - doi 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.01.119.
6. Гуревич С.Ю., Петров Ю.В. Лазерная генерация и электромагнит-
ная регистрация нормальных акустических волн в ферромагнитных металлах // ЖТФ. - 2016. - Т. 86. - № 3. - С. 114-117.
7. Vega-Flick A., Eliason J.K., Maznev A.A., Khanolkar A., Abi Gha-nem M., Boechler N., Alvarado-Gil J.J., Nelson K.A. Laser-induced transient grating setup with continuously tunable period // Rev. Sci. Instrum. - 2015. - V. 86. - P. 123101 (4 p). - doi 10.1103/PhysRevB. 94.214106.
8. Matsuda O., Larciprete M.C., Voti R.L., Wright O.B. Fundamentals of picosecond laser ultrasonics // Ultrasonics. - 2014. - V. 56. - P. 320.- doi 10.1016/j.ultras.2014.06.005.
9. Rublack T., Seifert G. Femtosecond laser delamination of thin transparent layers from semiconducting substrates // Opt. Mater. Express. -2011. - V. 1. - No. 4. - P. 543-550. - doi 10.1364/OME.1.000543.
10. Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. - 1956. - Т. 20. - № 3. - С. 411-417.
11. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватыж породах // ДАН. -1960. - Т. 132. - № 3. - С. 545-548.
12. Indeitsev D.A., Naumov V.N., Semenov B.N., Belyaev A.K. Thermo-elastic waves in a continuum with complex structure // ZAMM. -2008. - V. 89. - No. 4. - P. 279-287. - doi 10.1002/zamm.200800219.
13. Abou-Chacra R., Thouless D.J., Anderson P.W. A selfconsistent theory of localization // J. Phys. C. Solid State Phys. - 1973. - V. 6. - No. 10. -P. 1734-1752. - doi 10.1088/0022-3719/6/10/009.
14. Cutler M., Mott N.F. Observation of Anderson localization in an electron gas // Phys. Rev. - 1969. - V. 181. - No. 3. - P. 1336-1340. -doi 10.1103/PhysRev.181.1336.
15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика: Ч. 1. - М.: Наука, 1976.
16. Fabrikant I.I., Hotop H. On the validity of the Arrhenius equation for electron attachment rate coefficients // J. Chem. Phys. - 2008. -V. 128.- No. 12. - P. 308-321. - doi 0021-9606/2008/128_12_/ 124308/8/$23.00.
17. Tzou D.Y., Chen J.K., Beraun J.E. Recent development of ultrafast thermoelasticity // J. Thermal Stress. - 2005. - V. 28. - No. 6-7. -P. 563-594. - doi 10.1080/01495730590929359.
18. Al-Nimr M.A., Arpaci V.S. The thermal behavior ofthin metal films in the hyperbolic two-step model // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2000. - V. 43. -No. 11. - P. 2021-2028. - doi 10.1016/S0017-9310(99)00160-X.
19. Chowdhury I.H., Xu X. Heat transfer in femtosecond laser processing of metal // Numeric. Heat Transf. A. Applicat. - 2003. - V. 44. -No. 3. - P. 219-232. - doi 10.1080/10407780390210224.
20. Индейцев Д.А., Осипова Е.В. Двухтемпературная модель оптического возбуждения звука в проводниках // ДАН. - 2017. - Т. 473. -№ 2. - C. 154-1588. - doi 10.7868/S08695652 17080084.
21. Farmer D.J., Akimov A.V., Sharp J.S., Kent A.J. Quantized phonon modes in loaded polymer films // J. Appl. Phys. - 2013. - V. 113. -P. 033516. - doi 10.1063/1.4774689.
22. Poyser C.L., York W.B., Srikanthreddy D., Glavin B.A., Linnik T.L., Campion R.P., Akimov A.V., Kent A.J. Phonon spectroscopy with chirped shear and compressive acoustic pulses // Phys. Rev. Lett. - 2017. -V. 119. - P. 255502. - doi 10.1103/PhysRevLett.119. 255502.
23. Eisenbach A., Havdala T., Delahaye J., Grenet T., Amir A., Fryd-man A. Glassy dynamics in disordered electronic systems reveal striking thermal memory effects // Phys. Rev. Lett. - 2016. - V. 117. -No. 11.- P. 116601. - doi 10.1103/PhysRevLett. 117.139901.
24. Johnston M.B., Whittaker D.M., Corchia A., Davies A.G., Lin-fieldE.H. Simulation of terahertz generation at semiconductor surfaces // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 65. - No. 16. - P. 165301. - doi 10.1103/PhysRevB.65.165301.
Поступила в редакцию 15.11.2018 г., после доработки 15.11.2018 г., принята к публикации 22.11.2018 г.
Сведения об авторах
Морозов Никита Федорович, д.ф.-м.н., акад. РАН, проф., гнс ИПМаш РАН, зав. каф. СПбГУ, n.morozov@spbu.ru
Муратиков Кирилл Львович, д.ф.-м.н., внс ИПМаш РАН, зав. лаб. ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, klm.holo@mail.ioffe.ru
Индейцев Дмитрий Анатольевич, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф., научн. рук. ИПМаш РАН, проф. СПбГУ, dmitry.indeitsev@gmail.com
Вавилов Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., снс ИПМаш РАН, преп. ВКА им. А.Ф. Можайского, londr@yandex.ru
Семенов Борис Николаевич, к.ф.-м.н., доц., снс ИПМаш РАН, доц. СПбГУ, semenov@bs1892.spb.edu
