CC BY
17
УДК 621.9.048.6
О НОВОМ ПОДХОДЕ К РАЗРАБОТКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ФОРМИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ДЕТАЛИ
ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ОПЕРАЦИИ ВИБРАЦИОННОЙ ОЧИСТКИ
А.П. БАБИЧЕВ, Н.Т. МИШНЯКОВ, Д. ЭССОЛА
(Донской государственный технический университет)
Рассмотрены вопросы, связанные с математическим описанием модели формирования поверхности детали при вибрационной очистке. Приведены расчеты вероятности того, что определенная точка внутри конкретной площади была очищена, а также математическое ожидание случайной площади детали частицами обрабатывающей среды.
Ключевые слова: вибрационная обработка, деталь, обрабатываемая поверхность, математическая модель, поверхностный слой.
Введение. Вибрационная обработка (ВиО) охватывает широкий спектр технологических операций - отделочно-зачистные, моечные, упрочняющие, покрытия и др. [1].
В ряде работ рассмотрены математические модели формирования поверхности и поверхностного слоя при выполнении некоторых операций ВиО [2]. В излагаемой статье рассматривается вариант подготовки решения такой задачи на основе представления обрабатываемой поверхности в виде фиксированного круга, покрываемого случайными кругами.
Математическая модель формирования поверхности детали. Предположим, что имеется N кругов радиусом а и что их центры независимо и равномерно распределены по области, состоящей из всех точек плоскости, расстояния до которых от круга радиусом Я (назовем его А) не превышают а.
Случайное множество X определяется как общая часть круга А радиусом Я с теоретико-множественным объединением N кругов радиусом а. Площадь Т равна ж(Я + а)2, а площадь каждого круга С равна л а2. Вероятность того, что любая точка внутри А покрывается одним кругом С, равна:
Р =
ла
л
(Я + а)
Р =
а
(Я + а)
(1)
Вероятность того, что любая точка внутри А покрывается по крайней мере одним кругом С, равна
р(М(х,у)&X) = !-(!-р)м = 1-
(7? + а)
Математическое ожидание случайной величины площади покрытой хотя бы одним кругом С, равна
М(£) = [[ [М(х, у)еХ = Л
1-
г 9 л" Я2 +2Яа
о о
где И - область внутри круга радиусом Я .
(Я + а)
сЬсйу
1-
г 9 л" Я2 +2Яа
(Я + а)
лЯ2
Итак,
M(S) = 71
1-
f 9 R2+2Ra
(R + a)
R2
(2)
Для получения второго момента М^2) рассмотрим внутри А две точки: Рх и Р2.
Вероятность того, что ни одна из этих точек не окажется покрытой, равна (г), где q{r) есть доля Г, лежащая вне объединения кругов радиусом а с центрами в Рх и Р2. Поскольку Рх и Р2 лежат в круге А, эта доля зависит только от г (расстояния между Рх и Р2). Очевидно, 0<г<Я и пусть(р(г) - плотность вероятности случайной величины г, тогда
г\
M(S2) = j"qN(r)(p(r)dr.
(3)
Обозначим через &(г) площадь пересечения двух кругов радиусом а, центры которых разделяет расстояние г. Тогда
Г 0, если г >- 2а:
П(г)
12а (в-?,т в со?, в), если г<2а,
. ( г Л , . 1 _ Г1(г) ж Я2 + жа2 + Г1(г)
где 0 = агссоз1 — I, а ^(г) = 1-2/7+ -
То есть
<p(r,R) =
жК2
ж(К + а)2 ж(К + а)2
ж (к2 +а2) + Г2(г)
ч(г)= 1 , \2 ;
ж(Я + а)
жг2 +(я2 -г2}(ж-2а)~—(2Я2 + г2)sin2а
(4)
где г = 2Я cos а; а = arccos
2 Я
Выводы. Предложенная математическая модель процесса ВиО плоского круга Я частицами обрабатывающей среды в заданных допущениях позволяет вычислить вероятность того, что любая точка внутри А покрывается одним кругом С (формула (1)), а также определить среднее значение площади круга Я, покрытой хотя бы одним кругом С (формула (2)), и второй момент
обработанной площади круга Я (формулы (3), (4)) [2-4]. С учетом полученных результатов возможно определение продолжительности вибрационной обработки детали при заданных параметрах. Методика и уравнения расчета продолжительности обработки представлены в работах [5, 6].
Библиографический список
1. Бабичев А.П. Основы вибрационной технологии / А.П. Бабичев, И.А. Бабичев; изд. 2-е, перераб. и доп. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2008. - 694 с.
2. Кендаля М. Геометрические вероятности / М. Кендаля, П. Моран. - М. Наука, 1972.
3. Бабичев А.П. Определение среднего значения площади обработанной плоской детали при виброобработке в случае наиплотнейшей упаковки / А.П. Бабичев, Н.Т. Мишняков // Вопросы вибрационной технологи: межвуз. сб. науч. тр. - Ростов н/Д, 2003.
4. Бабичев А.П. К расчету некоторых параметров вибрационной обработки на основании теоретико-вероятностной модели процесса / А.П. Бабичев, Н.Т. Мишняков // Вопросы вибрационной технологии: межвуз. сб. науч. тр. - Ростов Н/Д, 1999.
5. Бабичев А.П. Решение вопросов продолжительности виброобработки по новой теоре-тико-вероятностной схеме процесса виброобработки / А.П. Бабичев, Н.Т. Мишняков // Отделоч-но-упрочняющая механическая обработка, качество поверхности и эксплуатационные свойства деталей машин: сб. статей / РИСХМ. - Ростов н/Д, 1978.
6. Бабичев А.П. Определение площади множества точек на плоскости, образованных ровно г кругами радиуса г (на примере вибрационной обработки) / А.П. Бабичев, Н.Т. Мишняков // Вопросы вибрационной технологии: межвуз. сб. науч. ст. - Ростов Н/Д: Издательский ДГТУ, 2007 - С.109-110.
Материал поступил в редакцию 20.02.2012 References
1. Babichev А.Р. Osnovy' vibracionnoj texnologii / A.P. Babichev, I.A. Babichev. - Izd. 2-e, pe-rerab. i dop. - Rostov n/D: Izdatel'skij centr DGTU, 2008. - 694 s. - In Russian.
2. Kendalya M. Geometricheskie veroyatnosti / M. Kendalya, P. Moran. - М.: Nauka, 1972. - In
Russian.
3. Babichev A.P. Opredelenie srednego znacheniya ploshhadi obrabotannoj ploskoj detali pri vi-broobrabotke v sluchae naiplotnejshej upakovki / A.P. Babichev, N.T. Mishnyakov // Voprosy' vibracionnoj texnologii: mezhvuz. sb. nauch. tr. - Rostov n/D, 2003. - In Russian.
4. Babichev A.P. К raschyotu nekotory'x parametrov vibracionnoj obrabotki na osnovanii teore-tiko-veroyatnostnoj modeli processa / A.P. Babichev, N.T. Mishnyakov // Voprosy' vibracionnoj texnologii: mezhvuz. sb. nauch. tr. - Rostov n/D, 1999. - In Russian.
5. Babichev A.P. Reshenie voprosov prodolzhitel'nosti vibroobrabotki po novoj teoretiko-veroyatnostnoj sxeme processa vibroobrabotki / A.P. Babichev, N.T. Mishnyakov // Otdelochno-uprochnyayushhaya mexanicheskaya obrabotka, kachestvo poverxnosti i e'kspluatacionny'e svojstva detalej mashin: sb. statej / RISXM. - Rostov n/D, 1978. - In Russian.
6. Babichev A.P. Opredelenie ploshhadi mnozhestva tochek na ploskosti, obrazovanny'x rovno t krugami radiusa r (na primere vibracionnoj obrabotki) / A.P. Babichev, N.T. Mishnyakov // Voprosy' vibracionnoj texnologii: mezhvuz. sb. nauch. st. - Rostov n/D: Izdatel'skij DGTU, 2007. - S.109-110. -In Russian.
ON NEW APPROACH TO DEVELOPING MATHEMATICAL MODEL OF WORKPIECE SURFACE FORMING UNDER VIBRATION CLEANING
A.P. BABICHEV, N.T. MISHNYAKOV, D. ESSOLA
(Don State Technical University)
The issues on the mathematical description of the workpiece surface forming pattern generation under the vibration cleaning are considered. The probability that the predetermined point within the specific area has been cleaned is calculated. The mathematical expectation of the workpiece random area by the particles of the processing medium is presented.
Keywords: vibration treatment, workpiece, processed surface, mathematical model, surface coating.
