CC BY
0
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. № 2. С. 25-30 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal
УДК 519.6
X. Д. Икрамов1 , В.H. Чугунов2
О НЕВЫРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЯХ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ XAX = AXA И ЦЕНТРАЛИЗАТОРЕ МАТРИЦЫ A*
Уравнением типа Янга-Вакстера называют матричное уравнение XAX = AXA. Мы рассматриваем это уравнение для матриц порядка 2 в предположении, что A — невырожденная матрица, и нас интересуют только невырожденные решения. С каждым из них по единому правилу можно связать матрицу, коммутирующую с A, иначе говоря, элемент из централизатора Ma этой матрицы. Нет никаких очевидных причин для того, чтобы разные решения Xi и X2 порождали один и тот же элемент из Ma- И тем не менее все решения (которых бесконечно много) дают одну и ту же матрицу из централизатора. Мы даем объяснение этого удивительного факта.
Ключевые слова: уравнение типа Япга-Вакстера, подобие матриц, централизатор матрицы, диа-гонализуемая матрица, жорданова клетка.
DOI: 10.55959/MSU/0137-0782-15-2024-47-2-25-30
1. Матричное уравнение в заголовке данной статьи называется в литературе по численным методам уравнением типа Янга-Бакстера. Объясняя причины, почему уравнение названо таким образом, авторы статьи [1] ссылаются на сходство его структуры со структурой классического уравнения Янга-Бакстера, известного в статистической механике с 1967 г.
Первоначальный вариант этой статьи был написан, когда авторы были знакомы только с публикациями [1,2]. Выбранный в них подход существенно использует понятие спектрального проектора и, как правило, приводит к вырожденным решениям X даже в том случае, если A — невырожденная матрица. Поэтому было решено описать невырожденные решения уравнения
XAX = AXA (1)
в предположении, что не вырождена и матрица A. Это и было сделано для n = 2.
В дальнейшем авторы выяснили, что в работах [3,4] все описанные нами решения были уже
n = 2 n
статьи не имела смысла, если бы не задача, поставленная в ней и не разрешенная в первоначальной версии. Мы обсуждаем эту задачу в п. 2 и решаем ее в двух последующих разделах.
2. Уравнение (1) имеет два очевидных решения: X = 0 и X = A. Сделав эту оговорку, будем
A
невырожденной матрицей.
AX
A ^ B = P-1AP, X ^ Y = P-1XP,
то (1) перейдет в уравнение того же типа
YBY = BYB.
Это замечание позволяет нам при обсуждении уравнений типа Янга-Бакстера ограничиться мат-A
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su
2 ИВМ РАН, ведущ. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: chugunov.vadimQgmail.com
* Работа второго автора поддержана Московским центром фундаментальной и прикладной математики в ИВМ РАН (соглашение № 075-15-2022-286 с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации).
Умножим обе части уравнения (1) слева на матрицу (ХА) 1. В результате уравнение принимает вид
(ХА)-1А(ХА) = X (2)
и означает, что матрица ХА трансформирует А подобием в матрицу X. Таким образом, всякое невырожденное решение X уравнения (1) (с невырожденной матрицей А) подобно А, и все эти решения имеют ту же, что у А, жорданову форму. Умножая (1) слева на (АХ)-1, получаем
(АХ )-1 X (АХ) = А, (3)
т.е. матрица АХ трансформирует подобием X в А.
А
матрицы XА, сопровождаемая трансформацией X посредством матрицы АХ, — возвращают нас А
(АХ )-1(ХА)-1 А(ХА)(АХ) = А,
или
(ХА2 X )-1А(ХА2Х) = А,
или
А(ХА2 X) = (ХА2Х )А. (4)
Напомним, что централизатором квадратной матрицы А называется множество Ма матриц, А
А
ного решения X этого уравнения матрица
Wx = ХА2Х (5)
А
Это утверждение есть словесная формулировка соотношения (4).
Структура централизатора произвольной матрицы А подробно описана в [5, гл. VIII, §2]. Не повторяя этого описания, напомним его фрагменты, представляющие интерес для дальнейшего. Пусть А приводится к своей жордановой форме 7 посредством матрицы и:
А = и7и-1.
Тогда всякая матрица ф из централизатора Ма может быть записана в виде
ф = или-1,
где К — некоторая матрица из централизатора Мз.
Если жорданова матрица 7 состоит из единственной жордановой клетки, то Мз — это алгебра треугольных теплицевых матриц. Тип этих матриц (верхние или нижние треугольные) зависит от типа жордановой клетки.
Если А — матрица с простым спектром, то 7 — диагональная матрица с попарно различными диагональными элементами, а Мз — алгебра диагональных матриц.
Опишем теперь решения уравнения (1) при п = 2. Рассмотрим раздельно случаи диагональной нескалярной матрицы
' А1 0
и жордановой клетки
а =(о а2 ь а' = а21 <6>
А= ( А А). <7>
В случае (6), в свою очередь, нужно различать основной вариант, в котором
в = (а? + а2 - А1А2)2 = о,
и частный случай В = 0. В основном варианте все решения даются формулой
Ai
в
А?
(8)
Л2 — Ai
где в и y связаны соотношением
_ л1л2 (Л1Л2 - а2 - а2) р1~ (\2-\l)2 • W
в
ства (8).
Согласно формуле (5), всякое решение уравнения XAX = AXA порождает элемент централизатора матрицы A. Нет никаких очевидных причин для того, чтобы разные решения Xi и X2 этого уравнения порождали один и тот же элемент централизатора. И тем не менее, подставляя в (5) любую матрицу семейства (8), получаем
(2 V _ ( -Л1Л2 0
ХАХ = ^ г -х\х.) ■ <10»
т.е. результат не зависит от X.
в=0
ресекающихся семейства решений. Действительно, в7 = 0 согласно (9), поэтому одно из семейств состоит из верхнетреугольных матриц, для которых 7 = 0, а другое — из матриц, транспонированных к матрицам первого семейства. Все эти решения порождают в централизаторе матрицы А
Наконец, в случае жордановой клетки (7) все решения описываются формулой
2\ — а -А2 а
*=ГА72а ? )• (п)
XAX = ( А4 2А34 ) , (12)
В роли параметра здесь выступает величина а. Подставляя в (5) матрицу (11), имеем
-А4 2А3 0 -А4
т.е. зависимость от параметра исчезает.
А
новой клетки.
3. Наш подход к феномену постоянства произведения ХА2Х мы разъясним на примере семейства (8). Тот же подход применяется и для других семейств решений.
Начнем с общеизвестного факта. Пусть /(ж) — функция, дифференцируемая на интервале (а, Ь) вещественной оси. Если производная /'(ж) равна нулю всюду на (а, Ь), то /(ж) есть константа. Это утверждение можно рассматривать как тривиальное следствие формулы конечных приращений.
Наш подход фактически состоит в использовании многомерного аналога формулы конечных приращений. В пространстве п х п-матриц Мп рассматривается одномерное многообразие (8), управляемое параметром в- Элемент 7 следует рассматривать как функцию от него:
с А? А2 (А1А2 - А2 - А2)
гу — где с =
в' (А2 - Ai)2
Для матриц X нашего многообразия положим
Y = Х'в =
0 1
__С_ П
/32 U
(13)
В пространстве Mn определим квадратичный оператор
F (X) = XA2 X.
Его производная Фреше равна
F'(X) = X'(A2 X) + (XA2 )X',
откуда следует, что для матриц семейства (8)
F' (X) = Y (A2X) + (XA2 )Y.
Покажем, что F'(X) = 0 для всех матриц этого семейства. Это будет означать, что F(X) = = const на семействе (8).
Обозначив A2X и XA2 соответственно через N и M, перепишем желаемое соотношение F'(X) = 0 в виде
MY + YN = 0. (14)
Тем самым матрица Y должна при всех в быть решением линейного и однородного матричного уравнения (14). Проверим это.
Будем рассматривать (14) как однородную систему линейных уравнений относительно элементов yii, yi2, У21, У22 матрицы Y. Принимая в (10) порядок обхода "по строкам", получаем для матрицы K этой системы форму кронекеровой суммы
K = M ® /2 + /2 ® Nт =
Шц/2 mi2 /2 m.21/2 m-22 /2
ИN0T №т).
Учитывая, что
заключаем, что
M=
\2 \2
Л?Л|_
Л2—Ai ^ 2
Л2 —Ai
(
K=
ел?
7Л2
\ / Л2Л2 12
,N = А2—Ai
/ V 7л2
тл2 вл2 0 \
0 0 вл2
0 0 7л2
7Л? вл? * )
вл?
Л2 Л2
12 Л2—Ai
Звездочками помечены элементы, не нужные для дальнейшего.
Чтобы подставить матрицу У в нашу систему, ее нужно "вытянуть" в четырехмерный вектор
Y=
/ о \
1
__с_
V 0 )
Теперь, наконец, мы можем показать, что
КуесУ = 0.
В самом деле,
c c Л2
(KvecY)i = 7Л2 - /?Л2 • = Л2(7 - -) = -|(/?7 - с) = 0.
Таким же образом проверяется, что (КуесУ)4 = 0. Соотношения (КуесУ)2 = 0 и (КуесУ)3 = 0 очевидны.
4. Проведем аналогичную проверку для случая жордановой клетки (7). В соответствующем
а
у = Х' = (
0 1
Для вычисления коэффициентов уравнения (14) нам понадобится матрица
А2 =
Коэффициенты М и N равны
,2 / А2 2А
0 А2 .
М = ХА2 =
2 =( А2(2А - а) (2А - а)2 + А2 -А4 -А2(2А - а)
N = А2Х =
-аА2 (А - а)2 + 2аА
-А4 аА2
Отметим, что, будучи подобными, матрицы М и N имеют один и тот же след, равный нулю, и один и тот же определитель А6.
Теперь мы преобразуем уравнение (14) в систему линейных уравнений. В этом преобразовании нам будут нужны матрицы
ШП/2 + Nт = ( а 2 + а2
2А2(А - а) -А4
а2 2А3
Ш22^2 + NТ = С их помощью строим матрицу системы
А2 + а
-2А3 -А4
2 2А2 (а - А)
К = М ® /2 + /2 ® Nт =
Шц/2 + NТ Ш12/2 Ш21/2 Ш22/2 + NТ
/ 2А2(А - а) -А4 (2А - а)2 + А2
0
\
V
А2 + а2 -А4 0
2А3 0 -А4
0
-2А3
А2 + а2
(2А - а)2 + А2
-А4
-2А2(А - а) )
Матрицу У, "вытянутую" в четырехмерный вектор
/ -1 \
К=
2 (а-X)
а*
V
/
подставляем в систему КуесУ = 0. Получаем
(КуесУ)? = -2А3 + 2аА2 - 2аА2 + 2А3 = 0, (КуесУ)2 = -А2 - а2 + 4аА - 4А2 + 4А2 - 4аА + а2 + А2 = 0, (КуесУ)3 = А4 - А4 = 0, (^тесУ)4 = -2аА2 + 2А3 - 2А3 + 2аА2 = 0. Таким образом, и в случае жордановой клетки (7) соотношение КуесУ = 0 выполняется.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ding J., Rhee N.H. Spectral solutions of the Yang-Baxter matrix equation //J. Math. Anal. Appl. 2013. 402. P. 567-573.
2. Ding J., Rhee N., Zhang C. Further solutions of a Yang-Baxter-like matrix equation // East Asian J. Applied Math. 2013. 3. P. 352-362.
3. Chen D., Yon g X. Finding solutions to the Yang-Baxter-like matrix equation for diagonalizable coefficient matrix // Symmetry. 2022. 14. P. 1577-1582.
4. Mukherjee H., Askar A.M. Solutions to the matrix Yang-Baxter equation // arXiv:2209.04605v2 [math.RA]. 11 Feb 2023.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 12.04.23 Одобрена после рецензирования 15.12.23 Принята к публикации 15.12.23
