CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XVI
198 5
М 6
УДК 533.6.013.2.011.32 : 629.7.024.36
О НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПОПЕРЕЧНО ОБТЕКАЕМОМ ЦИЛИНДРЕ, СОВЕРШАЮЩЕМ ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
М. А. Кравцова, А. И. Рубан
Рассмотрена задача о нестационарном обтекании цилиндра, совершающего крутильные колебания в потоке вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса. Решение получено при помощи неявной схемы численного метода [1].
Приводятся результаты расчетов, указывающие на возможность затягивания отрыва потока в зависимости от амплитуды и частоты колебаний цилиндра.
1. Постановка задачи. Рассмотрим двумерное нестационарное вязкое течение несжимаемой жидкости около цилиндра, совершающего гармонические крутильные колебания с амплитудой а и частотой <в. Система координат выбрана таким образом, что ось х направлена вдоль тела, ось у — перпендикулярно телу, начало координат совпадает с точкой торможения (рис. 1). Через и оо, р®, и®, обозначим скорость, плотность
и вязкость набегающего потока соответственно. В предположении очень малой вязкости в рассматриваемом течении существуют две области: внутренняя и внешняя. Внутренняя область представляет собой пограничный слой вблизи поверхности тела. Введем для пограничного слоя безразмерные переменные с помощью соотношений:
и'^и^и, V' = /Г1'2 и^, р' =рх + ри1,р,
£
х' = Ьх, /=/? 1/2Ьу, і
и
Число Рейнольдса определяется соотношением Я=
Р^оо £
где і — характерная
длина, за которую принимается радиус цилиндра. Тогда уравнения пограничного слоя в безразмерных переменных записываются в виде:
ди фи ди Лр д2 и
+идх +г)Ту==~~£с + ~д^’ (1Л)
ди ди
^ + ^=°- (Ь2>
8—2264
99
Во второй (внешней) области вне- пограничного слоя течение невязкое и опи-сывается-уравнепиями. Эйлера,,, .Известно, .что распределение скорости около цилиндра при потенциальном течении определяемся формулой V(х) =2эт х. Следуя Блазиусу, Принимаем, что тело приведено в движение внезапно, при этом оно достигает постоянной скорости мгновенно, т. е. и(х, у, 1) = и(х) при />0. Тогда начальные условия для уравнений (1.1) — (1.2) имеют вид:
При постановке граничных условий учитывалось, что на цилиндре выполняется условие прилипания
а значение! скорости на внешней границе пограничного слоя определяется из уравнений Эйлера: ’ .
Таким образом, задача состоит в отыскании решения системы уравнений (1.1) — (1.2) с начальным условием (1.3) и краевыми условиями (1.4) — (1.5).
2. Численный метод решения. Введем равномерную сетку {ti, xk, yj} и обозначим значения искомых функций в узлах этой сетки через k, v‘- k ■ Максимальные значения j, k соответственно равны J и К- Распределение и и v на первом временном слое считается известным из начальных условий (1.3).
д2 и ди
Для ~gyi используется аппроксимация центральной разностью, представляется левосторонней разностью при и>0 и правосторонней при и<0. В данной работе используется неявная схема для уравнения импульсов (1.1). При этом ди д2 и
производные и -jjyf в рассматриваемом уравнении берутся на новом времен-нбм слое ^_|_j аналогично [1]. В итоге для каждой прямой k = const получается
и (х, у, 0) = 2 sin х.
(1.3)
и (х, 0, t) = a sin a>t,
(1.4)
и (х, ос, t) —■ 2 sin х.
Отсюда же определяется продольная составляющая градиента давления
(1.5)
dp
— = — 2 sin 2х.
dx
(2.1)
и > 0, м < 0,
где Ах, Ау и АЇ—шаги по соответствующим координатам и времени.
Решение (2.1) можно получить методом прогонки с краевыми условиями
После определения значения находятся из уравнения неразрывности (1.2), записанного в конечных разностях:-
ЛУ ! .Л+1
* = 1, 2,. ... К - 1;
у= 1, 2,------7-1;
*'1.+* = 0> А=1. 2........................К-
Анализ устойчивости такой схемы проведен в [1].
3. Численные результаты. Известно, что отрыв потока от твердой поверхности сопровождается появлением особенностей в распределении газодинамических функций внутри пограничного слоя. Критерием отрыва потока можно, например, считать обращение вертикальной составляющей скорости V в бесконечность в окрестности внешней границы пограничного слоя. На рис. 2 представлены результаты расчетов обтекания цилиндра, колеблющегося с различными амплитудами (а=1,0; а=0,5; а=0). По оси ординат отложено время, в течение которого обтекание можно считать безотрывным; по оси абсцисс — частоты колебаний цилиндра при выбранных значениях амплитуды. Для течения без колебания цилиндра отрыв появляется при ^«*1,45 (в работе [2] £«1,4).
Проведенные расчеты показали, что можно ускорять или затягивать отрыв потока в зависимости от частоты колебаний. Приведенные на графике результаты расчетов указывают на существование некоторой резонансной частоты, при которой отрыв значительно затягивается. Установление факта затягивания отрыва подтвердило экспериментальные данные [3], где приведены результаты исследования обтекания цилиндра при частоте м=1Д оказавшейся резонансной для колебаний с амплитудой о=2,3.
В данной работе расчеты проводились на равномерной сетке с шагом Дх=0,0314, Дг/=0,1, =0,01. Для цилиндра, колеблющегося с амплитудой а> 1, расчеты уда-
валось проводить лишь до некоторого значения времени при котором отрыв еще не возникал, а схема начинала проявлять некоторую неустойчивость. На рис. 3 приведено распределение продольной составляющей скорости и вдоль поверхности цилиндра.
о
+ + +
+ *
О
о а =1,0 + 0,5
— О
1,5 + +
-
+
о
,30 0,5
1,0 1,5 2,0 1,5 3,0 со
Рис. 2
г а=1,0;ш=0,5,1ф = !,57
Рис. 3
101
Кривые построены для времени близкого к времени отрыва потока; нумерация
кривых соответствует движению от внешней границы пограничного слоя к поверхности
„ „ да
тела. На кривых заметно возрастание продольной составляющей градиента скорости
при приближении к точке отрыва потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рубан А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 5.
2. L. L. van Dommelen, Shen S. F. The spontaneous generation of the singularity in a separating laminar boundary layer. — Journal of Computational Physics, vol. 38, N 2, 1980.
3. T a n e d a S. Visual study of unsteady separated flows around bodies.— Prog. Aerospace Sci. — 1977, vol. 17, N 4.
Рукопись поступила 14/V 1984 г.
