О НЕСТАНДАРТНЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЯХ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

УДК 519.688

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.1.1

О НЕСТАНДАРТНЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЯХ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

© А. М. Болотнов*, С. Ю. Бортник

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 89.

*ЕтаИ: BolotnovAM@mail.ru

Анализируются нестандартные интервальные операции вычитания и деления. Дополнены правила нестандартного интервального деления. Предложенный алгоритм позволяет получать интервалы меньшей ширины по сравнению с классической интервальной арифметикой; включена возможность деления на интервал, содержащий ноль. Алгоритм протестирован для всех вариантов взаимного расположения интервалов относительно нуля. Установлено, что на основе нестандартных операций, решения систем с трех-диагональной матрицей имеют ширину интервального решения вдвое меньшую, чем решения, основанные на классических интервальных операциях. Решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений с заполненной матрицей методом Гаусса приводят к интервальным решениям, в которых средняя ширина интервалов меньше в 10 и более раз, чем в классических операциях.

Ключевые слова: интервальные вычисления, нестандартные операции вычитания и деления интервалов, интервальные системы линейных алгебраических уравнений.

Введение

При решении прикладных задач для учета неопределенности в исходных параметрах применяют различные подходы. Интервальный анализ является одним из наиболее изученных и теоретически обоснованных методов. Интервальные вычисления дают возможность учитывать в решениях задач погрешности входных данных, ошибки дискретизации численных методов, а также ошибки машинного округления действительных чисел. При этом вместо арифметических операций и функций на множестве вещественных чисел используют их интервальные аналоги [1-2]. В монографии [3] приведены результаты исследований интервальных алгебраических задач и их численных решений.

Арифметические операции в классической интервальной арифметике

В классической интервальной арифметике (КИА) под интервалом понимают множество действительных чисел из отрезка , где . При этом a1, a2 называют соответственно левым и правым концами интервала. Важнейшей характеристикой интервала является его ширина а2 — аь которая характеризует степень неопределенности величины A. В КИА основные арифметические операции (+, — , х ,/) над интервалами определяются следующими правилами:

Л + В = К+ Ь1,а2+ Ь2 ] ; (1)

Л — В = ^ — Ь2, а 2 —bj ; (2)

Л х В = |тт(а¡Ь,}, тах{а ¡Ь,}] ; i,/ = 1,2 ; (3) Л/В = [тт{а ¡/Ь;},тах{а ¡/Ь,}] ; i J = 1, 2; (4)

Алгебраические свойства интервальных операций и функций в рамках КИА, а также их теоретические обоснования опубликованы в [1-3]. Результаты применения интервальных вычислений при решении прикладных вычислительных задач приведены, например, в [4-5].

Одна из наиболее актуальных проблем, возникающая при решении прикладных задач с использованием интервальных вычислений - ширина интервального решения, которая может достигать в некоторых случаях недопустимо больших значений [6-7]. Причиной этого, в частности, является рост ширины результирующего интервала не только при выполнении операций сложения и умножения, но и в операциях вычитания и деления.

Нестандартные интервальные операции вычитания и деления

В [2] со ссылкой на работы С. М. Маркова [8-9] приведены так называемые нестандартные интервальные операции вычитания "Q" и деления ":". Нестандартное вычитание интервалов осуществляется по правилу:

i40ß = [min — , а2 — fo2}, maxf^ — , а 2 — Ь2 }] (5) Далее для краткости после каждого интервала будем указывать значение его ширины. Сравним на простейшем примере результаты вычитания интервалов по формуле КИА (2) и по правилу нестандартного вычитания (5).

Пусть А = [ 1 ,2 ] 1 ; В = [ 3 ,5 ] 2 . Тогда:

А — А = [— 1,1] 2 ; А © А = [0, 0] 0

А —В = [—4,— 1] 3; А ©В = [—3, — 2] 1;

А + В —А= [2 ,5 ] 4 В;

А + В©А = [3,5] 2 = В.

Из приведенного примера видно, что применение нестандартного вычитания приводит к интервалам значительно меньшей ширины по сравнению с результатами вычитания по правилам КИА. Другие, не менее важные, отличительные свойства нестандартной операции вычитания изложены в [8].

С нестандартной операцией деления ситуация не столь очевидная. В работе [2] и в ряде публикаций других авторов, со ссылкой на работы [8-9], приведено следующее правило нестандартного деления интервалов:

А: В =

[minb Ц,тахЬ ¡f дв > о

L 1г>1 ь2) (.г>! ь2)\

[minb Ц,тахЬ ¡f дв < о

L (ь2 b¡_) (ь2 bí)\

(l/bt) х /lifO еА, В > 0 (1/Ь2)ХАИ0ЕА,В < 0

(6)

При детальном анализе и тестировании соотношений (6) возникают ряд вопросов. Во-первых, по какому правилу выполняется операция деления, если интервалы А и В расположены по разные стороны от нуля? Во-вторых, отсутствуют соотношения для случаев, когда 0 6 В. Отсюда следует, что здесь, как и в КИА, операция деления на интервал, содержащий ноль, не определена. Вместе с тем в расширенной интервальной арифметике [10-12] подобная операция допускается при условии исключения точки "0" из множества точек интервала В. При решении прикладных задач возможность деления на интервал, содержащий "0", расширяет область применения интервальных методов.

В данном сообщении предлагается расширить правила нестандартного деления; для этого рассматриваются 9 вариантов (у1, ..., у9) взаимного расположения интервалов А и В относительно точки "0": VI: А > 0,В > 0 ; У2: А < 0,В < 0; Уз: А > 0,В < 0;

А < 0, В > 0 ; Уз: 0 6 А, В > 0; у6: 0 6 А, В < 0;

Уу: А > 0, 0 6 В; У8: А < 0, 0 6 В; У9: 0 6 А, 0 6 В. (7) Отметим, что если в соотношениях (6) условие "1 { А ,В > 0 ' ' заменить на условие "1 £ А х В > 0 ' ' , то это совпадет с предложенными вариантами У1 и У2; а если в правиле (6) вместо условия "1 { А , В <0 " поставить условие " ", то это совпадет с

вариантами Уз и У4. Кроме этого, в предложенном списке условий (7) добавлены варианты у7 - у9, отсутствующие в правиле Маркова (6).

Введем символ о 6 {/,: , 0}, где символ "/" будем использовать для операции деления по правилу КИА (4); символ ":" - для операции деления по правилу Маркова (6); и, наконец, символ "0" - для операции деления по нижеприведенному правилу:

Л0В =

[min{a1/b1, a2/b2}, таx{a1/b1, a2/b2}]; ; v2, [mm{a1/b2,a2/b1},max{a1/b2,a2/b1}]; v3;v4, [ min i d, /h2, a2/b2], rmixíci] /h2, a2/b2}]; [min[a1/b1, a2/b1], max{a1/b1, a2/b1}]; v6, [mm{a1/b1,a2/b2},max{a1/b1,a2/b2}]; v-; ич'/1) > w(B) [тт{а1/Ь1,а1/Ь2},тах{а1/Ь1,а1/Ь2}]; vr> w(A) < w(B) [mm{a1/b1,a2/b2},max{a1/b1,a2/b2}]; i;¡,; w(Л) > w(B) [mm{a2/b1,a2/b2},max{a2/b1,a2/b2}]; vQ; w(A) < w(B) [max{a2/b1,a2/b2},mm{a2/b1,a2/b2}]; v9; w(Л) > w(B) [max{a2/b1,a1/b1},mm{a2/b1,a1/b1}]; v9; w(A) < w(B).

(8)

Тестирование интервальных операций деления

Проведены тестовые расчеты для сравнительного анализа результатов деления интервалов A и B с шириной, равной 2 и 3, по трем, приведенным выше правилам. На рис. 1 представлена схема расположения интервалов в каждом из девяти вариантов (7).

Рис. 1. Схема расположения интервалов в тестовых расчетах.

При составлении теста учтены все комбинации взаимного расположения двух интервалов относительно точки "0", включая случаи деления на интервал, содержащий ноль (варианты 5-9).

В табл. представлены результаты численных расчетов.

Результаты, приведенные в табл., подтверждают, что:

^ только операция деления по правилу (8) приводит к адекватным численным результатам во всех девяти вариантах взаимного расположения интервалов, включая случаи деления на интервал, содержащий ноль;

^ лишь для первого варианта результаты, полученные при выполнении операций деления по правилам (6) и (8), абсолютно совпадают;

^ ширина интервалов, полученных в результате деления по схеме (8), во всех случаях имеет минимальное значение;

^ результаты деления на интервалы, содержащие ноль, по предложенному правилу (8), подтверждают возможность применения данного алгоритма в численных решениях прикладных задач.

Таблица

Результаты тестирования операции деления интервалов

А, В

А ш А

В ш В

А ш В

В ш А

[0.5, 2]1.5 [1.5, 3.5]2 [0.25, 4]3.75 [0.43, 2.33]1.9 [0.14, 1.33]1.19 [0.75, 7]6.25 [1, 1]0 [1, 1]0 [0.33, 0.57]0.24 [1.75, 3]1.25 [1, 1]0 [1, 1]0 [0.33, 0.57]0.24 [1.75, 3]1.25

[-2, -0.5] 1.5 [-3.5, -1.5]2 [0.25, 4]3.75 [0.43, 2.33]1.9 [0.14, 1.33]1.19 [0.75, 7]6.25 [0.25, 4]3.75 [0.43, 2.33]1.9 [0.14, 1.33]1.19 [0.75, 7]6.25 [1, 1]0 [1, 1]0 [0.33, 0.57]0.24 [1.75, 3]1.25

[0.5, 2]1.5 [-3.5, -1.5]2 [-1 33 - [0.25, 4]3.75 [0.43, 2.33]1.9 о[-1|]11 9 [-7, -0.75]6.25 [1, 1]0 [0.43, 2.33]1.9 — — [1, 1]0 [1, 1]0 0[303]50?'24 [-3, -1.75]1.25

[-2, -0.5] 1.5 [1.5, 3.5]2 [-1 33 - [0.25, 4]3.75 [0.43, 2.33]1.9 014]11 - [-7, -0.75]6.25 [0.25, 4]3.75 [1, 1]0 — — [1, 1]0 [1, 1]0 озт^ [-3, -1.75]1.25

[-0.5, 1]1.5 [0.5, 2.5]2 — [0.2, 5]4.8 [-1, 2]3 — — [1, 1]0 [-1, 2]3 — [1, 1]0 [1, 1]0 [-0.2, 0.4]0.6 [-1, 2.5]3.5

[-1, 0.5]1.5 [-2.5, -0.5]2 — [0.2, 5]4.8 [-1, 2]3 — — [0.2, 5]4.8 [-1, 2]3 — [1, 1]0 [1, 1]0 [-0.2, 0.4]0.6 [-1, 2.5]3.5

[15, 2,5] 1 [-1.5, 0.5]2 [0.6, 1.67] 1.07 — — [-1, 0.33]1.33 [1, 1]0 — — [-1, 0.33]1.33 [1, 1]0 [1, 1]0 [-1, 3]4 [-0.6, 0.2]0.8

[-3, -1.5]1.5 [-0.5, 1,5]2 [0.5, 2]1.5 — — [-1, 0.33]1.33 [0.5, 2]1.5 — — [-1, 0.33]1.33 [1, 1]0 [1, 1]0 [-1, 3]4 [-0.5, 0.17]0.67

[-0.5, 1]1.5 [-1.5, 0.5]2 [1, 1]0 [1, 1]0 [-0.67, 0.33]1 [-1, 0.5] 1.5

Примеры применения нестандартных операций

В качестве иллюстрации приведем два примера, связанных с решениями систем линейных алгебраических уравнений.

Пример 1. Решение системы линейных алгебраических уравнений (Ы = 100 000) с трехдиаго-нальной матрицей методом прогонки. Программная реализация алгоритма на основе классических интервальных операций приводит к вектору решения, элементы которого имеют среднее значение ширины интервала, равное 1.6*10-5. При тех же входных параметрах алгоритм на основе нестандартных операций вычитания (5) и деления (8) приводит к интервальному вектору решения, средняя ширина элементов которого равна 8*10-6. Другими словами, применение нестандартных операций вычитания и

деления позволяет получить вектор решения с шириной, вдвое меньшей, чем с операциями классической интервальной арифметики.

Пример 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений (Ы = 800) с плотно заполненной матрицей методом исключения Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу. Программная реализация алгоритма на основе классических интервальных операций приводит к вектору решения, элементы которого имеют ширину около 0.16. При тех же входных параметрах алгоритм на основе нестандартных операций вычитания и деления приводит к интервальному вектору решения со средней шириной элементов около 0.013. Таким образом, в данном примере ширина интервального решения уменьшилась более чем в 10 раз.

Выводы

Изменения и дополнения правил интервального деления, предложенные в статье, дают возможность получения решений прикладных задач с меньшей шириной результирующих интервалов по сравнению как с классическими, так и с нестандартными операциями С. М. Маркова. Кроме того, возможность деления на интервалы, содержащие ноль, расширяет круг реализации прикладных алгоритмов на основе интервальных вычислений. Указанное свойство протестировано на простейших комбинациях интервалов, а также подтверждается результатами численного решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computation. New York: Aca-demic Press, 1983. 356 р.

2. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 218 с.

3. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: XYZ, 2021. 650 с.

4. Крюков А. В., Литвинцев А. И. Интервальный анализ электромагнитных полей, создаваемых высоковольтными линиями электропередачи // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. №1(45). С. 89-97.

5. Болотнов А. М., Хисаметдинов Ф. З. Определение сопротивления изоляции трубопровода по результатам измерений разности потенциалов «грунт-труба» // Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №»1. С. 20-24.

6. Болотнов А. М., Хисаметдинов Ф. З. Численные исследования катодной защиты трубопроводов с учетом интервальной неопределенности в исходных данных // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2018. Т. 22. №3(81). С. 105-113.

7. Жуковская О. А. Интервальные вычисления в задачах оценки экспертных решений // Управляющие системы и машины. 2012. №1(237). С. 13-20.

8. Markov S. M. A non-standard substraction of intervals // Serdica, 1977. Vol. 3. P. 359-370.

9. Markov S. Extended Interval Arithmetic Involving Infinite Intervals // Mathematica Balkanika. New Series. 1992. 6. P. 269-304.

10. Kahan W. A more complete interval arithmetic // Lecture notes for a summer course. University of Toronto. Canada, 1968.

11. Laveuve S. E. Definition einer Kahan-Arithmetic und ihre Implementierung // Interval Mathematics / Nickel K., ed. Berlin: Springer Verlag, 1975. P. 236-245.

12. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval Space I(R) // Computing Suppl. 1980. 2. P. 33-49.

Поступила в редакцию 09.11.2021 г.

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.1.1

ABOUT NON-STANDARD INTERVAL OPERATIONS OF SUBTRACTION AND DIVISION

© A. M. Bolotnov*, S. Yu. Bortnik

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 89.

*Email: bolotnovam@mail.ru

The authors of the article analyzed arithmetic interval operations. Non-standard interval operations of subtraction and division were considered. The rules of operation of nonstandard interval division have been changed and supplemented. The program for testing interval division operations was developed in accordance with three rules. The division rule proposed by the authors makes it possible to obtain intervals of smaller width compared to the rule of classical interval arithmetic. In addition, the proposed rule includes the possibility of dividing by an interval containing zero. The algorithm of non-standard division was tested for all possible variants of the mutual arrangement of two intervals relative to zero. A comparative analysis of numerical solutions of interval systems of linear algebraic equations using interval operations implemented according to various rules was carried out. Algorithms for implementing non-standard operations were tested on problems of numerical solution of interval systems of linear algebraic equations. It is established that on the basis of non-standard operations, numerical solutions of interval systems of linear algebraic equations with a tridiagonal matrix have an interval solution width half as wide as similar solutions based on classical interval arithmetic operations. Similar solutions of interval systems of linear algebraic equations with a complete matrix by the Gauss exclusion method lead to interval solutions in which the average width of the intervals is less than 10 or more times than in classical operations.

Keywords: interval calculations, non-standard operations of subtraction and division of intervals, interval systems of linear algebraic equations.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computation. New York: Aca-demic Press, 1983.

2. Kalmykov S. A., Shokin Yu. I., Yuldashev Z. Kh. Metody interval'nogo analiza [The methods of interval analysis]. Novosibirsk: Nauka, 1986.

3. Sharyi S. P. Konechnomernyi interval'nyi analiz [Finite-dimensional interval analysis]. Novosibirsk: XYZ, 2021.

4. Kryukov A. V., Litvintsev A. I. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie. 2015. No. 1(45). Pp. 89-97.

5. Bolotnov A. M., Khisametdinov F. Z. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2017. Vol. 22. No. 1. Pp. 20-24.

6. Bolotnov A. M., Khisametdinov F. Z. Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta. 2018. Vol. 22. No. 3(81). Pp. 105-113.

7. Zhukovskaya O. A. Upravlyayushchie sistemy i mashiny. 2012. No. 1(237). Pp. 13-20.

8. Markov S. M. Serdica, 1977. Vol. 3. Pp. 359-370.

9. Markov S. Mathematica Balkanika. New Series. 1992. 6. Pp. 269-304.

10. Kahan W. Lecture notes for a summer course. University of Toronto. Canada, 1968.

11. Laveuve S. E. Interval Mathematics / Nickel K., ed. Berlin: Springer Verlag, 1975. Pp. 236-245.

12. Kaucher E. Computing Suppl. 1980. 2. Pp. 33-49.

Received 09.11.2021.