CC BY
33
О несимметричном режиме разрушения массива горных пород в окрестности полости
Г.Н. Хан
Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия
Предложена дискретная модель горных пород. На ее основе с применением численного метода дискретных элементов проведены расчеты по деформированному состоянию массива горных пород в окрестности разрушающейся полости. Показано, что процесс разрушения является несимметричным.
Asymmetric failure of the rock mass near a hollow
G.N. Khan
Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630091, Russia
A discrete model of rock is put forward. Using this model and the numerical discrete element method the strain state of the rock mass near a collapsing hollow is calculated. The failure process is shown to be asymmetric.
1. Введение
Известно [1, 2], что горные породы имеют глубокие аналогии с сыпучими средами. Этот факт широко используется при моделировании процессов сдвижения горных пород, в теоретических расчетах. Естественно использовать его и для построения самих моделей горной породы. Данный подход является оправданным, так как структура кристаллических горных пород представляет собой частицы различной крупности, скрепленные связующим веществом. В работах [3, 4] приводятся математические модели таких сред в двумерной постановке, когда число параметров минимально: среда однородна, микровращение частиц отсутствует и ориентация элементов трения определяется только направлением главных напряжений. Для приведенного простейшего случая получена замкнутая система уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние среды. Для более сложных ситуаций записать такую систему уравнений становится проблематичным. В этом случае предлагается построить дискретную модель горной породы, состоящей из отдельных частиц, взаимодействующих между собой на контактах посредством сил
отталкивания, трения, сцепления, записать уравнения движения частиц и с применением численного метода дискретных элементов [5] определить напряженно-деформированное состояние среды.
В работе [6] показано, что при течении сыпучего материала в сходящихся осесимметричных каналах его деформирование сопровождается локализацией сдвигов на дискретных поверхностях скольжения, разделением массива на блоки и, как следствие, несимметрией режима течения. Такой же несимметричный процесс деформирования наблюдается и в экспериментах, моделирующих процесс разрушения горных выработок [4]. Покажем, что численное моделирование разрушения массива в окрестности полости также приводит к его несимметричному режиму.
2. Дискретная модель горных пород
Предлагаемая модель горных пород является модификацией моделей, приведенных в работах [7, 8]. Горная порода представляет собой массив, состоящий из твердых частиц различной крупности, составляющих «скелет» породы и скрепленных между собой связующим
в Хан Г.Н., 2008
веществом. На рис. 1 приведен фрагмент такой породы и соответствующая ему дискретная модель. В модели частицы неправильной формы заменяются шарами, связующее вещество также заменяется частицей шаровой формы (назовем ее связующей частицей, чтобы отличать ее от частиц «скелета»). Каждый i-й шар имеет один геометрический и пять механических параметров: r, р;, фг-, , E, Ct — радиус, плотность, угол контактно-
го трения, коэффициент Пуассона, модуль Юнга и сцепление соответственно. В модели шары считаются нераз-рушаемыми, а коэффициент Пуассона принимается одинаковым для всех шаров и равным р.
В результате действия внешних и гравитационных сил между шарами могут возникнуть три типа контактных сил — отталкивания, трения и сцепления, при этом между частицами — первые два типа сил, между частицей и связующей частицей — первый и третий. Введем силы отталкивания, трения и сцепления между шарами следующим образом. Площадки контактов между шарами стянем в точки на их поверхностях так, что в начальный момент времени эти точки Nj, Nji и Pjj, Pjt контактов отталкивания и трения между частицами и точки Nik, Nfa и P;k, Pfo контактов отталкивания и сцепления между частицей и связующей частицей располагаются на прямых, соединяющих центры шаров. Точки Pj, Pjt и P;k, Pfa жестко прикрепляются к поверхностям соответствующих шаров, а точки NiJ-, N^ и N'ik, N^ не прикрепляются. При смещении шаров относительно друг друга точки контактов отталкивания всегда остаются на пересечении соответствующих поверхностей шаров с прямыми, проходящими через их центры, а точки контактов трения и сцепления, в общем случае, не лежат на отрезках OiOj и OiOk соответственно (рис. 2). Силы отталкивания Fnij- и трения FT j между частицами представим как функции от Snij- = NjNj и 5Т j = PjPji соответственно, а силы отталкивания Fnik и сцепления Fcik между частицей и связующей частицей — как функции
от 5nik = NikNki и 5cik = PikPki со°тветственн°. ТакИМ образом, в модели под деформацией среды понимается не деформация самих частиц, а изменения положений центров шаров и точек контактов относительно друг друга.
Конкретизируем контактные силы на примере взаимодействия двух шаров. Силы, возникающие на контакте шаров, всегда парные и противоположно направленные. Потому далее будем рассматривать только силы, относящиеся к одному /-му шару.
Сила отталкивания FnІJ■ (рис. 2, а), действующая со стороны j-й на /-ю частицу, возникает при условии 8п у > 0, где 8п у = г + rj - Ц, Ц — расстояние между центрами частиц. Сила Fnу направлена по оси п^, проходящей через центры частиц, и по модулю равна
(1)
2 ЕЕ;
= /(г > г;); а ь> СЦ —
F .. = k E..ra5b..
1 nij ЛЦ^ ij'lj^nj’
СЦ
где kM =—Ц
; Eij =
i j
1-Ц y Et + Ej коэффициенты. В частности, при rtj = rtrj j (rj + rj ),
Сц= 2/3, а = 1/2, b = 3/2 получим силу отталкивания между шарами по Герцу, а при rtj = min(r,,rj), кЦ = І, a = І, b = І — линейную зависимость Fnij от 5j. Сила отталкивания Fnik (рис. 2, б), действующая со стороны k-й связующей частицы на і-ю частицу, также описывается соотношением (І) с заменой индекса j на индекс к.
Сила трения FT j, действующая со стороныj-й на і-ю частицу, есть проекция вектора Fij (направленного по FjFji) на ось Tj, перпендикулярную оси ntj и лежащую в плоскости векторов Fj, Fnj. По модулю сила трения равна:
F 1 т ij
т Jj
WT lj
k F •
Tlj1 nij •>
5т j <5* jj,
5 .. >5*..
wт lj — wт lj ■>
(2)
где 5тJ = \FiJFJi т» ; ^ij = min(
|cos а|; a — /гол наклона Fj-Fji к оси
%фі, tgфj ); 5тij = ijFn ij /(rij Gij ); Gij =
= Ej I(2(1 + ц)). В частности, при линейной зависимости S! ~
ти Fnij от 5nij
получим 5т у = 2(1 + Ц)kт у 5 nij. Изсоот-
тlj nij •
ношения (2) следует, что при выполнении условия 8Т у < 8 ту трение между частицами находится в неразвитом состоянии, а при 8Ту > 8 ту оно становится развитым. В последнем случае жестко закрепленные на поверхностях шаров точки Ру, Р^ открепляются, но должны удовлетворять следующим условиям: 1) направление вектора РуРп сохраняется; 2) величина вектора РуРр
Рис. 1. Фрагмент горной породы (а) и его дискретная модель (б)
Рис. 2. Контактные силы между частицами (а), частицей и связующей частицей (б)
уменьшается до РРу| = 8Ту/|^а|; 3) середина отрезка РуРр пересекается с осью пу. В случае, когда частицы теряют контакт, т.е. когда выполняется условие 8п у < 0, сила трения становится равной нулю, а при повторном появлении контакта между частицами точки Ру, Ру контакта трения снова располагаем на пересечении соответствующих поверхностей частиц с линией, проходящей через их центры, и жестко прикрепляем к соответствующим поверхностям, как это делалось в начальный момент времени.
Сила сцепления Fcik, действующая со стороны ^й связующей частицы на г-ю частицу, направлена вдоль вектора Р^Р/а и по модулю принимается равной
Г8„
рсУк =
ск
8сУк <8 сУк,
'ск
(3)
0,
8сУк >8 с к,
где 8сУк =\Р1кРк11; 8сУк = 4тт(л,гк)Ск/Ек; Ск = = тт(СУ, Ск) — сцепление между частицей и связую-
2 2
щей частицей; БсУ/ = тт(4ту ,4г/). При выполнении условия 8с к >8с к происходит разрушение сцепления, оно не восстанавливается и между частицей и связующей частицей вместо контакта сцепления вводится контакт трения. В этом случае, сила трения Fтг•k, действующая со стороны ^й связующей частицы на г-ю частицу, описывается соотношением (2) с заменой индекса j на индекс k. Если у связующей частицы разрушаются все контакты сцепления, то она становится частицей «скелета».
Таким образом, получены соотношения (1)-(3), определяющие силы отталкивания, трения и сцепления, возникающие на контактах шаров в результате их движения под действием внешних и гравитационных сил. Перейдем к описанию уравнений движения шаров.
Деформации частиц, возникающие в результате их взаимодействия между собой, малы по сравнению с размерами самих частиц. Поэтому для описания их движения можно использовать уравнения движения твердых тел. В общем случае они сложны и решение системы уравнений движения тел произвольной формы в поле сил тяжести представляет собой трудную задачу из-за сложности определения моментов инерции и моментов сил. В более простом случае, когда все тела имеют форму шара, их движения описываются уравнениями
т,-
dv;
= 5 ^пу + Г'ту ) + 5 (Fnг'k + Fcik) + тг^>
1 ^ = 5 ^Ту XГТу ) + £ ^сЛ XГск)
df у=1 к=1
и начальными условиями V 0 = 0) = v Ю, «У 0 = 0) =
где г = 1, ..., п; п — количество всех шаров; пт, пс — количество частиц и связующих частиц, контактирующих с г-й частицей; ту, 1У, vi, — масса, момент инер-
ции, скорость центра, угловая скорость г-го шара; g — ускорение свободного падения; гту, rcik — радиус-векторы, проведенные из центра г-го шара к точкам приложения сил Fту, Fcг•k соответственно.
В приведенной дискретной модели горных пород при одноосном растяжении ее прочность определяется величиной сцепления, при одноосном сжатии — величинами сцепления и трения. Поэтому данная модель является разномодульной.
3. Результаты численного моделирования и сравнение с экспериментальными данными
На основе предложенной дискретной модели горных пород с использованием метода дискретных элементов разработана компьютерная программа, позволяющая моделировать разрушение массива в окрестности полости. Метод дискретных элементов заключается в численной реализации уравнений движения (4) дискретных элементов шаровой формы при заданных начальных условиях (5) и закономерностях (1)-(3) контактных сил. Шары располагаются в некоторой области, ограниченной частично или полностью неподвижными элементами различной формы: отрезками, многоугольниками и др., являющимися граничными элементами для выбранной совокупности шаров. Контактные силы между элементами шаровой и иной формы вводятся аналогично приведенным выше контактным силам между шаровыми элементами. При этом действие сил отталкивания, трения и сцепления распространяется только на шаровые элементы, так как нешаровые элементы являются неподвижными. Поэтому нет необходимости выписывать уравнения движения элементов с формой, отличной от шаровой.
Численно смоделированы процессы разрушения массива горных пород в окрестности круглой полости, расположенной на различных глубинах. При этом модельный массив с полостью формировался следующим образом. В квадратной вертикально расположенной области размером 150x150 м, ограниченной по бокам и снизу неподвижными отрезками, было размещено п = = 15000 шаров с разными радиусами ту, выбранными случайным образом в диапазоне 0.5 м < гу < 0.6 м, и механическими параметрами ру = 2700 кг/м3, фу = 20°, = 25, Еу = 109 Па, Су = 0, г = 1, ..., п. Центры всех шаров располагались в плоскости квадрата. В результате действия сил гравитации шары усаживались, массив из шаров переходил в равновесное состояние и принимал форму прямоугольника размером 150x105 м. В этот момент времени для шаров вводилось сцепление
7
Су = 10 Па, г = 1, ..., п, и в массиве на заданной глубине (5) h ^ — расстояние от свободной поверхности массива
(4)
Рис. 3. Две стадии деформирования дискретной модельной среды в окрестности разрушающейся круглой полости радиуса г = 25 м, залегающей на глубине к = 30 м
120
100
20 40 60 80 100 120 140 м 1 20 1 40 1 60 1 80 1 100 1 120 1 140 м
Рис. 4. Четыре стадии деформирования дискретной модельной среды в окрестности разрушающейся круглой полости радиуса г = 25 м, залегающей на глубине к = 50 м
Рис. 5. Экспериментальное [4] (а) и численное (б) моделирование разрушения горной выработки
до верха круглой полости) создавалась круглая полость радиуса г = 25 м путем удаления шаров из области полости.
Данной величины сцепления Сг- оказалось достаточно, чтобы полость на любой глубине в пределах заданной области сохраняла устойчивость. Разрушение полости можно моделировать двумя способами: 1) приложением внешних, направленных вниз, сил на частицы, расположенные на верхней границе массива; 2) уменьшением сцепления между частицами и связующими частицами.
На рис. 3 приведены картины деформирования массива над полостью, залегающей на глубине к = 30 м. В данном случае разрушение полости моделировалось первым способом. При этом введение внешних сил было заменено увеличением плотности частиц верхнего слоя массива толщиной 5 м до 105 кг/м3. Это привело к тому, что первоначальный уровень свободной поверхности массива опустился примерно на 2.5 м, затем началось разрушение массива в левой верхней части над
полостью (рис. 3, а) и далее оно распространилось вправо и вверх вплоть до свободной поверхности (рис. 3, б). Из рисунка видно, что режим разрушения массива над полостью имеет явно несимметричный характер.
На рис. 4 показаны картины деформирования массива над полостью, залегающей на глубине к = 50 м. В этом примере разрушение полости моделировалось вторым способом. При этом сцепление частиц верхнего слоя массива толщиной \ = 85 м уменьшалось до величины С = 3 • 106 Па, а сцепление частиц нижнего слоя массива толщиной h2 = 20 м оставалось равным С2 = = 107 Па. В данном примере расчеты были доведены до равновесного состояния массива после разрушения полости. Из рисунка видно, что разрушение массива начинается справа от полости, затем оно распространяется на левую от полости часть массива (рис. 4, б). Очередность разрушения можно определить визуально: справа область деформирования значительно больше, чем слева. Таким образом, массив, поочередно разру-
к
100
Рис. 6. Эксперимент по выпуску сухого песка через донное отверстие (а) и численное моделирование разрушения полости в массиве горных пород (б)
шаясь справа и слева от полости, в конечном итоге, приходит в равновесное состояние (рис. 4, <)). На данной стадии несимметричный режим разрушения становится видимым благодаря различному цвету шаров в горизонтальных слоях. Если бы шары были одинакового цвета, то сложилось бы впечатление, что деформирование массива происходило симметричным образом.
На рис. 5 после приведения к соответствующему масштабу показаны результаты физического [4] и численного моделирования разрушения горной выработки. Физическая модель горной породы представляла собой горизонтальный слой смеси сухих цемента и песка (стрелками указано направление сжатия). Из рисунка видно, что на качественном уровне картины деформирования массива в физическом и численном экспериментах схожи. Разрушение материала происходит по поверхностям скольжения, причем устойчивым является несимметричный режим, который характеризуется общим «свертыванием» стенок полости.
В качестве второго эксперимента (рис. 6, а), сравниваемого с результатами численного моделирования (рис. 6, б; приведен в соответствующий масштаб с рис. 6, а), представлен опыт по выпуску сухого песка из плоского бункера через центральное донное отверстие (эксперимент проведен С.Б. Стажевским). Перед выпуском песок, расположенный в левой части от вертикальной оси симметрии бункера, был окрашен в черный цвет. Из рисунка видно, что картины деформирования массива в эксперименте и при численном моделировании являются существенно несимметричными и на
качественном уровне схожи между собой, несмотря на то что в опыте массив состоял из сыпучего материала без сцепления. Это подтверждает тот факт, что горные породы имеют глубокие аналогии с сыпучими средами.
Таким образом, результаты численного моделирования и их сравнение с экспериментальными данными показывают, что 1) приведенная дискретная модель горной породы адекватно отражает деформированное состояние массива; 2) режим разрушения массива в окрестности полости является несимметричным.
Литература
1. Терцаги К. Теория механики грунтов. - М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и стройматериалам, 1961. - 507 с.
2. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. - М.: Недра, 1982. - 272 с.
3. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород // ДАН СССР. - 1989. -Т. 305. - № 5. - С. 1077-1080.
4. РевуженкоА.Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 2000. -426 с.
5. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. - No. 1. - V. 29. - P. 47-65.
6. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Несимметрия пластического течения в сходящихся осесимметричных каналах // ДАН СССР. - 1979. - Т. 246. - № 3. - С. 572-574.
7. Хан Г.Н. Исследование процесса обрушения смерзшейся породы методом дискретных элементов // Материалы 3-й Межд. конф. «Наукоемкие технологии добычи и переработки полезных ископаемых». - Новосибирск: Изд-во ИГД СО РАН, 2003. - С. 98103.
8. Русин Е.П., Стажевский С.Б., Хан Г.Н. Геомеханические аспекты генезиса экзо- и эндокарста // ФТПРПИ. - 2007. - № 2. - С. 10-20.
Поступила в редакцию 29.10.2007 г.
