О непрерывной зависимости множеств фазовых траекторий системы с фазовыми ограничениями по управлению от параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ МНОЖЕСТВ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО УПРАВЛЕНИЮ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Ключевые слова: управляемая система с фазовыми ограничениями по управлению, априорная ограниченность.

Для управляемой системы с фазовыми ограничениями, зависящей от параметров, сформулирована теорема о непрерывной зависимости множеств фазовых траекторий этой системы от параметров.

Пусть К — метрическое пространство, Ук(£,е)— замкнутый шар пространства К с центром в точке £ € К и радиусом е > 0; Мп — п -мерное пространство с нормой | |, сотр[Кп] — множество всех непустых компактов пространства Мп, /г[-, •] — расстояние по Хаусдорфу между множеством в пространстве Еп; Сп[а,Ь] — пространство непрерывных функций х : [а, Ь] Кп с нормой ||ж||с[а Ь] = тах{|я(г)| : £ £ [а, 6]; Ь^,[а,Ь] — пространство измеримых по Лебегу ограниченных в существенном функций х : [а, Ь] —> Кп с нормой ||я||Ьоо[а,б] — vraisup{|a;(^)| : £ Е [а,6]}; С+[а, Ь] — конус неотрицательных функций пространства С1 [а, 6].

Пусть отображение / : [а, 6] х МП1 х Ет х К —> Мп непрерывно и локально ограничено, многозначное отображение С/ : [а, Ь] х К712 х К —> сотр^771] непрерывно по Хаусдорфу и локально ограничено. Непрерывные вольтерровы по А.Н. Тихонову отображения Р : Сп[а, Ь] х К —» Ь^[а, 6], (? : Сп[а, Ь] х К Ь] локально ограничены.

Рассмотрим при каждом £ Е К управляемую систему

Управление и : [а, 6] —> Кт измеримо по Лебегу. Систему (1)-(2) будем называть управляемой системой с фазовыми ограничениями, поскольку управление и : [а, 6] —> Ет зависит от фазовой траектории х : [а, Ь] —»• Кп.

Пусть Н(т,хо, О - множество всех допустимых пар (и, х) на отрезке [а, г] (т Е (а, 6]) (и : [а, т] —> будем называть допустимым управлением, а функцию х : [а, г] —>• Еп — фа-

зовой траекторией, соответствующей допустимому управлению и : [а, т] -» Кт или просто фазовой траекторией), Н(т,хо,О - множеством всех фазовых траекторий х : [а,г] —> Мп, соответствующих допустимым парам Н(т,хо,£) на отрезке [а, г].

Пусть 21 С Мп, 53 С К. Будем говорить, что управляемая система (1)-(3) априорно ограничена в совокупности на множестве 21 х 05, если существует такое число г > 0, что не существует х Е Н(т,хо,0> Для которого выполняется неравенство ||я||сп[а,Т] > г Для любого г Е (а, 6] и любых (яо,£) Е 21 х 93.

(с) А.И. Булгаков, Е.А. Панасенко, А.О. Сергеева

х{ь) = /(М-Ря)(*),£,и(г)), ъ € [М],

и(г) Е Е/(*,(<Зж) (*),£), te[a,b\, х(а) = хо-

(1)

(2)

(3)

Теорема 1. Пусть управляемая система (1)-(3) априорно ограничена в точке (аЧьСо) £ 1^п х К. Тогда найдется такое число е > 0, что управляемая система (1)-(3) априорно ограничена в совокупности на мноэк:естве Мкп(:со,£) х Ук{£о,е).

Опредление 1. Будем говорить, что отображения / : [а, Ь] х ЕП1 х Мт х К -> Мп,

и : [о, 6] х М712 х К —> сотр[Кт] обладают свойством если найдутся непрерывные

отображения : [а, 6] х [0, оо) х [0, оо) х К ->• [0, оо), : [а, Ь] х [0, оо) х К -> [0, оо) при каждых фиксированных Ь Е [а, 6], £ Е К, неубывающие по соответствующим аргументам, что для любых £ Е [а, 6], £ Е К Х\,Х2 Е МП1, У\,У2 € ^П25 «ъ«2 Е Мт выполняются неравенства

1/(4,®!,«1,0 -/(«,ж2,«2,01 ^ ^1(«, |®1 -ж2|,|г*1 ~«2|,0> (4)

2/ь £)> ^(*>2/2,01 < ^2(*, |У1 - Уг|,О- (5)

Определим отображение М : С71 [а, 6] -> С+[а,6] равенством

(.Мх){Ь) = тал |ж(т)|. (6)

тб[а,4]

Опредление 2. Будем говорить, что отображения Р : С п[а,Ь] х К ^ Ь^[а, 6], (7 : С71 [а, Ь] х К —у Ь^[а, 6] обладают свойством Ф, если найдутся непрерывные отображения ф\ : [а, 6] х [0, оо) х К —у [0, оо) и Ф2 : [а, Ь] х [0, оо) х К —У [0, оо), удовлетворяющие условиям Каратеодори, что для любых Х\,Х2 Е С71 [а,6] и £ Е К при почти всех < Е [а,6] выполняются неравенства

\Р(хи€Ш -^(*2,0(01 <^1 (ЬЩх1 -®2)М,0» (7)

|<2(®ьОМ -^(®2|0М1 ^Ф2^,М{Х1 -Ж2)(*),0» (8)

где отображение М : Сп[а, 6] -> С+[а,Ь] определено равенством (6).

Опредление 3. Будем говорить, что отображения / : [а, Ь] х Е”1 х Мт х К —У Мп, и : [а, 6] хГх^4 сотр[Кт], Р : С п[а,Ь] х К -> Ь£[а,Ь], С : Сп[а,Ь] х К -> Ь£[а,Ь]

обладают свойством А в точке £ Е К, если соответствующие пары этих отображений

обладают свойствами О и Ф и задача

у(*) = у(°) = 0

имеет только нулевое решение на каждом отрезке [а, т] (г Е (а, 6]), где функция (р : [а, 6] х х [0, оо) х К —У [0, оо) определена равенством

</>(*, у, () = ф\ (<, у, О, у, О)» О»

где функции : [а, 6] х [0, оо) х [0, оо) х К [0, оо), Ш2 : [а, Ь] х [0, оо) х К —У [0, оо), ф\ : [а, 6] х [0, оо) х К -> [0, оо), Ф2 : [а, 6] х [0, оо) х К —У [0, оо) удовлетворяют неравенствам (4), (5), (7), (8) соответственно.

Теорема 2. Пусть отображения / : [а, Ь] х МП1 х Ет х К —У Мп, С/ : [а, 6] х К712 х

х К -У сотр[Кт], Р : Сп[а, 6] х ^ Ь££[а,6], С : С71 [а, 6] х К -У Ь££[а,6] обладают

свойством А в точке £о € ^ и пусть управляемая система (1)—(3) априорно ограничена в

точке (я(ь£о) Е Кп х К. Тогда:

1) для любого уеН(Ь,хо,£о) и любых последовательностей 0,е), &Е У/с(£о,е)5

г = 1,2,..., удовлетворяющих условиям: Х{ —У хо в К71, > £о в К при г -у оо,

найдется последовательность у* Е Н(Ь,Х{,&), г = 1,2,..., что у* -» у в пространстве Сп[о, 6] при г -»■ оо, где число е > 0 удовлетворяет теореме 1;

2) для любой последовательности yi 6 H(b, Х{, £j), г = 1,2,..., имеющей предел у в пространстве Сп[а, Ь] при г —> оо, найдется такая последовательность Z{ Е Н(Ь, хо,£о), г = 1,2,..., что Zi -У у в пространстве Сп[а, 6] при г —>• оо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Панасенко Е.А., Сергеева А. О. Продолжаемость допустимых пар управляемой системы с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1645-1647.

2. Булгаков А.И., Малютина Е.А., Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Часть I // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1631-1639.

3. Булгаков А.И., Малютина Е.А., Филиппова О.В. Оценки обобщенных решений дифференциальных включений с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Часть II // Вестник ТГУ. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1640-1644.

4. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть IV // Вестник ТГУ. 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1289-1298.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.

6. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

7. Чепцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, II. // Екатеринбург УГТУ-УПИ, 2010.

8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект N9 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11), гранта NATO NRCLR.9837 16.

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Bulgakov A.I., Panasenko Е.А., Sergeeva A.О. On continuous dependence of sets of phase trajectories to a system with constrains by control on parameters. For controllable system with phase constrains and with parameters there is formulated the theorem on continuous dependence of sets of phase trajectories on the parameters.

Key words: controllable system with phase constrains by control, a-priori boundedness.

Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель директора института математики, физики и информатики по научной работе, e-mail: panasenko@tsutmb.ru

Сергеева Алена Олеговна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, студентка 3 курса специальности 010101 "Математика" Института математики, физики и информатики, e-mail: alena-sr21@yandex.ru