CC BY
7
С
О
Л 'S
-M
ХЛ <U
£ л
МЕХАНИКА MECHANICS
*) Check for updates
УДК 534.1:629.7 Научная статья
https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-1-24-29
О неоднозначности механической мощности
В. Д. Павлов ED
Владимирский электромеханический завод (Владимир, Российская Федерация) Elpavlov.val.75@mail.ru
Введение. Механические колебания широко распространены в технологических процессах. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические, поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии. Этим обусловлены важность учета механической реактивной мощности и, как следствие, актуальность представленной работы. Цель исследования — детализация видов механической мощности при гармонических колебаниях.
Материалы и методы. Изучена литература, в которой освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические, преимущественно математические методы исследования.
Результаты исследования. Математически осмыслены мощности, развиваемые при упругих деформациях, вынужденных гармонических колебаниях инертного тела и колебаниях, связанных с гравитационным воздействием, а также реактивная, активная, полная мощности в комплексном представлении и механические мощности в векторном представлении.
Обсуждение и заключения. При механических гармонических колебаниях наряду со знакоположительной тепловой мощностью, развиваются знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий. Полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора. Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях обобщает соответствующие понятия о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
Ключевые слова: механическая мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, комплексное представление, векторное представление.
Для цитирования: Павлов, В. Д. О неоднозначности механической мощности /В. Д. Павлов // Advanced Engineering Research. — 2022. — Т. 22, № 1. — С. 24-29. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-1-24-29
© Павлов В. Д., 2022
@ ®
Original article
On the ambiguity of mechanical power
Valentin D. Pavlov ED
Vladimir Electromechanical Plant (Vladimir, Russian Federation) Epavlov.val.75@mail.ru
Introduction. Mechanical vibrations are widespread in the production processes. The drives of machines and mechanisms are mainly electromechanical, so mechanical reactive power is transformed into electrical reactive power of the network, impairing the quality of electricity. This explains the significance of considering the mechanical reactive power, and, as a consequence, the urgency of the presented study. The research objective is to detail the types of mechanical power under harmonic vibrations.
Materials and Methods. The literature on the issues of dynamics, kinematics, vibrations, transformation of motion in oscillatory systems, etc., has been studied. Theoretical, mainly mathematical methods of research are used.
Results. The powers developed under elastic deformations, forced harmonic vibrations of an inert body, and vibrations associated with gravitational influence, as well as reactive, active, full powers in the complex formulation, and mechanical powers in the vector representation are mathematically interpreted.
Discussion and Conclusions. Under the mechanical harmonic vibrations, along with the sign-positive thermal power, sign-variable reactive powers develop, characterizing the reversibility of kinetic and potential energies. The total mechanical power satisfies the Pythagorean formula. The concept of mechanical reactive, active, and total powers generalizes the corresponding concepts of power from electrical engineering, and thus manifesting electromechanical dualism.
Keywords: mechanical power, kinetic energy, potential energy, complex formulation, vector representation.
For citation: Pavlov V. D. On the ambiguity of mechanical power. Advanced Engineering Research, 2022, vol. 22, no. 1, pp. 24-29. (In Russ). https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-1-24-29
Введение. Механическая энергия бывает обратимой (потенциальная и кинетическая), а также необратимой (например, тепловая при трении). Временную производную от последней принимают за механическую мощность. Отметим, что в силу необратимости тепловой энергии ее производная принимает только положительные значения. Вместе с тем производные получают как от потенциальной, так и от кинетической энергии. Особый интерес представляют гармонические колебания [1-4], при которых производные (мгновенные мощности) будут знакопеременными функциями, что принципиально отличает их от тепловой мощности.
Аналог кинетической энергии в электротехнике — энергия магнитного поля катушки индуктивности, аналог потенциальной энергии — энергия электрического поля конденсатора, а аналог механической тепловой энергии — тепловая же энергия, рассеиваемая резистором.
Механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5-8]. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические [9-12], поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии [13]. В этой связи учет механической реактивной мощности имеет немаловажное значение [14], и этим обусловлена актуальность представленной работы.
Материалы и методы. Рассмотрены механические мощности при гармонических колебаниях. В качестве литературной базы изучены отечественные и зарубежные источники, в которых освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические (преимущественно математические) методы исследования.
Результаты исследования
Мощность, развиваемая при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела. Движение тела описывается известным выражением:
-Ji V2"
(1)
Формула для силы имеет вид:
fa = тх = —briar sin a>t.
(2)
Формула для силы трения:
f = jux = ¡л\а cos a>t.
(3)
Результирующая сила:
f = fa + f = ~lma2 sin at + /ula cos at
Обозначим:
ma
<p = arctg-
M
С учетом этого:
Л
f = la^J/u2 + m2a2 (cosacos®/-sinpsina/) = la^JjT+nFa* cos(a/ + p). Очевидно, что
Fm = la^JU + m2a2.
Действующее значение результирующей силы:
f=F^ = 4U2 + m t (5)
42 ф. '
Мгновенная результирующая мощность:
s = fv = la^/U + m2a2 cos(at + p)la cos at = = 0,5/2a2*J/U + m2a2 [cosp + cos(2a/ + p)] =
= FV [cos p + cos(2at + p)] = = FV (cos p + cos 2at cos p - sin 2at sin p( = = FV cosp(l + cos2at)-FV sinpsin2at = p + qt. (6)
В электротехнике есть выражение, аналогичное (6), с заменами F ^ U V ^ I. Из него определяют активную мощность:
P = UI cos p.
Поэтому активную (тепловую) механическую мощность тоже следует определить, как:
P = FV cos p. (7)
Очевидно, что гармонические сила и скорость совершают колебания со сдвигом фаз, равным p. Из вышеназванной формулы электротехники определяют реактивную мощность:
P = UI sinp.
Поэтому реактивную (инерционную) механическую мощность тоже следует определить, как:
Q = FV sinp. (8)
Из (6) следует, что под активной мощностью понимается среднее за полпериода значение мгновенной мощности, а под реактивной — амплитудное значение. В электротехнике аналогично. Еще одно обобщение из электротехники — полная механическая мощность:
S = FV = ^Q2 + P2. (9)
Она примечательна тем, что, с одной стороны, описывается формулой Пифагора, а с другой — равна произведению действующих значений гармонических величин. Имея в виду (1), (5) и (8),
■ la J/ + m2a2 la ma ml2a3
=FV-p = V 72 TiT/aa = "2"• (10)
При этом:
fav = -lma2 sin at la cos at = -0,5l2ma3 sin2at = -FvV sin2at = -Q sin2at. (11)
Это соответствует выражениям (6) и (10). Имея в виду (1), (5) и (7),
1"u2 + m2 a2 I a / U 2a2
¡3 P = FV cos p =—-—j=--= , == = --. (12)
§ 42 42 ^ u2 + m2a2 2
д При этом:
о 2 2
тз fv = /la cos at la cos at = 0,5/ a (1 + cos2at) = FV(1 + cos2at) = P(1 + cos2at). (13)
s3 Это соответствует выражениям (6) и (12).
Имея в виду (9), (10) и (12),
I I
^ 1"uU + m2a2 la 12a2y/U + m2a2 Л S = FV =-■=--■= =-
42 42 2
Мощность, развиваемая при упругих деформациях. Выражение для силы имеет вид:
fk = kx = kl sin®/. (14)
26 С учетом (3) результирующая сила равна:
f = fk + f, = kl sin at + u® cos at =
(
= lyjk2 + /u2a2
k ua
sin at +—, = cos at
*Jk2 + U®2
ф2 + ua
Обозначим:
p = arctg—.
Ua
Значит,
f = l*Jk2 + Ua2 (sin p sin at + cos p cos at) = lijk2 + Ua2 cos (at - p).
Очевидно, что:
Fm = l<[k
2 2 2 2 + u a .
Действующее значение результирующей силы равно:
F =
2 2 U a
42 42
Мгновенная результирующая мощность:
5 = fv = lyjk2 + u2®2 cos (at-p) la cosat =
= 0,5l2a^k2+U®"2' [cosp + cos(2at-p)] =
= FV [cos p + cos(2at - p)] = = FV (cos p + cos 2at cos p + sin 2at sin p) = = FV cosp(l + cos2at) + FV sinpsin2at = p + qd.
Имея в виду (6), (7) и (12), активная механическая мощность равна:
« 2 2 2 22 ™ ^г Ык + u a la ua U a P = FV cosp = —--------
(15)
(16)
42 42 Jk
2 2 2 2 + u a
2
Принимая во внимание (15), (1), (8) и (16), механическая реактивная (упругая) мощность равна:
Qd = FV sinp =
_ lyjk2 +u2®2 la k
kl a
42 42 Jk2 +u2a2
При этом:
fkv = kl sin at la cos at = 0,5kl2a sin 2at = FkV sin 2at = Qd sin 2at.
(17)
(18)
Это соответствует выражениям (16) и (17).
Очевидно, что полная мощность равна:
S = FV = V Q2 + P
'_ l2ak2 + u2®2 2
Мощность при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием. При отклонении подвешенного груза на угол а возникает момент:
М = mgLа.
Пусть
a = a sin at.
Тогда
á = a0a cos at = a0Jj- cos at.
Мгновенная мощность имеет вид:
q = Má = mgLa0 sin at a.
cosat = 0,5ma02^Lg3 sin2at.
Ее амплитуда и, соответственно, реактивная мощность гравитационного воздействия определяется, как:
0 = 0,5та2 д^р3".
И —
X а
X к
2
Реактивная, активная и полная мощности в комплексном представлении. В [15] показано, что при инертной нагрузке:
V = V ejl2.
m m
Мгновенная скорость при этом равна:
v = Vm cosrnt = ImVm.
Формулы для действующих значений величин принципиально не отличаются:
V = Vejl12, F = Fej 112.
В электротехнике подробно описана особенность комплексного представления: при вычислении полной мощности один из перемножаемых векторов должен быть сопряженным.
S = F V = Fejjl2+<p)Ve~Jl12 = FVejjl2+^l|2) = FVej<p = FV cos^ + jFV sin^ = P + jQ¡.
Это выражение для инертной нагрузки. Упругая нагрузка отличается тем, что реактивная мощность имеет противоположный знак:
S = F V = Fejjl 2Vej|2 = FVejjl2-р-||2) = FVe~j v = FV cosp-jFV sin^ = P + jQd.
При этом:
P = Re F V, Q = Im F V.
Механические мощности в векторном представлении. В основе комплексного представления лежит идея вращающихся в комплексной плоскости векторов. Тот же принцип может быть реализован в трехмерном Декартовом базисе.
Из (7)-(9) следует:
P = (F, V), Q = |[F, V|, S2 =(F, V)2 +[F, V]2.
Математическая абстракция с проекциями вращающихся векторов имеет конкретную материальную основу в виде кривошипно-кулисных механизмов.
Обсуждение и заключения. Математическими методами исследованы мощности:
— при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела,
— при упругих деформациях,
— при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием,
— реактивная, активная и полная (в комплексном представлении),
— механическая (в векторном представлении).
Показано, что при механических гармонических колебаниях развивается не только знакоположительная тепловая мощность, но и знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий.
При этом полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора.
Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях является обобщением соответствующих понятий о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
Библиографический список
1. Елисеев, С. В. Динамическое гашение колебаний при введении дополнительных связей и внешних воздействий / С. В. Елисеев, А. С. Миронов, К. Ч. Выонг // Вестник Донского государственного технического 5 университета. — 2019. — Т. 19, № 1. — С. 38-44. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2019-19-1-38-44 -Р 2. Елисеев, С. В. Устройства для преобразования движения в структуре диады механической
§ колебательной системы / С. В. Елисеев, А. И. Орленко, Д. Х. Нгуен // Вестник Донского государственного технического университета. — 2017. — Т. 17, № 3. — С. 46-59. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2017-17-3-46-59 •д 3. Zhang, Y. F. Analysis on nonlinear vibrations near internal resonances of a composite laminated
Su piezoelectric rectangular plate / Y. F. Zhang, W. Zhang, Z. G. Yao // Engineering Structures. — 2018. — Vol. 173. — ^ Р. 89-106. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.04.100
•j^ 4. Beltran-Carbajal, F. Multi-frequency harmonic vibration suppression on mass-spring-damper systems using
^ active vibration absorbers / F. Beltran-Carbajal, G. Silva-Navarro, B. Vazquez-Gonzalez // Advances in Vibration Engineering. — 2016. — Vol. 4. — P. 1-12.
5. Numerical Modeling and Dynamic Characteristics Study of Coupling Vibration of Multistage Face Gearsplanetary Transmission / Xingbin Chen, Qingchun Hu, Zhongyang Xu, Chune Zhu // Mechanical Sciences. — 2019. — Vol. 10. — P. 475-495. https://doi.org/10.5194/ms-10-475-2019
6. Duygu Dönmez Demir. Variational Iteration Method for Transverse Vibrations of the Elastic, Tensioned Beam / Duygu Dönmez Demir, Erthan Koca // International Journal of Materials, Mechanics and Manufacturing. — 2017. — Vol. 5. — P. 187-190. https://doi.org/10.18178/ijmmm.2017.5.3.315
7. Zichen Zhang. Design and Optimization of Comb Drive Accelerator for High Frequency Oscillation / Zichen Zhang // Modern Mechanical Engineering. — 2018. — Vol. 8. — P. 1-10. https://doi.org/10.4236/mme.2018.81001
8. Birgersson, F. A Spectral Super Element for Modelling of Plate Vibration. Part 1: General Theory / F. Birgersson, S. Finnveden, C.-M. Nilsson // Sound and Vibration. — 2005. — Vol. 287. — P. 297-314. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2004.11.012
9. A pneumatic actuator based on vibration friction reduction with bending/longitudinal vibration mode / Han Gao, Michael De Volder, Tinghai Cheng [et al.] // Sensors and Actuators A: Physical. — 2016. — Vol. 252. — Р. 112119. https://doi.org/10.1016/j.sna.2016.10.039
10. Study on machining vibration suppression with multiple tuned mass dampers: vibration control for long fin machining / Ippei Kono, T. Miyamoto, K. Utsumi [et al.] // International Journal of Automation Technology. — 2017. — Vol. 11. — P. 206-214. https://doi.org/10.20965/ijat.2017.p0206
11. Kunugi, K. Modeling of tape tether vibration and vibration sensing using smart film sensors / K. Kunugi, H. Kojima, P. M. Trivailo // Acta Astronautica. — 2015. — Vol. 107. — P. 97-111. https ://doi.org/10.1016/j. actaastro.2014.11.024
12. Legeza, V. P. Dynamics of vibration isolation system with a ball vibration absorber / V. P. Legeza // International Applied Mechanics. — 2018. — Vol. 54. — P. 584-593. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0912-0
13. Павлов, В. Д. Автокомпенсация реактивной мощности в электрических сетях / В. Д. Павлов // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии. — 2021. — № 14 (6). — С. 684-688. https://doi.org/10.17516/1999-494X-0342
14. Joachim, F. J. How to minimize power losses in transmissions, axles and steerings / F. J. Joachim, J. Börner, N. Kurz // Gear Technology. — 2012. — P. 58-66. https://doi.org/10.1007/978-3-642-22647-2 279
15. Павлов, В. Д. Математические модели резонансных и антирезонансных процессов / В. Д. Павлов // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. — 2021. — № 1 (49). — С. 17-27. https://doi.org/10.20291/2079-0392-2021-1-17-27
Поступила в редакцию 04.02.2022 Поступила после рецензирования 16.02.2022 Принята к публикации 18.02.2022
Об авторе:
Павлов Валентин Дмитриевич, начальник научно-информационного отдела Владимирского электромеханического завода (600901, РФ, г. Владимир, ул. Ноябрьская, 127), кандидат технических наук, ORCID, pavlov.val.75@ mail.ru.
Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.
сЗ
и —
X а
X к
