CC BY
42
представлений о современных тенденциях развития искусства и технического творчества. Их старшие коллеги, в отличие от указанных выше оценок, прежде всего, акцентируют внимание на возможности систематизации представлений о феноменах «искусство», «техническое творчество» (46,67%); на возможности получения представления о процессах предметного творчества (42,22%); на освоении научных и методических подходов к оптимизации процесса создания изобретений (33,33%).
Оценивая свою готовность к включению в инновационную деятельность и разработку перспективных идей для реализации в виде новаторских проектов в сфере искусства и технического творчества, 56,45% молодых ученых и 20% их старших коллег определяют ее как среднюю, еще 16,94% исследователей моложе 35 лет и 33,33% ученых старше 35 лет - как выше среднего. К сожалению, 22,58% молодых ученых и 13,33% ученых старше 35 лет не в полной мере готовы к реализации своего потенциала в различных видах творчества. Высокий уровень готовности показывают лишь 4,03% молодежи и 13,33% ученых старшего возраста. Данные результаты говорят о необходимости системной работы по вовлечению в различные виды творчества разных возрастных категорий исследователей.
При этом, по мнению анкетируемых, для повышения эффективности освоения молодыми исследователями лучших научных и методических отечественных достижений в области искусства и технического творчества необходима комплексная работа. Это, прежде всего, разработка региональных межведомственных программ по обеспечению условий для включения молодежи в инновационную деятельность по разработке и реализации новаторских проектов (65,3% молодых исследователей и 53,33% ученых старше 35 лет); проведение «Школ» по проблематике мероприятия (46,77 и 60% соответственно); создание сетевых ресурсов для обмена опытом (33,06 и 33,30% соответственно).
Таким образом, результаты исследования свидетельствуют о том, что проблема включения молодых исследователей в творческую деятельность является одной из актуальных в контексте решения задач инновационного развития. Для ее решения необходимо не только наличие у потенциальных инноваторов осведомленности о современных подходах и тенденциях развития искусства и технического творчества в России, о потенциале и ресурсах их различных видов, о механизмах развития качеств творческой личности. Требуется комплексная модернизация педагогического обеспечения данного процесса, которая должна быть ориентирована на актуализацию как личностных, так и институциональных ресурсов творчества.
УДК 372.851
В. М. Михайлов
О необходимости и методических возможностях обеспечения результативности восприятия учебного материала
Рассматриваются вопросы повышения качества и результативности восприятия учебного материала. Необходимое для этого информационно-методическое обеспечение формируется на основе учета его структурных особенностей и многоуровневого представления сложности дидактического материала. Это способствует формированию механизма сопряжения структур внутренних познавательных процессов учащихся со структурой изучаемого материала и обеспечению его восприятия.
Для оценки эффективности обучения предлагается способ выстраивания обратных связей «ученик - учитель» на основе формирования индивидуальных тематических структурных схем изучаемого материала по результатам использования учащимися теории при выполнении заданий.
Предлагается двухэтапная процедура работы с дидактическим материалом по теме. На стадии первого обучающего этапа обеспечивается формирование у каждого ученика требуемого уровня навыков и компетенций для самостоятельной работы на втором этапе с основной частью изучаемого материала. Данная процедура сочетает стимулирование как традиционного параметрического поиска в выполняемых заданиях, так и акцентированного распознавания их структур. В целом, это формирует встроенный механизм самоорганизации и контроля учебного процесса.
© Михайлов В. М., 2014 222
This article focuses on the enhancement of the quality and the efficiency of the perception of the educational material. The required informational and methodical support, taking into account its structural features, is based on the multilevel presentation of difficulty of the didactic material. This favours the formation of a conjugation mechanism of structures of the students' inner cognitive process and the structure of the material to study ensuring its perception.
To evaluate the efficiency of the study process this article proposes an approach of establishing reversed relations "student-teacher" on the basis of the formation of individual thematic structural schemes of the material to study due to the results of the use of theory by students while they are fulfilling a task.
The article suggests a two-step procedure of work with the didactic material on a theme. The first educative step ensures that every student has attained the required level of expertise and skills in order to proceed with the second step, which consists in solitary work with the main part of the material to study. Such a procedure combines the promotion of the traditional parametric search during fulfillment of tasks as well as the focused discernment of their structures. As a whole, it forms an integrated mechanism of self-organisation and control over the study process.
Ключевые слова: восприятие учебного материала; стадии формирования восприятия; уровни восприятия и сложности дидактического материала; структура учебного материала, структуры выполняемых заданий; двухэтапная процедура работы с дидактическим материалом; самоорганизация обучения.
Keywords: perception of the educational material; stages of the formation of the perception; levels of the perception and difficulty of the didactic material; structure of the educational material, structures of fulfilled tasks; a two-step procedure of work with the didactic material; self-organisation of the study process.
1. Суть проблемы
1.1. Высокий уровень теоретического и методического оснащения отечественного математического образования (да и всего в целом), а также явная достаточность и доступность качественных учебников и пособий не обеспечивают адекватной результативности школьного обучения, что особенно проявляется в базовом секторе. Основная причина сложившейся ситуации связана с противоречием между развитием и усложнением как традиционных направлений математики, так и появлением новых, как, например, задачи с параметрами, тематики с фракталами, с одной стороны, и отсутствие соответствующей структурно-методической систематизации подачи учебного материала, снижение уровня его восприятия при существенном сокращении времени на преподавание - с другой.
1.2. Использование теоретических положений без акцентированного обозначения иерархии (приоритетов) их свойств существенно усложняет восприятие целостности условий заданий. Между тем необходимость в этом весьма значительная, поскольку каждое выполняемое задание является, по сути, зашифрованной структурой разного вида и сложности, которую ученику необходимо распознавать. Т. е. требуется умение не только выявлять исходные элементы (параметры), но и определять очередность их использования с учетом соответствующих им приоритетов в теории. На практике при выполнении заданий преобладает лишь параметрический поиск. Учет в явном виде и согласование структурных составляющих как представления учебного материала, так и его восприятия, имеет место в основном в профильном секторе и практически игнорируется в базовом секторе обучения при недостатке квалификации учителя и дефиците выделяемого времени на обучение.
1.3. Вследствие недостаточной четкости содержательно-критериальной основы оценок успеваемости за неправильно выполненное задание ученику даже при отсутствии умысла можно вполне «обоснованно» выставить и «4», и «3», и даже «2». Причина подобного положения состоит в том, что оценочная основа является качественно-описательной, что и делает возможным её трактовку учителем в каждом конкретном случае с заметной произвольностью. Между тем возможности формальной и объективной оценки знаний, безусловно, имеются, например, на основе количества используемых для решения положений теории [1].
1.4. Совокупность вышеназванных причин является причиной невозможности выстраивания объективной (документально подтверждаемой) обратной связи «ученик-учитель». Однако в качестве таковой могут быть использованы тематические структурные схемы теоретического материала, индивидуально дополняемые учеником по результатам работы с дидактическим материалом [2].
2. Препятствия реализации
2.1. Отсутствие в учебно-методических материалах в явном виде положений о структурной основе построения обучения. Если учитель самостоятельно не уделяет внимание вопросам значения учета структурности при изучении теории, а особенно при работе с практическим материалом, то это приводит к трудновосполнимым потерям качества освоения дисциплины. Так, значительно возрастает сложность понимания и использования множества внутри- и межпредметных связей, без которых все знания чаще всего имеют разрозненный характер и представляют из себя хаотичное множество из отдельных формул и положений. Кроме этого одновременное изучение нескольких разделов математики даже со сбалансированным чередованием отдельных тем все-таки оставляет в стороне вопрос о всей тематической перспективе по каждому из разделов. Например, тригонометрия изучается в прерывистом режиме в основном в 7-9-х классах. Эффект разрывности восприятия её тем можно существенно снизить передачей учащимся с начала изучения каждой всей структурной схемы в виде отдельных блоков с основными теоретическими положениями и формулами (см. рис. 1). В дальнейшем при рассмотрении каждой из тем в соответствующие блоки вносятся индивидуальные дополнения об особенностях использования теории при решении задач [3].
2.2. Недостаточное насыщение обобщенными ассоциативными дополнениями при изучении теоретического материала способствует абстрактной перегрузке учащихся и снижению качества его усвоения. Между тем своевременное адекватное сравнение трудновоспринимае-мых теоретических положений с понятным аналогом или явлением превращает ситуацию в зеркально позитивную. Кроме этого используемые обобщенные ассоциации-аналоги позволяют оценить также и иерархические соотношения рассматриваемых теоретических положений или отдельных формул с остальными и выявлять их внутри- и межпредметные связи.
2.3. Применяемая система одноуровневого представления практических заданий разного уровня сложности существенно снижает наглядность восприятия их структурных особенностей вследствие громоздкости используемых способов оценки.
Так, при неверном решении ученик не может определить причину своей ошибки. Способов оперативной и эффективной диагностики ситуации в подобных случаях нет. Поэтому требуется дополнительный ресурс, чтобы выявить пробелы в знаниях по организации необходимых действий в каждом конкретном случае. Выход в создании блока дидактических материалов с многоуровневым представлением их сложности по основным типам тематических заданий. В каждом из рассматриваемых заданий на конкретных примерах предусматривается внятная параметрическая идентификация каждого уровня сложности (см. рис. 4). В конечном счете это в значительной степени и в явном виде формирует уровень восприятия изучаемого материала.
2.4. Недостаточный учет такого психологического фактора, как структурность протекания индивидуальных познавательных процессов и организации умственной деятельности. Внутренние познавательные процессы реализуются в определенной последовательности и сводятся в основном к следующим видам с индивидуальной функциональной спецификой: Ощущение ^ Восприятие ^ Представление ^ Память ^ Мышление [4]. Сбой в этой схеме уже на этапе Восприятия сводит на нет результативность всего обучения. Объясняется это тем, что на данном этапе формируется функциональная целостность (структурность) изучаемого объекта. И если учеником это не фиксируется, то также не происходит оптимального формирования и корректуры следующих этапов, а дальше у учителя остается только одна возможность освоения материала - с помощью «зубрежки». Поэтому при подаче учебного материала это следует учитывать в первую очередь. Её организация должна осуществляться таким образом, чтобы обеспечивалось его восприятие как единого целого, что требует наличия в методическом инструментарии учителя соответствующих возможностей. Их закладка должна осуществляться при получении педагогического образования, а вся необходимая методическая информация - находиться в распоряжении учителя при подготовке и проведении уроков, что на практике не осуществляется.
Структурная схема учебного материала по тригонометрии
I. Основные понятия и определения
г
Г Радианная и градусная меры, их соотношение >
V J
г
Соотношения в прямоугольном треугольнике - sin а , cos а , tg а , ctg а их значение
для углов 300, 450, 600
Функции для окружности с единичным радиусом:
cos а:
у, sinа = х, tgа=-
J
их графическое выражение, периодичность и значения для углов: 300, 450, 600,900, ±П2, ±П, ± ...
Четность / нечетность функций: cos(-а) = cos а; sin(-а) = - sin а; ... Основные тождества: sin2 а + cos2 а = 1; tg а - ctg а = i; tg2 а +1 = i/cos2 а;...
Формулы приведения: sin(900 -а) = cos а; cos(900-а) = sinа;... Области определения (ООФ) и изменения (ОИФ) функций: у=sinX; у = cos X; у = tg -; у = ctg -
II. Основные расчетные зависимости
Формулы для суммы и разности двух углов:
sin(a ± в) = sin а • cos в ± cos а • sin в Формулы двойного, тройного и половинного углов: sin2a = 2sin а• cosa;... sin 3a = sin(2a+a) =... = 3sina-4sin3a;.
. а 1 -cosа
sin— = J-
2 V 2
i
Формулы преобразования произведения двух функций в их сумму и обратно: cos(#- в) - cos(^ + в) .
sin а - sin ß =
2
, . о - • а ± ß а + ß sin а ± sin ß = 2 sin-— cos-—
Формулы основных функций через тангенс
2 tg а/2
половинного угла: sin а =-—
1 + tg2 а/2 ""
(cos а; tg а ; ctg а)
Обратные функции, основные понятия и общие свойства; графические иллюстрации: y=sin х ^ y=Arcsin х; (Arccos x,Arctgx,Arcctg x)
Теоремы синусов и косинусов: a/ sin A = b sin B = С sin C;
c2 = а + b- 2abcos C ^ (c)2 = (a -b)2
Рис. 1
3. Возможности преодоления отмеченных затруднений
3.1. Прежде всего, необходимо учитывать особенности внутреннего познавательного процесса ученика. Наиболее важным его этапом, как отмечалось, является восприятие учебного материала. Синтезируемый на основе отдельных ощущений целостный образ анализируемого объекта трансформируется в соответствующее представление, обрабатывается мышлением и заносится в память. В совокупности это позволяет на основе сложившихся представлений и возможностей мышления формировать новый уровень ощущений (см. рис. 2).
225
Т. е. ученик начинает замечать в условиях заданий элементы более глубокого содержания, что соответствующим образом фиксируется восприятием. Далее формируется уже новый уровень представлений и т. д. [5] Поэтому восприятие по своей функциональности во время обучения является основой информационного обеспечения при формировании и корректуре представлений, памяти и мышления, которые, в свою очередь, определяют последующие ощущения. Т. е. речь идет о заложенной в данную схему возможности обеспечения цикличности, непрерывности и сбалансированности процесса обучения (рис. 2).
.......
О щ у щ е н и е
Восприятие
^лУ
..л.
П р е д с т а в л е н и е
М ы ш л е н и е
к-
П а м я т ь
Рис. 2. Схема организации и взаимодействия внутренних познавательных процессов (стрелки с пунктиром показывают обратные связи)
Значение восприятия выражается и в том, что совместно с мышлением и речью в виде отдельных звеньев и при наличии контроля внимания они составляют единый циклический процесс также и умственной деятельности (рис. 3) [6].
В о с п р и я т и е
Рис. 3. Схема организации цикличности умственной деятельности
Поэтому формально выраженная оценка восприятия учебного материала является критериально-содержательной основой в оценке качества организации и результативности обучения и, особенно, на начальных этапах изучения всех без исключения тем, когда значение информации для формирования представлений ученика максимальное. И в распоряжении учителя должна быть и использоваться процедура выявления качества восприятия изучаемого материала (воспринимается учеником анализируемый материал или нет, если да, то на каком уровне его сложности?). Определение данного термина предлагается следующее [7].
Восприятие учебного материала - это способность ученика определять: а) тематическую принадлежность анализируемого материала; б) вид (тип) заданий и возможности применения теории; в) их параметры и структуру; г) состав и последовательность необходимых действий по их выполнению.
3.2. Формирование восприятия охватывает четыре известные стадии обучения: 1) ознакомление с объектом анализа; 2) его понимание; 3) усвоение нового материала на фоне ранее изученного и 4) общее закрепление всего пройденного материала. При этом следует отметить, что на каждой из стадий восприятие имеет четко выраженную функциональную специфику своего проявления как при изучении теоретического материала, так и при его применении на практике (см. таблицу) [8].
Стадии формирования восприятия при работе с учебным материалом
г Теоретический Стадии Практический \
>- материал восприятия материал >
Формирование внешнего образа рассматриваемого теоретического материала. Формулировка темы, теоремы, закона и узнавание соответствующих формул
Синтез внешнего и внутреннего образа анализируемого материала, определение структуры. Знание доказательства и основных свойств теорем, области и возможности их применения
Формирование навыков распознавания и использования нового материала с ранее усвоенным при выполнении установочных заданий. Выявление и систематизация внутри- и межпредметных связей теории по теме
Использование навыков уверенного
тематического ориентирования в пределах изученного материала.
Уточнение системы внутри- и межпредметных связей
О
::1::3 н а к о м л е н и е
Формирование внешнего образа заданий. Определение их тематической принадлежности и необходимых для выполнения теоретических положений и формул
к.
П
о н и м а н и е
к.
Синтез внешнего и внутреннего образа задания, определение его структуры. Оценка возможности использования теоретического материала (формулы, аксиомы, правила) при составлении алгоритмов, математических моделей решения задач
У с в о е н и е
I
З а
к р
е п л е н и е
Структурное обоснование решений задач с применением нового материала, выявление его внутри-и межпредметных связей. Внесение индивидуальных дополнений в структурную схему теории по теме по результатам выполнения заданий
_X
--ч
Выработка навыков результативного применения усвоенного теоретического материала при выполнении практических заданий
различных уровней сложности в пределах ранее изученного материала
3.3. Поэтому естественным является выбор уровня восприятия в качестве объективного показателя степени освоения учебного материала. В его основе способность ученика выделять иерархические уровни сложности выполняемых заданий. Установочные задания на первых трех уровнях (ступенях) сложности соответствуют базовому уровню требований к качеству обучения, а на 4-м и 5-м - профильному (творческому) (см. рис. 4) [9]. Задания раз-
личаются по количеству затрагиваемых в них теорем, законов, логических или иных затруднений. Их решение при наличии одного подобного «затруднения» эквивалентно уровню сложности I и оценке в 1 балл. В случае с двумя - уровню II и двум баллам, с тремя-четырьмя - III уровню и 3 баллам, и так до 5 баллов за решение более сложных заданий.
Задания повышенной сложности, результат в которых может быть определен на основе совместного анализа и использования уже более четырех различных теорем и положений (законов) разнопланового теоретического материала, соответствуют 4-й и 5-й ступеням. В качестве примера можно привести рассмотрение арифметической задачи III уровня сложности с возможностью его понижения до первого.
«Из пунктов А и Б с расстоянием между ними 280 км выехали навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили. При этом легковой автомобиль прибыл в п. Б на 1 час и 10 мин раньше, чем грузовой в п. А. Определить их скорости, если легковой вторую часть пути проехал на полчаса быстрее, чем первую». Для не решивших задачу с данным условием в её вопрос добавляется первое уточнение (подчеркнуто), переводящее её уже на 2-й уровень: «Определить их скорости, учитывая, что они затратили одинаковое время до встречи, а легковой вторую часть пути прошел на полчаса быстрее, чем первую». Для тех, кто не справился с новым условием, добавляется второе уточнение (1-й уровень): «Определить их скорости, учитывая, что они затратили одинаковое время до встречи и легковой вторую часть пути проехал на полчаса быстрее, чем первую, а также то, что разность во времени прибытия в конечные пункты справедлива как для прохождения всего пути, так и для его отрезков после встречи».
Задания профильных уровней сложности (восприятия)
0
Задания базовых уровней сложности
0
И
Рис. 4. Схема одно- и многоуровневого (i=> I -V] представления
сложности практических заданий
Другой пример многоуровневого представления геометрической задачи (IV уровня сложности) на вступительных экзаменах на Мехмат МГУ.
B APQR медиана QM= - V2l и проведена из Q к основанию. Окружности с центрами P и R
4
с радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга.
Вершина Q APQR лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найти площадь SД PQR, если известно, что S < 7.
Идея решения задачи формируется с учетом структуры условия задачи: а) взаимного положения окружностей, б) положения их касательных, в) оценки необходимых параметров в построенных треугольниках и определения их соответствия условию.
При снижении сложности задачи до III уровня вопрос задачи формулируется уже с дополнением (выделено курсивом с подчеркиванием) в условие: «Найти площадь S треугольника PQR с учетом возможного внутреннего и внешнего касаний окружностей, если известно, что S < 7». Для II уровня дополнение имеет вид: «Выполнить искомые построения (AAPQR) с учетом возможного внутреннего и внешнего касаний окружностей и особенностей положения касательных линий по отношению к ним. Найти его площадь S, если известно, что S < 7».
Б
О
Б
Рис. 5
Рис. 6
Для I уровня условие примет вид: «Выполнить искомые построения (ДД PQR) с учетом возможного внутреннего и внешнего касаний окружностей и особенностей положения касательных линий по отношению к ним. Учитывая,условие задачи и соотношения сторон в построенных треугольниках, найти площадь S, если известно, что S < 7».
А) ДPQR (см. рис. 2). QM = -л/21 х 3,44; РМ = МЯ = 3; ЯГ = 3/2; = ;
4 2
2 7
Щ А дЯ = -=• «0,894. Пусть ды = - (SДPQR < 7, если QN < 7/3); примем Q1M х 3,44 (по усл.).
у/5 3 '
ЯР=2; т1 = Г,т1 = 2 - Х; а Q1N1 = 0,894х; (2 - х)2 +(0,894х)2 = (3,44)2; Х2 - 5х + 4,69 = 0 далее х х 1,25, а Q1N1 х 1,12. SДPQ1R « 3,35 ^ < 7 - решение есть).
B) ДPQ'R(рис. 2). hДPQ'R=—V—; РЯ=6; SДPQ'R =15 V— « 8,39, (S > 7 - решения нет).
4 4
C) ДPQR(рис.3). QF« 2,80; РЯ=4; SДPQR « 5,60, (S < 7 - решение есть).
Основным принципом определения пр иоритетов и последовательности использования теоретических положений или формул, необходимых для вычисления параметров задач и примеров, является определение степени блокирования ими возможности решения при отсутствии их учета. Чем больше данная степень, тем более значимым является данный элемент (параметр) и более высоким - его приоритет в обеспечении решения. Параметр с максимальным приоритетом определяет исходную точку выполнения задания. В первой задаче главным блокирующим элементом является выраженное в неявном виде время в пути автомобилей до встречи. Это и предопределило его выбор в качестве исходной точки и последующих шагов решения. Во второй задаче приоритеты в блокировании её восприятия определяются структурой теории, затрагиваемой условием задачи. Без учета способов касания окружностей (п. а) нельзя определить положение касательных прямых. Без определения их положения (п. б) нет ясности и с положением искомого треугольника (п. в). Эффективность такого подхода безусловна - решение задачи становится тривиальным уже для 8-го класса.
Использование подобной процедуры наглядно и компактно демонстрирует уровни сложности и особенности составления заданий различных типов, что позволяет ученику формировать целостный образ (восприятие) условий выполняемых заданий, самостоятельно анализировать качество своего обучения. Ученик при этом также получает и наглядное представление об имеющихся пробелах в его знаниях, если он не смог выполнить задание на верхних уровнях сложности. В существующей практике по причине весьма значительной громоздкости методических приемов подобное труднореализуемо.
3.4. Было отмечено, что значительным потенциалом в точности оценки уровня усвоения теории и повышения качества обучения является использование тематических струкур-
ных схем (рис. 7). Изначально типовые, они дополняются учеником необходимыми для себя деталями применения теории, отражающими ее особенности. Их заполнение наиболее эффективно на заданиях с многоуровневым представлением их сложности. Наряду со всей тематической перспективой такая блок-схема в итоге позволяет формировать качество восприятия в соответствии с личными способностями учащегося. Сравнение представленных на типовой схеме (рис. 7) способов разложения многочленов показало, что эффективным и универсальным одновременно является метод неопределенных коэффициентов (МНК).
Пример индивидуальных дополнений в блок № 3 структурной схемы (рис. 7) на основе собственных результатов использования данного метода показан ниже.
1. По схеме преобразования симметричных выражений
2. По схеме преобразования возвратных выражений
3. Метод неопределенных коэффициентов
4. По схеме преобразования биквадратных выражений
УУ А
5. Деление многочлена (по теореме Безу)
6. Схема Горнера
Группировка. Вынос общего множителя
Получение многочленов -сомножителей 2-й степени
С
Получение многочленов -сомножителей 3-й степени
V
Получение сомножителей 1-й степени
Рис. 7. Типовая структурная схема способов разложения многочленов 4-й степени 3.4.1. Дополнения особенностей применения МНК (в блок № 3).
3.4.1.1. Принцип использования. При разложении многочленов 4-й степени вида (Ах4+Вх3+Сх2+Шх+Е) или (Ах4 + Вх3у + Сх2у2 + Dхy3 + Еу4) определяются составляющие
их квадратные трехчлены в виде ( а1 х 2 + Ь1 х + С1)( а 2 х 2 + Ь2 х + С 2) либо
(а1 х2 + Ьху + С1 у2)(а2х2 + Ь2ху + С2у2). Процедура оценки коэффициентов выглядит следующим образом. Имеющая место некорректность (пять уравнений для шести переменных) преодолевается с учетом всех сомножителей (А) либо преобразованием многочлена к приведенному виду (делением многочлена на А), т. е. а1 = а2 = 1. Неопределенность сомножителей Е (по величине и знаку) преодолевается использованием теоремы Безу о зависимости Е от корней многочлена.
' а1а2 = А;
аД + а2Ь1 = В; ^ а1с2 + а2с1 + Ь1Ь2 = С; Ь1с2 + Ь2с1 = Ш;
к
3.4.1.2. Сравнительные возможности использования МНК
Метод позволяет осуществлять разложение многочленов 4-й степени различных видов. Это симметричные и возвратные [10], приведенные и неприведенные выражения, а также и не относящиеся к указанным. Значительная универсальность МНК обеспечивает его значительное преимущество перед другими способами данной группы, что дает возможность замещать
230
их полностью или использовать комбинированно на той части разложения, где МНК более эффективно. Например, при разложении выражения /(х) = X5 + X2 + 2х + 2 комбинирование способа Горнера и МНК позволяет его осуществить в простом виде. Корень в данном многочлене единственный: х = -1. По схеме Горнера получаем:
* 1 0 0 1 2 2 х5 + х2 + 2 х+2
1 1 -1 1 0 2 0 (х+1)(х4 —х3 + х2 +2)
Полученный многочлен 4-й степени не имеет корней, поэтому дальнейшее разложение возможно лишь по МНК.
д (х) = (х4 —X +Х +2) = (х2 +ах+2)(Х +Ьх+1) =
4 3 2
(х + (а+Ь)х +(3+аЬ)х + (а+2Ь)х+2); далее
а + Ь = -1; а = -2; д (х) = (х2 — 2х+2)(х2 + X+1); тогда
3 + аЬ = 1; Ь = 1; / (х) = (х+1)(х2 — 2х+2)(х2 + х+1)
^ а + 2Ь = 0;
Таким образом, при наличии корней (из целых чисел и простых дробей) многочленов МНК имеет одинаковые возможности со способом разложения по теореме Безу или способу Горнера. Но при отсутствии корней или трудности их определения возможность разложения многочлена 4-й степени с помощью МНК сохраняется, тогда как его деление на двучлен в такой ситуации невозможно.
/х) X4 + X3 — 4х2 — 3х+15. Действительных корней данное выражение не имеет. Выявление же неопределенных коэффициентов происходит в обычном порядке.
а + Ь = 1; аЬ + 8 = -4 3а + 5Ь = -3;
аЬ = - 12; 2Ь = -6; а = 4; Ь = -3;
д(х) = (X 2 + ах + 5)( X2 + Ь X + 3)
Тогда д(х) = (X2+4х+5)(х2—3х+3) = = X4 + X3—4x2 — 3X+15=/(х);
3.5. Для продуктивной реализации возможностей восприятия учебного материала учащимися необходимо и соответствующее изменение процедуры преподавания математики. После рассмотрения теоретического материала по теме наиболее актуальным является адекватное насыщение восприятия практическими возможностями (в виде, например, умений и навыков) эффективного использования теории. Для этого следует ввести двух-этапную схему работы с практическим материалом (рис. 8) [11]. На первом из них (рис. 8А) используется выборка «обучающих» заданий (в 25-30% общего количества по теме) с многоуровневым представлением сложности каждого из них. Это позволяет концетрированно подготовиться практически по всем основным типам тематических заданий, преодолевая тем самым основной лимитирующий момент - жесткий дефицит времени. Функциональное выделение обучающего этапа работы с дидактическим материалом позволяет сформировать необходимый потенциал рефлексии, а с учетом этого завершить формирование и структурной схемы учебного материала по теме. По сути, на этом этапе завершается формирование основы информационного обеспечения (совокупности знаний) на уровне индивидуальных возможностей ученика для выработки, соответственно, и умений по решению задач по каждой теме, и общих навыков организации необходимых действий при выполнении заданий по предмету, в том числе и в самостоятельном режиме. Поэтому только после результативного «прохода» учеником обучающих испытаний данного этапа можно, пожалуй, считать подготовленным переход к выполнению уже основной части заданий в традиционном одноуровневом представлении (рис. 8Б).
4. Выводы
Рассмотренные вопросы организации результативного восприятия учебного материала при обучении математике на основе учета формальных критериально-содержательных показателей имеют значительный потенциал преодоления вышеотмеченных проблем. Многоуровневое представление сложности дидактического материала в совокупности с учетом его структурных особенностей делает возможным формирование необходимого для этого информационного обеспечения. В первую очередь это способствует выявлению возможностей сопряжения структур внутренних познавательных процессов учащихся со структурой изучаемого материала, а в итоге и обеспечению воспринимаемости его подачи, что является самым актуальным в организации качественного обучения.
Блок уточнения и применения теории по теме
Блок использования и поддержки индивидуальной рефлексии
Блок выполнения дидактических заданий по теме в традиционном одноуровневом представлении их сложности
Рис. 8. Схемы обучающего (А) и закрепляющего (Б) этапов при работе с дидактическим материалом (сплошные линии - основные инфопотоки, пунктиром - вспомогательные)
Не менее значимым для оценки эффективности обучения является способ выстраивания обратных связей «ученик - учитель» на основе формирования индивидуальных тематических структурных схем по результатам использования учащимися теории при выполнении заданий.
Предлагаемая двухэтапная процедура работы с дидактическим материалом является технологическим завершением, позволяющим реализовать в полной мере все методические предложения. Процедура, кроме того, характеризуется наличием встроенного механизма контроля и саморганизации учебного процесса, а также распознавания структур выполняемых заданий. На стадии обучающего этапа наглядно показывается формируемый уровень знаний каждого ученика.
Методические возможности данного способа работы с учебным материалом: - обеспечение высокой наглядности представлений об особенностях компоновки и структуре выполняемых заданий по изучаемым темам, основных элементах (параметрах) и их взаимосвязях;
- формирование с начала изучения тем необходимых представлений об использовании теории на практике и внесение индивидуальных дополнений в соответствующие тематические структурные блоки учебного материала;
- формирование индивидуальной рефлексии учащихся на основе учета особенностей решения задач с многоуровневым представлением их сложности (по вопросам специфики оперирования теорией, выбора нужных для решения формул и последовательности их использования и т. д.);
- выработка навыка поиска скрытого смысла в условиях заданий;
- выработка навыка самостоятельного выявления слабых мест и пробелов в собственной подготовке по изученному материалу;
- гарантированность достижения уровня восприятия изучаемого дидактического материала в полном соответствии со своими возможностями как на базовом, так и на профильном уровне обучения;
- обеспечение объективной оценки уровня восприятия изучаемого материала учеником, способностей и качества обучения.
Примечания
1. Михайлов В. М. Блок-схемы - один из этапов решения задач // Математика в школе. 2012. № 7. С. 23-27.
2. Михайлов В. М. Об уровне восприятия учебного материала как показателе качества и результативности обучения // Фундаментальные и прикладные проблемы физики: материалы VII Междунар. науч.-техн. конф. Саранск, 28-30 мая 2012 г.: в 2 ч. Ч. 2 /под общ. ред. В. К. Свешникова; Мордов. гос. пед. ин-т. Саранск. С. 119-123.
3. Михайлов В. М. Блок-схемы - один из этапов решения задач...
4. Столяренко Л. Д. Основы психологии. Изд. 3-е. Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2000. С. 137-146.
5. Там же.
6. Там же.
7. Михайлов В. М. Блок-схемы - один из этапов решения задач.
8. Михайлов В. М. Об уровне восприятия учебного материала.
9. Там же.
10. Мордкович А. Г., Николаев Н. П. Алгебра: учебник для учащихся общеобраз. учрежд. 9-й класс: в 2 ч. Ч. 1. 4-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2009.
11. Михайлов В. М. О роли методического обеспечения в реализации возможностей деятельностного подхода к обучению математике // ДППО - 2013: сб. тез. Междунар. конф., Воронеж, 13-19 сентября 2013 г. / под ред. А. В. Боровских. М.: МАКС Пресс, 2013. С. 85-87.
Notes
1. Mikhailov V. M. Blok skhemy - odin iz ehtapov resheniya zadach [Block diagram - one of the stages of problem solution] // Matematika vshkole - Mathematics in school. 2012, No. 7, pp. 23-27.
2. Mikhailov V.M. Ob urovne vospriyatiya uchebnogo materiala kak pokazatele kachestva i rezul'tativnosti obucheniya [About the level of perception of educational material as an indicator of the quality and effectiveness of education] // Fundamental'nye i prikladnye problemy fiziki - Fundamental and applied problems in physics: proc. of the VII Intern. scient.-techn. conf. Saransk, May 28-30, 2012: in 2 pts. Pt. 2 /under general editorship of V. K. Sveshnikov; Mordov. State Ped. Univ. Saransk. Pp. 119-123.
3. Mikhailov V. M. Blok skhemy - odin iz ehtapov resheniya zadach... [Block diagram - one of the stages of solving problems... ]
4. Stolyarenko L. D. Osnovy psihologii [Fundamentals of psychology]. Ed. 3d. Rostov-na-Donu. "Fenix" Publ. 2000. Pp. 137-146.
5. Ibid.
6. Ibid.
7. Mikhailov V. M. Blok skhemy - odin iz ehtapov resheniya zadach... [Block diagram - one of the stages of solving problems... ]
8. Mikhailov V. M. Ob urovne vospriyatiya uchebnogo materiala... [About the level of perception of educational material..].
9. Ibid.
10. Mordkovich A. G., Nikolaev N. P. Algebra: uchebnik dlya uchashchihsya obshcheobraz. uchrezhd. 9-j klass [Algebra: textbook for students of general; educational establishments of the 9th grade]: in 2 pts. Pt. 1. 4th ed., stereotyped. Moscow. Mnemosyna. 2009.
11. Mikhailov V. M O roli metodicheskogo obespecheniya v realizacii vozmozhnostej deyatel'nostnogo pod-hoda k obucheniyu matematike [On the role of methodological support in the implementation of the capabilities of the activity approach to teaching mathematics] // DPPO - 2013: collection of abstracts of Intern. conf. Voronezh, September 13-19, 2013 / ed. by A. V. Borowskih. Moscow. MAKS Press. 2013. Pp. 85-87.
