CC BY
11Анализ спектров, приведенных в качестве примера на рис. 10 и 11, полученных при проходе колес, имеющих поврежденный ролик и поврежденное наружное кольцо подшипника буксы. На рис. 10 виден пик ускорения на частоте около 280 Гц, характерный для ролика, а на рис Л1 отмечается пик на частоте около 190 Гц. Кроме того, хорошо видно, что спектры, полученные при проходе колесных пар с буксами, имеющими подшипники с различными повреждениями, существенно отличаются.
В настоящее время система проходит испытания.
Таким образом, научное содружество ВГАВТ и ГЖД в области вибродиагностики оказалось чрезвычайно плодотворным и имеет перспективы развития.
VIBRO-DIAGNOSTIC SYSTEMS FOR GOOD SAFETY MOTIONS ON GRW
A. D. Zvjagin, I. A. Volkov, H, S. Zjabirov, S. N. Shayjdullin, Z. M. Slavinskij
The descriptions and basic principles of vibro-diagnostic systems designed by the VSAWT and GRW experts during lastyears are enunciated in this paper and also given hrief description of systems that have been designing by the VSA WT and GRW experts nowdays.
УДК 539.3
A. К. Любимов, д. ф.~м. н., профессор, зав. кафедрой, ИНГУ им. Н. И. Лобачевского. 603091, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23а. E-mail:Ljubimov@mm.unn.ru
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
Приводятся результаты исследований по оценке вероятности безотказной работы конструкций, работоспособность которых определяется величиной накопленных необратимых повреждений, разбросом геометрических размеров, созданию структурной модели накопления повреждений при многоцикловой усталости на стадии зарождения субмикроскопической трещины.
1. Прогноз вероятности безотказной работы конструкций
Проектирование, изготовление и эксплуатация объектов современной техники ставит в число важнейших научных и практических задач обеспечение высокого уровня надежности. Успешное решение проблемы в значительной степени определяется положениями, принятыми на стадии проектирования, достоверностью исходной информации о предполагаемых условиях эксплуатации, корректностью применяемых физико-механических моделей, описывающих процессы изменения свойств объекта в процессе эксплуатации, эффективностью использующихся математических методов.
Активно развивающимся направлением теории надежности является теория надежности машин и конструкций, в которой значительное внимание уделяется физикомеханическим моделям, описывающим изменения в процессе эксплуатации начальных значений параметров конструкций, определяющих ее работоспособность.
1.1. Ресурс объекта зависит от характера изменения исходных свойств его характеристик. В процессе эксплуатации объекта в нем происходят процессы, ведущие к накоплению необратимых повреждений той или иной природы (износ, развитие макротрещин и т. д.), которые определяют изменения исходных свойств объекта [1,2].
Несмотря на различную физическую природу процессов накопления повреждений, математические модели, применяемые для их описания, во многих случаях имеют одну и ту же математическую структуру. Математическая модель дает формализованное описание процессов накопления повреждений без детализации их физикомеханического одержания. В этом проявляется универсальность, общность математической модели, т.е. возможность ее применения для описания процессов накопления повреждений вне зависимости от их природы.
Математическая модель, описывающая широкий класс процессов накопления повреждений, может быть представлена в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка [1, 2]:
X, =т,,У,,<), (11)
где X, ~ Х{[) - мера повреждения, У( ~ У{1) ~ внешние воздействия, /7(;) - детерминированная функция, вид и свойства которой определяются закономерностями конкретного процесса накопления повреждений.
Решение уравнения (1.1) совместно с учетом начального условия
Л'(О) = а0 (1.2)
описывает процесс накопления повреждений.
В дальнейшем процесс накопления повреждения будем считать кумулятивным, т. е. удовлетворяющим условию
Х^2)>Х(^) при г2 >ц.
Условия отказа объекта представим в виде
Х{г)>а, (1.3)
где а - предельная величина меры повреждения, причем а >а0.
В общем случае с учетом случайного характера внешних воздействий У,, параметров объекта решение будет описываться случайным процессом.
Время до отказа определяется следующим образом
Т ~ тт{г: Х(?) > а), ■ (1.4)
причем с учетом случайного характера внешних воздействий и параметров объекта время до отказа также будет являться случайной величиной.
Случайный процесс (с.п.) X(0, являющийся решением стохастического дифференциального уравнения (1.1), с учетом свойства кумулятивности будет являться не-
стационарным случайным процессом. Условие (1.3) позволяет найти величину времени Т первого выхода нестационарного случайного процесса на границу допустимой области.
Вероятность безотказной работы с учетом (1,1-1.4) определяется следующим образом
/>(г) = Р{ЛЧг)е[а0,а),ге(0,0} (1.5)
Сформулированная задача по нахождению вероятности безотказной работы объекта относится к задаче теории случайных процессов о времени достижении случайным процессом границы допустимой области. Общего решения данной задачи не получено. Известные решения получены при введение дополнительных предположений.
1.2. Рассмотрим результаты исследований задачи о нахождении вероятностных характеристик ресурса, полученные как на основе асимптотического подхода [3-6], так и с применением метода статистического моделирования.
В основу асимптотического подхода положено построение нелинейного процесса восстановления, порождаемого правой частью стохастического дифференциального уравнения (1.1). Использование асимптотических свойств мартингалов, тождества Вальда позволяет получить асимптотические разложения первых двух моментов времени выхода нестационарного случайного процесса, описывающего процесс накопления повреждений, на верхнюю границу допустимой области, а применение центральной предельной теоремы для мартингалов - функции распределения.
Предполагаем, что внешние воздействия на объект описываются стационарным случайным процессом Y(i). Известно, что в ряде случаев величина накопленного повреждения за цикл нагружения не зависит от формы цикла, а определяется только либо амплитудой цикла, либо максимальным и минимальным значением нагрузки за цикл. Данное предположение применяется, например, при описании роста усталостных макротрещин, накоплении повреждений при многоцикловой усталости и в ряде других случаев.
В этом случае под процессом Y(t) будем понимать случайный процесс, индуцированный экстремумами исходного процесса. Одним из возможных походов, позволяющих учесть данное обстоятельство, может быть использование понятия огибающей случайного процесса.
Для случайного процесса Z(t), определяемого как огибающая исходного случайного процесса У(£), имеет место
здесь %к - взаимно независимые, неотрицательные и одинаковые распределенные случайные величины,
Случайные величины %к имеют ту же функцию плотности распределения, что и одномерная функция плотности распределения процесса Y{t).
При этом с.п. У, аппроксимируется с.п. ?п реализации которого имеют кусочнопостоянный вид.
Применение развиваемого асимптотического подхода [3, 4] позволило получить следующие выражения для математического ожидания и дисперсии случайной величины времени первого выхода с.п. на верхнюю границу
Z(/) >| Y(t) j; Z(t) - Y(t) в точках, где Z(t) =| Y(f) \.
Введем аппроксимацию случайного процесса У(г), представляя его в виде
Г(0 = ?« = !>*-А (0, о О,
1, t е Ik ~ [(k-\)b, kb
О, t£lk
(0
(1.6)
DT = ЬЕТ
VF(ao,Z\) [Е^о,Ж,)]2 ’
а также вероятности безотказной работы
Р(0 - Р{Т > /} = ф(у) + £(у)Ф'(у)л“0,5 + 0{п~°’5) .
(1.7)
здесь Ф(у) - функция стандартного нормального распределения, @,(у) - многочлен, определяемый согласно [7],
Анализируя закономерности процессов накопления повреждений, можно сделать вывод о наличии нескольких стадий процесса, что приводит к необходимости при математическом описании представления правой части уравнения (1.1) в форме
Введение детерминированной функции а(г) позволяет в определенной степени
учесть многостадийность процесса накопления повреждений.
В этом случае асимптотические представления вероятностных характеристик примут вид [5];
~ математическое ожидание ресурса ЕТ = ¡¡а есть решение уравнения
Напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций характеризуется полями тензоров напряжений и деформаций, которые, обычно, и являются исходными характеристиками для определения величины повреждения. С учетом данного соображения для более адекватного описания процессов накопления повреждений необходим переход от точечных моделей вида (1.1), (1.8) к моделям, имеющим континуальный характер [1]. В этом случае повреждение в каждой точке элемента будет описано полем скалярной величины Хг этой целью уравнения типа (1.1), (1.8) заменяются уравнениями вида
В работе [6] получены асимптотические оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины времени достижения верхней границы для этого случая. Вид их не приводится из-за громоздкости выражений.
Х'=а(!)Р(ХпУп0.
(1.8)
М]ла) = в{а\
(1.9)
о
- дисперсия ресурса
Х\хаРР(а0,х,)
(1.10)
где 1ш1 -£иу-л(^ч)]2;
- функция распределения времени до отказа
(1.11)
(1.12)
Полученные результаты позволяют получить асимптотические решения для ряда важных прикладных задач.
Значительный интерес представляют задачи определения показателей надежности для конструкций, находящихся под воздействием нагрузки, описываемой стационарным случайным процессом, работоспособное состояние которых зависит либо от стабильного роста макротрещины, либо от накопления повреждений при многоцикловой усталости. В этом случае вид функции F в уравнении (1.1) известен и, следовательно, возможно получение асимптотических оценок [3].
Результаты, полученные для многостадийной модели позволяют учесть эффект торможения трещины при перегрузках. В этом случае коэффициент a(t) из (1.8) может трактоваться как коэффициент замедления скорости роста трещины.
Согласно модели [8] коэффициент замедления определяется следующим образом
Л fl, при р,йрм
! =хр[г(1 - р, I рм ) при р, > рм ’
здесь pt, рм - максимальное значение нагрузки в двух соседних циклах, ^-параметр.
При случайном нагружении коэффициент Л; будет также являться случайной величиной, закон распределения которой определяется через одномерный закон распределения исходного процесса нагружения. В качестве функции a(t) выбирается величина ЕЛ,.
Развитый асимптотический метод обладает всеми достоинствами аналитических методов. Однако, при решении прикладных задач необходим учет значительно более широкого круга факторов, оказывающих влияние на скорость роста макротрещины. Использование методов статистического моделирования в сочетании с дополнительными теоретическими исследованиями дает возможность эффективно решить эти задачи.
В работах автора [9, 10] предложена методика применения метода статистического моделирования, рассмотрены вопросы, возникающие при реализации метода в исследуемых задачах.
Выполненные аналитические исследования по оценке вида распределений, применяемых для описания функции вероятности безотказной работы [11] позволили значительно сократить требуемый объем вычислений т. к. в этом случае требуется получить лишь оценки параметров функции распределения, а не оценку вида самой функции.
1.3. Для определенного класса задач, имеющих важное прикладное значение [1] вероятность безотказной работы определяется следующим образом
Р(х) = V{X > 4
К данному классу относится и задача прогноза вероятности формирования с заданной точностью геометрии пространственной ферменной конструкции при наличии разброса длин ее элементов.
Основной функцией несущей стержневой пространственной конструкции ферменного типа является обеспечение заданной геометрии рабочей поверхности, которая описывается уравнением
Ф(х1>х2,^)-0 (1.13)
Рабочей поверхности принадлежит некоторая совокупность узлов ферменной конструкции. Формирование конструкции, ее рабочей поверхности представляет со-
бой разовый, единичный акт. Из-за случайного разброса длин элементов, из которых формируется конструкция, возникает отклонение реальной геометрии от проектируемой, определяемой уравнением (1.13).
Мерой искажения геометрии во многих случаях является некоторая интегральная
характеристика 52, тогда условие не наступления предельного состояния может быть сформулировано следующим образом
2 - 62 > О,
где 52 - заданная, нормативная величина интегральной характеристики.
Характеристика б2 определяется через отклонения в длинах стержней, являющиеся случайными величинами, и, следовательно, она также является случайной величиной.
Вероятность формирования геометрии рабочей поверхности конструкции с заданной точностью определится [12]
[ - ) ^
Д£2)=р(£2-52}>0)= {/(*)<&, (1.14)
о
где /(•) - функция плотности распределения случайной величины 52.
Перемещения узлов ферменной конструкции находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений
[*]{£/} = {0, (1.15)
где [ЛГ] - матрица жесткости, {17}-вектор-столбец перемещений, {£?}-вектор-столбец внешних узловых нагрузок.
Предполагаем, что продольная деформация ¿у ] - го стержня конструкции носит
аддитивный характер и состоит из упругой оставляющей £е. и составляющей возникающей за счет отклонения длины стержня от проектируемой
„ _ , „А
~ ь:< ^ с7
Длина ]-го стержня является случайной величиной и представляется в виде
Lj =Lj +Ду,
здесь - проектируемая длина стержня, А у - величина случайного отклонения реальной длины стержня от проектируемой длины.
Можно показать, что при условии отсутствия внешних нагрузок и выполнения требования | А у |<< ¿у система (1.15) примет вид [12]
[К}{и}=[С]{ А},
здесь [С] - детерминированная матрица влияния отклонений длин элементов, {А} -
вектор-столбец отклонений длин элементов от расчетной длины.
Таким образом, определение перемещений узлов пространственной ферменной конструкции (в том числе и перемещений узлов, принадлежащих рабочей поверхности) с заданными условиями закрепления и учетом разброса длин элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений со специальным видом правой части.
Интегральная характеристика §2 часто представляется в следующем виде
1 м з
^0 1=1 ш=1
где 80 - площадь рабочей поверхности, ^ - весовой коэффициент, для которого выполняется условие нормирования
м
1=1
здесь М- число узлов, принадлежащих рабочей поверхности, и1гп — компоненты вектора перемещения 1-го узла, — компоненты единичной нормали в ьом узле, -площадь, отнесенная к ьому узлу.
При данном определении интегральной характеристики она носит название среднеквадратичного отклонения.
Величина 52 имеет случайный характер. Нахождение функции распределения Г(х) случайной величины б2 является одной из основных задач в проблеме прогнозирования надежности формообразования. Результаты выполненных исследований
[14] позволили доказать, что функция плотности распределения случайной величины
52 описывается гамма - распределением.
Эффективным методом решения рассматриваемой задачи, с учетом ее специфики, является метод статистического моделирования. Были разработаны методика его применения и алгоритм. Полученные аналитические результаты позволили на порядок уменьшить объем вычислений при применении метода статистическою моделирования за счет того, что оценивались параметры известного распределения, а не определялся его вид.
С использованием предложенной методики были выполнены численные эксперименты, результаты которых отражены в работах [12, 13, 15, 16].
2, Структурная модель накопления повреждений
Важной составляющей задачи прогноза надежности конструкций с учетом процессов накопления повреждений является модель, описывающая процесс накопления повреждений. Например, широко применяются модели, описывающие стабильный рост макротрещины, накопление повреждений при многоцикловой усталости и другие [1,2].
В большинстве моделей рассматривается процесс накопления повреждений на стадии распространения усталостной трещины. Менее изученным является период зарождения трещин.
Существующие модели, описывающие процесс накопления повреждений, могут быть отнесены к двум основным группам: феноменологические и структурные модели.
Ниже рассматривается структурная модель накопления повреждений [17, 18], описывающая стадию зарождения субмикроскопической трещины при многоцикловой усталости. В качестве структурного параметра используется характерный размер зерна. Модель рассматривается на двух масштабных уровнях, что позволяет, во-первых, использовать характеристики структуры материала и, во-вторых, учитывать вероятностный характер процесса накопления повреждений.
2.1. Модель накопления повреждений на микроуровне
Процессы накопления повреждений рассматриваются на уровне зерна материала. Взаимодействием между зернами пренебрегаем. При циклическом упругом деформировании дислокации внутри зерна совершают возвратно-поступательные движения к и от границы зерна, при этом угол наклона линий скольжения не изменяется. В случае пластического деформирования часть дислокаций остается на границе зерна, вызывая разориентировку линий скольжения. Вводится предположение о том, что трещина длиной равной половине характерного размера зерна, образуется на его границе из-за разориентировки, вызванной накопленной микропластической деформацией, которая соответствует возникающей на границе зерна стенке дислокаций. Величина критической микропластической деформации, вызывающей образование трещины, определяется из условия - энергия стенки дислокаций эквивалентна энергии двумерного дислокационного диполя и будет равна
£ =^/24y7c(l-v)G d“0’5,
где у — поверхностная энергия трещины, с1 - размер зерна, V - коэффициент Пуассона, С — модуль сдвига 2-го рода.
Применяя правило линейного суммирования и имеющуюся корреляцию между высокотемпературной ползучестью и многоцикловой усталостью получим следующую модель накопления повреждений при симметричном нагружении [17].
г V
dco 1 . — - дє dn Ер
Ро
ехр
AFf
kT
1-^а.
ао}
Н(СТа“ао)’
(1.16)
здесь - энергия активации циклической микропластичности. а0 — циклический предел текучести, Ае - величина микропластической деформации, накопленной за
цикл нагружения при амплитуде нагружения, равной циклическому пределу текучести.
Для случая асимметричного цикла нагружения получено более общее уравнение:
{
dco 1
— = -гАє0 exp dn є* Po
AF,
kT
1-
<7„ -f
a,
Ща.-во).
(1.17)
где Ij - первый инвариант.
2.2. Модель накопления повреждений на макроуровне
Построим модель на макроуровне т. е. осуществим переход от рассмотрения одного зерна к рассмотрению ансамбля зерен.
Используя модель наислабейшего зерна и (1.17) получим уравнение накопления повреждений следующего вида:
1
d\|/ _ dñ“É{e*}
ДєРо exp
AFf
kT
1-
\
Н(сга -сг0),
(1.18)
здесь Е{е,} - математическое ожидание критического значения микроскопической деформации, соответствующей образованию субмикроскопической трещины в сечении образца. Данная величина определяется следующим образом
ОО / \п 1
Е{в*} = j£*n(l - F. (s.)j р(б. )ds.
где ¥, (•) - функция распределения величины микропластической деформации £*,
Бр У
п - число зерен в сечении, р(-) — функция плотности распределения размера зерна ё.
Построенная модель позволяет учитывать масштабный эффект и разброс экспериментальных данных по долговечности образца. Сравнение с экспериментальными данными в случае увеличения диаметра образца при нагружении симметричным циклом растяжение - сжатие подтвердило предположение о том, что разброс данных по пределу усталости связан в основном со стадией зарождения усталостной трещины, и показало удовлетворительное соответствие модельных и экспериментальных данных.
Предложенные постановки задач прогноза надежности конструкций, разработанные модели накопления повреждений, асимптотические и численные методы моделирования дают возможность получить решение для весьма широкого класса задач. Сочетание аналитических и численных методов позволяют более глубоко исследовать свойства получаемых решений, существенно упростить алгоритмы решения, сократить объемы вычислений.
Список литературы
[1] Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1990.
[2] Проников A.C. Надежность машин. - М.: Машиностроение, 1978.
[3] Зорин В.А., Колданов А.П., Любимов А.К. Оценка вероятностных характеристик долговечности конструкций с развивающимися трещинами с позиции восстановления // Машиноведение. - № 4. - 1988. - С. 21-24.
[4] Зорин В.А., Любимов А.К. Асимптотические оценки функции надежности и первых моментов ресурса для объектов с учетом процессов накопления повреждений //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Межвуз. сб. Нижегород. ун-т. - 1992. - С. 78-84.
[5] Зорин В.А., Любимов А.К. Применение многостадийной модели накопления повреждений в вероятностных задачах прогноза ресурса // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: Программа ГК РФ по высшему образованию. Научн. труды. - Вып. 1. - Н. Новгород: - 1993. - С. 124—132.
[6] Зорин В.А., Любимов А.К, Асимптотические оценки вероятностных характеристик ресурса объектов с использованием континуальной модели накопления повреждений // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Методы решения. Нижегород. ун-т. - М.: Товарищество научных изданий КМК, 1997. - С. 23-31.
[7] Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. - М.: Наука, 1969.
[8] Воробьев А.З. О расчете скорости роста усталостной трещины //Уч. записки ЦАГИ. - № 6.
- 1975,-С. 130-134.
[9] Любимов А.К, Вопросы численной реализации метода статистического моделирования при прогнозе надежности поврежденных конструкций // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности: Всесоюзн. межвуз. сб. Горьк. унт-1984.-С. 33-38.
[10] Любимов А.К. О рациональном использовании методов прогноза надежности конструкций с развивающейся макротрещиной // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация научных исследований: Всесоюзн. межвуз. сб. Горьк. ун-т, - 1988. -С. 123-130.
[11] Зорин В.А., Любимов А.К. О семействе распределений долговечности конструкций с распространяющимися усталостными трещинами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Всесоюзн. межвуз. сб. Горьк. ун-т. -1981.-С. 30-36.
[12] Мал ков В.П., Любимов А. К., Буреева H.H. Надежность формирования рабочей поверхности заданной геометрии ферменных систем с учетом конструктивных допусков // Строительная механика и расчет сооружений. - 1989. - № 1. - С. 1-5.
[13] Буреева H.H., Любимов А.К. Определение вероятностных характеристик величины искажения геометрии антенных конструкций с учетом разброса геометрических и механических параметров // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Исследование и оптимизация конструкций; Всесоюзн. межвуз. сб. Горьк. ун-т. - 1990. - С. 60-67.
[14] Зорин В.А., Любимов А.К. Распределение квадратичных форм гауссовских векторов // Теория вероятностей и ее применение. Т. XXXIII. - Вып. 3,1998. - С. 597-600.
[15] Буреева H.H., Любимов А.К, Расчет искажения зеркала космической антенны с учетом стохастического характера длин элементов //Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 2 - Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1994. - С. 59-64.
[16] Колданов А.П., Любимов А.К., Новоженов М.М. Оценка качества геометрии высокоточных стержневых конструкций по ограниченному числу измерений // Надежность и контроль качества. - № 10. - 1989. - С. 47-52.
[17] Любимов А.К., Берендеев H.H., Чувильдеев В.Н. Структурная модель, описывающая зарождение трещин / Известия Академии инженерных наук РФ. Волго-Вятское региональное отделение. Юбилейный том. Москва - Н. Новгород: Изд-во НГТУ. 2001. - С. 181-199.
[18] Берендеев H.H., Любимов А.К. Модель накопления повреждений при многоцикловой усталости с использованием энергии неупругих деформаций / Проблемы прочности и пластичности / Межвуз. сб. - Вып. 63. 2001. - С. 23-29.
ON CERTAIN PROBLEMS OF STRUCTURAL RELIABILITY EVALUTION
A. Lyubimov
An overview of the research results of estimating the probability offailure-free operation of structures whose performance is defined by the cumulative amount of permanent damage and dimensional spread. Creating a structural model of damage accumulation under multicycle fatigue at the submicroscopic crack birth stage.
УДК 539.375
В. М. Волков, m. н., профессор, зав. Кафедрой, НГТУ.
603/55, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, E-mail: smk @ nntu.sci-nnov.ru
РАЗРЫХЛЕНИЕ МЕТАЛЛОВ И РАЗРУШЕНИЕ КОНСТРУКЦИЙ МАШИН
Здесь используются феноменологические понятия деформационных разрыхлений ¡-го
- 3-го рода для моделей среды классов Bj и В3 [1]. В рамках МСС анализируется модель накопления макро- и микропластического разрыхлений при циклических деформациях и деформациях ползучести [2]. Получены кинетические соотношения для разрыхлений 1-го - 2-го рода и зависимости, описывающие сопротивление металлов образованию трещин в мало-, много цикловой и переходной областях нагружения. На основе рассмотренной теории разрыхления построены модели докритического развития усталостных трещин, кавитационного и трибофатического разрушения конструкций машин с учетом физико-механических, конструктивно-технологических и эксплуатационных факторов.
