О некоторых вопросах нестандартной теории пространств Л. В. Канторовича Текст научной статьи по специальности «Математика»

!тин-

щии.

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вы,п.1.1995

УЛ' |ЭЦК 517.11:517.98

|С! НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ НЕСТАНДАРТНОЙ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ

Л.В.Канторовича Ю.Н.Ловягин

В работе методами булевозначных моделей теории множеств исследуются архимедовы векторные решетки. Вводится понятие нестандартного (в смысле А.Робинсона) расширения векторной решетки. Исследуется некоторая равномерность на векторной решетке, сходимость относительно которой совпадает с (г)-сходимостью.

Настоящая заметка посвящена приложению методов теории моделей к теории векторных решеток. Мы используем теорему Е.И.Гордона [1] о булевозначной реализации расширенного К - пространства. Благодаря общей теории векторных решеток [2,3], наши •результаты переносятся на более широкий класс структур. Естественной границей наших методов является архимедова векторная решетка.

Методы булевозначных моделей теории множеств [4] мы используем в комбинации с методами нестандартного анализа А.Робинсона.

§1. Пусть Ь - язык узкого исчисления предикатов первого порядка с равенством, имеющий два бинарных функциональных сим-зола +,», константные символы 0,1, бинарный предикатный сим-зол <, а также множество унарных функциональных символов А = {А : Л 6 И}.

В языке Ь рассмотрим теории ТТ упорядоченных полей и УС векторных решеток.

Пусть далее В - полная булева алгебра, V® -соответствующий отделимый булевозначный универсум теории множеств, 7? - множество вещественных чисел внутри V®, в частности У® (= я ^ ТТ

)е^-

>1ет

Люп

:и!а-

тгу

tion

12.95

© Ю.Н.Ловягин, 1995.

47

Согласно теореме Е.И.Гордона Л ||= У£, боле того Л | расширенное К-пространство с базой, изоморфной В, с естественн кольцевой структурой, причем алгебра идемпотентов кольца и морфна В.

§2. В силу общей теории внутри V® существует такой элеме *Л, что

V® |=<^С* Л -нестандартное расширение Л в смысле А.Робинсо 3>, в частности, Vм [=<С * Л (= РТ ^

Таким образом, внутри V® существуют множества Р, I и фун ция такие, что

1. || Уе(е е I = Ух(х е Л А(х> 0) Э| е |< х)) ||= 1

2. || Е -Р1 = Зх(х € Л А(х > 0) А (| V |< х)) ||= 1

3. || Уг>(г» € -Р1 = ЭжЗе(ж 6 Л Ае £ IА(у = х -(- е))) || = 1

4. || (1от = .Р ||=|| rng з£= Л ||= 1

5. || Уь(ь е Уе\/х(х е Л Ае е /А(г; = х +. е) Э (з£у=х))) || =1

6. || УьУи}(у € Р Аи> ё .Р Э (з£(у4^) = лу) А (з£(у\V) =

= 3~Ь\Т ||= 1

7. || Кег 11|= 1

8. V® |=<С факторкольцо Р// изоторфно Л

9. V® |=<С st является естественной проекцией Р/1 на Л >

Элементы множества Р1 называются конечными (вещественным числами), множества I - бесконечно малыми числами, множест-*Д\ Р- бесконечными (бесконечно большими).

§3. Для х,у 6 й | положим х < у тогда и только тогда, когд ||х < уII =1.

Лемма, ж <1 у тогда и только тогда, когда существует слаб* единица е € Л | такая, что х+е=у.

Действительно,||х < у\\ = 1, тогда и только тогда, когда

||3е(е € Л Ае > 0 А х + е = ?/)|| = 1, то есть существует тако" элемент е € Л |, что ||е > 0|| = Ъ и х+е=у.

Покажем, что е - слабая единица. Пусть 2 > 0 и г (1 е. Тогд \\zAe = 0|| = 1 Так как ||е > 0|| = 1, отсюда следует, что \\г = 0|| = 1. Что и требовалось доказать.

I -

иной

изо-

мент

сона

унк-

гда

Теорема. Структура < Л, <1, + , О, Л > является упорядочен-• -лм векторным пространством.

Доказательство. Требуется установить только, что <1 - отпадение строгого порядка и согласовано с алгебраическими опера-гззями. Но это сразу следует из определения и соответствующих свойств строгого порядка внутри V®.

Определение. Порядок < назовем существенным порядком в

§4. Рассмотрим теперь структуру *Я |. Легко понять, что *Я „;= УС и, так как внутри V® * Л - элементарное расширение Л, [ - Я | как модели УЬ (см. напр. [6], стр.290).

Множество 11с*Я I назовем идеалом бесконечно малых элемента®, множество Р 1с*Я 1 - множеством конечных элементов. Функ-глю - функцией стандартной части. Учитывая свойства 1.-9. из §2, получаем, что имеет место

Теорема. Пусть V - архимедова векторная решетка. Тогда щществует векторная решетка "‘V, являющаяся элементарным =1 | -жширением V и множества I, Рс* V такие, что

1. е € I тогда и только тогда, когда для всех V Е У+|б| < V

2. V £ ¥ тогда и только тогда, когда V = к + е для некоторых к 6 У,е е I

3. V € Р тогда и только тогда, когда |г;| < к для некоторого кеУ.

При этом существует функция st : Р <— V такая, что

[ми ■ £©?7^ = Р, гпдз1 = V, кегst = I, и, если V = х + е, то = х.

гва | Доказательство. Пусть К- К-пополнение V и X - максималь-

ное расширение К. Пусть далее 03 - база X, I/® - соответствующий хулевозначный универсум теории множеств . Тогда X изоморфно Щ, где Л - множество вещественных чисел внутри V®. Далее утвер-5ая В ^ния теоремы получаются из вышеизложенного, если положить *У = *Д|.

§5. Опишем теперь решетку *У в терминах внутренних по от--'ой р ношению к теории УС. Доказательства можно проводить не умаляя шщности для случая V = да ■ Теорема 1 .Для е 6 I необходимо и достаточно существова-

1. Щ чия бесконечно малого вещественного числа а внутри V® такого, что е = ал • 1л, где 1 ~ фиксированная порядковая единица (если

она существует) V, Л - естественноё вложение универсума фон Неймана в Уъ. Если порядковой единицы в исходной решетке нет, то можно взять любую единицу в максимальном расширении К-пополнения V.

Достаточность условия теоремы очевидна. Покажем необходимость. Пусть 6 £ I. Тогда, по определению I ||е « 0|| = 1. Ясно, что существует элемент а £*./2 такой, что аЛ = е. Что и требовалось доказать.

Определение 1 .Два элемента ь,ю £* V назовем бесконечно близкими, если у — го £ I. В этом случае будем писать V « го.

Теорема 2.ь ~ и/ тогда и только тогда, когда ||г> « ги|| = 1. Действительно, так каку — и) £ I, 5Ць~,ш)=0, то есть ||в<(и — го) = 0|| = 1 или ||г; и ги|| = 1.

Определение 2.Для х £* V положим /л(х) = {?; £* V : V « х}. Множество /1(х) назовем монадой (ореолом) элемента х.

Теорема 3.

1. Пусть х £ Р. Тогда V £ ц(х) тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда V ~ х.

2. х £ V тогда и только тогда, когда б1х=х.

3. если х, у £ V и х ри у, то х~у.

Для доказательства рассмотрим х,у £ V такие, что х « у. Тогда st | х = st | у и, следовательно, ||«<х = $й/|| = 1, то есть, так как \\х,У € Д|| = 1, ||ж = ?/|| = 1.

Следствие. Если х, у £ V и х фу, то ц(х) П /л(у) — 0.

Следующее утверждение очевидно.

Теорема 4.Пусть ||х € Л|| = 1 и пусть р,{х) - монада х внутри V®. Тогда ц | (х) - монада х в *Я

§6. Определение.Пусть V - архимедова векторная решетка с единицей . Естественной топологией решетки V назовем ее монадологию, то есть топологию т^(У), порожденную семейством монад {ц(х) : х £ V}.

Теорема 1. Пусть < X, т > - топологическое пространство внутри V®. Тогда т’ — {Е [: Е £ т ].} является базой топологии на множестве X |. При этом, если о - база топологии т внутри У®, то о’ = {Е Е £ о |} - база топологии X | и топологии с базами Т’ и сг совпадают.

Доказательство. Пусть х £ V | Г\]¥ |. Тогда х £ (V П \¥)

есть ||.хттТ/Г П \¥\\ — 1. Следовательно, внутри К® существует цемент и £ а такой, что \\х £ и С V П И^|| = 1 или х £ II 1С V | ~1Г |. Остальное очевидно.

Комбинируя этот результат с теоремой 4 §5, получаем, что имеет :-:с'го:

Теорема 2.т^(Я |) совпадает со спуском естественной топо-::згии множества вещественных чисел.

Прямым следствием этого утверждения является:

Теорема 3.Архимедова векторная решетка является хаусдор-ртым равномерным пространством в своей естественной топо-~згии.

Следствие.Алгебраические и решеточные операции в архимедовой векторной решетке равномерно непрерывны.

Теорема 4.Естественная топология архимедовой векторной решетки совпадает с интервальной топологией существенного порядка.

Доказательство. Достаточно доказать, что для а,6 е й 1 ~л,Ь] |= <3 |а, Ъ\ > = {г £ Л а <3 г <) Ь}. Покажем сначала, что

а. Ь) <1 а, 6 С> = {г : а < г < Ь}. Имеем 2 £ (а, Ь) | тогда и только тогда, когда \\г £ (а,Ь)\\ = 1 тогда и только тогда, когда а < гЛг < 6|( = 1 тогда и только тогда, когда ||а < г\\ = \\г < &|| = 1 тогда и только тогда, когда а <3 г < Ь.

Если же \\г — а|| = 1 или \\г = 6|| = 1, то г=а, соответственно 2=Ь и, следовательно, <] |а, 6| > = [а, 6]

Теорема 5.Пусть х - направление в V. Тогда х —► 0 в ,ги(У) тогда и только тогда, когда х сходится к 0 с регулятором.

Доказательство. Сходимость направления х в топологии гр(V равносильна условию ||жл —> 0|| = 1, следовательно, для любого е > О существует «о так, что для всех а > а0|||а;а| < еЛ|| = 1 , то есть ха\ < ел • 1, что и означает, что х сходится к нулю с регулятором единица.

Обратно, если х сходится к нулю с регулятором, то

(= Уе > 03«о\/о; > аъ\ха\ < е • г. Тогда по принципу переноса V'® |= Уб > ОЗо^Уа > а^\ха\ < е • гЛ. Что и означает сходимость направления х к нулю во множестве вещественных чисел (внутри I7®).

§7. Пусть теперь V - архимедова векторная решетка с единицей 1. Тогда множество N = {п1 : п £ и>} естественным образом

изоморфно множеству натуральных чисел. Пусть *N ~ естественное расширение N при элементарном вложении V в *V. Элементы множества *N\N будем называть бесконечными натуральными числами.

Теорема.Пусть {хп} С V(n € ш) - произвольная последовательность. Тогда:

(I) последовательность {хп} сходится к х с регулятором тогда и только тогда, когда для всех бесконечных v xv « х;

(II) х является предельной точкой последовательности {жп} тогда и только тогда, когда для некоторого бесконечного vxu и х;

(III) {^п} ~ (г)-фундаментальна тогда и только тогда, когда для всех бесконечных и, V' xv и xv,.

Этот результат является прямым следствием теоремы 5 предыдущего параграфа и соответствующих фактов для вещественных последовательностей.

Литература

1. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и К-пространства //ДАН СССР. 1977. Т.237.№4. С.773 - 775.

2. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.;Л.: Гостехиздат, 1950. 546 с.'

3. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

4. Solovay R.,Tennenbaum S. Itherated Cohen extension and Souslin’s probeltm //Ann. of Math. 1971. V.94.JY*2. P.201 -275.

5. Robinson A. Non-Standard Analysis. Amsterdam: North-

Holland publ. comp., 1966. 293 p.

6. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, 1990. 344 с.

]

tor-j

А. Я ferr

■сг с

CV»

Summary

Lovyagin J.N. On some questions of nonstandard theory of Kan-

'irovich spaces

Archimed vector lattices by the Boolean-valued models methods of "e set theory are studied. A notion of nonstandard (in the sence of ^.Robinson) enlargement of vector lattice is introduced. A certain unifirm structure in the vector lattice with respect to which convergence ::incides with the (r)-covergence is investigated too.

Г:-*ктывкарский университет Поступила 8.02.95